山東省菏澤市2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGEPAGE172024——2025學(xué)年度其次學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A.1 B.2 C.1或2 D.-1【答案】B【解析】由得，且，．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】首先求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，再推斷象限即可.【詳解】設(shè)，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，所以對應(yīng)的點位于第一象限.故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，同時考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡潔題.3.設(shè)為隨機變量，且，若隨機變量的數(shù)學(xué)期望，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二項分布的概率公式，期望和方差運算公式干脆求解.【詳解】由，，則，解得，.故選：B.【點睛】本題考查了二項分布的概率公式，期望和方差運算公式，屬于簡潔題.4.將綻開后，常數(shù)項是（）A.30 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，然后寫出其綻開式的通項，令的次數(shù)為0，然后可解出答案.【詳解】綻開后的通項是令，得所以常數(shù)項是故選：D【點睛】本題考查的是二項式定理的應(yīng)用，精確的寫出綻開式的通項是解題的關(guān)鍵.5.設(shè)隨機變量ξ的分布列為P(ξ=i)=a,i=1,2,3,則a的值為A.1 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用離散型隨機變量分布列的性質(zhì)計算即可.【詳解】∵設(shè)隨機變量ξ的分布列為P（ξ＝i）＝a?（）i，i＝1，2，3，∴a＝1，解得a＝．故選C．【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列性質(zhì)的運用，屬于簡潔題．6.若，且，則實數(shù)的值為（）A.1或 B. C.1 D.1或3【答案】A【解析】【分析】令代入已知等式可解得值．【詳解】在中令得，解得或．故選：A．【點睛】本題考查二項式定理，考查用賦值法求二項綻開式中各項系數(shù)和．在求二項綻開式中系數(shù)和時對變量的賦值是解題關(guān)鍵．7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先對求導(dǎo)，然后依據(jù)列出關(guān)于的等式，即可解出.【詳解】設(shè)，則，，所以，即.故選：B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運算，難度不大，解題關(guān)鍵是明確是一個常數(shù).8.設(shè)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知當(dāng)時總有成立，可推斷函數(shù)在上為減函數(shù)，由已知是定義在上的奇函數(shù)，可證明在上為減函數(shù)，不等式等價于，分類探討即可得到答案．【詳解】令，則，，，在上為減函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，在上為減函數(shù)．又，（1），不等式，，或，，或，成立的的取值范圍是，故選：C．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的四個命題，其中正確命題的是（）A. B.對應(yīng)的點在第一象限C.的虛部為 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的定義和幾何意義以及共軛復(fù)數(shù)的概念依次推斷選項即可.【詳解】因為，對選項A，，故A正確.對選項B，對應(yīng)的點為，在第一象限，故B正確.對選項C，的虛部為，故C錯誤.對選項D，，故D錯誤.故選：AB【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的定義和幾何意義，同時考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，屬于簡潔題.10.下列推斷正確的是（）A.線性回來直線必經(jīng)過點，，…中心點B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認(rèn)為吃地溝油與患胃腸癌有關(guān)系時，我們就說假如某人吃地溝油，那么他有99%可能患胃腸癌C.若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于1D.將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，其方差也要加上或減去這個常數(shù)【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)線性回來直線的性質(zhì)可推斷A；由獨立性檢驗學(xué)問可推斷B；由相關(guān)系數(shù)的概念可推斷C；由方差的定義可推斷D；【詳解】對于線性回來方程，直線必經(jīng)過樣本中心點，故A正確；有的把握認(rèn)為吃地溝油與患胃腸癌有關(guān)系時，但并不代表若某一個人吃地溝油，他有的可能患胃腸癌，故B錯誤；由相關(guān)系數(shù)的概念知兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于1，故C正確；由方差的定義得將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變，故D錯誤；故選：AC.【點睛】本題主要考查回來直線方程的性質(zhì)，考查獨立性檢驗的應(yīng)用，方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11.設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中不正確的是（）A.B.C.對隨意正數(shù)，D.對隨意正數(shù)，【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)推斷．【詳解】由圖象知，所以，A錯；的密度曲線比較瘦長，因此，所以，B錯；由于，，因此對隨意正數(shù)，，C正確；D錯誤．故選：ABD．【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查均值和標(biāo)準(zhǔn)差對密度曲線的位置與形態(tài)的影響，屬于基礎(chǔ)題．12.對于函數(shù)，下列說法正確是（）A.在處取得極大值B.有兩個不同的零點C.D.若在恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】對選項A，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出極大值即可推斷A正確，對選項B，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值即可推斷B錯誤，對選項C，首先利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性即可得到，最終即可推斷C正確，對選項D，轉(zhuǎn)化為在在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出最大值即可推斷D正確.【詳解】對選項A，，.令，.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以處取得極大值，故A正確.對選項B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又因為，所以只有一個零點，故B錯誤.對選項C，因為在區(qū)間單調(diào)遞減，且，所以.，.設(shè)，.令，.所以時，，為減函數(shù).又因為，所以，.即，所以，故C正確.對選項D，在在恒成立.設(shè)，，令，.當(dāng)，，為增函數(shù)，當(dāng)，，為減函數(shù).所以，即，故D正確.故答案為：ACD【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值和最值，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求解．【詳解】由題意，解得．故答案為：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，屬于基礎(chǔ)題．14.若，則______．【答案】12【解析】【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)的計算公式，化簡求值即可.【詳解】由得，化簡可得，解得，所以.故答案為：12.【點睛】本題考查排列數(shù)，組合數(shù)的計算，難點在于需精確的計算化簡，屬基礎(chǔ)題.15.國家教化部為了發(fā)展貧困地區(qū)教化，在全國重點師范高校免費培育教化專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培育的教化專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有____________種不同的分派方法．【答案】90【解析】【分析】依據(jù)題意得到，先分組再全排列即：.【詳解】6個免費培育的教化專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，每個學(xué)校去2個人，先平均分組，再全排列即可：.故答案為90.【點睛】不同元素安排問題，往往是先分組再安排．在分組時，通常有三種類型：①不勻稱分組；②勻稱分組；③部分勻稱分組．留意各種分組類型中，不同分組方法的求解．16.若，當(dāng)時，的極大值為______；關(guān)于的方程在上有根，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】將代入，對函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性可得極值；由題意可得，，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的范圍.詳解】當(dāng)時，，，令，得或；令，得；即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以的極大值為.關(guān)于的方程在上有根，即在上成立，由于，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；而，，，所以的值域為，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：2，.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系，學(xué)生對一元三次方程的圖象的相識，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計算；（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于x的方程：．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘除運算即可求解.（2）利用配方以及復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】解：（1）；（2）由，配方得，即，所以．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，考查了運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.18.（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求；（2）設(shè)是函數(shù)圖象的一條切線，證明：與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積與切點無關(guān)．【答案】（1）2；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，依據(jù)干脆計算即可；（2）設(shè)切點為，對求導(dǎo)，然后依據(jù)點斜式寫出切線的方程，從而可以求出與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，進而求出三角形面積，證明題中結(jié)論.詳解】（1），則，所以；（2）設(shè)切點為，∵，，∴切線的斜率，∴切線的方程為：，令，得，令，得，所以與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，因此與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積與切點無關(guān)．【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運算，考查了切線方程的基本應(yīng)用，難度不大.19.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價（元）88.28.48.68.89銷量（件）908483807568（1）若回來直線方程，其中；試預(yù)料當(dāng)單價為10元時的銷量；（2）預(yù)料在今后的銷售中，銷量與單價仍舊聽從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是5元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入－成本）【答案】（1）50件；（2）8.75元．【解析】【分析】（1）依據(jù)數(shù)據(jù)求出樣本中心，將樣本中心及，代入回來直線，即可求得，即可得回來方程，代入，即可預(yù)料銷量.（2）依據(jù)題意，列出利潤的表達(dá)式，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得利潤最大值及單價.【詳解】解：（1）由于，．所以，得，從而回來直線方程為．當(dāng)時，預(yù)料銷量為50件；（2）設(shè)工廠獲得的利潤為元，依題意得．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值．故當(dāng)單價定為8.75元時，工廠可獲得最大利潤．【點睛】本題考查回來方程的求法，二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20.在的綻開式中，第3項的二項式系數(shù)為28．（1）求及第5項的系數(shù)；（2）求綻開式中的有理項．【答案】（1），第5項系數(shù)為1120；（2）有理項共三項，分別為，，．【解析】【分析】（1）依據(jù)第3項的二項式系數(shù)為28,可得的值.由二項式定理綻開通項，即可求得第5項的系數(shù)；（2）由二項式定理綻開通項，即可求得有理項.【詳解】（1）第3項的二項式系數(shù)為，得，解得，第5項的系數(shù)是．（2），當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；所以有理項共三項，分別為，，．【點睛】本題考查了二項式定理綻開的應(yīng)用，考查二次項系數(shù)、系數(shù)、有理項的求法，屬于基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù)，其中為非零常數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處的切線斜率為，求的極值．【答案】（1）在遞增，在遞減；（2）極大值為，無微小值．【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，求得的值，依據(jù)求極值的步驟依次求解即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴在遞增，在遞減；（2），，得，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴在遞增，在遞減；的極大值為，無微小值．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，屬于中檔題.22.為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行嘉獎，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求①顧客所獲的嘉獎額為60元的概率②顧客所獲的嘉獎額的分布列及數(shù)學(xué)期望;（2）商場對嘉獎總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的嘉獎總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.【答案】(1),參考解析;(2)參考解析【解析】試題分析：(1)由袋中所裝4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元,又規(guī)定每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎額..由獲得60元的事務(wù)數(shù)除以總的事務(wù)數(shù)即可.顧客獲得嘉獎有兩種狀況20元,60元.分別計算出他們的概率,再利用數(shù)學(xué)期望的公式即可得結(jié)論.(2)依據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均嘉獎為60元.依據(jù)題意有兩種獲嘉獎的狀況,確定符合題意的方案,分別僅有一種.再分別計算出兩種方案相應(yīng)的概