2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點題型歸納與變式演練：概率小題基礎(chǔ)教師版全國

專題10-3概率小題基礎(chǔ)

洌為熱點典型歸的

【題型一】古典概型

【典例分析】

已知數(shù)據(jù)1,2,3,4,x（O<x<5）的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個數(shù)中任取2個，則這2

個數(shù)字之積大于5的概率為

［答案］B

【詳解】分析：由題意首先求得實數(shù)x的值，然后列出全部可能的結(jié)果，從中選擇滿意題意

的結(jié)果結(jié)合古典概型計算公式即可求得最終結(jié)果.

詳解：由數(shù)據(jù)1,2,3,4,x（0〈x〈5）的平均數(shù)l+2+；+4+x=2+'e（2,3）,

（1，2）［1，|），（1，3）,（L4）,

可得2+1-x,所以廣從這5個數(shù)中任取2個，結(jié)果有：12,目,（2,3）,（2,4）,共10

淳‘即‘（3'4）

種，這2個數(shù)字之積大于5的結(jié)果有：（2,3）,（2,4）［*3：（24］（3,4）,共5種，所以所求

概率為。=得=1.本題選擇占選項.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

p（小事務(wù)/包含的可能結(jié)果數(shù)m

4劃一試驗的全部可能結(jié)果數(shù)一H

【變式演練】

1.已知函數(shù)〃尤其中。6{1,2,3,4},6e{1,2,3},則函數(shù)在R上

是增函數(shù)的概率為

A.-B.1C.-D.-

4234

【答案】D

【詳解】試題分析：原命題等價于1（耳=三-25-1卜+廿20在尺恒成立

=>A=4（o-I）:-4i>240=（a-l）：4/，符合上述不等式的有

93

（U）.（12）.（13）.（2J）.（2.2）.（X3）.（3.2）.（3.3）.（43）=所求概率P=—=三，故選D.

3x44

2..投擲兩顆質(zhì)地勻稱的骰子，則向上的點數(shù)之積為6的概率等于

【答案】B

【詳解】試題分析：基本領(lǐng)件36種，符合題意的為（L6）,（6,1）,（2,3）,（3,2）共四種，故概率為

9

3.籠子中有2只雞和2只兔，從中依次隨機取出一只動物，直到4只動物全部取出.假如將

兩只兔子中的某一只起名為“長耳朵”，則“長耳朵”恰好是第2只被取出的動物的概率為

（）

【答案】D

【分析】

依據(jù)古典概型即可求得“長耳朵”恰好是第2只被取出的動物的概率;

【詳解】把2只雞記為生,出，2只兔子分別記為“長耳朵”〃和短耳朵力，

則從籠中依次隨機取出一只動物，直到4只動物全部取出，共有如下24種不同的取法:

（6,。2，”,人）,（《，出，入，“），（4，”,出，力），（aihH,%）,（%,h,a2,H）

（。2嗎,”,"），（。2嗎,叫”），（。2出,。1向，（。2，力田,。1）

（H,%,4,。），（",〃2，九。1），（H,h,4，出），

（H,h,a2,%）

（h,%g，H）,（hg’41H）,（h,H,%,%）,

其中“長耳朵”〃恰好是第2只被取出的動物，則共有6種不同的取法.

則“長耳朵”恰好是第2只被取出的動物的概率尸=盤=:.故選：D

【題型二】幾何概型1：長度角度

【典例分析】

在矩形ABCD中，AB>BC,在8邊上隨機取一點P,若A3是八45尸最大邊的概率為I,

1口6「屈n739

3288

【答案】D

【分析】在矩形ABCD中，取邊。的中點為G,則在邊CD上存在關(guān)于點G對稱的兩點E,

F,使m=AF=M.設(shè)鉆=々，依據(jù)概率求出跖=￡,得出邊長關(guān)系即可得解.

【詳解】如圖，取邊8的中點為G,則在邊8上存在關(guān)于點G對稱的兩點E,F,使

BE=AF=AB.^AB=a,因為A3是AWP最大邊的概率為!，所以斯=二.過點E作

EH±AB,則OE=2,EC=—,則￡7/2=]一笠1=史。2,所以叵°,

8864648

故四=叵

AB8

D.EGF€

H

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)成事件的區(qū)域長度

一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度

［變式演練］

1.如圖所示，兩半徑相等的圓A,圓B相交，8為它們的公切線段，且兩塊陰影部分的面

積相等，在線段A8上任取一點則M在線段E尸上的概率為（）

【答案】C

【分析】

依據(jù)題意先求出矩形455的面積，從而求出/與/即可

【詳解】設(shè)圓的半徑為一?由題意可得SA88=2X；X4

所以A5=工萬戶.廠=工乃，EF=\r--7rr\x2=2r--7ir

22V4J2

EF2r--4

所以P=K=—=—T?故選：C.

AB171

一71丫

2

2.在區(qū)間［0,句上隨機地取一個數(shù)R,則事務(wù)“-iWtanxW百”發(fā)生的概率為

【答案】A

【詳解】由題意得，0<x<^..?由一IVtanrW百得，OVxvg或手WxW萬

71_3兀

則事務(wù)"-1<tan%<^/3”發(fā)生的概率為?_nU+兀一彳一工，故選A.

―7T-0~12

3.任取丘卜百,百］,直線y=Mx+2）與圓Y+y2=4相交于A,3兩點，貝1AB|226的概

率為

B-Tc-ImT

【答案】c

【詳解】解析：因弦長Afi=2必工?，故2仄不226，即解41，而圓心。（。，。）到直

0+2fc2\k\

線6一y+2左=0的距離d==方。，所以-E即-約4則

&+左2&+嚴

d=羊,D=20所以由幾何概型的計算公式可得其概率為尸='=：,應(yīng)選答案C.

【題型三】幾何概型2：面積

【典例分析】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)成事件A的區(qū)域面積

一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積

［變式演練］

1.古希臘噓典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出已知

線段的黃金分割點，詳細方法如下：取線段鉆=2,過點B作A3的垂線，并用圓規(guī)在垂線

上截取2C=gAB=l,連接AC；以C為圓心，3c為半徑畫弧，交AC于點。；以A為圓

心，以AD為半徑畫弧，交AB于點、E.E,則點E即為線段A3的黃金分割點.如圖所示，

在HAABC中，扇形區(qū)域ADE記為I,扇形區(qū)域CBD記為H,其余部分記為m.在整個圖

形中隨機取一點，此點取自I,II,III的概率分別記為P2,P3,（參考數(shù)據(jù)：君。2.236）

A.PX>P2B.片〈心

C.片=4+6D.P2=Px+P3

【答案】B

【分析】

由題意結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)考查所給的式子是否成馬上可.

［詳解］由題意可矢口：S扇形BCD>SABCD=5^AABC>S扇形ADE，

故且呂

故選項6正確，選項錯誤；故選8.

2.公元前5世紀下半葉開奧斯地方的希波克拉底解決了與化圓為方有關(guān)的化月牙形為方.如

圖，以0為圓心的大圓直徑為1,以AB為直徑的半圓面積等于A0與B0所夾四分之一大圓

的面積，由此可知，月牙形（圖中陰影部分）區(qū)域的面積可以與一個正方形的面積相等.現(xiàn)

在在兩個圓所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點來自于陰影所示月牙形區(qū)域的概率是（）

B

A.—B.—1―C.D.—

3萬2?+l7T+1兀

【答案】B

【分析】

先求出陰影部分面積，再用幾何概型概率公式可得.

【詳解】解：陰影部分面積等于倉1|)=1-

1

所以依據(jù)幾何概型得陰影所示月牙形區(qū)域的概率P=/一=」1.故選B.

1+2l+2p

84

3.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝飾生活或協(xié)作其他民俗活動的民間

藝術(shù)，蘊涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息.現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖，其中的4個小

圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點取自黑

色部分的概率為

(3-2&)兀兀(3-2四)兀支

A.--------D.—L.--------D.一

2648

【答案】A

【分析】

通過對稱性將圓陰影部分面積轉(zhuǎn)化為一個小圓的面積，然后利用小圓半徑表示出正方形對角

線長，從而求解出正方形面積和圓的面積，作比得到概率.

【詳解】由圖像對稱可知，原題中陰影部分面積與下圖中陰影部分面積一樣，則陰影部分面

設(shè)：OB=r,則OC=AB=r,OA=-/lr

AC=（>/2+l）r=>AD=（2V2+2）r

,正方形面積S=gx（28+2）rx（20+2）r=（6+4夜了

陰影部分面積5'=萬。32=萬/

S'1rl（3-2J2）萬

所求概率P=-=7——7尸二=--不二本題正確選項：A

S（6+40.22

【題型四】幾何概型3：體積

【典例分析】

如圖來自某中學(xué)數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)小組所探討的幾何圖形，大球內(nèi)有4個小球，每個小球的球

面過大球球心且與大球球面有且只有1個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方

形的4個頂點，小球相交部分（圖中陰影部分）記為I,大球內(nèi)、小球外的部分（圖中黑色部

分）記為H,若在大球中隨機取一點，此點取I,II的概率分別記為B，P2,則

（）

11

A.A>-B.p2<-C.R<%D.P。Pz

【答案】C

【分析】

依據(jù)題意推知小球半徑是大球的一半，建立大球體積小球體積和陰影部分的體積的關(guān)系，可

推知選項.

【詳解】設(shè)小球的半徑為“則大球的半徑為2r,體積為丫=耳4左（2廠）3=學(xué)3?”3,

4個小球的體積之和為4x*=+/,小球相交部分的體積匕〈與b3,

="+匕,

大球內(nèi)、小球外的部分的體積匕=丫-

331

163163

1乙17兀廠1171廠

cr*I\IT716311-7-M31%3

所以匕〉丁乃廠，從而。1=初〈毛一=--必=工>房—Pi<P,

3V32e2V必行2

33

所以選項/、B、2錯誤，選項C正確.故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)成事件峭空間體積

=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的空間體積

【變式演練】

VV

L在正四面體尸-ABC體積為V,現(xiàn)內(nèi)部取一點S,則可（匕的概率為（）

八37「8「外「13

A.---B.—C.D.—

2162721627

【答案】A

【詳解】作出P在底面AABC的射影為。，若匕_ABC=；/TBC，則高。5=；。尸，分別取

FA,尸民PC上的點ERF,并使PE=E4,PF=FC,PD=DB,如圖：

并連結(jié)EF,FD,DE，則平面EFD〃平面ABC.

當點S在正四面體尸-EFD內(nèi)部運動時，即此時S在三棱錐/_ABC的中垂面灰尸上，

滿意匕TBC＜?VP-ABC的點S位于在三棱錐Vp-ABC的中垂面DEF以下的棱臺內(nèi)，

同理,匕,0＞；/一皿：的點5在距離43。為；。尸的平面以上的棱錐內(nèi)，

所以滿意《〈匕,c＜￡的棱臺體積為11-：口-11-?？?呆丫；

3ZoJ\Z/yZ1O

VV37y

由幾何概型可得：滿意=＜匕一,＜三的概率為216_37。故選A

32---------=-----

V216

2.某四面體的三視圖如下圖所示，已知其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是全等的等腰直角三角形,

記命題P：從該四面體的四個面所在的平面中任取兩個，取到的兩個平面相互垂直的概率為

1;命題4：設(shè)該四面體的四個頂點恰好是一個正方體的頂點，從這個正方體中任取一點，取

自四面體內(nèi)的概率為2.則下列命題為真命題的是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.2A4B.pv（-，^）C.（-，^）vqD.Jp）A（-^）

【答案】C

【分析】

先分別利用古典概型和幾何概型的概率推斷命題0,q,再利用復(fù)合命題推斷.

【詳解】由題意知，該四面體是正方體的一部分，如圖所示.

從四個面中任取兩個共有6種取法，其中相互垂直的平面有三對，

31

則從該四面體的四個面所在的平面中任取兩個，取到的兩個平面相互垂直的概率為七二彳,

62

P是假命題；

設(shè)正方體的棱長為。，則正方體的體積為四面體的體積為

326

￡3

所以從這個正方體中任取一點，取自四面體內(nèi)的概率為4是真命題.

a36

得QMVq是真命題，P/\Q,夕V（F）,（「夕）八（「。）都是假命題.

故選：C.

3.如圖，三棱錐尸-ABC的四個面都為直角三角形，24,平面ABC,PA=0,4C=BC=1,

三棱錐尸-ABC的四個頂點都在球。的球面上，現(xiàn)在球。內(nèi)任取一點，則該點取自三棱錐

尸-ABC內(nèi)的概率為（

P

「V2D.旦

U?---

127r8兀

【答案】D

【分析】

求得三棱錐尸-ABC的外接球。的半徑，以幾何概型即可解決.

【詳解】三棱錐尸―ABC中，PA_L平面ABC,則PA±BC

直角三角形ABC中，AC=BC,則AC,3c

又P4_L3C,PAAC=A,則3cl,平面PAC,則BC_LPC

則線段P8中點為三棱錐尸-ABC的外接球的球心，

又由PA=V^,AC=BC=1,可得尸3=2,則三棱錐P-ABC的外接球的半徑為1

故在球。內(nèi)任取一點，該點取自三棱錐P-ABC內(nèi)的概率為

口-X-xlxlxV2

VP—ABC=32_________6+右、生

=7-故選:D

48〃

—71

3

【題型五】幾何概型4：坐標系型

【典例分析】

甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機到達,試求這

兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必需等待的概率（

【答案】B

【分析】

：設(shè)出甲乙到達的時刻，列出全部基本領(lǐng)件的約束條件同時列出至少有一艘在停靠泊位時必

需等待的約束條件，利用線性規(guī)劃作出平面區(qū)域，利用幾何概型概率公式求解.

【詳解】設(shè)甲到達的時間為x,乙到達的時間為y,貝”,ye[0,24],至少有一艘在停靠泊位

時必需等待，則|x-y|<4.如圖紅線區(qū)域內(nèi)的面積為M，正方形的面積為S所以兩艘船中

Son211

至少有一艘在?？坎次粫r必需等待的概率為4=1_R=U,故選B

《一一彳一盤

【提分秘籍】

基本規(guī)律

兩個事務(wù)之間相互獨立的，可以設(shè)兩個變量，構(gòu)造坐標系

【變式演練】

1.甲乙兩人各自由300米長的直線形跑道上跑步，則在任一時刻兩人在跑道上相距不超過

50米的概率是多少

【答案】B

0<x<300,,

【詳解】設(shè)甲乙兩人各自跑了和>米，則若滿意題意即歸-]<50,如圖

0<y<300

則4(0,50),“250,300),C(50,0),0(300,250),所以「」“?xmxcuji,故選民

—300x300~~36

2.國慶節(jié)前夕，甲、乙兩同學(xué)相約10月1日上午8:00到8:30之間在7路公交赤峰二中站

點乘車去紅山公園游玩，先到者若等了10分鐘還沒有等到后到者，則需發(fā)短信聯(lián)系.假設(shè)

兩人的動身時間是獨立的，在8:00到8:30之間到達7路公交赤峰二中站點是等可能的，則

兩人不須要發(fā)短信聯(lián)系就能見面的概率是

【答案】C

0<x<一

【詳解】試題分析：設(shè)兩人分別于工時和y時到達約見地點，貝ij{要使兩人不需

0<y<—

2

發(fā)短信即可見面，則必需-:Vx-ywg,又兩人到達地鐵站的全部時刻(x,y)的各種可能結(jié)

果可用圖中的正方形內(nèi)(包括邊界)中的點來表示，兩人不需發(fā)短信即可見面的全部時刻

(%y)的各種可能結(jié)果用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示，所以，所求概率

3.近期，新冠疫苗第三針加強針起先接種，接種后須要在留觀室留觀滿半小時后才能離開.

甲、乙兩人定于某日上午前往同一醫(yī)院接種，該醫(yī)院上午上班時間為7：30,起先接種時間

為8：00,截止接種時間為11：30.假設(shè)甲、乙在上午時段內(nèi)的任何時間到達醫(yī)院是等可能的,

因接種人數(shù)較少,接種時間忽視不計.則甲、乙兩人在留觀室相遇的概率是()

【答案】A

【分析】

84x411.5

由題意，設(shè)甲、乙兩人的接種時間分別為x,y,則且滿意題意即|x-y|?0.5,

8<y<11.5

然后畫出圖形，依據(jù)圖形可求得結(jié)果

【詳解】由題意，設(shè)甲、乙兩人的接種時間分別為x,y.

8<x<11.5..

則。/若滿意題意即龍一yVQ5,

8<7^11-5

如圖，則p1:3x3x2j3.故選:A

-3.5x3.5-49

【題型六】幾何概型5：線性規(guī)劃

【典例分析】

x+y-2>0,

在不等式組<x-y-24o,所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點到此三角形的三個頂點

.”2,

的距離均大于1的概率是（）

A.-B.4--C.1--D.1--

8284

［答案］c

【3?析】畫出可行域，如圖所示，陰影部分即為所求，利用幾何概型公式計算得到答案.

【詳解】如圖所示：畫出可行域，陰影部分即為所求區(qū)域.

4兀

gS-S,1〃.故選：C.

SS48

【提分秘籍】

基本規(guī)律

多限制條件，構(gòu)造線性規(guī)劃求解

【變式演練】

f0<x<2,,、,、

1.定義：min{,a,b}.=%[aQ,a<〉bb,在區(qū)域jo<y<3內(nèi)任取一點「(MN)，則點尸(兀丁)滿意

min{2x-y+l,x+y-l}=x+y-l的概率為

1

ABcD.

-I-1-i12

【答案】A

【分析】

利用幾何概型計算公式，求出試驗包含的全部事務(wù)對應(yīng)的集合。以及滿意條件的事務(wù)A對

應(yīng)的面積，即可求得.

f」04尤42]

【詳解】試驗包含的全部事務(wù)對應(yīng)的集合是。=恒,刈，滿意條件的事務(wù)

I[u_y_Dj

0<x<20<x<2

<(x,y)卜0<y<3>

A=<(x9y)\<0<,y<3如圖所示,

[2x-y+l>x+y-lx-2y+2>0

S(Q)=2x3=6,S(A)=^x(l+2)x2=3,所以

故選A.

23(A)6，

x+y-4>0

2.若x,y滿意不等式組尤-2y+4Z0,則一w二成立的概率為

X+15

x<4

人15「11八5「3

A.—B.—C.—D.一

561688

【答案】A

【分析】

首先依據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，之后再作出直線3==。，所以滿意

條件的區(qū)域為可行域內(nèi)落在直線上7=：的下方的區(qū)域，之后分別求出其圖形對應(yīng)的面積，

利用概率公式求得結(jié)果.

x+y-4>0

【詳解】作出不等式組r-2y+420表示的平面區(qū)域，如圖所示：

x<4

所以后“I成立的點心,y）只能在圖中AW的內(nèi)部（含邊界）,

所以由幾何概型得：一v］成立的概率為2,

X+15

任+>-1=0x-2y+l=0x+y-4=048

由，得A(4,0),由I，得…，由,得C(—

[%=4x-2y+4=033

2/八

,解得釁學(xué)由<y=5(X+1\解得E(4,2),

由<5

x+y—l=0x=4

，1,44161611810

所以S=4x4用=-x4---7x2o=——7

Wzc--3-=—3

1-0

7

所以一43成立的概率為2=15故選

A.

1656

X+15S.C3-

x-y>0

3.在區(qū)域。；％+y46內(nèi)任取一點尸則滿意％+y>4的概率為（

y>0

A.iB.9C「D.2

9933

【答案】B

【分析】

依據(jù)題意，作出可行域的約束的平面區(qū)域，再結(jié)合幾何概型求解即可.

【詳解】解：畫出區(qū)域。（圖中「,Q4B及內(nèi)部），

區(qū)域內(nèi)滿意尤+?>4的區(qū)域為圖中四邊形ABDC的內(nèi)部及邊界（不包括CD）,

且OC=4,04=6,CD//AB,

所以所以以%==-

S△加l6j9

故所求概率P=S四:形ABDC=：.

故選:B.

x-y=O

【題型七】幾何概型6：近似估值應(yīng)用

【典例分析】

關(guān)于圓周率萬，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過很多很有創(chuàng)意的求法，如聞名的浦豐試驗和查理斯試

驗.受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計乃的值：先請全校加名同學(xué)每人隨機

寫下一個都小于1的正實數(shù)對(尤,y)；再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(%,y)的

個數(shù)”；最終再依據(jù)統(tǒng)計數(shù)。估計萬的值，那么可以估計萬的值約為()

.4ac〃+2廠a+2m「4〃+2m

A.—B.-------C.---------D.----------

mmmm

【答案】D

fO<A：<1

【解析】由試驗結(jié)果知加對o?i之間的勻稱隨機數(shù)羽>，滿意八面積為1,再計

算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對a，y),滿意條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所

取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計萬的值.

【詳解】解：依據(jù)題意知，加名同學(xué)取用對都小于1的正實數(shù)對(％y),即

對應(yīng)區(qū)域為邊長為1的正方形，其面積為1,

+y2<1

若兩個正實數(shù)%y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有:，

0<x<l

0<y<1

c兀1w〃兀1E/口4a+2m_

其面積則右；m，斛侍故選：以

【變式演練】

1.南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之，利用“割圓術(shù)”得出圓周率%的值在3.1415926與3.1415927

之間，成為世界上第一把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人，他的這項宏大成就比外國數(shù)學(xué)家

得出這樣精確數(shù)值的時間，至少要早一千年，創(chuàng)建了當時世界上的最高水平.我們用概率模

型方法估算圓周率，向正方形及其內(nèi)切圓隨機投擲豆子，在正方形中的80顆豆子中，落在

圓內(nèi)的有64顆，則估算圓周率的值為

A.3.1B.3.14C.3.15D.3.2

【答案】D

【詳解】依據(jù)題意，由幾何概型得P=」s'=M64=Z4，其中正方形面.積S="2,萬?幺，所

58054

jr4

以￡=?，解得〃=3.2,故選D.

45

2.為了近似估計兀的值，用計算機分別產(chǎn)生90個在［-1,1］的勻稱隨機數(shù)xi,x21…,X90和

yi,y2,....y90,在90組數(shù)對IX..I川14；m中，經(jīng)統(tǒng)計有25組數(shù)對滿意

"，則以此估計的/直為

{yWtan/

(x+1)2+(y-I)2W4

【答案】竺

9

【詳解】試題分析：設(shè)剖)序卜大E；,則直線AB過原點，且陰影面積等于直線AB與圓弧

所圍成的弓形面積由圖知，*廣/許力一書?￡,又言代告4言，所以：=竺.

考點：幾何概型.

3.關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過多很有創(chuàng)意的求法，如聞名的蒲豐試驗，受其啟發(fā)，我

們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計%的值，試驗步驟如下：①先請高二年級〃名同學(xué)每人

在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x,y)(0<x<L0<y<l)；②若卡片上的了,>能與1構(gòu)成銳

角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計上交的卡片數(shù)，記為加；④依據(jù)統(tǒng)計數(shù)〃，加估計乃的

值.那么可以估計乃的值約為

mn-m?4(n-m］?4機

A.——B.-----C.--------D.—

nnnn

【答案】C

由題，先求得實數(shù)對(x,y)區(qū)域的面積，再求得了,y能與1構(gòu)成銳角三角形的面積，依據(jù)幾

何概型求得概率，代入m,n即可求得萬的估計值.

【詳解】由題意，實數(shù)對(x,y)(o<x<l,o<y<l),即面積為1

且卡片上的x,y能與1構(gòu)成銳角三角形，即滿意V+y2>i,且弓,所以面積為

［0<y<14

所以x,y能與1構(gòu)成銳角三角形的概率為：1-J

由題，n張卡片上交m張，即‘=1一彳=乃=也二處故選c

n4n

【題型八】幾何概型7：導(dǎo)數(shù)函數(shù)等綜合

【典例分析】

設(shè)函數(shù)/(口=依+-7(尤>1),若。是從0』,2三個數(shù)中任取一個，力是從1,2,3,4,5五個數(shù)中

x—\

任取一個，那么/(x)>b恒成立的概率是()

［答案］A

【解析】【分析】

先把/(x)的解析式變形，用分別常數(shù)法，然后用均值不等式求出最小值，本題是一個古典

概型，試驗發(fā)生包含的全部事務(wù)是15個，滿意條件的事務(wù)是9個，即可得出答案.

XY—1+11

【詳解】當awO時，/(x)=ax-\-------=ax-\-----------=ax-\---------Fl

x-1x-1x-1

=a(x-1)H-------+1+QN2,\/^+1+Q=

2

當且僅當X=，+1>1時，取“="，/(x)min=(V^+l),

于是〃x)>b恒成立就轉(zhuǎn)化為(6+if>/,成立；

當4=0時，/(%)=1+^->1,設(shè)事務(wù)/：“/(3)>>恒成立”，

X-1

則基本領(lǐng)件總數(shù)為15個，即

(0,1),(0,2)(0,3),(0,4),(0,5),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)；

事務(wù)2包含事務(wù):(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5)共9個

a3

所以P(A)=西=5.故選：A.

【變式演練】

1.已知/(x),g(x)都是定義在斤上的函數(shù)，

g(x)/O,f'(x)g(x)<f(x)g'(x),f(x)=axg(x),?=|~

在有窮數(shù)列

g⑴g(T)2

中，隨意取前4項相加，則前"項和不小于誣的概率是

121

A.-B.±C.-D.二

5525

【答案】C

【詳解】令/7。)=用="，則

g(x)

a+=9na=2或工，h'(x)=f5(一)一/(x)g'(x)<0="二a<0na

22g2W

5Q-R163IQ-51

2

■-sk=_^=l-rr>-^fc>6，因此概率為F=5，選C.

］，NOT-1v/

~2

2.已知實數(shù)機e[0,4],則函數(shù)/(彳)=相111》-2/+_1在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為

X

A.-B.；C.-D.—

4248

【答案】C

【詳解】分析：求出函數(shù)單調(diào)遞減時加的范圍，由幾何概型概率公式可得.

yyi11

詳解：由題意，在尤>0時，/(x)=—-4x--<0恒成立，即機<4/+—,

XX"X

X4x2+--4x2+—+—>334x2-—?—-3,當且僅當4/=二，即x=g時等號成立，即

x2x2xy2x2x2x2

4/+』的最小值為3,

X

3

m<3,從而0<mv3,???所求概率為尸=故選.

4

【題型九】幾何概型8：微積分型（理）

【典例分析】

如圖，設(shè)D是圖中邊長分別為1和2的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)y=L（x>0）圖象下

X

方的區(qū)域（陰影部分），從D內(nèi)隨機取一個點M,則點M取自E內(nèi)的概率為

>

【答案】C

【解析】【詳解】因為S陰=2xir(2T"=2-(2x-lnx)|；=2-[2-(l-lnf]=l+ln2

2

S陽1+ln2

所以點M取自E內(nèi)的概率為尸=渭=—

）矩2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用定積分求面積算概率，此專題可做了解

【變式演練】

1.如圖，在直角坐標系宜刀中，過坐標原點。作曲線>=靖的切線，切點為尸，過點尸分別

作x，y軸的垂線，垂足分別為A,B,向矩形Q4P3中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的

概率為

【答案】A

【分析】

先設(shè)出切點尸(x°,e加)，利用切線過原點求出切點P的坐標，再用積分求出陰影部分的面積,

最終用幾何概型求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)切點P(%,e&),y'=e”所以切線方程又因為過原點

所以0-*=￡'。(0-％)解得豌=1所以點P(l,e)因為y=e*與X軸在［0,1］圍成的面積是

［exdx=e-l

Jo

則陰影部分的面積為=］-1而矩形Q4PB的面積為e

故向矩形。4pB中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為萬一e-2故選A

e2e

2.某數(shù)學(xué)愛好者設(shè)計了一個商標,假如在該商標所在平面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標系

TT

W,則商標的邊緣輪廓A0C恰是函數(shù)丫=tan：尤的圖像的一部分，邊緣輪廓線AEC恰是一

■JT

段所對圓心角為萬的圓弧.若在圖中正方形ABCD內(nèi)隨機選取一點P,則點P落在商標區(qū)域

［答案］B

【詳解】陰影部分的面積為

j(tan^x+l)?iv-(4--^-22)=--(-Incos^-x+x)-4+-TT-2,正方

形的面積為4,所以點P落在商標區(qū)域內(nèi)的概率等于三，故選B.

—2WxW2x—y+220

3.不等式組表示的點集記為A,不等式組｛、1表示的點集記為B,在A中

0<y<4yNx

任取一點P,則尸$3的概率為

A9「7「7「9

A.—B.—C.—D.—

32321616

【答案】A

【詳解】試題分析：點集A是如圖所示的矩形ABCD內(nèi)部，其面積為4x4=16,點集B是曲

邊三角形oav內(nèi)部，其面積為

21］2o110

S=f(%+2-x2)^=(-x2+2x--x3)|=(2+4--)-(--2+-)=J,所求概率為

I23-13232

9

【題型十】圓錐曲線中的幾何概型

【典例分析】

22

己知在雙曲線三-馬=1中，參數(shù)都通過隨機程序在區(qū)間（0』）上隨機選取，其中"0,

a2b2

則雙曲線的離心率在（1,⑹之內(nèi)的概率為（)

ABcDT

-I-I-:4

【答案】D

0<a<t

【分析】0<k由幾何概型概率公式可得結(jié)果.

<5,1<1+[<5,0<與<4,

【詳解】

e=/回畸aa

0<a<t一一

所以c,且b<2“，畫出可行域，如圖,

0<b<t

利用幾何概型概率公式可得離心率在（1,正）之內(nèi)的概率為

21t

t------X/X一q

P=——J-----