2024高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與鞏固訓(xùn)練：概率統(tǒng)計(jì)

模塊十六：概率統(tǒng)計(jì)

1、隨機(jī)事件的概率

（1）隨機(jī)試驗(yàn):我們把隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察成為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn),常用字

母E表示，我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn):①試驗(yàn)可以在相同條件下重

復(fù)進(jìn)行;（ii）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果；

（iii）每次實(shí)驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)

果.

（2）有限樣本空間:我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本

點(diǎn)的集合稱為實(shí)驗(yàn)E的樣本空間.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有幾個(gè)可能結(jié)果必，叱，…,外,

則稱樣本空間A={31，叱，為有限樣本空間.

2、事件及其分類:隨機(jī)事件;必然事件;不可能事件

3、事件的關(guān)系與運(yùn)算

1.事件的關(guān)系和運(yùn)算A發(fā)生導(dǎo)致B并（和）一般地，事件A

發(fā)生.事件與事件B至少有

事一個(gè)發(fā)生，這樣

件的一個(gè)事件中的

的樣本點(diǎn)或者在事

關(guān)

件A中，或者在事

系

定義圖不件B中，我們稱這

和個(gè)事件為事件A

運(yùn)與事件B的并事

算件（或和事件），記

包

作aUB（或B）

含一般地，

關(guān)若事件A

系發(fā)生，則

事件B—

定發(fā)生，

我們就稱

事件B包

含事件A

（或事件A

包含于事

L事件的關(guān)系和運(yùn)算A發(fā)生導(dǎo)致B并（和）一般地，事件A

發(fā)生.事件與事件B至少有

件

B），記作一般地，事件A

B3A（或與事件B同時(shí)發(fā)

AQB）生，這樣的一個(gè)

相

特別地，交事件中的樣本點(diǎn)

等

如果事件（積）既在事件a中，也

事

包含事在事件B中，我們

件B事件

件事稱這樣的一個(gè)事mJ

A,

件A也包件為事件a與事

含事件B,件B的交事件（或

即BB,A且積事件），記作/n

A3B廁B（或ZB）

稱事件a

與事件B

相等，記

作a=B

事件A是

事件B發(fā)

"A與B互斥（互不相容）事件一般地，如果事件

相互對(duì)A與事件B不能同

立"是"A時(shí)發(fā)生，也就是說

與B互ANB是一個(gè)不可

斥”的充能事件，即an

分不必B=0,則稱事件

要條件.A與事件B互斥

（或互不相容）

對(duì)立事件一般地，如果事件

A和事件B在任何

一次試驗(yàn)中有且僅

有一個(gè)發(fā)生，即

AB—[2,且

AC\B=0,那么

稱事件A與事件B

互為對(duì)立事

件.事件A的對(duì)立

事件記為萬

4、互斥事件與對(duì)立事件的判斷方法

(1)從概念看,對(duì)立事件必是互斥事件,兩個(gè)對(duì)立或互斥的事件不可能同時(shí)發(fā)生，但對(duì)

立事件有且只有一個(gè)發(fā)生,而互斥事件有可能都不發(fā)生，即互斥事件至多有一個(gè)發(fā)生.

(2)從集合觀點(diǎn)看,表示互斥事件與對(duì)立事件的集合的交集都是空集,表示兩個(gè)對(duì)立

事件的集合的并集為全集,而表示兩個(gè)互斥事件的集合的并集不一定是全集.

(3)從概率之和看，事件a的對(duì)立事件才，則有PQ4)+PQ4)=1；事件a與事件B互

斥，則PCA)+P(B)<1.

5、古典概型

(1)古典概型的定義:具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)成為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為

古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.

①

(2)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn):一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概

型的兩個(gè)特征：

(如:下列三個(gè)試驗(yàn)都不是古典概型:(1)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，但非可能;(2)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無

限,(2)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限，但非等可能;)

(3)古典概型的概率計(jì)算公式：

設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間a包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含m(m<n)個(gè)樣本點(diǎn)，

則

PQ4)=

6、概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)

1對(duì)任意的曼華a,都有PQ4)>0

性質(zhì)必然富件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(A)=l,p(0)=0

2

如果事件A與事件B互斥，那么PQ4UB)=PQ4)+P(B).

性質(zhì)推廣:如果事件44n兩兩互斥，那么事件&U&U…U4n發(fā)生的概

3率等于這租個(gè)事件分別發(fā)生的

概率之和，即PQ41U人2U???UAm')=P(4)+P(^2)+…+P(An)

性質(zhì)如果事件4與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1-PQ4),PQ4)=1—

4P(B)

性質(zhì)

1對(duì)任意的費(fèi)件a,都有PQ4)>0

性質(zhì)如果AQB，那么PQ4)<P(B)

5

性質(zhì)設(shè)4B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則PQ4UB)=PQ4)+P⑻-

6P(AnB)

7、相互獨(dú)立事件

(1)相互獨(dú)立事件的概念:事件a(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或a)發(fā)生的概率沒有

影響,這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

判斷依據(jù):任意兩個(gè)事件4與B，事件A與事件B相互獨(dú)立"PQ4B)=P(a)P(B)

8、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

(1)必然事件n、不可能事件。與任意事件相互獨(dú)立；

(2)當(dāng)事件A與事件B相互獨(dú)立,則事件A與B；a與歷月與月也相互獨(dú)立.

(3)事件A與事件B相互獨(dú)立,則兩個(gè)事件都發(fā)生的概率:PQ4B)=PQ4)P(B)9、相

互獨(dú)立事件的概率的求解

與相互獨(dú)立事件4B有關(guān)的概率的計(jì)算公式如下表所示：

事件4B發(fā)生

的情形概率計(jì)算公式

A,B同時(shí)發(fā)生PQ4B)=PQ4)P⑻

A,B都不發(fā)生P(ZB)=P(1)P(瓦)=(1-PQ4))(1-P⑻)=1一PQ4)-

P⑻+PQ4)P(B)轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件.

A,B至少有一P(AB+AB+AB}=1-P(AB}=1-PQ4)P(B)

個(gè)不發(fā)生

A,B至少有一P(AB+AB+AB}=1一P(ZB)=1一P(Z)-=P(A)+

個(gè)發(fā)生P(B)-P(A)P(B)

A.B恰有一個(gè)發(fā)P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=PQ4)P(萬)+P(Z)P(B)=

生PQ4)+P⑻-2PQ4)P(B)

10、n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率:P率…A〉=PG4I>PQ42)……P(4J(注意

理解幾個(gè)獨(dú)立事件的含義)11、條件概率

⑴在已知事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率:P(B|4)=

(2)條件概率的性質(zhì)：

設(shè)PQ4)>0,a為樣本空間，則

I)P(BM)e[O,1],P(0Z)=1；

2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC|a)=P(B|a)+P(C|A);

3)設(shè)月和B互為對(duì)立事件，則P(B?a)=i-P(B?a).

(3)概率乘法公式:對(duì)于任意兩個(gè)事件a與B,

若PQ4)>0，則PQ4B)=PQ4)P(BI4).若P(B)>0，則P(AB)=P(B)PQ4|B).

12、全概率公式:設(shè)4,&，,?,，是一組兩兩互斥的事件,4u&u…0/=a,且

p(4)>0,(i=1,2,…,71),則對(duì)任意事件B有P(B)=%P(4)?P(B|4).

13、全概率公式的意義：

全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計(jì)算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時(shí)，可以先找

到樣本空間D的一個(gè)劃分=4“2U…"n，41,4,…，/兩兩互斥，將

4建看成是導(dǎo)致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個(gè)部分，分

別計(jì)算P(B|Ai),P(B|4)，…,P(BI4J,再利用全概率公式求解.14、貝葉斯公式

設(shè)41，人2,…，是一組兩兩互斥的事件,&U&U…U4t=

a,且P(4)>0,i=1,2,…，九，則對(duì)任意的事件BU優(yōu)P(B)>0,有

=P(4)P(B|4)

后驗(yàn)概率.P(4IB)=PS鬻4)，幾

―X￡=1P(4QP(B|4Q=1,2,…

貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因.

貝葉斯公式的思想是“執(zhí)果溯因”.它可以幫助人們確定某結(jié)

果(事件B)發(fā)生的最可能的原因。

15、隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量

(1)隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間n中的每個(gè)樣本點(diǎn)3，都有唯一的實(shí)數(shù)X(M)

與之對(duì)應(yīng)，則稱x為隨機(jī)變量.通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，如x,y,z；用小寫

英文字母表示隨機(jī)變量的取值，如:x,y,Z.

(2)離散型隨機(jī)變量:可能取值為有限個(gè)或者可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型

隨機(jī)變量.

16、離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)定義：

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為久1，K2,…，Kn，我們稱X取每一個(gè)

值勺的概率

P(x-Xi)=Pi，i=1,2,■-■,n

為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.(2)分布列表格表示

PPlP2Pn

說明：分布列也可以用等式形式表示:P(X=Xi)=Pi，i=也可以用圖形

表示

17、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(兩條)：

①(ii)

18、離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

(1)均值(期望):E(X)=/pi+x2p2+■■-xvpn=Pi

(2)方差:D(X)=(%—E(X))2pi+&-E(X))2p2+…+(Xn一E(X))2pn=

斃i(X-E(X))2pi

并記:VW)為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差.

注:D(X)=蜻Pi-(EQ))2(重要公式)

19、均值(期望)與方差的性質(zhì)

⑴E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X)

(2)均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值

和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平;隨機(jī)變量的方程刻畫了隨機(jī)變量

的取值與其均值的偏離程度，或者說反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.20、伯努利實(shí)

驗(yàn)(獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn))

(1)定義:把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利實(shí)驗(yàn)；

(2)n重伯努利實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)特征:①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;(ii)各次試驗(yàn)的

結(jié)果相互獨(dú)立.21、幾個(gè)重要的分布

(1)兩點(diǎn)分布：

X01

p1—pP

則稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布.

期望(均值):EX=p;DX=p(l-p)

(2)二項(xiàng)分布

在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)用X表示事

件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：

P(X=k)=

隨機(jī)變量X具有上式的形式，則X?B(n,p).

如果X?B(n,p)，那么E(X)=_,D(X)=

(3)超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不

放回)，用X表示抽取的幾件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

其中n,N,MEN*,M<N,n<N,m—max{0,n—N+M],r—min{n,M}.如果隨機(jī)

變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布

(hypergeometricdistribution).

如果X服從超幾何分布，則EX=n.^(記憶);DX=展張(1T)?(三)(了解)⑷

超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別''

L超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布,表面上看,兩種分

布的概率求解有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布列，會(huì)發(fā)現(xiàn)其相似點(diǎn).例如：

若有N件產(chǎn)品,其中M件是次品，無放回地任意抽取n件淇中恰有X件次品，則X

是服從超幾何分布的.若改成:有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n

件，其中恰有X件次品，則X是服從二項(xiàng)分布的.兩種分布的差別就在于"有放回地抽

取“與“無放回地抽取”,只要將概率模型中的“無”改為“有",或?qū)?有"改為"無"，就可

以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化.

2.在次品件數(shù)為確定數(shù)M的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取幾件(由于產(chǎn)品件數(shù)N無限

多，無放回與有放回?zé)o區(qū)別，故可看作n重

伯努利試驗(yàn)工其中含有次品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布.

21、二項(xiàng)分布中的最大值問題(見課本選擇性必修三P81探究與發(fā)現(xiàn))22、正態(tài)

分布

(1)正態(tài)密度曲線

-1(A”

函數(shù)/(x)=其豕e一彳二xGR.其中〃eRR>0為參數(shù).

為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/(%)，則稱隨機(jī)變量X服從

正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X?N(〃,cr2).

特別地，當(dāng)〃=OR=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

(2)正態(tài)分布的均值和方差

若X?N(〃R2),則E(X)=_,D(X)=

(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：

1)曲線位于%軸上方，與x軸不相交;x軸是漸近線.

2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線久=〃對(duì)稱；

3)曲線在尢=〃處達(dá)到峰值高；

4)當(dāng)|%|無限增大時(shí)油線無限接近x軸；

5)對(duì)任意的o->0,曲線與x軸圍成的面積總為1;

6)在參數(shù)0取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由〃確定,且隨著〃變化沿x軸平移，如圖甲

所示；

7)當(dāng)〃取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由。確定，當(dāng)<7較小時(shí)，峰高油線“瘦高”，表示隨機(jī)

變量X的分布比較集中；當(dāng)a較時(shí)，峰值低油線"矮胖"，表示隨機(jī)變量X的分布比較

分散,圖乙所示.

圖甲圖乙

(4)3(y原則

(1)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(記憶)

P(〃—(T<X</Z+CF)?

P(〃—2a<X<ii+20)x

P(〃—+3cr)x

(2)3。原則(能解釋描述，課本選擇性必修三P86)

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(〃,02)的隨機(jī)變量X只?。邸?30,〃+

3(7］中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3。原則.

【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】

人教A版必修二P246

7.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽，隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽,根據(jù)下列條件

求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相等整數(shù)的概率：

(1)標(biāo)簽的選取是不放回的；

(2)標(biāo)簽的選取是有放回的.

8.從長(zhǎng)度為135,7,9的5條線段中任取3條，求這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概

率.

人教A版必修二P247

11.某人有4把鑰匙,其中2把能打開門.如果隨機(jī)地取一把鑰匙試著開門，把不能開

門的鑰匙扔掉,那么第二次才能打開門的概率有多大？如果試過的鑰匙又混進(jìn)去,第

二次才能打開門的概率又有多大？

14.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲3次,求下列事件的概率：

(1)沒有出現(xiàn)6點(diǎn)；

(2)至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)；

(3)三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為9.

人教A版必修二P253

(第5題)

5.如圖，一個(gè)正八面體,八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀

察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為白={1,234,5,6,7,81,構(gòu)造適當(dāng)?shù)?/p>

事件A,B,C,使PQ4BC)=P(A)P(B)P(C)成立，但不滿足A,B,C兩兩獨(dú)立.

人教A版必修二P262

6.在一個(gè)袋子中放6個(gè)白球,4個(gè)紅球,搖勻后隨機(jī)模球3次,采用放回和不放回兩

種方式摸球.設(shè)事件4="第i次摸到紅球”,i=1,2,3.

(1)在兩種摸球方式下分別猜想事件發(fā)生的概率的大小關(guān)系；

(2)重復(fù)做10次試驗(yàn)，求事件442,4發(fā)生的頻率,并填人下表.

放回摸球不放回摸球

/io(4)

/io(4)

/io(4)

(3)在兩種摸球方式下，第3次摸到紅球的頻率710G43)差別大嗎？在不放回摸球方式

下，事件&的頻率差別大嗎？請(qǐng)說明原因.

人教A版必修二P262

5.一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球,6個(gè)綠球,采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球.

(1)求第二次取到紅球的概率；

(2)求兩次取到的球顏色相同的概率；

(3)如果是4個(gè)紅球，幾個(gè)綠球，已知取出的2個(gè)球都是紅球的概率為二那么n是多

6

少?人教A版選擇性必修三P48

1.設(shè)aUB,且PQ4)=0.3,P(B)=0.6.根據(jù)事件包含關(guān)系的意義及條件概率的意義,

直接寫出P(B|4)和P(A|B)的值，再由條件概率公式進(jìn)行驗(yàn)證.

人教A版選擇性必修三P48

3.袋子中有10個(gè)大小相同的小球,其中7個(gè)白球,3個(gè)黑球.每次從袋子中隨機(jī)摸出

1個(gè)球,摸出的球不再放回.求：

(1)在第1次摸到白球的條件下,第2次摸到白球的概率；

(2)兩次都摸到白球的概率.

人教A版選擇性必修三P48

2.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%,次品率為5%;第二批占60%,次品率為4%.

將兩批產(chǎn)品混合,從混合產(chǎn)品中任取1件.

(1)求這件產(chǎn)品是合格品的概率；

*(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批產(chǎn)品的概率.人教A版選擇性必修三P52

3.甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次,已知甲命中目標(biāo)的概率為0.6,乙命中目標(biāo)的

概率為0.5.已知目標(biāo)至少被命中1次，求甲命中目標(biāo)的概率.

4.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球,其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有

8個(gè)紅球、2個(gè)白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲箱子隨機(jī)摸

出1個(gè)球;如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6，從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球.求摸到紅球的概率.

人教A版選擇性必修三P53

5.在A,B,C三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設(shè)

這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為5:7:8，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人.

(1)求這個(gè)人患流感的概率；

*(2)如果此人患流感,求此人選自A地區(qū)的概率.

6,已知PQ4)>0,P(B)>0,P(B|A)=P(B)，證明:PQ4|B)=PQ4).

10.證明：當(dāng)PQ4B)>0時(shí),PQ4BC)=P(A)P(B|A)P(CIAB).據(jù)此你能發(fā)現(xiàn)計(jì)算

PCA^-AJ的公式嗎？

人教A版選擇性必修三P61

5.老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦,規(guī)定至少要背出其中2

篇才能及格.某位同學(xué)只能背誦其中的6篇,求：

⑴抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列;

(2)他能及格的概率.

6.某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會(huì).一旦某次考試通過,便可

領(lǐng)取資格證書,不再參加以后的考試,否則就繼續(xù)參加考試,直到用完3次機(jī)會(huì).李明

決定參加考試,如果他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.708，且每次考試是否

通過相互獨(dú)立，試求：

(1)李明在一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列；

(2)李明在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率.

人教A版選擇性必修三P66

1.已知隨機(jī)變量x的分布列為

X12345

P0.10.30.40.10.1

(2)求E(3X+2).

人教A版選擇性必修三P66

1.已知隨機(jī)變量x的分布列為

X1234

P0.20.30.40.1

求。(X)和a(2X+7).

人教A版選擇性必修三P71

3.隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0,2,P(X=1)=a,P(X=2)=b,若E(X)=

1,求a和b.

5.證明:D(aX+b)=<I2D(X).

8.設(shè)E(X)=%a是不等于〃的常數(shù)，探究X相對(duì)于〃的偏離程度與X相對(duì)于a的偏

離程度的大小關(guān)系,并說明結(jié)論的意義.

人教A版選擇性必修三P74

例2圖7.4-2是一塊高爾頓板的示意圖.在

圖7.4-2

一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適當(dāng)

的空隙作為通道,前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放人，小球下落的過程中，每次

碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右

分別編號(hào)為0,1,2,…,10用X表示小球最后落人格子的號(hào)碼，求X的分布列.

人教A版選擇性必修三P75

例3甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率

為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？

人教A版選擇性必修三P75

3.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下,從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右

移動(dòng)一個(gè)單位,共移動(dòng)6次.求下列事件的概率.

O-------O------O-------O-------O----O-------O-------O-------O-------O-------O-------O-------O

-6-5-4-3-2-10123456

(第3題)

(1)質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)；

(2)質(zhì)點(diǎn)位于4的位置.

人教A版選擇性必修三P81

7.一個(gè)車間有3臺(tái)車床，它們各自獨(dú)立工作.設(shè)同時(shí)發(fā)生故障的車床數(shù)為X，在下列兩

種情形下分別求X的分布列.

(1)假設(shè)這3臺(tái)車床型號(hào)相同，它們發(fā)生故障的概率都是20%;

(2)這3臺(tái)車床中有A型號(hào)2臺(tái),B型號(hào)1臺(tái),A型車床發(fā)生故障的概率為10%,B型

車床發(fā)生故障的概率為20%.

人教A版選擇性必修三P87

1.設(shè)隨機(jī)變量X?N(O,1)，則X的密度函數(shù)為,P(X<0)=

P(|X|<1)=p(Xw1)=P(X>1)=.(精確到0.0001.)

4.袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g,規(guī)定誤差的絕對(duì)值不超過4g就認(rèn)為合格.假設(shè)誤差

服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取100袋食鹽,誤差的樣本均值為0,樣本方差為4.請(qǐng)你估計(jì)

這批袋裝食鹽的合格率.

人教A版選擇性必修三P90

3.假設(shè)有兩箱零件,第一箱內(nèi)裝有10件,其中有2件次品;第二箱內(nèi)裝有20件,其中

有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱,然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件.

(1)求取出的零件是次品的概率；

*(2)已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.

人教A版選擇性必修三P91

4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.

X012

P0.36l-2qq2

求:⑴常數(shù)q的值;(2)E(X)和D(X).

5.已知隨機(jī)變量X取所有的值1,2,…,乃是等可能的，且E(X)=10,求n的值.

6.已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.3，現(xiàn)在ri門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次

⑴當(dāng)九=10時(shí)，求恰好擊中目標(biāo)3次的概率(精確到0.001);

(2)如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過95%，至少需要多少門大炮？

9.一份某種意外傷害保險(xiǎn)費(fèi)為20元，保險(xiǎn)金額為50萬元.某城市的一家保險(xiǎn)公司一

年能銷售10

萬份保單，而每一份保單需要賠付的概率為IO-.利用計(jì)算工具求(精確到0.0001):

(1)這家保險(xiǎn)公司在這個(gè)險(xiǎn)種上虧本的概率；

(2)這家保險(xiǎn)公司在這個(gè)險(xiǎn)種上一年內(nèi)獲利不少于100萬元的概率.人教A版選擇性

必修三P91

10.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等

可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.

11.某單位有10000名職工，想通過驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者.假設(shè)攜帶病毒

的人占5%,如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn),就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專家提出了

一種化驗(yàn)方法:隨機(jī)地按5人一組分組,然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn).如果

混合血樣呈陰性,說明這5個(gè)人全部陰性;如果混合血樣呈陽性,說明其中至少有一

人的血樣呈陽性,就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.

(1)按照這種化驗(yàn)方法能減少化驗(yàn)次數(shù)嗎？

(2)如果攜帶病毒的人只占2%，按照k個(gè)人一組,k取多大時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少？

12.某城市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考,假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布N(75,82).如果按照

16%,34%,34%,16%的比例將考試成績(jī)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分

數(shù)線(精確到1).人教B版必修二P105

(4)已知事件A與B互斥，判斷A與B的關(guān)系，以及4與月的關(guān)系.

(5)設(shè)A,為三個(gè)事件，說明下列各式所表示的意義：

(1)ABC;(2)A+B+C;(3)ABC+ABC+ABC.

人教B版必修二Pill

2把一個(gè)體積為64cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成64個(gè)體積為1cm3

的小正方體,從中任取一塊,求取到的小正方體只有一面涂有紅漆的概率.

(3)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a,b,求使logab為整數(shù)的概率.

齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中

等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)

齊王與田忌各出上等馬、中等馬、下等馬一匹，進(jìn)行三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)雙方均任意

選一匹馬參賽，勝兩場(chǎng)或兩場(chǎng)以上的人獲勝.求田忌獲勝的概率.

(5)甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，用合適的符號(hào)寫出樣本空間,并求選

出的2名教師性別相同的概率；

(2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，用合適的符號(hào)寫出樣本空間,并求選出的2名

教師來自同一學(xué)校的概率.

人教B版必修二P117

(4)某盒子內(nèi)裝有三種顏色的玻璃球,一位同學(xué)每次從中隨機(jī)拿出一個(gè)玻璃球,觀察

顏色后再放回,重復(fù)了50次,得到的信息如下:觀察到紅色26次、藍(lán)色13次.如果

從這個(gè)盒子內(nèi)任意取一個(gè)玻璃球,估計(jì)：

(1)這個(gè)球既不是紅色也不是藍(lán)色的概率；

(2)這個(gè)球是紅色或者是藍(lán)色的概率.人教B版必修二P121

(3)用定義與概率的性質(zhì)證明,當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，才與B也獨(dú)立.(提示：

P(B)=P((A+A)B)=P5B+AB)=P(AB)+P(AB).

人教B版必修二P122

⑸已知事件4B相互獨(dú)立，且PQ4B)=[P(AB)=2,求PQ4),P⑻.人教B版必

416

修二P122

(1)已知事件A,B相互獨(dú)立,若事件A發(fā)生的概率為p，事件B發(fā)生的概率為1-p,

試求a與B同時(shí)發(fā)生的概率的最大值.

有四張同樣大小的卡片，上面標(biāo)有數(shù)字，如圖

□□□El

(第2題)

所示.從這四張卡片中任抽一張,令事件4:“抽到卡片上有數(shù)字〃■=1,2,3，試判斷

AltA2,A3是否相互獨(dú)立.

人教B版必修二P129

0某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人

本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下.

上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

保費(fèi)0.85a1.25a1.5a1.75a2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表.

上年度出險(xiǎn)次數(shù)0123425

頻數(shù)605030302010

(1)記A:一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)，求P(A)的估計(jì)值；

(2)記B:一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%,求P⑻

的估計(jì)值.

人教B版必修二P129

(2)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是，甲隊(duì)只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊(duì)

需要再贏兩局才能獲得冠軍.若兩隊(duì)的水平相當(dāng)，求甲隊(duì)獲得冠軍的概率.

(3)某項(xiàng)選拔共有四輪考核,每輪設(shè)有一個(gè)問題,能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核,

否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為

3|,|《，且各輪問題能否回答正確互不影響.

(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；

(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.人教B版必修二P129

(4)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,已知甲機(jī)床加工的零件是一

等品且乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為:，乙機(jī)床加工的零件是一等品且丙

機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為七，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的

概率為|.

(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn),求至少有一個(gè)一等品的概率.人教B

版必修二P132

3.如果x1,x2,---,xn的平均數(shù)為元，即元=，求證：

nn

{(修—%)2=WXi—nx2.

i=li=l

4.在一次讀書活動(dòng)中，一位同學(xué)從3本不同的科技書和2本不同的文藝書中任選2

本,求所選的書中既有科技書又有文藝書的概率.人教B版必修二P133

BI，

5.現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A］，A2,A3通曉日語,B2,B3通曉俄語，

G，C2通曉韓語.從中隨機(jī)選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,組成一個(gè)小

組.

⑴求A1被選中的概率；

(2)求Bi和J不全被選中的概率.

6.一種電路控制器在出廠時(shí),每3件一等品應(yīng)裝成一箱.工人裝箱時(shí),不小心將2件

二等品和1件一等品裝人了一箱，為了找出該箱中的二等品，對(duì)該箱中的產(chǎn)品逐件

進(jìn)行測(cè)試.假設(shè)檢測(cè)員不知道該箱產(chǎn)品中二等品的具體數(shù)量,求：

(1)僅測(cè)試2件就找到全部二等品的概率;

(2)測(cè)試的第2件產(chǎn)品是二等品的概率；

(3)到第3次才測(cè)試出全部二等品的概率.人教B版必修二P133

7.近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物

和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,

現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)lOOOt生活垃圾.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:t).

“廚余垃圾"箱"可回收物"箱“其他垃圾"箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；

(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾"箱、“可回收物"箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為

a,b,c,其中a>0,a+b+c-600，當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時(shí),寫出a,b,c的值

(結(jié)論不要求證明)，并求此時(shí)s2的值.

8.已知A,B兩組各有7位病人.他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天)記錄

如下：

A組:10,11,12,13,14,15,16;

B組:12,13,15,16,17,14,%

假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立.從A,B兩組隨機(jī)各選1人,A組選出的人記為

甲,B組選出的人記為乙.

(1)求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；

(2)如果a=25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率；

(3)寫出a為何值時(shí),A,B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等(結(jié)論不要求證明).

9.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人

獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投

中的概率為1，且各次投籃互不影響.”

(1)求乙獲勝的概率；

(2)求投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了2個(gè)球的概率.

人教B版必修二P134

3.某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表

所示(單位:人工

參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)

■口局正在團(tuán)85

未參加演講社團(tuán)230

(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；

(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2,

4,24,4,3名女同學(xué)當(dāng),殳,生.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，

求A1被選中且B1未被選中的概率.人教B版選擇性必修二P50

假設(shè)Af表示事件,i=1,2,3，且P(4)>0,PGM2)>0.證明

PL)=PQ41)PQ42I4)P(4I44)

一定成立，其中P(A3|AtA2)表示已知4與A2都發(fā)生時(shí)必發(fā)生的概率，而

P(4&&)表示&,4，4同時(shí)發(fā)生的概率.并通過具體實(shí)例來理解上式.

人教B版選擇性必修二P57

(4)已知PQ4)=0.5,P(B|4)=0.2，求P(BA)與P(BA).

人教B版選擇性必修二P58

在某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，在甲、乙兩人先后進(jìn)行抽獎(jiǎng)前，還有20張獎(jiǎng)券，其中共有3

張寫有“中獎(jiǎng)”字樣.假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完之后乙再抽,求：

(1)甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)的概率；

(2)甲沒中獎(jiǎng)而且乙中獎(jiǎng)的概率.

⑸假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格

率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%.在該市場(chǎng)中隨機(jī)購買一個(gè)燈泡，已知買到的是

合格品，求這個(gè)燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率(精確到0.1%).

人教B版選擇性必修二P62

如圖所示,已知一個(gè)系統(tǒng)由甲、乙、丙、丁

(第2題)

4個(gè)部件組成.當(dāng)甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作時(shí)，系統(tǒng)就能正常工作.若

每個(gè)部件的可靠性均為r(O<r<1),而且甲、乙、丙、丁互不影響.求系統(tǒng)的可

靠度.

(3)針對(duì)某種突發(fā)性的流感病毒，各國(guó)的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制疫苗.已知甲、乙兩

個(gè)機(jī)構(gòu)各自研制成功的概率為31,而且兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，求：

(1)甲、乙都研制成功的概率；

(2)甲機(jī)構(gòu)研制成功且乙機(jī)構(gòu)研制不成功的概率；

(3)甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)中，至少有一個(gè)研制成功的概率.

人教B版選擇性必修二P62

(5)證明：當(dāng)PQ4)>O,P(B)>0且P(B|A)=P(B)時(shí)，有

P(B|A)=P?,P(B|A)=P(B),P(g|A)=P(B).

你能給出這個(gè)結(jié)論的直觀解釋嗎？人教B版選擇性必修二P62

(1)袋中有a個(gè)白球,b個(gè)黑球，且a,b均為正整數(shù)，從中任意取一球，不放回,然后再取

一球,求第二次取到白球的概率.

(2)擲紅、藍(lán)兩個(gè)均勻的骰子，已知兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)不同，求其中至少有一個(gè)6點(diǎn)的

概率.

(3)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.75,連續(xù)兩天

為優(yōu)良的概率是06,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良

的概率是多少?人教B版選擇性必修二P62

(5)已知P(3)=0.6,P(B|A)=0.35,P(B|A)=0.2,求P(M,PQ4|B).

人教B版選擇性必修二P62

⑴當(dāng)0<PQ4)<1時(shí),求證:P(B|A)=P(B)的充要條件是P(B|A)=P(B).

(2)當(dāng)PQ4)>0且P⑻>0時(shí),求證:P(B|A)=P(B)的充要條件是

P(AIB)=P(A).

人教B版選擇性必修二P73

(4)已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布.

(1)求P(X=0);

(2)