3.4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系（第1課時(shí)空間中的角）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第1課時(shí)空間中的角第三章空間向量與立體幾何北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解兩異面直線所成的角與它們的方向向量之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求兩異面直線所成的角.2.理解直線與平面所成的角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求直線與平面所成的角.3.理解二面角的平面角與兩個(gè)平面法向量夾角之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求二面角的平面角的大小.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

兩條直線所成的角當(dāng)兩條直線a與b相交時(shí),我們把兩條直線交角中范圍在

內(nèi)的角叫作兩條直線所成的角.當(dāng)兩條直線平行時(shí),規(guī)定它們所成的角為0.

兩直線重合時(shí),它們所成角也為0當(dāng)兩條直線a與b是異面直線時(shí),在空間任取一點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)',b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(如圖).若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b所成的角θ∈

,且θ與兩個(gè)方向向量所成的角<a,b>相等或互補(bǔ),也就是說(shuō):當(dāng)0≤<a,b>≤時(shí),θ=<a,b>;如圖:當(dāng)

<<a,b>≤π時(shí),θ=π-<a,b>,故cosθ=|cos<a,b>|.如圖:名師點(diǎn)睛不要將兩直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來(lái),因?yàn)閮芍本€所成角的范圍是

,而兩個(gè)向量夾角的范圍是[0,π],事實(shí)上,兩直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系.思考辨析怎樣用向量法求兩條異面直線所成的角的余弦值?提示

設(shè)兩條異面直線a與b的夾角為θ,直線a,b的方向向量分別為a,b,且其夾角為φ,則有cos

θ=|cos

φ|=.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.(

)(2)兩條異面直線所成的角一定不能為0°.(

)×√2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分別是BD和AD的中點(diǎn),則B1M與D1N所成角的余弦值為(

)A解析

以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,M,N分別是正方體ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中點(diǎn).求:(1)MN和CD'所成角的大小;(2)MN和AD所成角的大小.知識(shí)點(diǎn)2

直線與平面所成的角設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量,n是平面α的一個(gè)法向量,則直線l與平面α所成的角θ∈指直線和它在平面內(nèi)的投影所成角

圖1圖2故sinθ=|cos<l,n>|.名師點(diǎn)睛1.直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí),規(guī)定直線與這個(gè)平面所成角為0.2.直線與平面垂直,規(guī)定直線與這個(gè)平面所成角為

.3.若<l,n>是一個(gè)銳角,則θ=-<l,n>;若<l,n>是一個(gè)鈍角,則θ=<l,n>-.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角.(

)(2)直線與平面所成的角可以是鈍角.(

)××2.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,則l與α所成的角為(

)

A.30° B.60° C.120° D.150°A解析

設(shè)l與α所成的角為θ,則θ∈[0°,90°],則sin

θ=|cos<m,n>|=,∴θ=30°.3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OA=OC=3,OB=2.求直線OB與平面ABC所成角的正弦值.解

∵OA,OB,OC兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵OA=OC=3,OB=2,知識(shí)點(diǎn)3

兩個(gè)平面所成的角一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角<n1,n2>相等(如圖(1))或互補(bǔ)(如圖(2)).圖(2)圖(1)名師點(diǎn)睛1.二面角的平面角的取值范圍是[0,π].2.利用向量求二面角的平面角有兩種方法.(1)幾何法:若AB,CD分別在二面角α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi),且是與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量

的夾角(或其補(bǔ)角)(如圖1).圖1圖2(2)向量法:設(shè)n1,n2是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小(如圖2).思考辨析1.兩個(gè)平面的夾角與二面角的平面角有何區(qū)別?2.[人教B版教材習(xí)題]如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個(gè)法向量,設(shè)α1與α2所成角的大小為θ,寫出cosθ與cos<n1,n2>之間的關(guān)系.提示

平面α與平面β的夾角:平面α與平面β相交,形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.區(qū)別:二面角的取值范圍是[0,π],而兩個(gè)平面的夾角的取值范圍是[0,].提示

θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,故cos

θ=cos<n1,n2>或cos

θ=-cos<n1,n2>.故cos

θ=|cos<n1,n2>|.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)二面角的平面角的大小就是該二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小.(

)(2)若二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角為120°,則該二面角的平面角的大小等于60°或120°.(

)×√2.[人教A版教材習(xí)題]如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,求二面角A-A1B-C1的平面角的余弦值.解

∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2,取BC的中點(diǎn)O,則AO⊥BC,∴AO⊥平面BB1C1C.取B1C1的中點(diǎn)H,連接OH,∴AO,BO,OH兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.(1)求證:A1C⊥平面AEF;(2)當(dāng)AB=4,AD=3,AA1=5時(shí),求平面AEF與平面D1B1BD的夾角的余弦值.(1)證明

(方法一)∵CB⊥平面A1ABB1,∴A1C在平面A1ABB1上的投影為A1B.由A1B⊥AE,AE?平面A1ABB1,得A1C⊥AE.同理可證A1C⊥AF.∵AF∩AE=A,∴A1C⊥平面AEF.∴A1C⊥AE.同理A1C⊥AF.∵AE∩AF=A,∴A1C⊥平面AEF.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一利用向量方法求兩異面直線所成的角【例1】

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值.規(guī)律方法

1.若異面直線l1與l2所成角為θ,且它們的方向向量分別為向量a,b,利用向量計(jì)算θ的步驟如下:2.求兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn).(1)余弦值非負(fù):兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值,而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角.(2)范圍:異面直線所成角的范圍是

,故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí),應(yīng)取其絕對(duì)值.

解

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,探究點(diǎn)二利用向量方法求直線與平面所成的角【例2】

如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.規(guī)律方法

若直線l與平面α的夾角為θ,利用法向量計(jì)算θ的步驟如下:變式訓(xùn)練2如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(

)D探究點(diǎn)三利用向量方法求兩個(gè)平面所成的角【例3】

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).(1)求證:AE⊥PD;(2)若PA=AB=2,求二面角E-AF-C的平面角的余弦值.(1)證明

由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,可得△ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA?平面PAD,AD?平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD,所以AE⊥PD.取z1=-1,則m=(0,2,-1).連接BD,因?yàn)锽D⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC.規(guī)律方法

用幾何法求二面角,往往需要作出其平面角,這是幾何中的難點(diǎn)之一;而用向量法求解二面角的平面角,只需求出平面的法向量,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可.變式訓(xùn)練3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求證:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的平面角的余弦值;(3)在線段BC1上是否存在點(diǎn)D(異于B,C1兩點(diǎn)),使得AD⊥A1B,并求

的值.(1)證明

∵四邊形AA1C1C為正方形,∴AA1⊥AC.∵平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,∴AA1⊥平面ABC.(2)解

由(1)知A1A⊥AC,AA1⊥AB,由題意知,AB=3,BC=5,AC=4,則AB⊥AC.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z).學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]若若兩異面直線l1與l2的一個(gè)方向向量分別是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),則直線l1與l2的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°B解析

由題意,兩異面直線l1與l2的一個(gè)方向向量分別是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),123456789101112131415162.[探究點(diǎn)一]將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,則異面直線AB與CD所成角的余弦值為(

)A解析

取BD中點(diǎn)為O,連接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD,又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面CBD且交線為BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面CBD,OC?平面CBD,則AO⊥CO,設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為2,12345678910111213141516123456789101112131415163.[探究點(diǎn)二]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為(

)A.30° B.45°C.60° D.90°A123456789101112131415164.[探究點(diǎn)三]已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角為(

)A.30° B.45° C.60° D.90°B123456789101112131415165.[探究點(diǎn)二、三](多選題)

如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1,CF=,則(

)A.BD⊥ECB.BF∥平面ADEC.二面角E-BD-F的平面角的余弦值為D.直線CE與平面BDE所成角的正弦值為BC12345678910111213141516解析

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),12345678910111213141516123456789101112131415166.[探究點(diǎn)一]在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為

.

解析

如圖,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).123456789101112131415167.[探究點(diǎn)三]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的平面角的余弦值為

.

123456789101112131415168.[探究點(diǎn)一、三·2024安徽蕪湖鏡湖期末]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱BC,DD1的中點(diǎn).(1)求直線B1D與EF所成角的余弦值;(2)求平面A1EF與平面A1B1C1D1夾角的余弦值.12345678910111213141516解

(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線AB,AD,AA1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)AB=2,則E(2,1,0),F(0,2,1),B1(2,0,2),D(0,2,0),所以1234567891011121314151612345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.如圖,在三棱錐C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=CB,D,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則異面直線DF與OE所成角的余弦值為(

)B12345678910111213141516C123456789101112131415161234567891011121314151611.(多選題)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,則(

)A.點(diǎn)C1到平面A1B1C的距離為1BD123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A解析

如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415解析

在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,又因?yàn)檎叫蜝B1C1C,所以BC1⊥B1C,且A1M⊥平面BB1C1C,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線MB,MB1,MA1為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.16123456789101112131415161234567891011121314151614.

《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年,書中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,四面體PABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,則二面角A-PC-B的平面角的余弦值為

.

解析

依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),所以12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151615.

如圖1,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別為邊AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足DE∥BC,記

=λ.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,連接MB,MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).圖1圖2(1)當(dāng)EN∥平面MBD時(shí),求λ的值;(2)試探究:隨著λ值的變化,二面角B-MD-E的平面角的大小是否改變?如果改變,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不改變,請(qǐng)求出二面角B-MD-E的平面角的正弦值大小.12345678910111213141516解

(1)取MB的中點(diǎn)為P,連接DP,PN,因?yàn)镸N=CN,MP=BP,所以NP