十年（2014-2023）高考物理真題分項(xiàng)匯編幾何光學(xué)（二）（老師講解版）

專題64幾何光學(xué)（二）

46.（2022.江蘇?高考真題）如圖所示，兩條距離為。的平行光線，以入射角。從空氣射入平靜水面，反射

光線與折射光線垂直，求：

（1）水的折射率"；

（2）兩條折射光線之間的距離d。

【答案】（1）tan。；（2）Dtan6>

【解析】（1）設(shè)折射角為7,根據(jù)幾何關(guān)系可得

7=90°-6?

根據(jù)折射定律可得

sing

n=---

sin/

聯(lián)立可得

〃=tan。

（2）如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系可得

d=----------sin6=￡）tan6

sin（90°-6>）

47.（2022?湖北?統(tǒng)考高考真題）如圖所示，水族館訓(xùn)練員在訓(xùn)練海豚時，將一發(fā)光小球高舉在水面上方的A

位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和8位置的水平距離為d,A位置離水面的高度為:小訓(xùn)練員將小球

向左水平拋出，入水點(diǎn)在8位置的正上方，入水前瞬間速度方向與水面夾角為。。小球在A位置發(fā)出的一束

光線經(jīng)水面折射后到達(dá)B位置，折射光線與水平方向的夾角也為0。

4

已知水的折射率〃=］，求：

(1)tan。的值;

(2)3位置到水面的距離”。

d=vot

tan0=-

%

解得

4

tan。=一

3

4

(2)因tanJ=§可知。=53。，從A點(diǎn)射到水面的光線的入射角為a,折射角為90-6=37,則由折射定律

可知

sina

n=--------

sin37

解得

a=53。

由幾何關(guān)系可知

2

Htan37+—Jtan53=d

3

解得

27

48.(2022?廣東?高考真題)一個水平放置的圓柱形罐體內(nèi)裝了一半的透明液體，液體上方是空氣，其截面

如圖所示。一激光器從罐體底部P點(diǎn)沿著罐體的內(nèi)壁向上移動，它所發(fā)出的光束始終指向圓心。點(diǎn)。當(dāng)光

束與豎直方向成45。角時，恰好觀察不到從液體表面射向空氣的折射光束。已知光在空氣中的傳播速度為c,

求液體的折射率”和激光在液體中的傳播速度Vo

2

p

應(yīng)，冬

【答案】

【解析】當(dāng)入射角達(dá)到45。時，恰好到達(dá)臨界角C,根據(jù)

sinC=-

n

可得液體的折射率

11

n=—=亞

sinCsin45°

由于

c

n=—

v

可知激光在液體中的傳播速度

cV2

v=—=----c

n2

49.(2022?河北?統(tǒng)考高考真題)如圖，一個半徑為R的玻璃球，。點(diǎn)為球心。球面內(nèi)側(cè)單色點(diǎn)光源S發(fā)出

的一束光在A點(diǎn)射出，出射光線與球直徑SC平行，6=30。。光在真空中的傳播速度為c。求:

(i)玻璃的折射率;

(ii)從S發(fā)出的光線經(jīng)多次全反射回到S點(diǎn)的最短時間。

【解析】(i)根據(jù)題意將光路圖補(bǔ)充完整，如下圖所示

ii=0=3O°,i2=60°

根據(jù)折射定律有

nsinii=sin/2

解得

n=^3

（ii）設(shè)全反射的臨界角為C,則

sinC」=3

n3

光在玻璃球內(nèi)的傳播速度有

「

n

根據(jù)幾何關(guān)系可知當(dāng)。=45。時，即光路為圓的內(nèi)接正方形，從S發(fā)出的光線經(jīng)多次全反射回到S點(diǎn)的時間

最短，則正方形的邊長

x=\[T.R

則最短時間為

/_4x_4屈R

vc

50.（2022?湖南?統(tǒng)考高考真題）如圖，某種防窺屏由透明介質(zhì)和對光完全吸收的屏障構(gòu)成，其中屏障垂直

于屏幕平行排列，可實(shí)現(xiàn)對像素單元可視角度。的控制（可視角度。定義為某像素單元發(fā)出的光在圖示平面

內(nèi)折射到空氣后最大折射角的2倍）。透明介質(zhì)的折射率〃=2,屏障間隙L=0.8mm。發(fā)光像素單元緊貼屏

下，位于相鄰兩屏障的正中間.不考慮光的衍射。

（1）若把發(fā)光像素單元視為點(diǎn)光源，要求可視角度6控制為60。，求屏障的高度必

（2）若屏障高度d=L0mm,且發(fā)光像素單元的寬度不能忽略，求像素單元寬度x最小為多少時，其可視

角度，剛好被擴(kuò)為180。（只要看到像素單元的任意一點(diǎn)，即視為能看到該像素單元）。

4

透明介質(zhì)

防

T，窺

d屏

發(fā)光像素單元

【答案】(1)1.55mm；(2)0.35mm

【解析】（1）發(fā)光像素單元射到屏障上的光被完全吸收，考慮射到屏障頂端的光射到透明介質(zhì)和空氣界面,

折射后從界面射向空氣，由題意可知（9=60。，則

*0

在介質(zhì)中的入射角為。則

sinr

----------二n

sinz

解得

..1

sinz=—

4

由幾何關(guān)系

L

si?ni?=?2

解得

d=J2.4mm?1.55mm

（2）若視角度。剛好被擴(kuò)為180。，則幽=90,此時光線在界面發(fā)生全反射，此時光線在界面處的入射

2

角

sinC=-=-

n2

解得

C=30°

此時發(fā)光像素單元發(fā)光點(diǎn)距離屏障的距離為

尤1=dtanC=#mm

像素單元寬度x最小為

x=2(玉一夕=一0.8)mm?0.35mm

51.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）如圖，邊長為a的正方形A3C。為一棱鏡的橫截面，M為A3邊的中點(diǎn)。在

截面所在的平面，一光線自M點(diǎn)射入棱鏡，入射角為60。，經(jīng)折射后在BC邊的N點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，反射

光線從邊的尸點(diǎn)射出棱鏡，求棱鏡的折射率以及P、C兩點(diǎn)之間的距離。

【答案】n=^~,PC=--67

22

【解析】光線在M點(diǎn)發(fā)生折射有

sin60°=nsind

由題知，光線經(jīng)折射后在3c邊的N點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，則

sinC=—

n

C=90°-0

聯(lián)立有

tan0=——

2

n=不---

2

根據(jù)幾何關(guān)系有

cMBa

tanu--------------

BN2BN

解得

NC=a-BN=a-名

再由

cPC

tan0=-----

NC

解得

2

52.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）光點(diǎn)式檢流計(jì)是一種可以測量微小電流的儀器，其簡化的工作原理示意圖

如圖所示。圖中A為輕質(zhì)絕緣彈簧，。為位于紙面上的線圈，虛線框內(nèi)有與紙面垂直的勻強(qiáng)磁場；M為置

6

于平臺上的輕質(zhì)小平面反射鏡，輕質(zhì)剛性細(xì)桿。的一端與M固連且與鏡面垂直、另一端與彈簧下端相連,

PQ為圓弧形的、帶有均勻刻度的透明讀數(shù)條，PQ的圓心位于M的中心。使用前需調(diào)零:使線圈內(nèi)沒有電流

通過時，M豎直且與紙面垂直；入射細(xì)光束沿水平方向經(jīng)尸。上的O點(diǎn)射到〃上后沿原路反射。線圈通入

電流后彈簧長度改變，使M發(fā)生傾斜，入射光束在M上的入射點(diǎn)仍近似處于PQ的圓心，通過讀取反射光

射到PQ上的位置，可以測得電流的大小。已知彈簧的勁度系數(shù)為％,磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,線圈C的

匝數(shù)為M沿水平方向的長度為/,細(xì)桿。的長度為d,圓弧PQ的半徑為r,rd,d遠(yuǎn)大于彈簧長度改變

量的絕對值。

(1)若在線圈中通入的微小電流為/,求平衡后彈簧長度改變量的絕對值A(chǔ)x及PQ上反射光點(diǎn)與。點(diǎn)間的

弧長s；

(2)某同學(xué)用此裝置測一微小電流，測量前未調(diào)零，將電流通入線圈后，尸。上反射光點(diǎn)出現(xiàn)在。點(diǎn)上方，

與。點(diǎn)間的弧長為邑、保持其它條件不變，只將該電流反向接入，則反射光點(diǎn)出現(xiàn)在。點(diǎn)下方，與。點(diǎn)間

dkg+$2)

4NBlr

【解析】(1)由題意當(dāng)線圈中通入微小電流/時，線圈中的安培力為

F=NBII

根據(jù)胡克定律有

F=NB11=左|Ax

3=出

k

如圖所示

設(shè)此時細(xì)桿轉(zhuǎn)過的弧度為仇則可知反射光線轉(zhuǎn)過的弧度為24又因?yàn)?/p>

d?Ax,r?d

則

sin。-6,sin20-20

所以有

Ax=d-0

s=r-20

聯(lián)立可得

2r?INBIlr

s=——Ax=---------

ddk

（2）因?yàn)闇y量前未調(diào)零，設(shè)沒有通電流時偏移的弧長為丁，當(dāng)初始時反射光點(diǎn)在。點(diǎn)上方，通電流r后根

據(jù)前面的結(jié)論可知有

2NBI'lr

5,=--------FS

dk

當(dāng)電流反向后有

INBI'lr

=------------s

dk

聯(lián)立可得

[=dk(s、+sj

，ANBlr

同理可得初始時反射光點(diǎn)在o點(diǎn)下方結(jié)果也相同，故待測電流的大小為

―4NBlr

53.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）一細(xì)束單色光在三棱鏡ABC的側(cè)面AC上以大角度由。點(diǎn)入射（入射面在

8

棱鏡的橫截面內(nèi)）,入射角為K經(jīng)折射后射至邊的E點(diǎn)，如圖所示,逐漸減小i,E點(diǎn)向B點(diǎn)移動，當(dāng)sini=J

o

時，恰好沒有光線從A8邊射出棱鏡，且DE=D4。求棱鏡的折射率。

【答案】1.5

【解析】

因?yàn)楫?dāng)sini=，時，恰好沒有光線從AB邊射出，可知光線在E點(diǎn)發(fā)生全反射，設(shè)臨界角為C,則

0

?"1

sinC=—

n

由幾何關(guān)系可知，光線在。點(diǎn)的折射角為

r=90-2C

則

sini

———=n

sinr

聯(lián)立可得

n=1.5

54.（2016?全國?高考真題）如圖所示，玻璃球冠的折射率為6,其底面鍍銀，底面的半徑是球半徑的苴倍；

2

在過球心。且垂直于底面的平面（紙面）內(nèi)，有一與底面垂直的光線射到玻璃球冠上的M點(diǎn)，該光線的延

長線恰好過底面邊緣上的A點(diǎn)，求該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角。

【答案】150。

【解析】光線的光路圖如下圖所示，設(shè)圖中N點(diǎn)為光線在球冠內(nèi)底面上的反射點(diǎn)，光線在M點(diǎn)的入射角為

i、折射角為6，在N點(diǎn)的入射角為a,反射角為口，玻璃折射率為〃。

由于底面的半徑是球半徑的3倍，因此

2

cosZOAO'=—

2

解得

ZOAO'=30°

故NOA"=60°,因此AOAM為等邊三角形，因此

力=60°

由折射定律有

sini=nsin0

代入題給條件n=6得

（9=30。

作底面在N點(diǎn)的法線NE,由于NE〃AM,有

a=30。

根據(jù)反射定律，有

B=30°

連接ON,由幾何關(guān)系知AMAN絲△MON,故有

ZMNO=60°

因此

/ENO=30°

因此NENO就為反射角，ON就為反射光線，該反射光線經(jīng)過球心，在球面再次折射后不改變方向。所以,

經(jīng)一次反射后射出玻璃球冠的光線相對于入射光線的偏角￡為

￡=180°—/硒。=150°

55.（2021.重慶?高考真題）如圖所示，一直角棱鏡ABC,4=90。,AC=1。從A3邊界面垂直入射的甲、乙

兩種不同頻率的單色光，在棱鏡中傳播速度分別為匕。和%。（0〈勺＜Lc為真空中的光速），甲光第一

10

次到達(dá)BC邊恰好發(fā)生全反射。求：

(1)該棱鏡分別對甲光和乙光的折射率;

(2)8C邊的長度。

【解析】(1)由光速與折射率的關(guān)系〃=￡，可得該棱鏡對甲光的折射率

V

該棱鏡對乙光的折射率

(2)設(shè)BC邊的長度為L,根據(jù)題述甲光第一次到達(dá)邊恰好發(fā)生全反射，可畫出光路圖

%

cosC=sin6*

cosC=—

L

解得

56.(2017.全國?高考真題)如圖，一半徑為R的玻璃半球，。點(diǎn)是半球的球心，虛線O。，表示光軸(過球心

O與半球底面垂直的直線)。已知玻璃的折射率為1.5?，F(xiàn)有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光

線能從球面射出(不考慮被半球的內(nèi)表面反射后的光線)。求：

(1)從球面射出的光線對應(yīng)的入射光線到光軸距離的最大值；

(2)距光軸。的入射光線經(jīng)球面折射后與光軸的交點(diǎn)到。點(diǎn)的距離。

ttttttt

【答案】(1)-R;(2)2.747?

【解析】(1)如圖，從底面上A處射入的光線，在球面上發(fā)生折射時的入射角為。當(dāng)，等于全反射臨界角

ic時，對應(yīng)入射光線到光軸的距離最大，設(shè)最大距離為/。

z=ic

設(shè)力是玻璃的折射率，由全反射臨界角的定義有

.._1

sin］。---

n

由幾何關(guān)系有

..1

sinz=—

R

聯(lián)立并利用題給條件，得

2R

(2)設(shè)與光軸相距g的光線在球面8點(diǎn)發(fā)生折射時的入射角和折射角分別為〃和〃，由折射定律有

nsinii=sinn

設(shè)折射光線與光軸的交點(diǎn)為C,在AOBC中，由正弦定理有

sinZCsin(180°-z])

OC

由幾何關(guān)系有

AC—n—ii

.1

sinu=—

3

聯(lián)立及題給條件得

OC=3Q0C)R。2.74R

5

12

57.（2021.山東.高考真題）超強(qiáng)超短光脈沖產(chǎn)生方法曾獲諾貝爾物理學(xué)獎，其中用到的一種脈沖激光展寬

器截面如圖所示。在空氣中對稱放置四個相同的直角三棱鏡，頂角為，。一細(xì)束脈沖激光垂直第一個棱鏡左

側(cè)面入射，經(jīng)過前兩個棱鏡后分為平行的光束，再經(jīng)過后兩個棱鏡重新合成為一束，此時不同頻率的光前

后分開，完成脈沖展寬。已知相鄰兩棱鏡斜面間的距離d=100.0mm,脈沖激光中包含兩種頻率的光，它們

在棱鏡中的折射率分別為4=應(yīng)和的=孚。取$山37。=1cos37°=1,卡=1.890。

（1）為使兩種頻率的光都能從左側(cè)第一個棱鏡斜面射出，求夕的取值范圍；

（2）若。=37。，求兩種頻率的光通過整個展寬器的過程中，在空氣中的路程差A(yù)L（保留3位有效數(shù)字）。

【答案】（1）0<6><45°（或。<45。）；（2）AL=14.4mm

【解析】（1）由幾何關(guān)系可得，光線在第一個三梭鏡右側(cè)斜面上的入射角等于凡要使得兩種頻率的光都從

左側(cè)第一個棱鏡斜面射出，則。需要比兩種頻率光線的全反射角都小，設(shè)C是全反射的臨界角，根據(jù)折射

定律得

sinC=一①

折射率越大，臨界角越小，代入較大的折射率得

—5°②

所以頂角夕的范圍為

0＜。＜45°（或6＜45°）③

（2）脈沖激光從第一個三棱鏡右側(cè)斜面射出時發(fā)生折射，設(shè)折射角分別為%和%,由折射定律得

sin。

sin%

設(shè)兩束光在前兩個三棱鏡斜面之間的路程分別為A和L2,則

AL=2（Z1-Z2）?

聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得

AL=14.4mm@

58.（2021.廣東?高考真題）如圖所示，一種光學(xué)傳感器是通過接收器Q接收到光的強(qiáng)度變化而觸發(fā)工作的。

光從擋風(fēng)玻璃內(nèi)側(cè)P點(diǎn)射向外側(cè)M點(diǎn)再折射到空氣中，測得入射角為a,折射角為夕；光從尸點(diǎn)射向外側(cè)

N點(diǎn)，剛好發(fā)生全反射并被Q接收，求光從玻璃射向空氣時臨界角。的正弦值表達(dá)式。

【解析】根據(jù)光的折射定律有

sinB

n=----

sina

根據(jù)光的全反射規(guī)律有

sin6=一

n

聯(lián)立解得

.八sina

sint）=----

sinp

59.（2021?河北?高考真題）將兩塊半徑均為R、完全相同的透明半圓柱體A、8正對放置，圓心上下錯開一

定距離，如圖所示，用一束單色光沿半徑照射半圓柱體4設(shè)圓心處入射角為凡當(dāng)。=60。時，A右側(cè)恰好

無光線射出；當(dāng)。=30。時，有光線沿8的半徑射出，射出位置與A的圓心相比下移/?,不考慮多次反射，

求：

（1）半圓柱體對該單色光的折射率；

（2）兩個半圓柱體之間的距離4

【答案】（i）n=|V3；（ii）d=

【解析】（i）光從半圓柱體A射入，滿足從光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)，當(dāng)6=60。時發(fā)生全反射，有

14

sin。」

n

解得

n=—y/3

3

經(jīng)兩次折射從半圓柱體B的半徑出射，設(shè)折射角為小光路如圖

sin。?〃=sinr

有幾何關(guān)系有

h-Rsin3

tanr=-------------

d

聯(lián)立解得

d=y/2(h--)

2

60.(2021?湖南?高考真題)我國古代著作《墨經(jīng)》中記載了小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識到光沿直線傳播。身

高1.6m的人站在水平地面上，其正前方0.6m處的豎直木板墻上有一個圓柱形孔洞，直徑為1.0cm、深度為

1.4cm,孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此時，由于孔洞深度過大，使得成像不完整，如圖所示。

現(xiàn)在孔洞中填充厚度等于洞深的某種均勻透明介質(zhì)，不考慮光在透明介質(zhì)中的反射。

(i)若該人通過小孔能成完整的像，透明介質(zhì)的折射率最小為多少？

(ii)若讓掠射進(jìn)入孔洞的光能成功出射，透明介質(zhì)的折射率最小為多少？

【答案】(i)1.38；(ii)1.7

【解析】(i)根據(jù)題意作出如下光路圖

當(dāng)孔在人身高一半時有

hd

0.8—0.0054

tan^=22大一，sin。=0.8,

063

L

0.01_1

tana=

0.014-14

由折射定律有

sin。

n二?1.38

sina

(ii)若讓掠射進(jìn)入孔洞的光能成功出射，則可畫出如下光路圖

根據(jù)幾何關(guān)系有

sina

61.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，一折射率為壞的材料制作的三棱鏡，其橫截面為直角三角形A8C,

ZA=90°,ZB=30°o一束平行光平行于BC邊從AB邊射入棱鏡，不計(jì)光線在棱鏡內(nèi)的多次反射，求AC邊

與3c邊上有光出射區(qū)域的長度的比值。

【解析】設(shè)從。點(diǎn)入射的光線經(jīng)折射后恰好射向C點(diǎn)，光在邊上的入射角為伉，折射角為％,如圖所示

16

由折射定律有

sin仇=〃sin%

設(shè)從D8范圍入射的光折射后在BC邊上的入射角為夕，由幾何關(guān)系有

夕=30。+%

代入題中數(shù)據(jù)解得

2=30°,夕=60。

“sin夕>1

所以從范圍入射的光折射后在8C邊上發(fā)生全反射，反射光線垂直射到AC邊，AC邊上全部有光射出。

設(shè)從4)范圍入射的光折射后在AC邊上的入射角為夕，，如圖所示

由幾何關(guān)系可知

夕，=90°-2

根據(jù)已知條件可知

“sin夕'〉1

即從AD范圍入射的光折射后在AC邊上發(fā)生全反射，反射光線垂直射到邊上。設(shè)2c邊上有光線射出的

部分為CR,由幾何關(guān)系得

CF=ACsm30°

AC邊與8C邊有光射出區(qū)域的長度比值為

4c=2

CF

62.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)直角棱鏡的折射率〃=1.5,其橫截面如圖所示，圖中NC=90。，ZA=30°o截

面內(nèi)一細(xì)束與BC邊平行的光線，從棱鏡A8邊上的。點(diǎn)射入，經(jīng)折射后射到8c邊上。

(1)光線在8C邊上是否會發(fā)生全反射?說明理由；

(2)不考慮多次反射，求從AC邊射出的光線與最初的入射光線夾角的正弦值。

A,

上

-C

【答案】（1）光線在E點(diǎn)發(fā)生全反射；⑵向心之守

【解析】（1）如圖，設(shè)光線在。點(diǎn)的入射角為i,折射角為八折射光線射到2C邊上的E點(diǎn)。設(shè)光線在E

點(diǎn)的入射角為凡由幾何關(guān)系，有

0=90°-（30。5）>60°①

根據(jù)題給數(shù)據(jù)得

sin0>sin60°>—②

n

即e大于全反射臨界角，因此光線在E點(diǎn)發(fā)生全反射。

（2）設(shè)光線在AC邊上的尸點(diǎn)射出棱鏡，光線的入射角為兀折射角為匕由幾何關(guān)系、反射定律及折射定

律,有

i=30。③

i'=9O°-0④

sini="sinr⑤

nsini'=sinr'⑥

聯(lián)立①③④⑤⑥式并代入題給數(shù)據(jù)，得

sinr=---------------\L）

4

由幾何關(guān)系，，'即AC邊射出的光線與最初的入射光線的夾角。

63.（2019?海南?高考真題）一透明材料制成的圓柱體的上底面中央有一球形凹陷，凹面與圓柱體下底面可

透光，表面其余部分均涂有遮光材料，過圓柱體對稱軸線的截面如圖所示。。點(diǎn)是球形凹陷的球心，半徑

與OG夾角9=120?。平行光沿軸線方向向下入射時，從凹面邊緣A點(diǎn)入射的光線經(jīng)折射后，恰好由下

底面上C點(diǎn)射出。已知AB=FG=lcm,BC=>/3cm,OA=2cm。

18

o

（1）求此透明材料的折射率;

（2）撤去平行光，將一點(diǎn)光源置于球心O點(diǎn)處，求下底面上有光出射的圓形區(qū)域的半徑（不考慮側(cè)面的反射

光及多次反射的影響）。

【答案】⑴6；（2）0+-cm

2

【解析】（1）從A點(diǎn)入射的光線光路如圖；由幾何關(guān)系可知，入射角，=60，ABAC=60,折射角

r=60-30=30,則折射率

sinisin60=石

sinrsin30

⑵將一點(diǎn)光源置于球心。點(diǎn)處，設(shè)射到底邊尸點(diǎn)的光線恰好發(fā)生全反射，貝"inC」=W，則tanC=^

n<32

由幾何關(guān)系可知下底面上有光出射的圓形區(qū)域的半徑

——x/2+\/6

R=（OAcos60+BC）tanC=、27cm

64.（2019?江蘇?高考真題）如圖所示，某L形透明材料的折射率〃=2.現(xiàn)沿AB方向切去一角，與水平

方向的夾角為"為使水平方向的光線射到48面時不會射入空氣，求。的最大值.

【答案】6=60°

【解析】要使光線不會射入空氣，即發(fā)生全反射，設(shè)臨界角為C,即有:

sinC=—

n

由幾何關(guān)系得：

C+6>=90°

聯(lián)立解得：6=60°.

65.（2019?全國?高考真題）如圖，直角三角形ABC為一棱鏡的橫截面，ZA=90°,ZB=30°.一束光線平行

于底邊BC射到AB邊上并進(jìn)入棱鏡，然后垂直于AC邊射出.

（1）求棱鏡的折射率；

（2）保持A2邊上的入射點(diǎn)不變，逐漸減小入射角，直到邊上恰好有光線射出.求此時邊上入射角

的正弦.

【答案】（1）氐（2）sin"方正

【解析】（1）光路圖及相關(guān)量如圖所示.光束在邊上折射，由折射定律得

式中”是棱鏡的折射率.由幾何關(guān)系可知

a+￡=60。........②

由幾何關(guān)系和反射定律得

fi=/3,=ZB=3O°..............?

聯(lián)立①②③式，并代入，=60。得

n=6................④

（2）設(shè)改變后的入射角為乙折射角為優(yōu)，由折射定律得

依題意，光束在5C邊上的入射角為全反射的臨界角％,且

sin0=—..........（6）

Cn-

由幾何關(guān)系得

%=4+30。......（7）

20

由④⑤⑥⑦式得入射角的正弦為

66.(2019?全國?高考真題)如圖，一般帆船靜止在湖面上，帆船的豎直桅桿頂端高出水面3m.距水面4m

的湖底尸點(diǎn)發(fā)出的激光束，從水面出射后恰好照射到桅桿頂端，該出射光束與豎直方向的夾角為53°(取

4

sin53°=0.8).已知水的折射率為I

(1)求桅桿到P點(diǎn)的水平距離；

(2)船向左行駛一段距離后停止，調(diào)整由尸點(diǎn)發(fā)出的激光束方向，當(dāng)其與豎直方向夾角為45。時，從水面

射出后仍然照射在桅桿頂端，求船行駛的距離.

【答案】(1)7m(2)5.5m

【解析】①設(shè)光束從水面射出的點(diǎn)到桅桿的水平距離為百，到P點(diǎn)的水平距離為巧，桅桿高度為4,P點(diǎn)

處水深為外；激光束在水中與豎直方向的夾角為由幾何關(guān)系有

—=tan53

4

衛(wèi)=tan。

h2

由折射定律有：sin53="sin。

設(shè)桅桿到P點(diǎn)的水平距離為x

則X=Xx+X2

聯(lián)立方程并代入數(shù)據(jù)得：x=7m

②設(shè)激光束在水中與豎直方向的夾角為45時，從水面出射的方向與豎直方向夾角為，

由折射定律有：sinf=nsin45

設(shè)船向左行駛的距離為尤'，此時光束從水面射出的點(diǎn)到桅桿的水平距離為才，到P點(diǎn)的水平距離為"，貝小

占'+"—x'+x

—=tanz

%

f

^-=tan45

h2

聯(lián)立方程并代入數(shù)據(jù)得：尤'=（6后-3）m合5.5m

67.（2018?全國?高考真題）如圖，某同學(xué)在一張水平放置的白紙上畫了一個小標(biāo)記“?”（圖中。點(diǎn)），然后用

橫截面為等邊三角形48c的三棱鏡壓在這個標(biāo)記上，小標(biāo)記位于AC邊上.。位于邊上，過。點(diǎn)做AC

邊的垂線交AC于￡該同學(xué)在。點(diǎn)正上方向下順著直線。下的方向觀察.恰好可以看到小標(biāo)記的像；過。

點(diǎn)做4B邊的垂線交直線。下于E;DE=2cm,EF=1cm.求三棱鏡的折射率.（不考慮光線在三棱鏡中的反

射）

【答案】上

【解析】過。點(diǎn)作邊的發(fā)現(xiàn)MV',連接則/0￡加=。為。點(diǎn)發(fā)出的光纖在。點(diǎn)的入射角；設(shè)該光

線在。點(diǎn)的折射角為S，如圖所示.根據(jù)折射定律有

"sine=sin/?①

式中w為三棱鏡的折射率

由幾何關(guān)系可知

/￡=60。②

/EOF=30。③

在AO所中有

EF=OEsinZEOF④

由③④式和題給條件得

OE=2cm⑤

根據(jù)題給條件可知，OED為等腰三角形，有

&=30°⑥

22

由①②⑥式得

⑦

68.（2017?全國?高考真題）如圖，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體，O點(diǎn)為球心；下半部是半徑

為R、高為2R的圓柱體，圓柱體底面鍍有反射膜.有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入，該光線與

OC之間的距離為0.6R.已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行（不考慮多次反射），求該玻璃

的折射率.

根據(jù)光路的對稱性和光路可逆性，與入射光線相對于OC軸對稱的出射光線一定與入射光線平行.這樣，從

半球面射入的折射光線，將從圓柱體底面中心C點(diǎn)反射.

設(shè)光線在半球面的入射角為i,折射角為八由折射定律有

sinz=/jsinr①

由正弦定理有

sin—sin（一r）②

2R~R

由幾何關(guān)系，入射點(diǎn)的法線與。C的夾角為i.由題設(shè)條件和幾何關(guān)系有

sinz=—（3）

R

式中L是入射光線與OC的距離.由②③式和題給數(shù)據(jù)得

.6△

由①③④式和題給數(shù)據(jù)得

n=VZ05?1,43@

69.（2017?全國?高考真題）一直桶狀容器的高為21,底面是邊長為1的正方形；容器內(nèi)裝滿某種透明液體,

過容器中心軸DD、垂直于左右兩側(cè)面的剖面圖如圖所示.容器右側(cè)內(nèi)壁涂有反光材料，其他內(nèi)壁涂有吸光

材料.在剖面的左下角處有一點(diǎn)光源，已知由液體上表面的D點(diǎn)射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折

射率.

【答案】1.55

【解析】設(shè)從光源發(fā)出直射到。點(diǎn)的光線的入射角為以折射角為〃，在剖面內(nèi)做光源相對于反光壁的鏡

像對稱點(diǎn)C,連接CZ）,交反光壁于E點(diǎn)，由光源射向E點(diǎn)的光線，反射后沿即射向。點(diǎn)；光線在。點(diǎn)的

入射角為，2,折射角為廠2,如圖所示；

設(shè)液體的折射率為小由折射定律："sin"=sin4①

nsinz2=sin^②

依題意：什4=90。③

1

聯(lián)立①②③解得："2sin\+sin%?

24

..21

由幾何關(guān)系：而⑤

VZ+1

3/

..T3

sim

2=吃I——=5

聯(lián)立④⑤⑥解得：“=1.55

70.（2015?山東?高考真題）半徑為R、介質(zhì)折射率為〃的透明圓柱體，過其軸線00'的截面如圖所示。位于

截面所在平面內(nèi)的一細(xì)束光線，以角，。由。點(diǎn)入射，折射光線由上邊界的A點(diǎn)射出。當(dāng)光線在。點(diǎn)的入射

角減小至某一值時，折射光線在上邊界的B點(diǎn)恰好發(fā)生全反射。求A、8兩點(diǎn)間的距離。

生.1\n2-sin2

【答案】--------

2

VH-1sinz0

【解析】當(dāng)光線在O點(diǎn)的入射角為時，設(shè)折射角為石,如圖所示

sinL

——-二n

sin%

設(shè)AO間的距離為4，由幾何關(guān)系得

R

sin%=-

若光線在3點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，則在3點(diǎn)的入射角恰好等于臨界角C,設(shè)3。間的距離為4，則有

sinC--

n

由幾何關(guān)系得

d

sinC=2

y)R2+d；

則A、2兩點(diǎn)間的距離為

d=d?—d]

聯(lián)立解得

1