2024年山西省呂梁市文水縣中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

山西省呂梁地區(qū)文水縣2024屆中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.下列各式中，正確的是（）A.﹣（x﹣y）=﹣x﹣y B.﹣（﹣2）﹣1= C.﹣ D.【答案】B【解析】【分析】A.括號前是負(fù)號去括號都變號；B負(fù)次方就是該數(shù)次方后的倒數(shù)，再根據(jù)前面兩個負(fù)號為正；C.兩個負(fù)號為正；D.三次根號和二次根號的算法．詳解】A選項，﹣（x﹣y）=﹣x+y，故A錯誤；B選項，﹣（﹣2）﹣1=，故B正確；C選項，﹣，故C錯誤；D選項，22，故D錯誤．【點睛】本題考查去括號法則的應(yīng)用，分式的性質(zhì)，二次根式的算法，熟記知識點是解題的關(guān)鍵．2.歐幾里得的《原本》記載，形如的方程的圖解法是：畫，使，，，再在斜邊上截?。畡t該方程的一個正根是（）A.的長 B.的長 C.的長 D.的長【答案】B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根據(jù)勾股定理求出AB的長，進(jìn)而求得AD的長，即可發(fā)現(xiàn)結(jié)論．【詳解】用求根公式求得：∵∴∴AD的長就是方程的正根．故選：B．【點睛】本題考查解一元二次方程及勾股定理等，熟練掌握公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3.如圖①是半徑為2的半圓，點C是弧AB的中點，現(xiàn)將半圓如圖②方式翻折，使得點C與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是()A. B.﹣ C.2+ D.2﹣【答案】D【解析】【分析】連接OC交MN于點P，連接OM、ON，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OP=OM，得到∠POM=60°，根據(jù)勾股定理求出MN，結(jié)合圖形計算即可.【詳解】解：連接OC交MN于點P，連接OM、ON，由題意知，OC⊥MN，且OP=PC=1，在Rt△MOP中，∵OM=2，OP=1，∴cos∠POM==，AC==，∴∠POM=60°，MN=2MP=2，∴∠AOB=2∠AOC=120°，則圖中陰影部分的面積=S半圓-2S弓形MCN=×π×22-2×（-×2×1）=2-π，故選D.【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用、勾股定理的運用、三角函數(shù)值的運用、扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用，解答時運用軸對稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.4.李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調(diào)整過來嗎？證明步驟正確的順序是（）已知：如圖，在中，點分別在邊上，且，求證：．證明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．A.③②④① B.②④①③ C.③①④② D.②③④①【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；關(guān)鍵是證明三角形相似．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組對應(yīng)角相等，易得解題步驟；【詳解】證明：②，④，①又，③，．故選：B．5.如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（）A. B.8 C. D.【答案】D【解析】【詳解】解∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=8，∴AC=AB=4．設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r－2，在Rt△AOC中，∵，∴，即，解得r=5．∴．連接BE，∵AE是的直徑，∴∠ABE=90°．在Rt△ABE中，∵，∴．在Rt△BCE中，∵，∴．故選：D．6.納米是一種長度單位，1納米=10﹣9米，已知某種植物花粉的直徑約為35000納米，那么用科學(xué)記數(shù)法表示該種花粉的直徑為（）A.3.5×104米 B.3.5×10﹣5米 C.3.5×10﹣4米 D.3.5×10﹣9米【答案】B【解析】【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：35000納米=35000×10-9米=3.5×10-5米，故選B．【點睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．7.如圖，正方形ABCD的頂點C在正方形AEFG的邊AE上，AB＝2，AE＝，則點G到BE的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定，可得AB與GE的關(guān)系，根據(jù)平行線間的距離相等，可得△BEG與△AEG的關(guān)系，根據(jù)根據(jù)勾股定理，可得AH與BE的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理，可得BE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得G到BE的距離．【詳解】連接GB、GE，由已知可知∠BAE=45°．又∵GE為正方形AEFG的對角線，∴∠AEG=45°．∴AB∥GE．∵AE=4，AB與GE間的距離相等，∴GE=8，S△BEG＝S△AEG＝SAEFG＝16．過點B作BH⊥AE于點H，∵AB=2，∴BH＝AH＝．∴HE＝3．∴BE＝2．設(shè)點G到BE的距離為h．∴S△BEG＝?BE?h＝×2×h＝16．∴h＝．即點G到BE的距離為．故選A．【點睛】本題主要考查了幾何變換綜合題．涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等積式及四點共圓周的知識，綜合性強．解題的關(guān)鍵是運用等積式及四點共圓的判定及性質(zhì)求解．8.下列說法正確的是（）A.擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后，6點朝上是必然事件B.甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數(shù)相同，方差分別是，，則甲的射擊成績較穩(wěn)定C.“明天降雨的概率為”，表示明天有半天都在降雨D.了解一批電視機(jī)的使用壽命，適合用普查的方式【答案】B【解析】【分析】利用事件的分類、普查和抽樣調(diào)查的特點、概率的意義以及方差的性質(zhì)即可作出判斷．【詳解】解：A、擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后，6點朝上是隨機(jī)事件，此選項錯誤；B、甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數(shù)相同，方差分別是S甲2=0.4，S乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩(wěn)定，此選項正確；C、“明天降雨的概率為”，表示明天有可能降雨，此選項錯誤；D、解一批電視機(jī)的使用壽命，適合用抽查的方式，此選項錯誤；故選B．【點睛】本題考查方差；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；隨機(jī)事件；概率的意義，掌握基本概念是解題關(guān)鍵．9.今年我市計劃擴(kuò)大城區(qū)綠地面積，現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為60m，若將短邊增長到長邊相等（長邊不變），使擴(kuò)大后的綠地的形狀是正方形，則擴(kuò)大后的綠地面積比原來增加1600，設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm，下面所列方程正確的是（）A.x（x-60）=1600B.x（x+60）=1600C.60（x+60）=1600D.60（x-60）=1600【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得擴(kuò)建的部分相當(dāng)于一個長方形，這個長方形的長和寬分別為xm和（x－60）m，根據(jù)長方形的面積計算法則列出方程．【詳解】解：由題意得擴(kuò)建的部分相當(dāng)于一個長方形，這個長方形的長和寬分別為xm和（x－60）m，∴，故選A.10.的結(jié)果是（）A.－7 B.7 C.－14 D.13【答案】C【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：．故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法，熟記運算法則是解題的關(guān)鍵．11.已知關(guān)于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，則a的值為A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【詳解】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=5．故選D．12.2cos30°的值等于()A.1 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】【詳解】分析：根據(jù)30°角的三角函數(shù)值代入計算即可.詳解：2cos30°=2×=3．故選C．點睛：此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13.如圖，正方形ABCD的邊長為2，分別以A、D為圓心，2為半徑畫弧BD、AC，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】2﹣【解析】【分析】過點F作FE⊥AD于點E，則AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根據(jù)勾股定理求出EF的長，由S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF可得出其面積，再根據(jù)S陰影=2(S扇形BAF－S弓形AF)即可得出結(jié)論【詳解】如圖所示,過點F作FE⊥AD于點E，∵正方形ABCD的邊長為2，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF=，∴S陰影=2(S扇形BAF－S弓形AF)=2×[]=2×()=．【點睛】本題考查了扇形的面積公式和長方形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)圖形的對稱性分析，主要考查學(xué)生的計算能力．14.從“線段，等邊三角形，圓，矩形，正六邊形”這五個圖形中任取一個，取到既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是_____．【答案】##0.8【解析】【詳解】解：在線段、等邊三角形、圓、矩形、正六邊形這五個圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有線段、圓、矩形、正六邊形，共4個，所以取到的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為，故答案為：.【點睛】本題考查概率公式，掌握圖形特點是解題關(guān)鍵，難度不大.15.A．如果一個正多邊形的一個外角是45°，那么這個正多邊形對角線的條數(shù)一共有_____條．B．用計算器計算：?tan63°27′≈_____（精確到0.01）．【答案】①.20②.5.29【解析】【分析】A、先根據(jù)多邊形外角和為360°且各外角相等求得邊數(shù)，再根據(jù)多邊形對角線條數(shù)的計算公式計算可得；B、利用計算器計算可得．【詳解】A、根據(jù)題意，此正多邊形的邊數(shù)為360°÷45°=8，則這個正多邊形對角線的條數(shù)一共有=20，故答案為20；B、?tan63°27′≈2.646×2.001≈5.29，故答案為5.29．【點睛】本題主要考查計算器-三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角與外角、對角線計算公式及計算器的使用．16.已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是__________.【答案】k≤1且k≠0【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)方程根的情況：關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有實數(shù)根，可以判定其根的判別式的取值范圍△=b2﹣4ac≥0，即：4﹣4k≥0，解得：k≤1，然后根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，故答案為k≤1且k≠0．考點：根的判別式17.如果把拋物線y=2x2﹣1向左平移1個單位，同時向上平移4個單位，那么得到的新的拋物線是_____．【答案】y=2（x+1）2+3【解析】【詳解】解∶根據(jù)題意得∶原拋物線的頂點為（0，-1），且向左平移1個單位，同時向上平移4個單位，∴新拋物線的頂點為（-1，3），∴可設(shè)新拋物線的解析式為y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．故答案為：y=2（x+1）2+318.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點A(3，4)，點A與原點O的連線與x軸的正半軸夾角為α，那么角α的余弦值是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出OA的長度，根據(jù)余弦等于鄰邊比斜邊求解即可.【詳解】∵點A坐標(biāo)為（3，4），∴OA==5，∴cosα=，故答案為【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.如圖，拋物線的頂點為M，直線與拋物線交于點，若為等腰直角三角形，我們把拋物線上兩點之間的部分與線段圍成的圖形稱為該拋物線對應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段稱為碟寬，頂點稱為碟頂，由定義知，取中點，連結(jié)與的關(guān)系是______．拋物線對應(yīng)的準(zhǔn)蝶形必經(jīng)過，則=______，對應(yīng)的碟寬是______．拋物線對應(yīng)的碟寬在軸上，且．①求拋物線的解析式；②在此拋物線的對稱軸上是否有這樣的點，使得為銳角，若有，請求出的取值范圍．若沒有，請說明理由．【答案】，2，4；①；②有，或．【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正確應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)分析得出答案；利用已知點為，代入拋物線解析式進(jìn)而得出的值，即可得出的值；①根據(jù)題意得出拋物線必過（20），進(jìn)而代入求出答案；②根據(jù)的對稱軸上時，為直角，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：與的關(guān)系是：，如圖，是等腰直角三角形，且為的中點，∵拋物線對應(yīng)的準(zhǔn)蝶形必經(jīng)過，，解得：或（不合題意舍去），當(dāng)則，解得：，則；①由已知，拋物線對稱軸為軸，∵拋物線對應(yīng)的碟寬在軸上，且∴拋物線必過2,0，代入，得解得：，∴拋物線的解析式是：；②由①知，如圖，的對稱軸上時，為直角∴在此拋物線的對稱軸上有這樣的點，使得為銳角，的取值范圍是或．20.如圖，在中，，是角平分線，BM平分交于點，經(jīng)過、兩點的交于點，交AB于點，恰為的直徑．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，時，求的半徑．【答案】（1）相切，見解析（2）的半徑為【解析】【分析】（1）與相切，利用圓的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，即即可；（2）設(shè)的半徑為，則利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識以及利用平行線判定三角形相似和相似三角形的性質(zhì)即可求出的值．【詳解】解：與相切，理由如下：如圖所示：連接，則，，平分，，，，，在中，，是角平分線，，，，，與相切；在中，，是角平分線，，，，，，，在中，，，設(shè)的半徑為，則，，∽，，，解得：，的半徑為．【點睛】此題綜合運用了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的知識．連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線之一．21.定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則c＝b2+ab﹣a+7擴(kuò)充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，試說明“如意數(shù)”c為非負(fù)數(shù)．【答案】（1）4；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）本題是一道自定義運算題型，根據(jù)題中給的如意數(shù)的概念，代入即可得出結(jié)果（2）根據(jù)如意數(shù)的定義，求出代數(shù)式，分析取值范圍即可.【詳解】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1∴c＝b2+ab﹣a+7＝1+（﹣2）﹣2+7＝4（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2∴c＝b2+ab﹣a+7＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7＝2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2∵（m﹣1）2≥0∴“如意數(shù)”c為非負(fù)數(shù)【點睛】本題考查了因式分解，完全平方式（m﹣1）2非負(fù)性，難度不大．22.小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B、C兩點的俯角分別為45°、35°．已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m，求熱氣球離地面的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）【參考數(shù)據(jù)：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】【答案】熱氣球離地面的高度約為233m【解析】【分析】過點A作交CB的延長線于點D，用含有AD的式子表示出DB和DC，列出方程，解方程即可求得．【詳解】解：如圖：過點A作交CB的延長線于點D，由題意知：∠ABD=45°，∠ACD=35°，BC=100m．∵在Rt△ADB中，tan∠ABD=∴∵在Rt△ACD中，tan∠ACD=∴∵CD=BD+BC∴∴AD≈233答：熱氣球離地面的高度約為233m．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角和俯角的概念、掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，解答時，注意正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．23.如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，頂點為.（1）求拋物線的解析式；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，點落在點的位置，將拋物線沿軸平移后經(jīng)過點，求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)（2）中平移后，所得拋物線與軸的交點為，頂點為，若點在平移后的拋物線上，且滿足的面積是面積的2倍，求點的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線的解析式為.（2）平移后的拋物線解析式為：.（3）點的坐標(biāo)為或.【解析】【詳解】分析：（1）利用待定系數(shù)法，將點A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋轉(zhuǎn)后C點的坐標(biāo)為（3，1），當(dāng)x=3時，由y=x2-3x+2得y=2，可知拋物線y=x2-3x+2過點（3，2）∴將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C．∴平移后的拋物線解析式為：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐標(biāo)，根據(jù)圖形分別求得即可，要注意利用方程思想．詳解:（1）已知拋物線經(jīng)過,,∴，解得，∴所求拋物線的解析式為.（2）∵,，∴，，可得旋轉(zhuǎn)后點的坐標(biāo)為.當(dāng)時，由得，可知拋物線過點.∴將原拋物線沿軸向下平移1個單位長度后過點.∴平移后的拋物線解析式為：.（3）∵點在上，可設(shè)點坐標(biāo)為，將配方得，∴其對稱軸為.由題得Ｂ１（0,1）．①當(dāng)時，如圖①，∵，∴，∴，此時，∴點的坐標(biāo)為.②當(dāng)時，如圖②，同理可得，∴，此時，∴點的坐標(biāo)為.綜上，點的坐標(biāo)為或.點睛：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題．此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24.如圖，直角內(nèi)接于，點是直角斜邊上的一點，過點作的垂線交于，過點作交的延長線于點，連結(jié)交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）8【解析】【分析】（1）連接，欲證明是的切線，只要證明即可；（2）延長交圓于點，由切割線定理求出即可解決問題．【小問1詳解】證明：如圖，連接，，，又，，，，，是切線；【小問2詳解】解：延長交圓于點，連接是切線，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，，．【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.如圖，某校自行車棚的人字架棚頂為等腰三角形，D是AB的中點，中柱CD＝1米，∠A＝27°，求跨度AB的長(精確到0.01米).【答案】AB≈3.93m．【解析】【分析】想求得AB長，由等腰三角形的三線合一定理可知AB＝2AD，求得AD即可，而AD可以利用∠A的三角函數(shù)可以求出．【詳解】∵AC＝BC，D是AB的中點，∴CD⊥AB，又∵CD＝1米，∠A＝27°，∴AD＝CD÷tan27°≈1.96，∴AB＝2AD，∴AB≈3.93m．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，直角三角形，等腰三角形等知識，關(guān)鍵利用了正切函數(shù)的定義求出AD，然后就可以求出AB．26.如圖，足球場上守門員在處開出一高球，球從離地面1米的處飛出（在軸上），運動員乙在距點6米的處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據(jù)實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達(dá)式．（2）足球第一次落地點距守門員多少米？（?。?）運動員乙要搶到第二個落點，他應(yīng)再向前跑多少米？（取）【答案】（1）（或）（2）足球第一次落地距守門員約13米．（3）他應(yīng)再向前跑17米．【解析】【分析】（1）依題意代入x的值可得拋物線的表達(dá)式．（2）令y=0可求出x的兩個值，再按實際情況篩選．（