2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應(yīng)用

專題16轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

轉(zhuǎn)化思想方法包含三個基本要素：

1、把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對象；

2、轉(zhuǎn)化到何處去，即轉(zhuǎn)化的目標(biāo)；

3、如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的方法。

轉(zhuǎn)化思想方法應(yīng)遵循以下五條原則：

1、熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟悉的知識、經(jīng)驗和問題來解決；

2、簡單化原則:將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某

種解題的啟示和依據(jù)：3、和諧化原則:轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示和諧

統(tǒng)的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律:4、直觀化原則:將比

較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決;5、正難則反原則:當(dāng)問題正面討論遇到困難時，應(yīng)想到考慮問

題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲得解決或證明的可能性。

壓軸題預(yù)測

題型一：圓中的轉(zhuǎn)化思想

1.（2023?齊齊哈爾）綜合與實踐：

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在AABC和中，AB^AC,AE=AF,NBAC=NE4尸=30。，連接3E,CF,

延長班;交CF于點。.則3E與CF的數(shù)量關(guān)系：_BE=CF_,ZBDC=°；

（2）類比探究：如圖2,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=UQ0,連接BE,

CF,延長3E,Q交于點D.請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及NBDC的度數(shù)，并說明理由；

（3）拓展延伸：如圖3,AABC和AAEF均為等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°,連接BE,CF,且

點、B,E,尸在一條直線上，過點A作40，班'，垂足為點則5R,CF,A〃之間的數(shù)量關(guān)系：；

（4）實踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB=2,若平面內(nèi)存在點P滿足NBPD=90。，PD=1,則.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用&4S證明AMEMAACF即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用5AS證明ABAE=AC4產(chǎn)即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用S4S證明Aa45?三AG4E1即可得出結(jié)論；

(4)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，先找到點尸，利用勾股定理計算出3P,再利用第3小題的結(jié)論得到

三角形的高，AABP的面積即可求出.

【解答】解：(1)BE=CF,ZBDC=30°,

理由如下：如圖1所示：

AABC和AADE都是等腰三角形，

:.AB^AC,AE^AF,

又：ZBAC=ZEAF=30°,

:.AABE=AACF(SAS),

:.BE=CF,

:.ZABE=ZACD,

ZAOE^ZABE+ZBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

ZBDC=ZBAC=30°；

圖1

(2)BE=CF,NBDC=60。,

理由如下：如圖2所示：

證明：ZBAC=ZEAF=12.0°,

.\ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即々AE=NC4F,

又,AABC和AAEF都是等腰三角形，

:.AB^AC,AE=AF,

:.ABAE=ACAF(SAS)

:.BE=CF,

.\ZAEB=ZAFC,

ZE4F=120°,AE=AF,

,\ZAEF=ZAFE=30°,

/.ZBDC=NBEF-ZEFD=ZAEB+30°一(ZAFC-30°)=60°；

ED

圖2

(3)BF=CF+2AM,

理由如下：如圖3所示：

AABC和AA￡F都是等腰三角形，

:.ZCAB=ZEAF=90°,AB=AC,AE^AF,

:.Z.CAB-Z.CAE=ZFAE-ACAE,

即：ZBAE=ZCAF,

:.\BAE=\CAE{SAS},

:.BE=CF,

AM±BF,AE=AF,ZEAF=SO。，

:.EF=2AM,

BF=BE+EF,

:.BF=CF+2AM；

A

連接班?,以瓦)為直徑作圓，

由題意，取滿足條件的點P,P',則PD=P7)=1.ZBPD=NBPD=90。,

BD=2A/2,

BP=4BEr-PEr=?2亞丫-f=不,

連接B4,作于點產(chǎn)，在上截取5E=PD,

ZPDA=ABE,AD=AB,

:./\ADP=^ABE(SAS),

:.AP=AE,ZBAE^ZDAP,

:.ZPAE=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

―PB-PD幣一\

A.F—二,

22

：.SPB.AF1

同理可得：SP.AB=^^~,

故AA1爐的面積為：Z±立或31.

44

圖4

【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì),

圓周角定理，勾股定理，三角形的面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?介休市模擬）閱讀與思考

如圖是小強(qiáng)同學(xué)的數(shù)學(xué)課堂筆記本，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

平面直角坐標(biāo)系與直角三角形

x年x月x日星期三

原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點分三種情況進(jìn)行分類討論.口

訣：“兩線一圓”

作圖：舉例如下：己知4（3,0）、3（0,4）,在直線x=l上求點C,使得AABC為直角三角形.以

下分三種情況討論：

情況一：當(dāng)A為直角頂點時，過點A作的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

c.如圖①，有c一個點；

情況二：當(dāng)3為直角頂點時，過點3作鉆的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

C.如圖②，有C2一個點；

情況三：當(dāng)C為直角頂點時，以為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點即為所求點C.如

圖③，有C3,C4兩個點；

方法：一、幾何法：構(gòu)造“K型”或“一線三垂直”相似；

二、代數(shù)法：兩點間的距離公式，列方程，解方程，檢驗根；

三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點.

任務(wù)：（1）上面課堂筆記中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是_CD_（從下面選項中選出兩個即可）;

A.數(shù)形結(jié)合

B.統(tǒng)計思想

C.分類討論

D.轉(zhuǎn)化思想

(2)選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中G的坐標(biāo).

(3)直接寫出“情況二”中C?的坐標(biāo)―；

(4)請你寫出在“情況三”中，確定C3、C,的坐標(biāo)位置及求坐標(biāo)過程中，所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或原理(寫

出一個即可).

【分析】(1)根據(jù)題意即可解答.

(2)選幾何法，先證三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求解.

(3)根據(jù)一線三等角的模型得出三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)即可解答，在求解過程中依據(jù)的定

理是相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

【解答】解：(1)上面課堂筆記中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想.

故選：CD.

(2)當(dāng)A為直角頂點時，過點A作/歸的垂線/交直線x=l于點C,

ZBAQ=90°,

:.ZBAH+ZKAQ=90°,

又1ZBAH+ZHBA=90°,

NKAQ=NHBA,

:.AABHs^GSK,

BH

―,BH=3,AH=4,KG=2,

AKGK

343

解得AK=—,

2

(3)過C?作Czd軸交y軸于點乜，如圖:

當(dāng)B為直角頂點時,過點3作AB的垂線/交直線x=1于點C,

ZC2BA=90°,

:.ZHiBC2+ZOBA=90°,

ZOBA+ZOAB=90°.

NH\BG=NOAB,

:2OBsABHG，

坐=，AO=3,30=4,HG=2,

AOBO

HiB解得"0二』，

3414

(3)當(dāng)C為直角頂點時，以AB為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點即為所求點C.

NBC3A=90°,ZBC4A=90°,

與（2）同理可得△88。3s△C3MA,△BH2C^△C4K2A,

HQBH]BH2H2C4

&AC3KlC4K2AK2

設(shè)C3的坐標(biāo)為(IM),C4的坐標(biāo)為(1,/n)，

貝UdG=i，BHX=a—4-fC3K[=2,AKX=4；BH2=m+49H2c，=2,AA"2=m,C4K2=2,

1a-4m+41

422m

g

角軍得a=—m=-s/6—2—A/6—2（舍去）,

2

,C,的坐標(biāo)為(1,遍-2),

在求解過程中依據(jù)的定理是相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，一線二垂直模型等，構(gòu)造構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵.

3.(2023?吳川市二模)已知:O的直徑AB=10,C是AB的中點，。是：O上的一個動點(不與點A、

B重合射線點

C

0

E.（圖2）

(1)如圖1,當(dāng)=時，求線段8的長;

(2)如圖2,當(dāng)點。在8c上運(yùn)動時，連接3C、BD,ABC。中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在,

請指出這個角并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由；

(3)聯(lián)結(jié)OD,當(dāng)AODE是以DE1為腰的等腰三角形時，求AODE與ACBE面積的比值.

【分析】(1)連接OC、BC、AD,由勾股定理求出CE,由AAEQsACEB求出DE,則CD=CE—DE.

(2)NSDC不變,連接AC,則NC4B=45。，由圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)得N3CD=135。.

(3)①當(dāng)點E在Afi的延長線上時，證明AOCD是等邊三角形，求出CD=OC=DE=5,由勾股定理求出

OE,分別求出兩個三角形的面積作比，即可得到結(jié)果.②當(dāng)點E在。B上時，設(shè)止=8=x,證明

△ODEsADOC,用x表示出CE,由OC?+OK?=CE?,列出關(guān)于x的方程并求出x,再求出兩個三角形的

面積即可得結(jié)果.③當(dāng)點E在。1上時，DE,OD長度沒變，/近長度變了，依據(jù)②中的數(shù)值可求得結(jié)果.

【解答】(1)解：如圖1,連接X、BC、AD,

C是AS的中點，OC是半徑，

:.OC±AB,

BE=AB=1Q,

:.AE=AB+BE^20,OE=OB+BE=5+10=15,

:.CE=yl0C2+0E2=752+152=5A/10,

ZDAE=ZBCE,ZAED=ZCEB,

:.AADESACBE,

AEDE

^CE~~BE'

20DE

‘前二而’

DE=4710,

:.CD=CE-DE=5-fL0-4y/i0=y/i0.

(2)NBDC不變，ZBDC=135°.

如圖2,連接AC,

C是AB的中點，

/.AC-BC,

AB是O的直徑，

..ZACB=90°,

:.ZCAB=45°,

ZG4B+ZBZX,=180°,

/.ZBDC=180?！猌.CAB=180?！?5°=135°.

(3)解：①如圖3,當(dāng)點石在AB的延長線上時，OD=DE,

AB-10,

:.OD=OC=DE=5,

。是AB的中點，

:.OC±AB,

/.ZDOE+ZCOD=90°,

ZDEO+NOCD=90。,

DE=DO,

,\ZDOE=ZDEOf

:.ZCOD=ZOCDf

:.CD=OD,

:.CD=OD=OC,

AOCD是等邊三角形,

:.CE=DE=5,CE=10,

:.OE=y/CE2-OC2=7102-52=56，

:.BE=OE-OB=54-5,

_1_11_11,:底一25G

cScXOCO=XX5X53=,

..S^ODE=~ACOE=~~,^Z^^4

S.CBE=；OC-BE=；X5X(56-5)=256125,

.S^ODE_3+6

S"EB4

②如圖4,當(dāng)點石在05上時，

過點O作OG_LCD于。，

OC=OD,

.\ZOCD=ZD,

OE=DE,

:.ZDOE=ZD,

.\ZDOE=ZOCD,

:.NODE^/^DOC,

:.O?=DECD,

設(shè)DE=OD=x,

/.52=CDx,

:.CD=—

X

:.CE上-x,

X

由0。2+。石2=庭2得,

5百

..X=-----

3

，…E與

5百

..Cz/i-,DC/-D

33

OCOE_5

...OG=

CE~29

5A/35

-DEOG---------X—

q,x/3+1

°kODE232

4

S&CBELBE.OC(5_x5

③如圖5,當(dāng)點石在。4上時,

OE=DE,長度與②中相同，BE^OB+OE=5+—,

3

q

°AODE32—1

4

(5+x5

綜上得，AQDE與ACBE面積的比值為：1±走或且±1或避二1

444

c

圖2

c

【點評】本題考查了圓中垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，

解答本題需要我們熟練掌握各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來.

4.（2023?微山縣二模）如圖，AABC中，NC=90。，NABC的平分線交AC于點D,點O在A5上，以點

。為圓心，以O(shè)B為半徑的圓經(jīng)過點。，交BC于點、E,交AB于點尸.

(1)求證：AC與.O相切；

(2)若班＞=10,sinZDBC=-,求AF的長.

【分析】（1）連接OD,利用OD=6?及角平分線得QD/ABC即可；

（2）連接。尸，先利用sinNDBC計算CD、BC,然后證明求3尸，再證明AADQSAACB即

可求AF.

【解答】（1）證明：連接8,

OD是半徑

OD=OB，

A

:.ZODB=ZOBD,

ZABC的平分線交AC于點D,

.\ZABD=ZCBD,

:.ZODB=ZCBD,

:.OD//BC,

:.ZADO=ZC=90°,

「.AC是O的切線;

(2)解：連接DF,

…c=|啜CD

lo

二.CD=6,

.\BC=8,

FB為直徑,

:.ZBDF=90°,

,\ZBDF=ZC,

ZCBD=ZFBD,

:NDBs\DFB,

BD_BC

BF~BD

,所一25

2

25

D=OE=OB=—

:O4

,OD!IBC,

:.^ADO^^ACB,

"2525

AF+————

"即:_____￡=且

AF+—8

2

解得：AF=—

14

【點評】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用是解決本題

的關(guān)鍵.

5.（2023?花都區(qū)一模）如圖，。是AABC的外接圓，直徑AB=10,BC=8,AE平分NC4B交3C于點

E.

（1）尺規(guī)作圖：在AE的延長線上取一點P,使得BF=BE,連接8尸；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖中:

①證明：3尸是的切線;

②求M的值.

EF

【分析】（1）以5為圓心，以HE的長為半徑畫弧，交池的延長線于點尸即可.

（2）①先證NAB尸=90。，再由06是半徑即可得結(jié)論.②先證A5石GsASAC,得出￡G的長，再證

AAEG^AAFB即可.

【解答】（1）如圖1,以5為圓心，以HE的長為半徑畫弧，交AE的延長線于點尸,

則點尸即為所求.

（2）①證明：Afi是O的直徑，

.-.ZC=90°,

ZCAE^-ZAEC=90°,

BF=BE,

:.ZBEF=ZBFE,

ZAEC=ZBEF,

,\ZAEC=ZBFE,

ZCAE-^-ZBFE=90°,

隹平分NC4B,

:.ZCAE=ZBAF,

ZBAF+ZBFE=90。,

..ZABF=90°,

又-03是半徑，

.?.BF是。的切線.

②解：如圖2,過點石作石G_LAB,垂足為G,

ZC=90°,AE平分NG4B,

:.EG=CE,

:.BE=BC-CE=BC-EG=8-EG,

?-ZC=90°,

/.AC=y/AB2-BC2=A/102-82=6.

ZEGB=NC=900,ZEBG=ZABC,

..ABESABAC,

.EGBE

,AC-AB?

.EGS-EG

..--------------,

610

解得EG=3,

:.BE=BC-EG=8-3=5,

:.BF=BE=5,

ZAEG=ZABF=90°,

:.^AEG^\AFB,

?屈_EG_3

"AF~^F~5f

.空

…AF"2.

【點評】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，把所學(xué)知識融會貫通，

靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?阿城區(qū)模擬)已知：AB.DF是。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,過點P的切線與DC的

延長線交于點G,連接BC.

(1)如圖1,求證：ZFGD=2ZBCD；

(2)如圖2,過點A作AH_LDF交O于點垂足為//,求證AM=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接MC并延長與DB的延長線交于點K,連接2C,若ZHDC=2ZMHC,

MK=6,求bG的長.

【分析】(1)利用切線的性質(zhì)和CD_LAB可證NFGD=N3OD,根據(jù)圓周角定理可得,即

可得證；

(2)利用垂徑定理可得=CD=2DE,證明AAO”=ADOE,得出AH=QE,即可得證；

(3)連接4),過H作7/QLAD于Q,延長?！ń籏N的延長線于點P,設(shè)NMHC=&,

NHDC=NHAO=2(x,利用等角對等邊可證DH=OC,證明ADCKMAT歸Q,可得0K=。。，進(jìn)而可證

PKDQ為正方形，利用等角的正切值相等可得tanZADH=tanZAHQ=tanNPHM=—=■，證明APCH是

PH2

等腰直角三角形，可得出pe=2H/=2A/c=cx,MOA2=OH2+AH2,OH+OA=HD=A卮可求出

OA=OD=—,OH=—,DF=545,WtanZHAO=tanZ(9DE=—,即可求出尸G.

22AHDF4

【解答】(1)證明：G產(chǎn)是OO切線，

ZGFD=90°,

ZFGD+NFDG=90°,NEOD+NFDG=90。,

:.ZFGD=ZBOD,

BC=BC,

:.ZBOD=2ZBCD,

:./FGD=2ZBCD；

(2)證明：AHLDF,ABVCD,

:.AM=2AH,CD=2DE,

AH上DF,

/.ZAHO=Z.OED=90°,

ZAOH=/DOE,OA=OD,

:.AAOH=ADOE(AAS)

:.AH=DE,

.\AM=CD；

(3)解：連接AD,過“作功2，AT＞于Q,延長QH交KM的延長線于點尸，

ZHDC=2ZMHC,

設(shè)ZMHC=a,ZHDC=ZHAO=2a,

ZMHD=90°,

,\ZDHC=90°-a,

ZDCH=180°-ZHDC-ZDHC=90°-cr,

:.ZDCH=ZDHC,

:.DH=DC,

AB±CD,

BC=BD,ZDOE=90°-Z.ODE=90°-2a,

:.ZCDB=ZBAD=45°-a,

,\ZMAD=ZMAO+ZBAD=450+a,

ZMCD=1800-ZMAD=135°-a,

:.ZCKD=ZMCD-ZCDB=90°,

OA=OD,

:.ZBAD=ZADH,

,.ZCDB=ZADH,

:.NHQD=NCKD=90。,DH=DC,

NDCK=\DHQ{AAS)

:.DK=DQ,

AB為O直徑，

,\ZADB=90°,

ZCKD=ZADK=ZHQD=90°,

四邊形刊⑦。為矩形，

DK=DQ,

二.矩形尸KDQ為正方形，

ZP=90°=ZAQH,PQ=DQ,

AH=MH，ZAHQ=/MHP,

:.AAHQ=AMHP(AAS)

:.HP=HQ,

/.tmZADH=—=~,

DQ2

ZAHQ+ZHAQ=90°,ZADH+ZHAQ=90°,

ZAHQ=ZADH=ZPHM,

PM1

/.tanAADH=tanZAHQ=tan/PHM==—,

PH2

ZDCH=90°-a,ZMCD=135°-a,

ZPCH=ZMCD-ZDCH=45°,

又ZP=90。，

..ZPHC=45°=ZPCH,

PH=PC,

:.PC=2PM=2MC=CK,

.\MK=6,

:.CM=2,CK=HQ=4,DQ=8,AQ=2,

:.DH=4y/5,AH=2y[5,

OJ^=OH2+AH',OH+OA=HD=4非,

-,OA=OD=—,0H=—,DF=5后,

22

OH3

/.tanZHAO=tanZODE=——=—=-,

AHDF4

,fG=15^

4

【點評】本題是圓的綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、

正方形形的判定與性質(zhì).

7.(2023?松江區(qū)二模)如圖1,是半圓。的直徑，C是半圓O上一點，點。與點。關(guān)于直線AC對稱,

射線47交半圓。于點￡),弦4c交(70于點E、交?！辏居邳c尸.

(1)如圖2,O恰好落在半圓。上，求證：O/=BC；

(2)如果NZMB=30。，求空■的值：

O'D

(3)如果04=3,O'D=1,求OP的長.

【分析】(1)連接OC,由點。與點。關(guān)于直線AC對稱得到AO=A。，證出AAO。是等邊三角形，得出

NAOO=NBOC=60。，即可得結(jié)論.

(2)設(shè)。的半徑為2。，作QV_LAZ)于N,則Q4=OA=2a,求出4V,AD,ON,得到。7),再求

出0(7,得到OE,證出NEFO=45。，得到歷=0E,作比即可.

(3)①當(dāng)點。在O內(nèi)部時，過點尸作FN_LAB于N,RWLAD于由也四.=^--------=一,

S”-AO-FN°F

2

得到里=絲=壯，又DF+OF=OD,從而求得。方.②當(dāng)點。在「。外部時，同樣方法求得。尸的長.

OFAO3

【解答】(1)證明：如圖2,連接OC,

.?點。與點O關(guān)于直線AC對稱，

:.OE=OE,AC±0(7,

r

.\AO=AOfAO=CO,

A0=00,

AAOO是等邊三角形，

/.ZAO(7=60°,

ZCOO=ZAOO=60°,

.\ZBOC=60°,

:.ZAOO=ZBOC,

..OrA=BC,

(2)解：如圖3,設(shè)?O的半徑為2Q,

則。4=OA=2a,

作QV_LAT)于N,

OA=OD,ZDOB=30°,

...ZAOD=120。，

在RtAAON中，ON=OAsin300=af

AN=OA-cos300=sf3a,

ONLAD,

：.AD=2AN=2y/3a,

O'D=AD-O'A=（2百-2）a,

O'N=DN-O'D=（2-圾a,

OO'=^ON2+<JN2

一點。與點。關(guān)于直線AC對稱，

OE=O'E=-OO'=屈一也a,

22

由對稱性得，ZBAC=ZDAC=15°,

ZEFO=1800-ZBAC-ZAOD=180°-15°—120°=45°,

PPcp,,\/6-A/2

..EF=OE-------------a,

2

.EF2_3

''O'D2K-24.

（3）解：①如圖4,當(dāng)點。在cO內(nèi)部時，

AD^（JA+（7D^OA+OD^3+1=4,

由對稱性知ZDAF=ZBAF,

過點/作FNJ_4?于N,RW_LAD于A7,

:.FM=FN,

0-ADFM八？

...-S-.F--D-—2:--------―DF,

S^F。LAO.FNOF

2

DFAD_4

,OF-'

DF+OF=OD=3,

9

:.OF=~.

7

②如圖5,當(dāng)點。在：。外部時，

過點尸作FN_LAB于N,于M,

貝|J9=WV,

DF

~0F

DFAD

~OF~^O

5L.AD=AO-OD=OA-OD=3-1=2,

DF_2

0F-3

DF+OF=3,

綜上得，OP=2或上

圖5

圖2

【點評】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我

們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來.

8.（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖①，已知線段AB與直線上過A、3兩點，作O使其與直線/相切，切

點為P,易證NAP3=/AHB>NAQ3,可知點P對線段的視角最大.

問題提出

（1）如圖②，已知AABP的外接圓為（O,PQ與二。相切于點P,交AB的延長線于點Q.

①請判斷N3PQ與N4的大小關(guān)系，并說明理由.

②若Q8=2,AB=6,求尸Q的長.

問題解決

（2）如圖③，一大型游樂場入口/W設(shè)在道路DN邊上，在“雪亮工程”中，為了加強(qiáng)安全管理，結(jié)合現(xiàn)

實情況，相關(guān)部門準(zhǔn)備在與地面道路DN夾角為60。的射線DM方向上（位于垂直于地面的平面內(nèi)）確定一

個位置C,并架設(shè)斜桿AC,在斜桿AC的中點P處安裝一攝像頭，對入口AB實施監(jiān)控（其中點A、B、

D、P、C、M、N在同一平面內(nèi)），已知ZM=40米，A3=25米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)NAPB最大時監(jiān)控效果

最好，請問在射線DM上是否存在一點C,使得/4PB達(dá)到最大？若存在，請確定點C在。0上的位置及

斜桿AC的長度；若不存在，請說明理由.

ABAB

圖③備用圖

【分析】⑴①作直徑PN,連接BN,則ZPNB+NNPB=90。，PQ與。相切，得NNPB+/BPQ=90°,

再根據(jù)圓周角定理即可得結(jié)果.②證明ABPQSA/%。，得/=￡2,代入數(shù)值可得結(jié)果.

PQAQ

（2）取仞的中點E,過點E作。0的平行線EF,經(jīng)過A,3作與EF相切于點尸，此時N/犯fi最

大，由求出產(chǎn)石，由勾股定理求出EH,AH,PE,再求出R4,最終得到CD,AC的長度.

【解答】（1）解：①NBPQ=ZA,理由如下：

如圖②，連接PO并延長至圓上一點N,連接BN,

貝！JNR4B=NP/VB,

7W為圓的直徑，

二ZPBN=90。,

:.ZPNB+ZNPB=93,

-PQ與O相切于點尸，

..ZNPQ=90°9

:.ZNPB+ZBPQ=90°,

:.ZBPQ=ZPNBf

ZPNB=ZA,

.,.NBPQ=ZA.

②-ZBPQ=ZA,/BQP=/PQA,

ABPQ^APAQ,

,BQ=PQ

"PQ~AQ'

AB=6,QB=2,

/.AQ=AB+BQ=6+2=8,

.2_PQ

..----------,

PQ8

:.PQ=4.

（2）解：存在一點C,使得Z4pB達(dá)到最大.

如圖③，取AD的中點E,過點E作DM的平行線EF,

經(jīng)過A,3作:。與即相切于點尸，

由題意知，此時NAP3最大.

DM//EF,P是AC中點，

:.ZPEA=60°,CD=2PE,

作直徑PG,連接AG,

貝UZfBE=NG,ZPAC=90°,

:.ZAPG+NPBE=90°,

EF是。的切線，P是切點，

:.PG±EF,

ZEPA+ZAPG=90°,

:.ZEPA=ZPBE,

又ZAEP=ZPEB,

..APEA^BEP,

PE2=EAEB=20x(20+25)=900,

:.PE=3。,

:.CD=2PE=6O.

過點A作AH_L￡F于H,

ZPEA=60°,

:.ZEAH=3Q°,

:.EH=-AE=-x20^10,

22

AH=AE-sin60°=20x^=104

2

PHPE-EH=30-10=20,

由勾股定理得,

.2

PA=>JPH2+AH2=y]2Q2+(10回=10幣,

AC=2PA=2X10A/7=20汨.

故點C在DM上距離點D6Qm處，斜桿AC的長度為20sm.

圖③

【點評】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似，圓的張角等知識，屬于圓的綜合題，恰當(dāng)添

加輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵.

9.（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在RtAABC中，NB=9O。，ED=DF,點、E在AC上,以AE為直徑的。經(jīng)

過點D.

（1）求證：①BC是。的切線；

@CD2=CECA；

（2）若點F是劣弧的）的中點，且CE=3,試求陰影部分的面積.

【分析】（1）①連接。O,根據(jù)圓周角定理推出=并根據(jù)平行線的判定得出OO//AB,從

而得到DO_L3c即可證明BC是:O的切線；

②連接DE,OD,根據(jù)同角的余角相等推出=并得到ACDEsAC4D,再根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)即可證明CD2=CECA；

（2）連接QO、FO、DE,根據(jù)題意由圓心角定理推出AaiF和AODE是等邊三角形，并得出相關(guān)角的

大小即邊之間的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的判定得到AODGMAE4G,將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面

積進(jìn)行求解即可.

【解答】（1）①證明：如圖1,

B

連接DO,

ED=DF,

:.ZFAD=ZDAE=-ZFAE，

2

,ZDAE=-ZDOE（圓周角定理）,

2

:.ZFAE=ZDOE,

:.DO//AB,

根據(jù)題意可知AB_L，

.\DO.LBC,

.?.BC是。的切線.

②如圖2,

B

連接DE,OD,

AB為直徑，OA=OD,

ZADO+ZEDO=ZADE=90°,ZADOZDAO,

由（1）可知NCDE+NEZX9=90。，

:.ZDAO=ZCDE,

在ACDE■和AC4O中,

\ZDCE=/ACD

[ZCDE=ZCAD'

.SCDESACAD,

.CD_CE

~CK~~CD"

故CE>2=C￡C4.

(2)如圖3,

圖3

連接DO、FO、DE,AD和。方交于點G,

則。O=EO=AO,

根據(jù)題意點尸是劣弧AD的中點，且￡0=0廠,

/.ZAOF=ZDOF=ZEOD=lxl80°=60°,

/.AQ4F和NODE是等邊三角形,

ZC=90°-ZCOD=30°,

：.OD=OE=CE=LCO=3,

由(1)可知OO//AB,

..ZODA=ZDAFf

在AODG和AE4G中，

ZOGD=ZFGA

<ZODG=ZFAG,

OD=AF

AODG=AFAG(AAS)f

60^--323%

S陰影部分二S扇形。OF=

【點評】本題考查圓的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明AODGMAMG從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面

積，通常要結(jié)合圓周角定理及圓心角定理求解各角、各邊之間的關(guān)系.

10.（2022?雁塔區(qū)校級四模）（1）如圖①，在AASC中，AB^AC,NS4c=120。，BC=12,求AABC外

接圓的半徑r；

（2）如圖②，O是一個半徑為200米的圓形廣場，弦AB是廣場上一個長為200百米的納涼演繹舞臺，

現(xiàn)計劃在廣場上建一個長為200米的手工藝集市CD,并在舞臺AB和集市CD之間修建兩個休閑長廊AD和

BC,規(guī)劃長廊、舞臺、集市圍成四邊形ABCD為活動區(qū)域，那么能否在優(yōu)弧AB上確定兩點C、D,使得

長廊/W+BC最長？若能，請求出45+BC的最大值，并計算此時/胡￡>的度數(shù)及四邊形ABCD的面積；

若不能，請說明理由.

圖①

【分析】（1）作出AABC外接圓，連接Q4,OB,交3c于點。，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，

直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；

（2）連接。4,OB,OC,OD,過點O分別作OE_LA￡>,OF±BC,OH±AB,利用勾股定理求得

22222

AD+BC=40000,利用AD+BC=^AD+BQ=y/AD+BC+2AD-BC,可知當(dāng)S^OAD最大時，

AD+BC取最大值，利用三角形的面積公式與正弦的取值范圍即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)AABC外接圓為O,連接。4,OB,OA交BC于點、D,如圖，

AB=AC,

,\OD±BC,BD=DC=-BC=6,

2

AB=AC,440=120。，

/./BAD」NBAC=60。,

2

「.AABO為等邊三角形.

:.ZAOB=60°,

在RtAAOD中，

?小BD6

sin60=,

OBOB

r=OB==4\/3；

2

(2)在優(yōu)弧AS上確定兩點C、D,使得長廊AD+3C最長.

連接OA,OB,OC,OD,過點O分別作OE_LAD,OF±BC,OHLAB,垂足分別為E,F,H,

如圖，

O的半徑為200米，A3=2006米,

1l

.?.H4=-AB=100j3米，

2

.-AH

..sin^A.OH------——,

OA2

ZAOH=60°,

ZAOB=2ZAOH=120°.

03=08=200米，

.?.AOCD為等邊三角形，

:.ZDOC=60°,

/.ZAOB+ZZX>C=180°.

:.ZAOD+ZBOC=\SO0.

ZAOE=-ZAODZBOF=-ZBOC,

2f2

..ZAOE^-ZBOF=90°.

BF±OFf

:.ZBOF+ZBFO=9伊,

:.ZAOE=ZFBO.

在AAEO和AOFB中，

ZAEO=ZOFB=90°

<ZAOE=ZOBF,

OA=OB

.\AAEO=AOFB(AAS).

:.OE=BF.

OE±AD,OFLBC,

AE=-AD,BF=-BC,

22

:.OE=-BC.

2

AE2+OE2=O^,

(1A/))2+(1BC)2=2002,

/.AD2+BC2=160000,

/.AD+BC=?AD+BC￥=y/AD2+BC2+2ADBC=4160000+24>3C.

S.=-xADOE=-xADx-BC=-ADBC

AOnAADn2224f

/.當(dāng)SAW最大時，AD+5C取最大值，

SL.\n\_/ArAnlJ=-OAODsinZAOD=20000xsinZAOD,

.,.當(dāng)NAQD=90。，sinZAOD,最大，即邑0AB最大，最大值為20000,

當(dāng)ZAOD=ZBOC=90。時，AD+3C的值最大.

在優(yōu)弧A5上確定兩點C、D,使得長廊AD+3C最長；

此時，如圖，

A3/B

ZOAD=ZODA=45°,ZOAB=ZOBA^30°,

ZBAD=ZOAD+ZOAB=75°.

四邊形ABCD的面積=SR0AB+SAOBC+SAOAD+S&OCD

=2x20000+1x200Gxl00+1x200x100^/3

=(40000+200006)米

【點評】本題主要考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，特殊角的三角函

數(shù)值，全等三角形的拍大片與性質(zhì)，函數(shù)的極值，熟練掌握圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?青秀區(qū)校級一模)如圖，AB是：O的直徑，AC是弦，點E在圓外，OELAC于點。，BE交

O于點F,連接3￡＞、BC、CF,ZBFC^ZAED.

(1)求證：AE是I。的切線；

(2)求證：OB-^ODOE,

(3)設(shè)AB4D的面積為ABDE的面積為S?，若tan/0D3=—，求」的值.

3S?

【分析】(1)由OE_LAC證明B4_LAE即可得到結(jié)果；

(2)證明OA?=OD-OE即AOAD^AOEA即可得證；

(3)把tanNODB=—7轉(zhuǎn)化為CJD,設(shè)CD=2〃z,用機(jī)表示出半徑，再由ABO3AEO3的面積比等于相似

3BD

比平方可得到答案.

【解答】解：(1)證明：,ZBFC=ZAED,

又ZBFC=NBAC,

.\ZBAC=ZAED,

OE_LAC于點Z),

.\ZADE=ZADO=90°,

.?.ZAED+ZE4D=90。，

/.Z^4C+ZE4D=90°,即NO4E=90。，

:.OA±AE,

「.AE是O的切線；

(2)ZOAE=ZADO=90°,ZAOD=ZEOA,

^AOD^AEOA,

.OA_OD

~OE~~dA?

:.O^=ODOE,

OB=OA,

:.OB2=ODOE；

(3)AB為直徑，

/.ZAC?=90°,

ZADO=90°,

:.ZACB^ZADO,

:.OE//BC,

:.ZODB=ZDBC,

DC2

在RtABCD中，tanZD3C=tan/0￡>3=—=-

BC3

設(shè)￡>C=27W,則BC=3/",

:.OD^-BC=—,

22

0￡_14。于點。，

AD=DC=2m,

：.OA=OB=^OD1+AD1=—,

2

由(2)知032=?！??0石，

OBOE

~OD~~OB"

而ZBOD=NEOB,

/./SBOD^\EOB,

3m

.S2OD_（°D、2_（2\2_9

S.°BOB5m25

2

「?設(shè)S耶OD=9k,則SgoB=25k,

，ABDE的面積為S2=S于OB-SGOD=16k，

而岫40的面積為4=25兇8=18左，

.Si_1849

?芯—嬴一/

【點評】本題考查圓的切線、相似三角形判定及性質(zhì)，難度較大,解題的關(guān)鍵是將tanNOD3=2轉(zhuǎn)化為烏.

3BD

題型二：函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

1.（2021?南岸區(qū)校級模擬）初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)理了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖

象研究函數(shù)性質(zhì)的過程，以下我們研究函數(shù)y=|二匚|-2性質(zhì)及應(yīng)用的部分過程,請按要求完成下列各小題.

x-2

（1）下表是X與y的幾組值，請在表格中的空白處填上恰當(dāng)?shù)臄?shù)字;

X-4-3-1011345

~22

y_244_8_-2__404—4

3535~33

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)全描出表格中數(shù)據(jù)對應(yīng)的各點，補(bǔ)全函數(shù)圖象;

⑶觀察函數(shù)"三一2的圖象’請寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：

（4）若方程y+gx=f（f為常數(shù)）有三個實數(shù)解，則f的取值范圍為

——?

31，7X

【分析】（1）利用函數(shù)解析式求值即可；

（2）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

（3）根據(jù)圖象解答問題即可；

7V1