專題1 利用遞推公式求通項公式2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計 (人教B版2019)

專題1利用遞推公式求通項公式2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計(人教B版2019)主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為“專題1利用遞推公式求通項公式”，選自2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊（人教B版2019）相關(guān)章節(jié)。內(nèi)容涵蓋了遞推公式的定義、性質(zhì)以及如何利用遞推公式求解數(shù)列的通項公式。具體包括：線性遞推公式、非線性遞推公式及其解法，并結(jié)合實際例題進(jìn)行分析。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用遞推公式求解數(shù)列的通項公式，使學(xué)生對數(shù)列的認(rèn)識上升到一個新的高度。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以將已有的數(shù)列知識與新學(xué)到的遞推公式求解方法相結(jié)合，更好地解決實際問題。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下能力：一是邏輯推理能力，通過分析遞推公式及其求解過程，讓學(xué)生理解數(shù)列通項公式的邏輯推導(dǎo)，提高其邏輯思維水平；二是數(shù)學(xué)建模能力，使學(xué)生能夠運用遞推公式解決實際數(shù)列問題，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；三是問題解決能力，培養(yǎng)學(xué)生面對復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時，能夠運用所學(xué)知識進(jìn)行有效分析、求解的策略和方法。這三個方面緊密聯(lián)系新教程要求，有助于提升學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已掌握了數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，了解數(shù)列求和的基本方法，這些知識為學(xué)習(xí)遞推公式求通項公式奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，表現(xiàn)出一定的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模興趣，具備一定的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生喜歡通過具體實例理解抽象概念，而另一部分學(xué)生則更善于從理論推導(dǎo)入手。

3.學(xué)生在遞推公式求通項公式的學(xué)習(xí)中可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：非線性遞推公式的求解方法較為復(fù)雜，學(xué)生可能難以理解；在將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時，學(xué)生可能難以找到合適的遞推關(guān)系；此外，學(xué)生在邏輯推理過程中可能存在思維跳躍，難以形成嚴(yán)密的推導(dǎo)過程。針對這些困難和挑戰(zhàn)，教學(xué)過程中應(yīng)給予針對性指導(dǎo)和支持。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都備有人教B版2019高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊教材，以便學(xué)生能夠跟隨課堂進(jìn)度查閱相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與遞推公式相關(guān)的數(shù)列圖表、動畫視頻等多媒體資源，幫助學(xué)生直觀理解遞推關(guān)系及其求解過程。

3.實驗器材：本節(jié)課不涉及實驗，無需準(zhǔn)備實驗器材。

4.教室布置：將教室分為講解區(qū)、討論區(qū)兩部分，討論區(qū)用于學(xué)生分組討論和實踐操作，便于開展合作學(xué)習(xí)。同時，確保教室內(nèi)的多媒體設(shè)備正常運行，以便展示輔助教學(xué)材料。教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課

上課之初，我會首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。然后我會提出問題：“我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，那么對于任意的數(shù)列，我們是否也能找到它的通項公式呢？今天我們將學(xué)習(xí)一種新的方法——利用遞推公式求解數(shù)列的通項公式?！?/p>

2.探究遞推公式的概念

（1）定義遞推公式

我會給出遞推公式的定義：“遞推公式是指一個數(shù)列的某一項（或幾項）與它前面的項之間存在一定的關(guān)系，通過這個關(guān)系可以逐步推出數(shù)列的其他項?！比缓笪視垖W(xué)生思考并舉例說明遞推公式的應(yīng)用。

（2）探討遞推公式的性質(zhì)

接著，我會引導(dǎo)學(xué)生分析遞推公式的性質(zhì)，如線性遞推公式和非線性遞推公式。在此過程中，我會讓學(xué)生思考以下問題：

-線性遞推公式和非線性遞推公式有何區(qū)別？

-如何判斷一個遞推公式是否具有唯一解？

3.實例分析

我會給出幾個具體的數(shù)列實例，讓學(xué)生嘗試?yán)眠f推公式求解通項公式。例如：

-已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=2an+1，求通項公式。

-已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an，求通項公式。

在這個過程中，我會引導(dǎo)學(xué)生按照以下步驟進(jìn)行求解：

-根據(jù)已知條件，列出遞推公式；

-分析遞推公式的性質(zhì)，判斷是否存在唯一解；

-利用遞推公式，逐步求解數(shù)列的通項公式。

4.方法總結(jié)

在學(xué)生掌握了遞推公式的求解方法后，我會引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求解通項公式的一般步驟：

-確定遞推公式；

-分析遞推公式的性質(zhì)；

-利用遞推公式求解通項公式。

5.應(yīng)用與實踐

為了鞏固所學(xué)知識，我會給出以下練習(xí)題，讓學(xué)生獨立完成：

-已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=3an-2，求通項公式。

-已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an，求通項公式。

在學(xué)生完成練習(xí)題的過程中，我會關(guān)注學(xué)生的解題思路和方法，及時給予指導(dǎo)和反饋。

6.課堂小結(jié)

在課程接近尾聲時，我會對本節(jié)課的知識點進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)遞推公式求解數(shù)列通項公式的重要性。同時，我會鼓勵學(xué)生在課后繼續(xù)深入研究遞推公式，探索更多有趣的數(shù)列問題。

7.布置作業(yè)

為了讓學(xué)生更好地鞏固所學(xué)知識，我會布置以下作業(yè)：

-復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)的遞推公式及其求解方法；

-完成本節(jié)課的練習(xí)題，并嘗試用不同的方法求解；

-預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容，提前了解數(shù)列的其他求解方法。拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-數(shù)列的遞推關(guān)系及其應(yīng)用，選自《數(shù)學(xué)通訊》；

-利用遞推公式求解斐波那契數(shù)列通項公式，選自《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》；

-遞推公式在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，選自《數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究》。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究：

（1）研究線性遞推公式和非線性遞推公式的求解方法，了解它們在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。

（2）探討以下問題：

-對于一個已知的數(shù)列，如何判斷它是否存在遞推關(guān)系？

-如何利用遞推公式求解斐波那契數(shù)列的通項公式？

-遞推公式在數(shù)學(xué)建模中具體有哪些應(yīng)用？

（3）嘗試?yán)眠f推公式解決以下實際問題：

-人口增長問題：假設(shè)一個地區(qū)的人口數(shù)列滿足遞推關(guān)系，如何求解該地區(qū)的人口通項公式？

-經(jīng)濟(jì)增長問題：假設(shè)一個國家的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）滿足遞推關(guān)系，如何求解該國家GDP的通項公式？

（4）結(jié)合教材中的例題和練習(xí)題，總結(jié)遞推公式求解數(shù)列通項公式的常用技巧和方法。

（5）與同學(xué)分享你在學(xué)習(xí)遞推公式過程中的心得體會，以及解決實際問題時遇到的困難和挑戰(zhàn)。板書設(shè)計1.標(biāo)題：利用遞推公式求通項公式

2.板書內(nèi)容：

-遞推公式定義

-線性遞推公式

-非線性遞推公式

-求解通項公式步驟

1.確定遞推公式

2.分析遞推公式性質(zhì)

3.求解通項公式

-實例分析

1.數(shù)列{an}，a1=1，an+1=2an+1

2.數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an

-方法總結(jié)

-課堂練習(xí)

1.數(shù)列{an}，a1=1，an+1=3an-2

2.數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an

3.設(shè)計特點：

-結(jié)構(gòu)清晰：板書內(nèi)容按照遞推公式的定義、分類、求解步驟、實例分析、方法總結(jié)和課堂練習(xí)的順序展開，條理分明。

-突出重點：用不同顏色的粉筆標(biāo)出關(guān)鍵詞和重要步驟，如“遞推公式定義”、“求解通項公式步驟”等，增強(qiáng)視覺效果。

-簡潔明了：板書內(nèi)容簡潔明了，避免冗長的解釋，便于學(xué)生快速理解和記憶。

-藝術(shù)性和趣味性：運用圖形、箭頭等元素，使板書更具動態(tài)感和趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.在本節(jié)課中，我嘗試將遞推公式與實際生活案例相結(jié)合，讓學(xué)生在理解抽象概念的同時，感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.我采用了分組合作的教學(xué)方法，鼓勵學(xué)生互相討論、分享解題思路，這種教學(xué)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊協(xié)作能力和溝通能力。

（二）存在主要問題

1.在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對遞推公式的理解不夠深入，導(dǎo)致在求解通項公式時出現(xiàn)困難。

2.教學(xué)評價方面，我對學(xué)生的評價可能過于關(guān)注解題結(jié)果，而忽視了他們在解題過程中的努力和思考。

（三）改進(jìn)措施

1.針對學(xué)生對遞推公式理解不深入的問題，我將在今后的教學(xué)中加強(qiáng)對遞推公式基礎(chǔ)知識的講解，通過更多實例分析，幫助學(xué)生更好地理解遞推公式的內(nèi)涵。

2.在教學(xué)評價方面，我將更加關(guān)注學(xué)生的解題過程，鼓勵他們積極參與課堂討論，關(guān)注他們在合作學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，從而全面評價學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。課后作業(yè)1.已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=2an+1，求通項公式。

解答：由遞推公式可得：

a2=2a1+1=3，

a3=2a2+1=7，

a4=2a3+1=15，

觀察發(fā)現(xiàn)，an=2^n-1。

2.已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an，求通項公式。

解答：由遞推公式可得：

a3=a2+2a1=5，

a4=a3+2a2=11，

a5=a4+2a3=21，

觀察發(fā)現(xiàn)，an=2^(n-1)+(-1)^(n-1)。

3.已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=3an-2，求通項公式。

解答：由遞推公式可得：

a2=3a1-2=1，

a3=3a2-2=1，

a4=3a3-2=1，

觀察發(fā)現(xiàn)，an=1。

4.已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，an+2