數(shù)學(xué)分析 第二版 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 陳傳璋等著 課后習(xí)題答案

學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載第二部分單變量積分學(xué)第六章不定積分2.求下列不定積分；解；學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎不載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載2.求下列不定積分；于是2I=r√z2-a2-a2In|z+√ir2-a2|+C?,③學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載4.求下列不定積分；學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載因因故5.求下列不定積分；學(xué)習(xí)必備-----歡迎不載于學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載,于學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載第七章定積分利用定積分的定義計(jì)算積分：于學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載§2定積分存在的條件解上≤學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載θ?≤xi(i=1,2,…,n),△rz=Ti—Ti-1(co=a,Tn=b).學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載1.計(jì)算下列定積分；學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載(20)令x2.計(jì)算下列積分；于在后積分中，令x=π-y則于(5)令x=acos學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載則證明；于于即EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up24(于),?)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up24(是),f)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up24(sm),m)學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載處,且在極大點(diǎn)的左右兩邊各承受總載荷的半.,,聯(lián)立方程12.求極限：因;則則.1.于是.從面=2344.學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載0第八章定積分的應(yīng)用和近似計(jì)算1.求由下列各曲線所國(guó)成的圖形面積：即學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載1.所求弧長(zhǎng)學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載83體積(3)x=asin3t,y=bcos3學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載(5)x=a(t-sint),y=a(1(ii)利用對(duì)稱性，只需將上式答案中a,b時(shí)調(diào)，即得3.證明把面積0≤α≤θ≤β≤π,0≤剛整個(gè)由邊扇形繞極軸陀轉(zhuǎn)得EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2(物),op)以學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載所求的宅轉(zhuǎn)體又V?=V?-5.把由繞x軸姹轉(zhuǎn)得一舵轉(zhuǎn)體，它在點(diǎn)x=0'jx=ξ之間的體積記作V(ξ),求a等于何值時(shí)，能又a>0.故a=1.于棉球體體積的一半，決定鉆空的半徑p(圖8-15).解：設(shè)圈中利下的環(huán)形體體積為V.橢球體體積為V?由愿意，得胖比方程，得p=b√1-2-3學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載(4)宅輪線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π)(5)雙紐線r2=2a2cos20曲(ii)x=√2aVcos20cos0,y=√2aVcos學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載從面柱由面積為：學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載(2)以A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0)為顧點(diǎn)的矩形周界，由線上任點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的二(1)以原點(diǎn)為崗心，弧半經(jīng)的起始邊所在直線為x鉑建立直角坐標(biāo)系，則圓瓶方程為x=acosα,y=(2)先求出密度函數(shù).其上任點(diǎn)的密度為AB其上任點(diǎn)的密度為p=2yBC的p=2p=2x學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載解；半波整流時(shí)，消耗在R上的平均功字為：全波整流時(shí)，消耗在R上的平均功率為：2.計(jì)算交流電生u=UmCoswtt在的平均值為：內(nèi)的平均值為：在在的平均值為：內(nèi)的平均值為：3.求下列函數(shù)在給定區(qū)同內(nèi)的平均值：4.把彈簧拉長(zhǎng)所需的力與彈簧的伸長(zhǎng)成正比.4.把彈簧拉長(zhǎng)所需的力與彈簧的伸長(zhǎng)成正比.已知少功?克.厘米)=5J5.修建大橋橋敏時(shí)要光下圍圖設(shè)網(wǎng)柱形圍圖的直徑為20采，水深27米，圍圖高出水面3米，要把水抽盡，計(jì)算克服重力所作的功6.某水庫(kù)的用門(mén)是一梯形。上底6米，下底2米，高10米，求水灌病時(shí)用門(mén)所受的力設(shè)水的比重為1噸/米27.物體按現(xiàn)律x=ct3(c>0)作直線運(yùn)動(dòng)。x表示在時(shí)間內(nèi)物體移動(dòng)的距離，設(shè)介質(zhì)的阻力與速度平方成正比.求物體從x=0到x=a時(shí)阻力所作的功解：因x=ct3(c>0),故v=x′=3ct2學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載1.用物物線形公式求的近似值(取n=3).,可得：2.求某翼型的面積真型如圖8-24所示，x油是它的對(duì)稱軸，OAK2米，10等分，測(cè)得數(shù)據(jù)如下(單位：厘米);X0y003.在寬為20米的河面上，測(cè)量河流模堿由的由積如果從河的一岸向?qū)Π睹扛?米，測(cè)得河水深度如下表所列：T02468y(本深)學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載第三篇級(jí)數(shù)論第一部分?jǐn)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和廣義積分§1.預(yù)備知識(shí)：上極限和下極限1.證明：有m+<+于是，0n>,有m+<+fm+h>if+ifn證明；學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載證四；設(shè)4.求下列數(shù)列的上極限與下極限：)),■,■此處ko是任意固定的整數(shù).時(shí)學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載于是得此結(jié)論正確.(2)若,結(jié)論未必成章,,1.討論下列級(jí)數(shù)的放放性：故由數(shù)列級(jí)數(shù)性質(zhì)2,知(5)因故級(jí)數(shù)發(fā)散.2.利用柯西收敏原理判別下列級(jí)數(shù)是收效還是發(fā)放.(1)ao+a?q+a?q2+…+amq+…,|q|<從而對(duì)Ve>0學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載4.確定使下列級(jí)數(shù)收放的x的范圍.從而收放域?yàn)閤<-2或x>0.學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載解,其中an→a,an,b,a正數(shù)，a≠0故級(jí)數(shù)敏.學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載則由比較判別法，得級(jí)數(shù)(9)因且級(jí)(10)因且級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)散；證陰；因放，則學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載從而由比較判別法，得收效.一其道不真.例：收放，散；放，放.一3.設(shè)為兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)證明：當(dāng)收斂時(shí)，也收斂.又若發(fā)散時(shí)，何?若邦2和的斂散性之同有什么關(guān)系?(1)因?yàn)閮烧?xiàng)級(jí)數(shù)一取Eo=1,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，1即0收放，則由比較判別法，得收效一散，則可能收效，也可能發(fā)散發(fā)散，且發(fā)放.物4.若兩正項(xiàng)級(jí)發(fā)散，欲散性不定.5.利用級(jí)數(shù)收敏的必要條件證明：證M;學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載 6.討論下列級(jí)數(shù)的收放性：都是非負(fù)逐減的，且當(dāng)n≤3時(shí)是正值遏減函數(shù).o時(shí)，積分發(fā)散；當(dāng)p=1時(shí)，若g>1.積分收斂，若q≤1積分發(fā)散，學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載又因u2n+1≤u2n,Un≥0,則0≤(2n+1)u8.證明達(dá)明貝爾判別法及其極限形式.由上極限的定理1的證明中，知只有有限項(xiàng)大于ī+Eo,于是定存在個(gè)正整數(shù)N(只要取級(jí)數(shù)收效.但學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載1.討論下列級(jí)數(shù)的收敏性(包括條件收放或絕對(duì)收斂):(1)因(1)因.收放，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收放.發(fā)散發(fā)散于是原級(jí)數(shù)發(fā)散.則由達(dá)明貝爾判別法的極限形式，得級(jí)數(shù)收放又3),則(x≥3),于單調(diào)下降，從而n≥3付單調(diào)下降條件收效.則據(jù)達(dá)明貝爾判別法，得收放發(fā)散收放 發(fā)散，發(fā)散N時(shí)，與x有相同的符號(hào)H隨n增大面減小到0,則山菜布尼茲判別法，得放2.證明；若級(jí)數(shù)的項(xiàng)加括號(hào)后收效，并且在同一個(gè)括號(hào)內(nèi)項(xiàng)的符號(hào)相同，那末去捽括號(hào)后，此級(jí)數(shù)亦收放；并由此考察級(jí)數(shù)(1)已知新級(jí)在同一括號(hào)內(nèi)的符當(dāng)原級(jí)數(shù)的下標(biāo)nnk-1到nz時(shí)，部分和單調(diào)變化，即收款，即則當(dāng)k放，從而原級(jí)數(shù)收敏.3.討論下列級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收欲成條件收欲：則由菜布尼茲判別法知?jiǎng)t由比較判別法，發(fā)放N時(shí)，有n+x>0.干是是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且由單調(diào)減少收放，從則當(dāng)x不為負(fù)整數(shù)時(shí)，比級(jí)數(shù)為條件收放.(2)因,H則由達(dá)朗貝爾判別法，得收敏再據(jù)比較判別法，得斂，從由對(duì)收斂.則由狀立克菜判別法，得效.及數(shù)列單則由狄立克菜判別法，收放.發(fā)散，從面發(fā)散(4)(i)當(dāng)p>1時(shí)，因臺(tái)對(duì)收效.則由狄立克菜判別法，得放.學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載收放時(shí)條件收斂時(shí)條件收斂上,則級(jí)數(shù)4.若級(jí)數(shù)收放，并H趣能否斷也收放?(1)若級(jí)數(shù)(2)若級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收放.則據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法，得級(jí)數(shù)收放收放.定都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)收就，不可斷收效例；級(jí)數(shù)為菜布尼茲型級(jí)一收放.一收放.又級(jí)數(shù)收效，則其部分和數(shù)列有極限，設(shè)其極限為S7.若絕對(duì)收收，收能，那末收斂.證明；令由Abel變換，得收放，因而存在M>0-使有有8.利用柯西收斂原理證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)的菜布尼茲定理.從面由柯西收斂原理，得收敏.學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載絕對(duì)收放(6)絕對(duì)收敏(7)證四；因?qū)?jù)達(dá)陰貝爾判別法的極限形式，得級(jí)數(shù)收效證四；因絕對(duì)收斂3.證明：可以作出條件收敏級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)，使其發(fā)散到+0.證四；設(shè)條件收放由定性1,得和都發(fā)散，且發(fā)散到發(fā)散到-0選取發(fā)放到+0的數(shù)列{βn}即然后取m?,使v?+v?+·+vm?+Um1+1+·+Um?>β?+w?+w?股地，可取充分大的mk>mk-1,使得v?+v?+…+vm?+…+vm?+…+0mz>βk+w?+w?+…+wk(k=這樣交語(yǔ)地放入一組正項(xiàng)和一個(gè)負(fù)項(xiàng)：(v?+…+Um?-wi)+(vm?+1+…+Um?-w?)此級(jí)數(shù)顯然為原級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)(v1+…+Um?-wi)+(vm?+1+…+Vm?-w?)+…+(vmk學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載1.討論無(wú)行乘積的收放性：(1)因,n≥3H從面據(jù)定理2,得效.收斂，從而無(wú)了乘移(3)由于部分乘故無(wú)行乘積2.證明；若證四；因于是據(jù)定性2,得n收斂.由絕對(duì)收放第十章廣義積分1.求下列廣義積分的值；2.討論下列積分的收放性：為正常積分，則其必收放(2)因收放則由比較判別法的極限形式，得收放.學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載(ii)當(dāng)n-m≤1Hx≥13.證明絕對(duì)收放的廣義積分必收放，但反之不監(jiān).印印則7A(2)積分同理，內(nèi)正常積分，用必收敏對(duì)收放對(duì)收放05I9)--其中7.對(duì)無(wú)療限廣義積分，討論平方可積和和其中學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載效絕對(duì)可積本平方可積8.討論下列積分的絕對(duì)收效性及條件收放性：, 單,(2)(i)當(dāng)λ效，從面絕對(duì)收放證明，可知發(fā)散，從面dr條件收敏發(fā)散則當(dāng)λ≤0時(shí)，發(fā)散綜合知，λ>1時(shí)，λ<0時(shí)，x夠大時(shí)，隨x→+α而單調(diào)下降趨于0x則據(jù)狀立克菜判別法，原積分收效散17時(shí)，積分絕對(duì)收效.正常積分，則必收放，于正常積分，則必收放，于收效學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載收斂于-1.則據(jù)柯丙判別法，得對(duì)收敢.則據(jù)柯西判別法，得對(duì)收敏；則x=1不是奇點(diǎn)，于是比積分只有個(gè)奇點(diǎn)0則=0(見(jiàn)書(shū)上冊(cè)231頁(yè)1.(16))收效.發(fā)散dx發(fā)散.學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載則由法的極限形式，得當(dāng)1-b<1即b>0時(shí)積分收放；當(dāng)1-b≥1即b≤0時(shí)，積分發(fā)散；綜上所述，當(dāng)a>0Eb>0時(shí)，dx收敞，其余情形積分均發(fā)散.對(duì)對(duì)則由柯內(nèi)判別法的校限形式，得當(dāng)-b<綜上所述，得當(dāng)a>0Hb>-1時(shí)，積x收放，其余情形積分均發(fā)散.3.證明無(wú)界函數(shù)廣義積分的柯西判別法及其極限形式.(1)柯西判別法：學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載0Hε→0時(shí))則對(duì)Vk>E>0存在δ>0,使當(dāng)a<T<a+δ時(shí)，有0<k-ε<(x-a)P|f(x)|<k+ex發(fā)散綜上，得若0≤綜上，得若0≤k<+α,p<1.那末對(duì)收敏；若0那4.討論下列積分的收放性：對(duì)積分對(duì)積分同此證法，同此證法，因x≥3時(shí)，絕對(duì)收放則由比較判綜上可知,則當(dāng)α>1時(shí)，0為奇點(diǎn)當(dāng)α≤1時(shí)，x為正常積分，故必收效則當(dāng)α-λ>0甲α>λ>1時(shí)從而當(dāng)1<α<2付，x絕對(duì)收效dx都發(fā)放.若p≤0,則為正常積分，收效dx發(fā)放；故積分對(duì)積分設(shè)max(p,q)=9則積分(4)當(dāng)0<α≤1時(shí)，則0為奇點(diǎn)則0為奇點(diǎn)對(duì)則由柯西判別法的極限形式，得α-1<1即α<2時(shí)積分收放；當(dāng)α≥2時(shí)，積分發(fā)散因因則由比較判別法，得當(dāng)o則由比較判別法，得當(dāng)o總之，當(dāng)1<α<2時(shí)，其余情形此積分均發(fā)散.總之，當(dāng)1<α<2時(shí)，考考由學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載從而積收放。..6.討論下列積分的絕對(duì)收效和條件收放性：則當(dāng)q-p>1即q>p+1時(shí),于是由比較判別焰對(duì)收放 2件收敏.則由柯西判別法的極限形式，得當(dāng)λ-1<1即λ<2時(shí)，收敗，則收敗，則又又學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載從而當(dāng)1<λ<2時(shí);,則11對(duì)I?,由I?的結(jié)論，得當(dāng)2-n>1即n<1時(shí)絕對(duì)收欲：當(dāng)1≥2-n>011≤n<2時(shí)條件收斂學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載于是由比較判別法，得|f(x)可積即平方可積定絕對(duì)可積.反之不然.例：由57頁(yè)例1.得斂即焰對(duì)收斂但發(fā)散，即在[1,2]上不可積.9.計(jì)算下列積分的柯西主值：10.證明廣義積分及柯西主值之間的關(guān)系：(1)若放，其值為A.則柯西主值存在，且等于A-但反之不然；(2)若f(x)≥0.P.Vx存在，其值為A.則收斂，且收故于A.則在，且等于A這表明P.V旨在，且等于A但反之不然.(2)用反證法.若不然，則由于得x和4至少有一為x于是中當(dāng)A→+α?xí)r至少有一箱于+0-而另一個(gè)大于等于0-從而它們的和學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載第十一章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載(3)當(dāng)-(4)因O≤(1-n2|z|)2=1-2n2|z|+n?x2,則2n2|z|≤1+n?x2學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載證明：定義1=定義2立事于定事于定學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載8.證明；政收放.(1)fn(x)=(sinx)”,i學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載n則由定義2.n則由定義2.致收放于0.在[0,1-e]致收放于0.在[0,1-e]上在(1-e,1+e)不致收敏.(ii)當(dāng)1+ε≤x<+o從而由定義2.從而由定義2.11.證明在(0,+o)內(nèi)連續(xù).則由達(dá)明貝爾判別法的極限形式，得級(jí)于則由達(dá)明貝爾判別法的極限形式，得級(jí)于在xo在xoH在(-o,+o)H在(-o,+o)又在(-0,+o)又致收放在(-0o,+)致收放又又學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載在1<x<+α上連續(xù)放學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載分，得16.用有限度蓋定理證明狀尼定旺.1.求下列各冪級(jí)數(shù)的收敏區(qū)間：則其收放域?yàn)?-0,+o).重由十于是其收效區(qū)間重當(dāng)r=-1時(shí)，原級(jí)數(shù)且則單調(diào)減少則據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法及級(jí)數(shù)發(fā)散.得級(jí)數(shù)發(fā)散則此級(jí)數(shù)的收放域?yàn)?-1,1).因■。剛其收效半徑為■時(shí)，原級(jí)數(shù)由洛必適法則，得≠0則級(jí)發(fā)放，于是原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閷?duì)收效則收斂則級(jí)數(shù)收放半徑為時(shí)，原級(jí)數(shù)變發(fā)散發(fā)散，則級(jí)發(fā)散則級(jí)數(shù)n的收放域?yàn)閯t級(jí)數(shù)時(shí)，原級(jí)數(shù)變則據(jù)運(yùn)明貝爾判別法，得收效，則當(dāng)同法可得，時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)放2.求級(jí)數(shù)的收斂半徑學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載①于是其收放半徑(2)∑(an+bn)z”Va+b≤Vol+1b<V2m×(aJIB.5)=v2.√max(|an,bnl)=V2max(V|anl,√|bnl)EQ\*jc3\*hps94\o\al(\s\up3(<e),的收敗半)徑為Q5.證明不級(jí)數(shù)的性質(zhì)1和性質(zhì)2.證明；性質(zhì)1.設(shè)x為(ro-R,xo+R)內(nèi)任點(diǎn)?？偪梢赃x取0<r<R.使得|x-ro|≤r性質(zhì)2.收放于B,6.設(shè)收放于B,6.設(shè)收就，則一定收放于即零級(jí)即零級(jí)7.時(shí)收效，那末當(dāng)時(shí)是否收敗B8.利用上愿證明9.的麥克勞林及數(shù)，說(shuō)明它的麥克勞林級(jí)數(shù)并不表示這個(gè)函數(shù).證明；因(-α,+0)),H收斂，則由M判別法，得學(xué)習(xí)必備-----歡迎下載數(shù)②則知對(duì)任x,不級(jí)數(shù)