人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（第2課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．鞏固列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，會(huì)用方程組解決幾何問(wèn)題．2．通過(guò)解決開放性問(wèn)題學(xué)會(huì)多角度思考問(wèn)題．3．探究較難的實(shí)際問(wèn)題，提升分析數(shù)量關(guān)系、解方程組的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想．教學(xué)重點(diǎn)會(huì)用二元一次方程組解決幾何問(wèn)題，并能由方程組的解解釋實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)能尋找相等關(guān)系并列出方程組．教學(xué)過(guò)程新課導(dǎo)入1．列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是什么？【師生活動(dòng)】教師出示題目，學(xué)生獨(dú)立作答：列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關(guān)系．（2）設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)．（3）列：根據(jù)（1）中的相等關(guān)系列方程組．（4）解：正確地解方程組．（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)解是不是原方程組的解且符合題意．（6）答：答案要完整且單位統(tǒng)一．【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)學(xué)過(guò)的列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，鞏固基礎(chǔ)．2．如圖．（1）將長(zhǎng)方形紙片折成面積之比為1∶1的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，有多少種折法？（2）將長(zhǎng)方形紙片折成面積之比為1∶2的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，有多少種折法？【師生活動(dòng)】教師出示題目，學(xué)生動(dòng)手操作，完成作答．【答案】解：（1）如圖，將長(zhǎng)方形紙片折成面積之比為1∶1的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，有2種折法．（2）如圖，將長(zhǎng)方形紙片折成面積之比為1∶2的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，有4種折法．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，知道按面積分割長(zhǎng)方形的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為分割邊長(zhǎng)的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)習(xí)建立二元一次方程組模型解決幾何問(wèn)題作準(zhǔn)備．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問(wèn)題】據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1∶2．現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地，分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4？【思考】如何求甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考作答：總產(chǎn)量＝單位面積產(chǎn)量×面積．【思考】甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比與種植面積的比有什么關(guān)系？【師生活動(dòng)】教師帶領(lǐng)學(xué)生分析題目的關(guān)鍵信息：＝，＝，所以＝，即甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比等于甲作物的種植面積與乙作物的種植面積的2倍的比．【思考】根據(jù)上面的分析可知，本題研究的是長(zhǎng)方形面積的分割問(wèn)題，你能畫出示意圖幫助自己理解嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生動(dòng)手畫出示意圖，與教師展示的圖片對(duì)比，教師給出分析．【分析】如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形AEFD和BCFE．此時(shí)設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m，根據(jù)問(wèn)題中涉及長(zhǎng)度、產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，即可列出方程組．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析幾何問(wèn)題，找出數(shù)量關(guān)系．【思考】你能列出方程組，并求出x，y的值嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立列出方程組，并解方程組．【答案】解：如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形AEFD和BCFE．此時(shí)設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m．由題意，得方程組化簡(jiǎn)，得解得【思考】如何表述你的種植方案？【師生活動(dòng)】學(xué)生自由發(fā)言，互相啟發(fā)，不斷補(bǔ)充完善種植方案，師生一起總結(jié)：過(guò)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)邊上離一端80m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長(zhǎng)方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何利用方程組的解解釋幾何問(wèn)題．【追問(wèn)】還有其他設(shè)計(jì)方案嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生小組討論，完成作答．【答案】解：如圖，另一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形ABFE和EFCD．此時(shí)設(shè)AE＝xm，DE＝y(tǒng)m．由題意，得方程組化簡(jiǎn)，得解得過(guò)長(zhǎng)方形土地的短邊上離一端40m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長(zhǎng)方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．【設(shè)計(jì)意圖】一題多解，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)思維的多樣性．【追問(wèn)】列一元一次方程能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，完成作答．【答案】解：①如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形AEFD和BCFE．此時(shí)設(shè)AE＝xm，則BE＝(200－x)m．由題意，得方程100x∶[2×100×(200－x)]＝3∶4，解得x＝120．所以200－x＝200－120＝80．過(guò)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)邊上離一端80m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長(zhǎng)方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．②如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形ABFE和EFCD．此時(shí)設(shè)AE＝xm，則DE＝(100－x)m．由題意，得方程200x∶[2×200×(100－x)]＝3∶4，解得x＝60．所以100－x＝100－60＝40．過(guò)長(zhǎng)方形土地的短邊上離一端40m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長(zhǎng)方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．【問(wèn)題】你認(rèn)為列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題和列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比總結(jié)．【歸納】（1）能列二元一次方程組解決的實(shí)際問(wèn)題，一般都可以列一元一次方程解決．但是，隨著實(shí)際問(wèn)題中未知量的增多和數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜化，列方程組更加簡(jiǎn)單直接，一般問(wèn)題中有幾個(gè)相等關(guān)系就可以列出幾個(gè)方程．（2）兩者的相同點(diǎn)是都需要先分析題意，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)未知數(shù)，列方程或方程組），再檢驗(yàn)解的合理性，進(jìn)而得到實(shí)際問(wèn)題的解．這一過(guò)程就是建模的過(guò)程．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)列方程組比列一元一次方程簡(jiǎn)單，進(jìn)一步體會(huì)建模思想，理解建模的一般步驟．二、典例精講【例1】某服裝廠用某種布料生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知2m布料可做衣身3個(gè)或衣袖5只，現(xiàn)計(jì)劃用132m這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)怎樣分配布料才能使衣身和衣袖恰好配套？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，并小組討論，嘗試進(jìn)行解答．【答案】解：設(shè)用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖．由題意，得解得答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套．【歸納】用二元一次方程組解決配套問(wèn)題生產(chǎn)中的配套問(wèn)題有很多，例如，螺栓和螺母的配套，桌面與桌腿的配套，衣身與衣袖的配套等；各種配套都有一定的數(shù)量比例，在本例中，準(zhǔn)確找出相等關(guān)系“衣身數(shù)量×2＝衣袖數(shù)量”是解題的關(guān)鍵．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用二元一次方程組解決配套問(wèn)題．【例2】如圖，用10塊相同的小長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，則每塊地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，完成作答，教師講評(píng)．【答案】解：設(shè)每塊地磚的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm．由題意，得解得答：每塊地磚的長(zhǎng)為48cm，寬為12cm．【歸納】列二元一次方程組解決有關(guān)圖形的問(wèn)題時(shí)，常借助數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)各種量之