+北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年北京四中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共20分，每小題2分）1．下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．，， C．5，6，7 D．5，12，133．如圖，在平行四邊形ABCD中，由尺規(guī)作圖的痕跡，下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．∠DAE＝∠BAE B．AD＝DE C．DE＝BE D．BC＝DE4．某運動品牌專營店店主對上一周新進的某款T恤衫銷售情況統(tǒng)計如下：尺碼39404142434445平均每天銷售數(shù)量/件1023303528218該店主決定本周進貨時，增加一些42碼的T恤衫，影響該店主決策的統(tǒng)計量是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．眾數(shù)5．已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝（m﹣2）x+3，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜06．如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長為（）A．1 B．2 C．1.5 D．2.57．如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x和反比例函數(shù)的圖象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）兩點，若y1＜y2，則x的取值范圍是（）A．x＜﹣1，或x＞1 B．x＜﹣1，或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0，或x＞1 D．﹣1＜x＜0，或0＜x＜18．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1，且k≠0 D．k≤1，且k≠09．保障國家糧食安全是一個永恒的課題，任何時候這根弦都不能松．某農(nóng)科實驗基地，大力開展種子實驗，讓農(nóng)民能得到高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子．該農(nóng)科實驗基地兩年前有81種農(nóng)作物種子，經(jīng)過兩年不斷的努力培育新品種，現(xiàn)在有100種農(nóng)作物種子．若這兩年培育新品種數(shù)量的平均年增長率為x，則根據(jù)題意列出的方程是（）A．100（1﹣2x）＝81 B．100（1+2x）＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．81（1+x）2＝10010．把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線會明顯發(fā)熱，存在安全隱患．數(shù)學(xué)興趣小組對這種現(xiàn)象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象（如圖1），插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象（如圖2）．下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當P＝440W時，I＝2A B．Q隨I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多二、填空題（共16分，每小題2分）11．一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）中兩個變量x，y的部分對應(yīng)值如表所示：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…97531…那么關(guān)于x的不等式kx+b≥7的解集是．12．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（a，2）和B（b，﹣2），則a+b的值為．13．某招聘考試分筆試和面試兩部分，按筆試成績占80%，面試成績占20%計算應(yīng)聘者的總成績．小明筆試成績?yōu)?0分，面試成績?yōu)?5分，那么小明的總成績?yōu)榉郑?4．我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為4的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，則點C的對應(yīng)點C′的坐標為．15．如圖，正方形ABCD的中心在原點O上，且正方形ABCD的四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)和的圖象上的四個分支上，則n＝．16．已知實數(shù)x，y滿足x2+3x+y﹣3＝0．則x+y的最大值為．17．如圖，四邊形ABHK是邊長為12的正方形，點C、D在邊AB上，且AC＝DB＝2，點P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分別為MN、QR的中點，連接EF，設(shè)EF的中點為G，則當點P從點C運動到點D時，點G移動的路徑長等于．18．甲乙兩人玩一個游戲：將n（n為奇數(shù)）個數(shù)排成一列，記作[a1，a2，?，an]，甲，乙輪流從這一列數(shù)中刪除兩個相鄰的數(shù)，剩余的數(shù)成為一列新的數(shù)．甲先開始操作，直至這列數(shù)被刪到只剩下一個數(shù)．每次操作時，甲的原則是使最后剩下的數(shù)最大化，乙的原則是使最后剩下的數(shù)最小化．（1）對于[1，2，3，4，5]，被刪除一次后可以成為[3，4，5]或[1，4，5]以及一些其他情況，寫出未列舉的其他情況；（寫出一種即可）（2）對于[2，9，1，7，3，4，5，8，6]，最后剩下的數(shù)為．三、解答題（共64分，第19、20題每題6分，第21、22、24、26、27題每題8分，第23題7分，第25題5分）19．解方程：（1）x2﹣6x+1＝0；（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．20．某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)定期進行課外擴展討論，并發(fā)現(xiàn)了一些有趣的結(jié)論．其中他們發(fā)現(xiàn)，任意一個△ABC（三邊均不相等），以一邊的端點B為頂點在三角形外作角∠CBF，使其等于這條邊另一端點C為頂點的三角形的內(nèi)角∠ACB，射線BF與這條邊上的中線AD的延長線相交于一點E，則以A、B、C、E四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．基本思路就是利用三角形全等、平行四邊形以及平行線的判定加以解決．請根據(jù)這個思路完成作圖和填空．如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接AD．（1）尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF＝∠ACB，且射線BF交AD的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作的圖中，連接CE，求證：四邊形ABEC是平行四邊形．（請補全下面的證明過程）證明：∵點D為BC邊上的中點，∴DC＝DB．在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌（ASA），∴AC＝．∵∠CBF＝∠ACB，∴．∴四邊形ABEC是平行四邊形．興趣小組進一步研究發(fā)現(xiàn)，作了上述的相等角之后，當三角形有兩邊相等時，必然會形成一個特殊的四邊形，請根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)完成以下命題：以等腰三角形底邊的一個端點為頂點向外作角，使其等于底角，且與底邊上中線的延長線相交于一點，則以該點和三角形的三個頂點為頂點的特殊四邊形是．21．如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，點D，E分別是BC，AC的中點．連接DE并延長至點F，使得EF＝DE．連接AF，CF，AD．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）連接BF，若∠ACB＝60°，AF＝2，求BF的長．22．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)的圖象交點為C（a，4）．（1）求a的值與一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；（2）在y軸上求一點P，使△POC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．23．在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，3）和B（﹣1，﹣1），與過點（﹣2，0）且平行于y軸的直線交于點C．（1）求該函數(shù)的表達式及點C的坐標；（2）當x＜﹣2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝nx（n≠0）的值大于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且小于﹣2，直接寫出n的取值范圍．24．如圖，利用一面墻（墻EF最長可利用28米），圍成一個矩形花園ABCD．與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2米寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻）．用砌60米長的墻的材料．（1）當矩形花園的面積為300平方米時，求AB的長；（2）能否圍成500平方米的矩形花園，為什么？（計算說明）25．商品成本影響售價，為避免因成本波動導(dǎo)致售價劇烈波動，需要控制售價的漲跌幅．下面給出了商品售價和成本（單位：元）的相關(guān)公式和部分信息：a．計算商品售價和成本漲跌幅的公式分別為：售價漲跌幅＝×100%，成本漲跌幅＝×100%；b．規(guī)定當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半；c．甲、乙兩種商品成本與售價信息如下：甲商品的成本與售價信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售價40m45np根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）甲商品這五周成本的平均數(shù)為，中位數(shù)為；（2）表中m的值為，從第三周到第五周，甲商品第周的售價最高；（3）記乙商品這40周售價的方差為，若將規(guī)定“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”更改為“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的四分之一”，重新計算每周售價，記這40周新售價的方差為，則（填“＞”，“＝”，或“＜”）．26．如圖，某校研學(xué)小組在博物館中看到了一種“公道杯”，在這種杯子中加水超過一定量時，水會自動排盡，體現(xiàn)了“滿招損，謙受益”的寓意．該小組模仿其原理，自制了一個圓柱形簡易“公道杯”，確保向杯中勻速注水和杯中水自動向外排出時，杯中的水位高度的變化都是勻速的．向此簡易“公道杯”中勻速注入清水，一段時間后停止，再等水完全排盡．在這個過程中，對不同時間的水位高度進行了記錄，部分數(shù)值如下：時間（t/s）12345678水位高度（h/cm）2465.755.53根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）描出以表中各組已知對應(yīng)值為坐標的點；（2）當t＝s時，杯中水位最高，是cm；（3）在自動向外排水開始前，杯中水位上升的速度為cm/s；（4）求停止注水時t的值；（5）從開始注水，到杯中水完全排盡，共用時s．27．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BCA＝α，點D為線段BC的延長線上一點，將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段ED．（1）如圖1，當α＝30°，且點B與點D關(guān)于點C對稱時，求證：EC⊥BD；（2）如圖2，若點C關(guān)于點D的對稱點為點F，連結(jié)EF，依題意補全圖形，求證：AE⊥EF．四、附加題（共10分）28．有如下的一列等式：T0＝a0，T1＝a1x﹣a0，T2＝a2x2﹣a1x+a0，T3＝a3x3﹣a2x2+a1x﹣a0，…，若將T0+T1+T2+T3+?+Tn記為An，其中n為正整數(shù)，Tn的各項系數(shù)均不為0．那么以下說法正確的是．①若x＝1，則A4＝a4+a2+a0；②若T4＝（2x﹣1）4，那么T4的所有系數(shù)之和為1；③若A2n﹣A2n﹣1＝（2x﹣1）2n，那么當n＝5時，a10+a8+a6+a4+a2+a0＝．29．對于平面直角坐標系xOy中的點P（x1，y1）和Q（x2，y2），我們稱d0（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為P和Q兩點的“亞距離”．進一步，對于平面中的點R和圖形Φ，Ψ，我們給出如下定義：點R到圖形Φ上各點的最短亞距離為d，點R到圖形Ψ上各點的最短亞距離為d′，若d＝d′，則稱點R為圖形Φ，Ψ的一個“亞等距點”．如圖，已知A（﹣4，4），B（﹣8，0），C（﹣4，