江西省2023年中考備考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 銳角三角函數(shù) 練習(xí)題(含解析)

江西省2023年中考備考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)練習(xí)題

一、單選題

1.（2022?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模）劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，

利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的周長.如圖，正十二邊形的邊長是4,則可求出此十二

邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計力的值，下面乃的值正確的是（）

2.（2022?江西贛州?統(tǒng)考一模）如圖，將邊長為石的正方形繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)30。，那么圖中陰影部分的

面積為（）

D

B(B)

A.3B.V3C.3-73D.1+73

3.（2022.江西九江.統(tǒng)考二模）如圖，ZMON=60°.①以點。為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OM、

ON于點A,C；②分別以A,C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點8；③連接AB、BC.若。4=8cm,

則四邊形048c的面積為（）

A.ggcn?B.24cm2

1

C.16^/3cm2D.32y/3cm2

二、填空題

4.（2022?江西?模擬預(yù)測）如圖，在MABC中，/BAC=90。，AD1BC,垂足為點線段AE與線段

C。相交于點孔MAE=AB,連接。E,ZE=ZC,若AD=3DE,則cosE的值為.

5.（2022?江西撫州?統(tǒng)考一模）已知的半徑為2,AB是。的弦，點尸在，;。上，A3=26.若點尸到

直線AB的距離為1,則ZPAB的度數(shù)為.

6.（2022?江西九江?統(tǒng)考三模）如圖，矩形428中，AB=3,短>=2々，點E是BC的中點，點尸在

上，F(xiàn)B=1,尸是矩形上一動點.若點P從點尸出發(fā)，沿尸-A->O-?C的路線運動，當(dāng)NFPE=30。時，

FP的長為.

AD

7.（2022.江西萍鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=4正，點E是BC的中點，點F在

AB上，F(xiàn)B=2,P是矩形上一動點.若點P從點F出發(fā)，沿FTATD—C的路線運動，當(dāng)/FPE=30。時,

8.（2022?江西贛州?統(tǒng)考二模）平面直角坐標(biāo)系中,。交x軸正負半軸于點A、B,點、P為。外》軸正

2

半軸上一點，C為第三象限內(nèi)。上一點，交CB延長線于點已知=PH=15,

9.（2022?江西萍鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊ABC的邊3C在x軸上，其中點

B（2,0）,C（4,0）,將ABC向左平移，某直線經(jīng)過點（2,2）,（4,3）,當(dāng)點A落在此直線上時，則平移的距離

為.

10.（2022?江西贛州?統(tǒng)考二模）如圖1,鄰邊長為2和6的矩形分割成①，②，③，④四塊后，拼接成如圖

2不重疊、無縫隙的正方形ABCD,則圖1中￡：戶的長為.

圖1圖2

H.（2022.江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模）如圖，直線尸-且無+g與坐標(biāo)軸分別交于48兩點，在平面直角坐

3

標(biāo)系內(nèi)有一點G使△A3C與△ABO全等，則點。的坐標(biāo)為.

3

12.（2022?江西宜春?統(tǒng)考一模）如圖，在mAABC中，ZC=90°,ZB=30°,8C=12,點。為8c的中

點，點E為A3上一點，把△沿。E翻折得到^FDE,若FE與44BC的直角邊垂直，則BE的長為.

13.（2022?江西九江?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的高，圖中線段上一動點E,

若滿足AE=CE,AB=4,NR4c=30。，則以AE為邊長的正方形面積是.

14.（2022?江西南昌?統(tǒng)考二模）如圖，點E是矩形ABCD邊AB上一點，將VADE沿著OE翻折得到一ADE,

AE與。C交于/點，若AD=后,AE=3,則EF=

4

三、解答題

15.(2022?江西萍鄉(xiāng)?統(tǒng)考二模)如圖，雙曲線y=-(x>0)經(jīng)過RtZXAOB斜邊的中點P,交直角邊A3于點。,

X

連接。(2,點A的坐標(biāo)為(8,4).

⑴求直線。。的解析式；

(2)求sin/QOA的值.

16.(2022?江西贛州?統(tǒng)考一模)如圖，在AABC中，/AC8=90。，點。在邊8c上，以點。為圓心，OB

為半徑的。。交于點E,。為。。上一點，點2是弧。E中點.

(1)如圖1,若AE=BE,求證：四邊形ACDE是平行四邊形；

(2)如圖2,若OB=OC,BE=2AE,求tan/CAD的值.

17.（2022?江西新余?統(tǒng)考一模）

（1）計算：|-2|-3tan60°+（2>/3）°+V12

k

18.(2022?江西上饒?統(tǒng)考二模)圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線％=—(人4°)分別相交于第

X

2

二、四象限內(nèi)的A(m,4),8(6,小兩點，與x軸相交于C點，與y軸相交于。點.已知OC=3,tanZACO=

5

（1）點C坐標(biāo)是，點。坐標(biāo)是

（2）求月,%對應(yīng)的函數(shù)表達式;

（3）求AC?的面積.

19.（2022?江西九江?統(tǒng)考二模）如圖，在AO3中，AO=BO,AB與，。相切于點C,延長8。交，。于

點尸、Q.連接CP,CQ.

⑴若ZA=30。，求NCP。的大小.

⑵若tan/CPQ=5，。的半徑為3石.求邊的長度.

20.（2022.江西宜春.統(tǒng)考一模）計算：

0

(1)+括-2|+tan60°；

/、2m—4m-11

(2)———土-----------

m-4m+2m-1

21.（2022?江西贛州?統(tǒng)考一模）（1）計算：（%-3）°+I|-V12+2sin60o

1

（2）化簡:

x+2

22.（2022.江西南昌?統(tǒng)考二模）(1)計算：-+sin30°-|-l|；

2

11

（2）化簡:

x2-1X2—X9

-2

23.（2022?江西萍鄉(xiāng)?統(tǒng)考二模）計算：|-3|+(V5+7i-2cos60°.

24.（2022?江西撫州?統(tǒng)考一模）（1）計算:后一3tan60°+(%—2)°；

6

（2）已知：如圖，在YABCD中，點E、/分別在AD、8c上，且8E平分ABC,EF.求證：四邊形

是菱形.

25.（2022?江西南昌?模擬預(yù)測）（1）計算：卜-亞卜2cos45。+

（2）如圖，在AABC中，ZACB=90°,角平分線AE與高C￡＞交于點F,求證：CE=CF.

26.（2022?江西吉安?統(tǒng)考一模）（1）計算：（-Ip。??+卜一退卜（6-3）。+2sin30。

(2)如圖，AB=5,DE=4,EF=8,求AC的長.

27.（2022.江西贛州?統(tǒng)考二模）如圖1,菱形ABC。中，AB=6.ZB=60°,四邊形EFGB的項點E,G分

另I」在邊BC和AB上，EF//CD,FG//AD,連接FD

（1）若。P平分NAOC,求證：四邊形EPGB為菱形；

（2）在（1）中的條件下，當(dāng)EC=2時，將四邊形EFG8繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，連接AG.

①猜想AG與。尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)GF過點C時，求sin/G8C的值.

7

nD

28.（2022?江西?統(tǒng)考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足

夠大的直角三角板尸所（々=90。,/尸=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，探

究直角三角板尸EF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,若將三角板的頂點P放在點。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)O尸與重合時，重疊部分

的面積為；當(dāng)。尸與8C垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,

在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積豆與S的關(guān)系為

（2）類比探究：若將三角板的頂點E放在點。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OEOP分別與正方形的邊相交于點

N.

①如圖2,當(dāng)=時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；

②如圖3,當(dāng)CM=OV時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；

（3）拓展應(yīng)用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為/GO"（設(shè)NGOH=a）,將

NGOH繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，NGOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為邑，

請直接寫出邑的最小值與最大值（分別用含。的式子表示），

（參考數(shù)據(jù)：sin15°=^--^-,cosl5o=^+^,tanl5°=2-^）

44

29.（2022.江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模）如圖，以△ABC的一邊A3為直徑的半圓。與邊AC,的交點分別為

8

點E,點D,且。是BE的中點?

(1)若NA=80。，求/DBE的度數(shù).

(2)求證：AB=AC.

(3)若。0的半徑為5cm,8C=12cm,求線段BE的長.

30.(2022?江西贛州?統(tǒng)考一模)圖1是小輝家一款家用落地式取暖器，如圖2是其豎直放置在水平地面上

時的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD是取暖器的主體，四邊形3EFC是底座.已知BC//EF,

NBEF=ZCFE=30。，且BE=CF,烘干架連桿GH可繞邊CD上一點H旋轉(zhuǎn)，以調(diào)節(jié)角度.已知C￡>=52cm,

BC=8cm,EF=20cm,DH=12cm,GH=16cm.

(1)求BE的長；(精確到0.1cm,73?1.73)

(2)當(dāng)NGHD=53。時，求點G到地面斯的距離.(精確到Qlcm,參考數(shù)據(jù)：sin53。。0.80,cos53。。0.60,

tan53°?1.33)

31.(2022?江西上饒?統(tǒng)考一模)2020年我國建成5G基站超60萬個，5G建設(shè)跑出“中國速度”.某地有一

個5G信號塔A3,小敏想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量信號塔AB的高度，她選擇用樹。和樓房來測量.首先

在樹的底部D處測得信號塔的頂部A的仰角為42。；然后她站在樓房上的點E處恰好看到樹的頂端C、信

號塔的頂端A在一條直線上.測得樹與樓房的距離。尸=12米，CD=12米，所=6米，已知點3、D、F

9

三點共線，AB1BF,CD1.BF,EF±BF,測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相關(guān)測量信息，求信號塔AB的高

度.（參考數(shù)據(jù)：sin42°s0.67,cos42yo.74,tan42°=0.90）

32.（2022?江西?統(tǒng)考中考真題）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知

AB//CD//FG,A,D,H,G四點在同一直線上，測得NEEC=4=72.9。,"）=1.66所=6.2m.（結(jié)

果保留小數(shù)點后一位）

圖1圖2

（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；

（2）求雕塑的高（即點G到的距離）.

（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°~0.96,cos72.9°?0.29,tan72.9°~3.25）

33.（2022?江西吉安?統(tǒng)考一模）首鋼滑雪大跳臺是世界上首個永久性的單板大跳臺，其優(yōu)美的造型，獨特

的設(shè)計給全球觀眾留下深刻的印象，大跳臺場地分為助滑區(qū)、起跳臺、著陸坡和終點區(qū)域4個部分.現(xiàn)將

大跳臺抽象成右邊的簡圖，F(xiàn)C表示運送運動員上跳臺的自動扶梯，。表示助滑區(qū)，口△/）￡8表示起跳

臺，仍表示著陸坡.已知NCE4=60。，NEBF=30°,在助滑區(qū)。處觀察到頂點C處的仰角是30。，且自

動扶梯的速度是2m/s,運送運動員到達跳臺頂端C點處需要30秒，BE=24m,DE//BF,CA,DG、EH

都垂直于BF.

（1）求大跳臺AC的高度是多少米（結(jié)果精確到0.1租）；

10

（2）首鋼滑雪大跳臺主體結(jié)構(gòu)采用裝配式鋼結(jié)構(gòu)體系和預(yù)制構(gòu)件，“助滑區(qū)”和“著陸坡”賽道面寬35米，面

板采用10根加耐候鋼，密度為7850kg/n?,求鋪裝“助滑區(qū)”和“著陸坡”賽道的耐候鋼總重量是多少噸（結(jié)

果精確到1噸）.（071.41,果"73）

11

參考答案:

1.D

【分析】連接半徑。打、OF,過0作F于H,求出NEO尸=360。+12=30。，根據(jù)等腰三角形三線合

一的性質(zhì)得到//0"=15。，EH=FH=2,利用三角函數(shù)求出。品根據(jù)正十二邊形的周長近似代替其外接圓

2

周長，列得2萬?一^=4x18,即可求出答案.

sin15°

【詳解】解：如圖，連接半徑。區(qū)OF,過0作0”，成于〃,

/EOF=360。+12=30°,OE=OF,

：.ZFOH=15°,EH=FH=2,

.八FH2

??OF=--------------=---------,

sinZFOHsin15°

???正十二邊形的周長近似代替其外接圓周長，

2萬------=4x18,

sin15°

解得加=12sinl5。，

故選：D.

EHF

【點睛】此題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，綜合應(yīng)用各知

識點是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】根據(jù)已知條件可證出△C'BM,只需算出三角形的面積，用正方形面積減去2

倍的AABM的面積，即可算出陰影部分面積.

【詳解】解：如圖所示，連接由旋轉(zhuǎn)可知，

H向

12

?.?四邊形ABC。為正方形，

：.AB=CB',ZBAM^ZBCM=90°,

又；

所以在RtAABM與RtACBM中，

[AB=CB

所以RtXABMQRtACBM(HL),

VZABA1=ZCBC=3Q°,

：.ZABM=ZCBM=30°,

AM=AB-tan30°=l,

,,SAABM=1X73X-=^,

四邊形ABC'M的面積為：相，且正方形A2C￡＞面積為：6x6=3,

,陰影部分面積為：3-73,

故選：C.

【點睛】本題考查割補法求面積，全等三角形，以及三角函數(shù)的應(yīng)用，能夠熟練利用割補法求面積是解決

本題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】先確定。3是NMON的角平分線，得出NBON=30。，作于D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得

出/BCN=60。,解直角三角形求得BD,然后根據(jù)三角形面積公式求得4BOC的面積，進而求得四邊形OABC

的面積.

【詳解】解：由題意可知。8是/的角平分線，

ZM0N=6Q°,

NBON=30。,

作_LON于。，

,?f?C=BC=8cm,

：.ZBOC=ZOBC=30°,

13

ZBCD=60°,

:?BD=^BC=46,

2

?'?Sgga形OABC=OCxBD=8x4乖,=32垂),

故選：D.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，解直角三角形求得8。是解題的

關(guān)鍵.

4.—y/14

14

【分析】在A。取點G使AZ)=3AG,連接8G,證明(SAS),得出8G=AO=3OE=3AG,

由勾股定理得出BD=dBCf-D3=4^AG,AB=VAZ)2+BD2=V14AG,再由三角函數(shù)定義即可得出

答案.

【詳解】解：取A。上的點G使AO=3AG,連接BG,如圖所示：，

\9AD=3DE,

：.DE=AG,

VZBAC=90°,AD±BC,

：.ZABC+ZC=NA3C+N3AG=90。，

:?/C=/BAG,

?:NC=/E,

：.ZBAG=/E,

在A48G和AEA。中，

AB=EA

</BAG=/E,

AG=ED

：.AABG^AEAD(SAS),

：.BG=AD=3DE=3AGfDG=2AG,

BD=y/BG2-DG2=^(3AG)2-(2AG)2=也AG,

???A8=JAD?+BD2=J(3AG『+(B1G『=y/uAG

ABV14AG14

14

故答案為：誣

【點睛】本題考查的知識點有全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的性質(zhì)，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出全等

三角形，再結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)確定各邊之間的關(guān)系求解.

5.15°,30?；?05。

【分析】分三種情況：當(dāng)PCLAB交AB延長線上時，當(dāng)AB垂直平分OP時，當(dāng)點C在BA延長線上時，

利用三角函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)分別求出鉆的度數(shù).

【詳解】如圖1,

當(dāng)PC_LAB交AB延長線上時，過點O作OE_LAB于E,

AB=2』,

AE=,

VOA=2,

.*.cosZOAE=—^

OA2

：.ZOAE=30°,

AOE=1,

VPC=1,OE±AB,PC±AB,

APC=OE,PC/7OE,

???四邊形PCEO是平行四邊形，

AOPAC,

???NOPA=NPAB,

VOA=OP,

JZOAP=ZOPA=ZPAB,

.*.ZPAB=15°；

如圖2,當(dāng)AB垂直平分OP時，

VOP=2,APC=1,

VOA=2,OC=1,

15

.*.ZBAO=30o,

???ZAOC=60°,

VOA=OP,

???ZOAP=ZOPA=60°,

AAC±OP,

.*.ZPAB=30°；

如圖3,當(dāng)點C在BA延長線上時，可知四邊形POEC是平行四邊形,

???OP〃AB,

???NAOP=NOAB=30。，

VOA=OP,

NPAO=75。，

ZPAB=ZPAO+ZOAB=105°,

故答案為：15°,30?；?05。.

【點睛】此題考查圓的垂徑定理，平行四邊形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)，銳角三角函數(shù).

6.2或4或20

【分析】如圖，連接。尸，AE,DE,取。尸的中點O,連接。4、OE.以O(shè)為圓心O尸為半徑畫。。交8

于尸3.只要證明尸尸2尸=/尸尸3E=30。，即可推出尸P=2,尸尸2=4,尸尸3=2上解決問題.

【詳解】如圖，連接ORAE,DE,取。歹的中點。，連接。4、OE.以O(shè)為圓心。尸為半徑畫。。交CO

于B.

16

???四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD=ZB=90°,

9：BF=\,BE=6,AF=2,AO=20，

Ji

tanZFEB—tanZADF=——,

3

Z.ZADF=ZFEB=30°,

EF=《BF。+BE，=2,0F=0D=2,

.?.△OEF是等邊三角形，

/EP〕F=NFP2F=ZFP3E^30°,

:.FPI=2,FP?=4,FP3=26,

故答案為：2或4或2石.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的有關(guān)知識、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題.

7.4或8或4出

【分析】如圖，連接DF,AE,DE,取DF的中點O,連接OA、OE.以O(shè)為圓心畫。。交CD于P3.只

要證明/EPIF=NFP2F=/FP3E=30。，即可推出FPI=4,FP2=8,FP3=4百解決問題.

【詳解】如圖，連接DF,AE,DE,取DF的中點O,連接OA、OE.以O(shè)為圓心畫OO交CD于P3.

17

?..四邊形ABCD是矩形,

NBAD=NB=90°,

VBF=2,BE=24，AF=4,AD=40,

也

/.tanZFEB=tanZADF=——,

3

.?.NADF=NFEB=30°,

易知EF=OF=OD=4,

.?.△OEF是等邊三角形，

O

ZEP,F=ZFP2F=ZFP3E=30,

；.FPI=4,FP2=8,FP3=4近，

故答案為4或8或4G.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的有關(guān)知識、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題.

8.2

11

【分析】要求tan/BAC的值，可先求AC、BC,通過做輔助線，利用圓的對稱性、相似三角形、全等三角

形的性質(zhì)求出相應(yīng)的邊長即可.

【詳解】設(shè)尸3交。。于點N,連接以，延長尸2、AC交于點如圖所示，

?.乂8是直徑，PHLCB,

18

???ZANP=90°=ZACB=ZH,

:?MC〃PH,

由圓的對稱性可得，PB=PA,ZBPO=ZAPO=^ZAPB,

???ZBPH=2ZBPOf

：.NBPH=/APB,

：.APHB=APNACAAS),

：.PN=PH=15,

由MC〃PH得：ZHPB=ZM=ZAPM,

：.AM=AP=PB,

*：AN±PMf

:?PM=2PN=33

由△PHB?△MCB,

.MCBCMB

設(shè)AfC=mBC=b,MB=c,

.abc七b4

1524—b30-cc5

h43

=sinM=sinZHPB,即有cos/HP3=—,

c55

在放△PHB中，PH=T5,

?.?*嬴編=25,HB=sinZHPBxPB=20,

.?.BC=24-20=4,〃8=30-25=5,貝?。萘?=存=不=3,

在MAABC中，BC=4,AC=AM-MC=25-3=22,

42

tanABAC=—

AC2211

.?

故答案為：—.

【點睛】考查圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系等知識，綜合

應(yīng)用知識是解答本題的關(guān)鍵.

9.5-2A/3##-2A/3+5

【分析】過點A作AO垂直x軸于點。，則/4。8=90。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可得A。

的長，利用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點（2,2）,（4,3）的直線/,過點A作AE尤軸交直線/于點E,求出點E的

19

坐標(biāo)，求出AE,即可得到平移的距離.

【詳解】解：如圖，過點A作垂直x軸于點。，KiJZADB=90°,

VABC是等邊三角形，且點3(2,0),C(4,0)

：.BC=AB=AC=2,ZABC=60°

.\AD=AB*sin60o=2x--=#）

2

設(shè)直線/：>=丘+。經(jīng)過點（2,2）,（4,3）,

2=2k+b

得到

3=4上+6

k=-

解得2

Z?=1

丁?尸齊+1

過點A作AE.無軸交直線/于點E,

...當(dāng)時，尤=2/一2

，點E的坐標(biāo)是(26—2,73)

,點A的坐標(biāo)是(3,73)

：.AE=3~（2石-2）=5-273

平移的距離是5—2Q.

故答案為：5-273.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平移等知識，待定系

數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵.

10.6-30

【分析】由面積不變，求出正方形的邊長26，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理求出QG和G”的長，進

而求出EF.

【詳解】解：???矩形的鄰邊長為2和6

20

；?矩形的面積為2x6=12

?..正方形ABC。由①②③④拼成，且不重疊、無縫隙

，正方形的面積=矩形面積=12

*'.cr>=712=273

DG=yjcD2-GC2=7（273）2-22=272

si型272_76

CD2V3

VZ1+Z2=9O°

Z2+Z3=90°

.\Z1=Z3

sinZl=^=^

DH3

：.DH=3y/2

：.GH=DH-DG=3夜-2后應(yīng)

?*.￡F=6-72-272=6-372

【點睛】本題考查矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)求

邊長.

11.（3,后）或（|，手）或（|，-y-）

【分析】先求得A（0,g）,8（3,0）,再利用特殊角的三角函數(shù)值求得/A8O=30。，再分類討論即可求解.

【詳解】解：令x=0,則產(chǎn)后，令產(chǎn)0,則x=3,

/.A(0,73),8(3,0),

/.OA=，08=3,

■an/ABO噌=g,

21

ZABO=30°,ZBAO=60°,

當(dāng)時，

CiB=OA=^3,CiA=OB=3,

：.Ci(3,73)；

當(dāng)AOAB絲AC2AB時，

：.C2B=OB=3,C2A=OA=y/3,

oo

：.ZC2A￡>=180-60°-60=60°,則/DCM=30°,

：.AD=-C2A=—,DC=~,

2222

???C2(|)")；

當(dāng)AOA哈AC33A時，

同理得C3(1_,-3)；

22

綜上，點C的坐標(biāo)為（3,檔）或（；，地）或弓，

2222

故答案為：（3,萬）或（；，或（；，

2222

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，全等三角形的判定

和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

12.或6月或6

【分析】分三種情況：①當(dāng)FE±BC,如圖1設(shè)射線FE交BC于點、G,由小BDE沿OE翻折得到小FDE,

可得/8=//=30。，ZBDE=ZFDE=^ZBDF,再由EP_LBC得/BOE=/8=30。，于是可求出8G=OG=3,

從而可求出8E的長；②當(dāng)E/UBC時，可得BE=2GE=66；③當(dāng)E/UAC時，可得BE=BD=6.

【詳解】解：①當(dāng)/EL8C,設(shè)射線EE交BC于點G,如圖1,

22

A

F

D

圖1

ZB=30°,△班陀沿。石翻折得到△FDE,

ZB=ZF=30°,ZBDE=ZFDE=^ZBDF

EF±BC,

ZBDF=90°-30°=60°

???ZBDE=ZFDE=^/BDF=30。,

??.ZBDE=ZB=30°,

FE_LBC,

1-BG=DG=—BD=—x—BC=3,

222

在中，ZB=30°,BG=3,

BE=————=—A/3x3=2^3；

cos3003

②當(dāng)好LL8C時，如圖2,

圖2

ZB=30°,EFLBC,

.ZBEG=60°,

△BDE沿。片翻折得到△FDE,

1.ZBED=ZFED=^ZBEG=30°,

.ZBED=ZB=30°,

.BE=BD=—BC=6,

2

在Rt一DEG中，ZZ)EG=30°,DG=^DE=3,

23

GE=舊DG—3y[3

在RdBEG中，ZB=30°,

:.BE=2GE=673；

③當(dāng)EFJ_AC時，如圖3,

A

圖3

EF±AC,ZC=90°,

???EFUBC,

：.ZAEF=ZB=30°,

ABDE沿翻折得到小FDE,

ZBED=ZFED=^4BEF=75°,

：.ZBDE=1SQ°-ZBED-ZB=75°,

ZBDE=ZBED,

BE=BD=—BC=6,

2

綜上所述BE的長為26或6百或6,

故答案為：20或66或6.

【點睛】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是熟練運用含30。角的直角三角形三邊關(guān)系.

13.g或32-16Q或4

【分析】由題可知，點E在AC的垂直平分線上，由此可確定出點E的具體位置，即符合條件的點E有3個,

利用三角函數(shù)與勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：.AE=CE,

.?.點E在AC的垂直平分線上.

作AC的垂直平分線，交AB于耳，交于交AC于Z,則E2,當(dāng)都是符合題意的點E,且

“廠224

11AE[=------------=--------=—產(chǎn)=—產(chǎn)

AE3=—AC=—AB=2,cosABACcos300百指，

~2

4

EE=AE]sinABAC=xsin30°=

X3忑

24

A

過點E2作心尸，A5于尸，

AB=AC,AD1BC,

，AD平分NBA。，

又E2F1AB,E2E31AC,

/.E2F=E2E3.

設(shè)E2F=E2E3=x則64=64-占區(qū)二

￡[￡31AC,ZBAC=30°,

ZAE]￡3=60°,

EF真_-

???sinZA￡i￡=-^7r,即2一2

33廿

解得x=4—26，BPE2F=E2E3=4-273,

AE2=^AEf+E2El=百+(4-2我2=^32-16^.

4________

綜上，AE的長為耳或J32-16若或2.

???以AE為邊長的正方形的面積為g或32-166或4.

【點睛】本題考查了垂直平分線的判定，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的三線合一，三角函數(shù)的應(yīng)用,

勾股定理解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是找到所有符合條件的點E的位置.

14.2

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和4。=退，AE=3,可得NCDE=NAED=30。，再由折疊的性質(zhì)可得

25

ZA'DE=ZADE=60°,AD=AD=^3,A'E=AE=3,從而得到NA'￡)P=30。，進而得到A'尸=1,即可求

解.

【詳解】解：在矩形ABC。中，ZA=90°,CD//AB,

：.ZCDE=ZAED,

,/AD=y/3,AE=3,

.AD73

??tanNAED=----=—,

AE3

：.ZCDE=ZAED=30°,

：.ZADE=60°,

fr

根據(jù)題意得：ZADE=ZADE=60°,AD=AD=^fA!E=AE=3,

???NA'D尸=30。，

:./FDE=ZDEF=30。,

：.DF=EF,

A,F=A,D^nZA,DF=y/3x—=l,

3

：.DF=2,

：.EF=2.

故答案為：2

【點睛】本題主要考查了矩形和折疊，解直角三角形，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.⑴y=2x

【分析】(1)先求點A的坐標(biāo)為(8,4),將點P坐標(biāo)代入到雙曲線，='(x＞0)中，即可求出3得到y(tǒng)=§,

%X

再求出。(2,4),代入設(shè)直線。。的解析式為＞=雙，即可求解.

(2)過點。作于點。，求出Q。，。。的長，即可求得sin/QQ4=^=:.

(1)

解：：。4的中點是「，點八的坐標(biāo)為(8,4),

P(4,2).

???雙曲線＞=一。＞0)經(jīng)過點P；

X

左=4x2=8,

26

??.T.

X

*/AC?為直角三角形，

,?軸，

，A,。兩點的縱坐標(biāo)相等，均為4,

/.2(2,4).

設(shè)直線。。的解析式為＞=?，

4=2a,解得(1=2.

???直線。。的解析式為y=2%.

(2)

如圖，過點。作QDLOA于點

QDOB

,/sinA=

AQ~OA

.嘰4解得QD=華,

??6“2+8?

6A/5

.?.在RtOQD中,"==_=3

sinZQOA=

OQ6+425

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，以及構(gòu)造直角三角形求三角比，解決本

題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

16.(1)證明見詳解；(2)tan?GW*.

【分析】(1)連接CE,則CE=3E,證明AE〃CD,AE=CD即可.

(2)連接DE,設(shè)AE=2,BE=4,則AE。==2?612,求出CF,AC即可解決問題.

【詳解】解：(1)連接CE,則CE=3E,

27

\?ECB?B,

點5是弧DE中點

BD=BE，

?.ZBCD=/ECB,

:.NBCD=NB,

:.ABHCD9

又QCD=CE=AE,\AE/JCDf

..?四邊形4CDE是平行四邊形；

(2)連接DE,設(shè)AE=2,BE=4,則=AEg/\B=2?612,

AC=26，:.BC=2逐，

設(shè)DE交BC于點H,AD交BC于點F,

由(1)知￡>E_L8C,DH=EH,

?乂-E-H-=--B-H-=--B-E-=—2\BH=鮑

ACBCAB33

\CH=^~

3

八八〃DHFH2

QEH=DH,..——=——二一

ACCF3

28

\八|小|?半*

2旗

Xtan?CA0緊磊瀉，

【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形等知識添加輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題,

是解題的關(guān)鍵.

17.⑴3-石

(2)無解，x=-2是分式方程的增根

【分析】(1)先計算絕對值、正切、零指數(shù)幕，二次根式的化簡，然后進行加減運算即可;

(2)先去分母、去括號，然后移項合并、系數(shù)化為1,最后檢驗即可.

(1)

解:|-2|-3tan60°+(2A/3)°+V12

=2-3x73+1+2A/3

=3-石

(2)

去分母得：尤(無一2)-(尤2-4)=8

去括號得：x2—2x—x2+4=8

移項合并得：-2%=4

系數(shù)化為1得：x=-2

將％=-2代入原式檢驗得，x=-2不是原分式方程的解，是原分式方程的增根.

【點睛】本題考查了絕對值，正切，零指數(shù)塞，二次根式的化簡，解分式方程.解題的關(guān)鍵在于正確的計

算.

18.(1)(3,0),(0,2)

212

(2)Ji=--x+2,y=-----

32x

(3)9

29

2

【分析】(1)根據(jù)OC=3,tanZACO=§即可分別求得；

(2)首先把C、。點的坐標(biāo)分別代入*=依+。(。20),利用待定系數(shù)法即可求得直線必的表達式；再把A,

B的坐標(biāo)分別代入外,即可求得A(-3,4),B(6,-2),據(jù)此即可求得反比例函數(shù)的表達式;

⑶由'.OB=S*oc+S^BOC即可求得.

(1)

解：OC=3,

「?點。坐標(biāo)是(3,0),

QtanZACO=-=-

OC3

OD=2,

???點。坐標(biāo)是(0,2)；

(2)

解：把C、。點的坐標(biāo)分別代入乂=水+。(。工0),得

[3a+b=0a=--

則，。,解得3,

乒2[b=2

2

?,?直線丹的表達式為y=-丁+2,

2

把A,5的坐標(biāo)分別代入％=-1％+2,得根=-3,〃=-2,

???A(-3,4),5(6,-2),

左=—3x4=—12,

12

.??反比例函數(shù)的表達式為y=--

2X：

(3)

解：S&AOB=，Z\AOC+%oc=；x3x4+gx3x2=9-

【點睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，求不規(guī)則圖形

的面積，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵.

19.(1)30°

⑵8君

30

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)求出NCOB=60。，再根據(jù)圓周角定理求N"Q的大小即可;

(2)證明結(jié)合tan/CPQ=g即可求出8。的長度，再由相似得到的比例即可求出的

長度，最后根據(jù)AB=2BC求值即可.

(1)

如圖，連接CO.

???A8與|。相切于點C,

/.CO.LAB.

?.,AO=BO,ZA=30°9

：.ZB=ZA=30°,ZCOB=60°,

/CPQ=g/COB=30°.

(2)

：尸。是。的直徑，

ZPCQ=90°.

VtanZCPQ=~,

.CQ_1

"CP~2

,/NPCQ=NOCB=90°,OC=OP,

：.ZOPC=ZOCP=NBCQ.

"：ZB=ZB,

：.ABQCs^BCP,

.BQ_B￡_CQ_]_

?,就一而一而一5'

/.BP=2BC,BC=2BQ,

：.BP=4BQ=BQ+6y/5,解得2。=2如,

/.BC=4#.

：.AB=3也

31

【點睛】本題綜合考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、正切、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì),

考查的知識點比較多，但是都比較簡單，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

20.(1)3；(2)------

【分析】(1)先代入特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)零次累和絕對值的法則求出結(jié)果，即可求出答案;

(2)先計算分式的除法，再計算同分母分式的加法即可求出結(jié)果.

【詳解】解:(1)++tan60°,

—1+2-^/3+y/3,

二3；

/八、2m-4m—11

(2)------------------------,

m-4m+2m—1

2(m-2)m+21

=-------------------x-----------------

(m—2)(m+2)m—1m—1

__2_____1

m-1m—1

1

m-1

【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)、零次累和絕對值以及分式的混合運算，能將分式的分子分母

因式分解及熟記特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

21.(1)4—y/3(2)------

x-i

【分析】(1)任意非零數(shù)的零次幕為1,’表示g的倒數(shù)，化簡J歷，熟記sin60。的值，計算即可得到答

案；

(2)按照分式的混合運算法則進行計算即可.

【詳解】解：(1)原式=1+3-20+2x3

2

=4-73

—X—1x+2

x+2(x+l)(x-l)

【點睛】本題考查實數(shù)的計算及分式的混合運算，計算過程中需注意符號問題.

32

X

22.(1)0；(2)---

x+1

【分析】(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的意義先求出各自的值，再加減;

(2)先把除法轉(zhuǎn)化成乘法，并把分子父母進行分解因式，再約分即可.

【詳解】解：⑴原式4+11=。