2024年中考數學突破將軍飲馬等8類常見最值問題（解析版）

將軍飲馬等8類常見最值問題

aW題型?解讀/

題型一兩定一動型（線段和差最值問題）

題型二雙動點最值問題（兩次對稱）

題型三動線段問題：造橋選址（構造平行四邊形）

題型四垂線段最短

題型五相對運動平移型將軍飲馬

題型六通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬

題型七化斜為直，斜大于直

題型八構造二次函數模型求最值

滿分?技巧/

一、單動點問題

【問題1】在直線/上求一點R使期+陽最小

問題解決：連接力6,與/交點即為Q兩點之間線段最短〃+尸8最小值為力6

［問題2］在直線/上求一點尸，使外+尸B最小

問題解決：作6關于/的對稱點6臺尸8=則弘+88=24+尸8,當Z,P,6共線時取最小,

原理：兩點之間線段最短，即可+陽最小值為28

【問題3］在直線/上求一點P,使24-尸身最大

問題解決：連接力6,當4B,尸共線時取最大

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△/)?「中，|Q4—尸切WZ8

［問題4］在直線/上求一點P、使得最大

問題解決：作8關于直線/的對稱點6一陽=由，|Q4—8向=|以一夕

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接Z8,在△Z8尸中一尸8|W46

二、雙動點問題（作兩次對稱）

【問題5】在直線/1，4上分別求點MN,使△尸A力/周長最小

問題解決：分別作點尸關于兩直線的對稱點尸‘和尸'，PM=PM,PN=P'N,

原理：兩點之間線段最短，P,P',與兩直線交點即為MN,則/例+/VW+尸/V的最小值為線段

尸尸，的長

【問題6】P,Q為定點，在直線4，4上分別求點例N,使四邊形「Q/WA/周長最小

問題解決：分別作點尸，。關于直線4，4的對稱點尸和Q，PM=PM,QN=QN

原理：兩點之間線段最短，連接尸Q,與兩直線交點即為MN,則尸例十例2+Q/V的最小值為線

段尸。的長，周長最小值為尸Q+QQ

Q'

\、/，2

M'工

P'

【問題7】4E分別為4，，2上的定點，M/V分別為4,4上的動點，求/N+MN+8河最小值

問題解決：分別作/,3關于4的對稱點⑷，B',賦AN=A'N,BM=B'M,⑷外即所求

原理：兩點之間距離最短，A,N,M,8共線時取最小，則AN+MN+BM=AN+MN+BMwAB

B'

NB~

\：NB-

1/

A'

三、動線段問題（造橋選址）

［問題8］直線m//n,在777,n上分別求點M,N,使MN1.m,且AM+MN+EA/的最小值

問題解決：將點E向上平移例2的長度單位得B,連接BM,當力6例共線時有最小值

原理：通過構造平行四邊形轉換成普通將軍飲馬，AM+MN+BN=AM+MN+BM^AB+MN

【問題9］在直線/上求兩點M,在左）且MN=a,求AM+MN+BN的最小值

問題解決：將6點向左移動a個單位長度，再作6關于直線/的對稱點當共線有最小

值

原理：通過平移構造平行四邊

AM+MN+BN=AM+MN+B''M<AB''

B'

B"

四、垂線段最短

【問題10］在直線4,4上分別求點AB,使PB+Z8最小

問題解決：作尸關于4的對稱點P，作尸1/1于4交4于3尸工即所求

原理：點到直線，垂線段最短，PB+AB=P'B+4BvP'A

hh

B

五、相對運動，平移型將軍飲馬

【問題11］在直線/上求兩點M,M例在左）且MN=a,求AM+Z/V的最小值

問題解決：相對運動或構造平行四邊形

策略一：相對運動思想

過點Z作M/V的平行線，相對點2在該平行線上運動，則可轉化為普通飲馬問題

策略二：構造平行四邊形等量代換，同問題9.

六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡

【問題12］如圖，點P在直線8C上運動，將點P繞定點A逆時針旋轉90°,得到點Q,求。點

軌跡？

Qi

問題解決：當4P與/。夾角固定且4P為定值的話，P,。軌跡是同一種圖形.當確定軌跡是線

段的時候，可以任取兩個時刻的0點的位置，連線即可，比如0點的起始位置和終點位置，連接即

得。點軌跡線段.

原理：由手拉手可知故4=//C3,故Q點軌跡為直線

七、化斜為直，斜大于直

【問題13】已知：40是RfZUBC斜邊上的高

An

(1)求把的最大值；(2)若/。=2,求3C的最大值

問題解決：取8C中點M(1)則迎v出4(2)BC=24Mw2AD=4

BCBC2

八、構造二次函數求最值

這類問題一般無法通過純幾何方法來解決或幾何方法比較復雜，需要通過面積法或者構造全等、相

似建立等量關系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來表示，一般是一個二次函數或

者換元后是一個二次函數，然后通過配方得到最值.當然，配方的目的是為了避開基本不等式這個

超綱的知識點，如果是選擇題或填空題，你可以直接用基本不等式來秒殺，不需栗配方.

【問題14］正方形/BCD的邊長為6,點。在邊5上，且CD=3CQ,P是邊BC上一動點，連接尸。，

過點P作EPLP0交邊于點￡,設2P的長為x,則線段3E長度的最大值為.

DQc

x

B

問題解決：根據題意，作出圖形，根據兩個三角形相似的判定得到△尸C0s2\￡5尸，進而根據相似

199

比得到5￡=——x-3+-,利用二次函數求最值方法求解即可得到答案

2、72

【詳解】易知：.MPCQs/\EBP,.?.耍=生，

BPBE

26—x

;CD=3CQ,36,QC=2=

fxBE

ii,、]Q

/.BE=—x（6-x）=（x2-6xj=（x-3）7+—（0<x<6）,

,.---<0,.,.8E=-L（X-3）2+2在x=3時有最大值，最大值為2

22''22

雅核心?題型/

題型一兩定一動型（線段和差最值問題）

1.（2023?西安?模擬預測）如圖，正方形/5CD的邊長為4,點M在邊8c上，MC=\,尸為正方

形內（含邊上）一點，且必訕=；s正方體檢力G為邊C。上一動點，連接MG,GP,則MG+GP的

最小值為.

【答案】3

【分析】先確定組成點尸的所有點為過/D，8C的中點E*的線段，作點”關于C。的對稱點,

連接證明"戶的長為MG+GP的最小值，因此求出拉戶的長即可.

【詳解】解：過點尸作跖〃襤，分別交/D，3C于點￡,F,

■：四邊形48co是正方形，

四邊形ABFE和四邊形EFCD都是矩形，

S4PAe=；S正方體皿,正方形ABCD的邊長為4,

11,

-x4-￡^=-x42,

24

解得胡=2,

CF=DE=AD-AE=4-2=2,

作點M關于CD的對稱點M',連接MG,

則"G=MG,M'C=MC=1,

MG+GP=M'G+GP>M'F,

MG+GP的最小值為“斤的長，

M'F=M'C+CF=1+2=3,

.1MG+GP的最小值為3

2.透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內壁離底部3cm

的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處.求螞蟻吃到飯

粒需要爬行的最短路程是多少？

【答案】13

【詳解】?.?高為12cm,底面周長為10cm,在容器內壁離容器底部3cm的點8處有一飯粒,

此時壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點力處,

:.AD=5cm,BD-12-3+AE=12cm,

將容器側面展開，作/關于&的對稱點,

連接4B,則為'8即為最短距離,

力,B=4A:D2+BD2=13(cm).

3.如圖，在平面直角坐標系中，MAO48的頂點4在x軸的正半軸上.頂點3的坐標為（3,G）,

點C的坐標為（1,0）,且乙402=30。點P為斜邊。8上的一個動點，則P/+PC的最小值為

（）

A.5/2B.也c.5/7D.VT'i"

【答案】c

【分析】過點C作C關于OB的對稱點C,連接AC與OB相交，根據軸對稱確定最短路線得AC

與OB的交點即為所求的點P,PA+PC的最小值=人。,過點C作CD_LOA于D,求出CC,2OCC=60。,

再求出CD、CD,然后求出AD,再根據勾股定理列式計算即可得解.

【詳解】解；如圖，過點C作C關于OB的對稱點C1連接AC與OB相交，

則AC與OB的交點即所求的點P,PA+PC的最小值=人。,

過點。作CD_LOA于D,

?.?點C的坐標為（1,0）,且4AOB=30°,

/OCC'=90°-30°=60°,

OC=1,CC=2xlx；=l,

.-.CD=y,CD=@,

22

?.?頂點B的坐標為（3,G）,點C的坐標為（1,0）,ZOAB=90°,

.-.AC=3-1=2,

15

.-.AD=2+-=-,

%Z

在RtAACT）中，由勾股定理得，ACf=Ven2+AD2=1^+[1]

4.如圖，點A,8在直線九W的同側，A至IJM2V的距離ZC=8,8至U兒W的距離8￡>=5,已知CD=4,

P是直線AGV上的一個動點，記尸N+P3的最小值為。，|尸即的最大值為6,則的值

為（）

A.160B,150C.140D.130

【答案】A

【分析】作點A關于直線MN的對稱點H,連接?5交直線MN于點P,則點P即為所求點，過點

5作直線NE18。，在根據勾股定理求出線段/'8的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于

點P,此時P'/-P'3=”，由三角形三邊關系可知/8>陽-尸耳，故當點P運動到p時|尸/一尸回最

大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是|尸的最大值，代入計算即可得.

【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線MN的對稱點4,連接交直線MN于點P,則點P即

為所求點，過點H作直線4EiBD,

AC=8,BD=5,CD=4,

A'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在RtA'EB中，根據勾股定理得，

A'B=>jBE+A'E=V132+42=VT85，

即PA+PB的最小值是a=J185;

如圖所示，延長AB交MN于點P,

?.-P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

,當點P運動到P點時，|尸/-尸用最大,

過點B作8E1NC,則BE=CD=4,

AE=AC-BD=8-5=3,

在Rt，AEB中,根據勾股定理得，

AB=yjAE2+BE2=A/32+42=5，

...\PA-PB\=5,

即6=5,a2-Z>2=(7185)2-52=160

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5.動點P滿足$楸。=工5矩/ABCD-則點P到B,C兩點距離

3

之和PB+PC的最小值為

D

【答案】V41

【解答】解：設△尸3C中BC邊上的高是九

3

-BC*h=-AB?BC,

23

2

:.h=—AB=2,

3

,動點?在與8C平行且與3C的距離是2的直線/上，如圖，作8關于直線/的對稱點E,連接CE,

則CE的長就是所求的最短距離.

在中，:BC=5,BE=2+2=4,

-CE=dBc2+BE。=正+42=V41，

即PB+PC的最小值為國

6.（2023?泰州?三模）如圖，在矩形/3CD中，AB=5cm,8c=6cm,點E在直線M上，從點A

出發(fā)向右運動，速度為每秒0.5cm,點尸在直線上，從點B出發(fā)向右運動，速度為每秒2cm,

BE、AF相交于點G,則BG+CG的最小值為cm.

【答案】10

【分析】過點G作直線MN/8C,分別交3、3c于點必N,過點G作直線PQ〃CD,分別交/從

DC于點P、Q,易知四邊形ABNM、PBNG、GNCQ為矩形，證明AGAE-GFB,由相似三角形

的性質可得理=也；設￡、F兩點運動時間為/,則/E=0.5f,BF=2t,易得GM=lcm,GN=4cm；

BFGN

作點C關于直線的對稱點K,由軸對稱的性質可得CG=KG,故當反G、K三點共線時，

8G+KG的值最小，即8G+CG取最小值，此時，在R38CK中，由勾股定理求得8K的值，即可

獲得答案.

【詳解】解：如下圖，過點G作直線MN1BC,分別交加、BC于點、M、N,過點G作直線尸?！–。，

分別交48、DC于點P、Q,

易知四邊形PBNG、GNC0為矩形，MN=AB=5cm,

■;四邊形/BCD為矩形，

AD//BC,AB//DC

ZGAE=NGFB,AGEA=AGBF,

AGAEIGFB,

AEGM

"BF~~GN，

設E、尸兩點運動時間為/,則/E=0.57,BF=2t,

、*GM0.5/1

則有——=—=-,FpGN=4GM,

GN2t4

'：MN=5cm,

GM=1cm,GN=4cm,

?.?四邊形GN。。為矩形，

.QC=GN=4cm,

作點。關于直線尸。的對稱點K,如圖，

則QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由軸對稱的性質可得CG=KG,

當反G、K三點共線時，5G+KG的值最小，即BG+CG取最小值,

此時，在Rtz\8CK中，BK=^BC2+KC2=762+82=10cm.

BG+CG的最小值為10cm

22

7.已知x,y,S滿足s=J(x+2)2+(y-3)2+^(x_2)+(y-6),則S的最小值為.

【答案】5

【分析】根據J（x+2）2+（了-3）2表示平面內點（xj）與（-2,3）之間的距離,J（無一2）2+（夕一6）2表示平

面內點（"）與（2,6）之間的距離，得出當點（”）在（-2,3）與（2,6）之間的線段上時，這兩個距離之

和最小，求出這個最小距離即可.

【詳解】解：;J（x+2/+（廣3）2表示平面內點（x,y）與（-2,3）之間的距離,J（x-2）2+（了一6）2表示

平面內點（x,y）與（2,6）之間的距離，

S=J（x+2y+（1-3）2+7（X-2）2+（J；-6）2表示這兩個距離之和，

1?兩點之間線段最短，

當點（xj）在（-2,3）與（2,6）之間的線段上時，這兩個距離之和最小，

S的最小值為J（-2_2）2+（3-6）2=5.

8.探究式子川北1+卮不l（xNO）的最小值.小胖同學運用“數形結合”的思想：如圖，取

AB=4,作/Ci/2于A.BD，AB于B,且/C=l,5。=1,點E在AB上，設/E=x,則

BE=4-x,于是，ylx2+i=CE,&-4丫+1=DE,因此，可求得CE+DE的最小值

為,已知y=Ja+5」+52—/白+32（尤「0）,則y的最大值是.

【答案】2后V29

【分析】作C關于48的對稱點尸，連接FD交48于連接CD,利用勾股定理求CE+0E的最

小值即可；構造圖形如圖，過點。作DM/4C交/C于求V的最大值結合三角形的三邊關系，

根據矩形的性質，利用勾股定理進行計算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，作。關于的對稱點尸，連接萬'。交于中,連接C0,

則4F=NC=1,CE'=FE',

此時CE+DE的值最小為：CE'+DE'=FE'+DE'=DF,

ACLAB,BD1AB,

AC//BD,

■：AC=BD=\,

四邊形ABDC是平行四邊形，

'：ZCAB=90°,

四邊形4BDC是矩形，

ZFCD=90°,CD=AB=4,

'：CF=CA+AF=2,

.-.DF=VCF2+CZ)2=A/22+42=2#)

如圖，NN=90。,/。=5,AB=5,BD=3,BE=x,

A5BXE

則CE=J。+（5+x）2,DE=JX2+32,

'：CE-DE<CD,

:.CE-DE的最大值為CO的長度，

過點。作。M//C交NC于"，

則四邊形4RDM為矩形，

DM=AB=5,AM=BD=3,

:.CM=2,

CD=4CM-DM1=A/22+52=729，

y的最大值為A/29

9.如圖,43兩點在直線外的同側，/到ACV的距離/C=16,3到肱V的距離6D=10,CD=8,

點P在直線上運動，則|山-尸理的最大值等于.

【答案】10

【分析】延長N8交跖V于點P,過點3作的L/C,由題意可知尸'"-93=23同尸/-必|,即說

明當點尸運動到尸'點時，|"-「同最大，即為48的長.最后根據勾股定理求出的長即可.

【詳解】解：如圖，延長N8交AGV于點P,過點8作BE,/C,

，當點P運動到P點時，|尸”-尸創(chuàng)最大，即為/B的長.

:BD=10,CO=8,AC=16,

BE=CD=8,AE^AC-CE=AC-BD=16-W=6,

AB=yjAE2+BE2=A/62+82=10，

目的最大值等于10

10.已知：如圖，在矩形Z8CL1中，48=3,40=4.動點P為矩形/8CO內一點，且滿足

【答案】4+2君

2

［分析】過點P作MN1AD,交/。于點/,交BC于點、N,由S"BC=矩物，可得PN=pN=2,

過尸點作G47/4D,交N5于點G,交CQ于點作A點關于G〃的對稱點H連接4D與GH交

點即為所求點P,在Rt△44'D中,40=4,AA'=2,即可求

【詳解】解：迂晨P作MN，AD,交/。于點M,交8c于點N,

-xBCxPN=-xBCxMN,

23

：.PN=-MN,

3

:AB=3,

MP=l,

過P點作GH//4D,交于點G,交CO于點作A點關于GH的對稱點4連接AD與GH交

點即為所求點尸，

\'AP=APt

AP+PD=A'D,

\'AG=L

:.AA'=2f

在△AAD中，4D=4,AA=2,

:.AD=2/,

AADP周長的最小值2出+4,

故答案為4+2班.

2022?綏化?中考真題

11.在平面直角坐標系中，已知一次函數X=/x+6與坐標軸分別交于4(5,0),兩點，且與

反比例函數為=與的圖象在第一象限內交于P,K兩點‘連接。尸,尸的面積為:.

(1)求一次函數與反比例函數的解析式；

(2)若。為線段。4上的一個動點，當PC+KC最小時，求APKC的面積.

【答案】(1)必=-；x+|>%=，?；|

22x5

【詳解】⑴解：1?一次函數%=左》+6與坐標軸分別交于4(5,0),兩點,

.?.把./(5,0),3(0,g)代入必=Kx+6得，

5尢+6=0k[=—

,L5,解得，

h=—5

一次函數解析式為必=—gx+|>

過點尸作1X軸于點H

?「4(5,0),

/.。/=5,

又S〉PAO=W，

.\-x5xPH=-

24

2

151

了.——'+—=一,

222

x=4,

尸(4,；)

?/P(4,1)在雙曲線上,

.?.左2=4x1=2,

22

2

一.%=一?

x

(2)解：作點K關于x軸的對稱點K',連接KK'交x軸于點M則K'(1,-2),OM=lf

連接尸K'交x軸于點C,連接KC,則PC+KC的值最小，

設直線尸K'的解析式為＞=%+〃，

m+w=-2

把P(4,；),K'(l,-2)代入得,

1

44m+n=—

2

5

m=—

6

解得，，

17

n=---

6

517

了.直線尸K，的解析式為y=-x-----

66

517171717

當歹=0時，—%——=0,解得，%=一，C(—,0)/.0C=—

66555

171217R

MC=0C-0M=—―1=—,AC=OA-OC=5——=-,3=0/_(W=5—1=4,

5555

XXXXX6

S2KC=SMKM-SAO/C-S"AC=142-1^2-18X1=

2252525

題型二雙動點最值問題(兩次對稱)

12.如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點，M為BC上一點，N為CD上一點，連EM、

MN,NA,則四邊形AEMN周長的最小值為。

【答案】6

【解答】解；延長ND至,使/D=ZX4',延長AB至E',使BE=BE：連接HE',

交BC于M,燹DC于N,此時4V=/'N,EM=E'M,四邊形AEMN周長=AN+MN+ME+AE=A'

E'+AE,根據兩點之間線段最短，A'E'+NE就是四邊形NEMN周長的最小值；

-：AD=2,AE=BE=\,

:.A'D=AD=2,BE=BE'=1,

:.AE'=3,AA'=4,

■-A'￡'=+=5,

四邊形AEMN周長的最小值為5+1=6.

13.（2023?淄博一模）如圖，在四邊形48CD中，NB=ND=90。，ND43=140。，M,N分別是

邊DC,3c上的動點，當△㈤W的周長最小時，ZMAN=°.

【答案】100

【分析】作點N關于CD、C3的對稱點及F,連接E尸分別交CD、CB于點、H、G,連接/〃、AG.

EM、FN,則當點河與點〃重合，點N與點G重合時，zUAW的周長最小，則易得NM4N的大

小.

【詳解】解：如圖，作點/關于。（、CB的對稱點及F,連接EF分別交C。、CB于點、H、G,連

接/H、AG.EM、FN,

由對稱性知：EM=AM,EH=AH,NF=NA,GF=GA,

AM+MN+NA=EM+MN+NF>EF,

當點M與點〃重合，點N與點G重合時，△力腦V的周長最小;

/GA=GF,EH=AH,

ZGAF=AGFA,ZHEA=ZHAE,

ZAGH=2/GFA,ZAHG=2ZHEA

?「NrU5=140。，

/.AGFA+AHEA=180。—ZDAB=40°,

?「ZAGH+ZAHG=2ZGAF+2ZHEA=2x40。=80°,

：,AGAH=180。-(N/G"+/AHG)=180°-80°=100°,

即/MAN=100°,

故答案為：100.

14.四邊形ABCD中，ZBAD=125°,乙B=/D=90。，在BC、CD上分別找一點M、N,當三角形AMN

周長最小時，乙MAN的度數為

【答案】70

【解答】解：延長到/使得艮4'=AB,延長/O到/〃使得=AD,

連接4A"馬BC、CQ分別交于點M、N.

乙ABC=AADC=90°,

:.A.Af關于8c對稱，4A〃關于CO對稱,

此時△4W的周長最小,

-：BA=BA',MBLAB,

:.MA=MA',同理：NA=NA",

乙4=乙MAB,AA"=乙NAD,

■：AAMN=AA'+AMAB=2AA',AANM=AA"+乙NAD=2乙A",

AAMN+AANM=2(△/'+AA"),

/BAD=125",

AA'+AA"=180°-ABAD=55°,

AAMN+AANM=2x55°=110°.

AMAN=180°-110°=70°,故答案為：70°

15.（2023?西安?二模）如圖，在四邊形A8CD中，ZS=ZD=90。，ZBAD=120°,AB=2,AD=4,

P、Q分別是邊BC、CO上的動點，連接4P,我，PQ,則△APQ周長的最小值為.

【答案】4幣

【分析】如圖，由4=/。=90。，作A關于8C對稱的點作A關于CD對稱的點4,連接

與8C交點為尸，與C。交點為0,連接/〃，AQ',由對稱的性質可得AQ'=A'Q',

A'D=AD=-AA'=4,A"B=AB=-AA"=2,則/P'+尸'。'+/。'=N"P'+尸。'+/'O',可知當

22

A\P\Q\⑷四點共線時，△/尸0的周長最小為4Z",如圖，過/'作⑷EL4D的延長線于E,

由N2/O=120。，可得NN"/E=60°,則Z"E=A4".sinZ4"J￡=2g,AE=AA"-cosAA"AE=2,

A'E=10,根據H/"=YJA'E2+A"E2，計算求解即可.

【詳解】解：如圖，由ZS=ZD=90。，作A關于3c對稱的點/"，作A關于。對稱的點連接

與3C交點為尸，與C。交點為0,連接NP',AQ',

￡口

由對稱的性質可得=AQ'=A'Q1,A'D=AD=-AA'=4,A"B=AB=-AA"=2,

22

AP'+P'Q'+AQ'=A"P'+P'Q'+A'Q',

.?.當『、P\Q\4'四點共線時，△XP。的周長最小為44',

如圖，過/'作的延長線于E,

ZBAD=120°,

NA'AE=60°,

:.A"E=AA'-sinZA'AE=2?AE=AAn-cosNA'AE=2,

A'E=10,由勾股定理得A1A"=ylA'E2+A"E2=477

16.如圖，在平行四邊形45co中，對角線/C、AD相交于點。，點￡、尸分別是邊/￡＞、上的點,

連接OE、OF、EF,若AB=6,BC=2,ADAB=30°,貝UAOEF周長的最小值是.

【分析】作點。關于的對稱點點。關于的對稱點N,連接MN,MF,NE,AN,AM,

則AOE尸的周長=OE+O尸+斯="￡'+￡尸+披，故當E、F、N四點共線時ME+E尸+MR,

即此時A。跖的周長最小，最小值為九W的長，證明△M4N是等邊三角形，得到==

過。作OP1交直線48于尸，由平行四邊形的性質得到/O=8C=2,OD=OB=^BD,由含

30度角的直角三角形的性質得到。尸==1,則4?=6，OD=OB==,即可得到點尸與點

B重合,則CM=+082=正由此即可得到答案.

2

【詳解】解：作點O關于AB的對稱點M,點、O關于AD的對稱點N,連接MV,MF,NE,AN,AM,

由作圖得：AN=AO=AM,ANAD=ADAO,AMAB=ABAO,NE=OE,MF=OF,

AOEF的周長=OE+OF+EF=ME+EF+MF,

，當M、E、F、N四點、共線時ME+E產+MF,即此時AOE產的周長最小，最小值為MN的長,

NDAB=30°,

AMAN=60°,

是等邊三角形，

MN=AM=AO；

過。作DP±AB交直線于P,

■：四邊形/SCO是平行四邊形，

AD=BC=2,OD=OB=-BD,

2

在RtA4D尸中，4。4P=30°,乙DP/=90°,

DP=-AD=\,

2

AP=y/AD2-BD2=V3.OD=OB=；BD=；,

AB=AP=V3，

.?.點P與點3重合，

OA=^AB1+OB2=—.

2

MN=—

2

AOEF的周長最小值為史,

題型三動線段問題：造橋選址(構造平行四邊形)

鞍山?中考真題

17.如圖，在平面直角坐標系中，已知4(3,6),5(-2,2),在x軸上取兩點C,D(點C在點D左側),

且始終保持CD=1,線段CO在x軸上平移，當40+8。的值最小時，點。的坐標為

【分析】作點B關于x軸的對稱點B',將B，向右平移1個單位得到B",連接AB",與x軸交于點D,

過點B，作AB"的平行線，與x軸交于點C,得到此時AD+BC的值最小，求出直線AB”,得到點D

坐標，從而可得點C坐標.

【詳解】解；如圖，作點B關于x軸的對稱點B。將B，向右平移1個單位得到B",連接AB",與x

軸交于點D,過點B，作AB"的平行線，與x軸交于點C,

可知四邊形B'B"DC為平行四邊形，

則BC=B"D,

由對稱性質可得：BC=B,C,

AD+BC=AD+B'C=AD+B"D=AB",

則此時AB”最小，即AD+BC最小，

/A(3,6),B(-2,2),

，B'(-2,-2),

，B"(-1,-2),

設直線AB”的表達式為；y=kx+b,

6=3k+bk=2

則c,解得:

-2=-k+bb=0

直線AB”的表達式為；y=2x,

令y=0,解得：x=0,即點D坐標為(0,0),

.?.點C坐標為(-1,0),

故答案為：(-1,0).

聊城?中考真題

18.如圖，在直角坐標系中，矩形O45C的頂點。在坐標原點，頂點aC分別在X軸，y軸上，B,

。兩點坐標分別為8(-4,6),D(0,4),線段即在邊CM上移動，保持￡尸=3,當四邊形

BDEF的周長最小時，點E的坐標為.

【答案】(-0.4,0)

【詳解】解：如圖所示，:D(0,4),

二。點關于x軸的對稱點坐標為“(0,-4),

:.ED=EH,

將點〃向左平移3個單位，得到點G(-3,-4),

:.EF=HG,EF//HG,

四邊形EFG8是平行四邊形，

:.EH=FG,

:.FG=ED,

:B(-4,6),

BD=^(-4-0)2+(6-4)2=2A/5,

/；EF=3,

四邊形BDEF的周K=BD+DE+EF+BF=2M+FG+3+BF,

要使四邊形ADE廠的周長最小，則應使尸G+B尸的值最小,

而當足G,8三點共線時尸G+8尸的值最小，

設直線8G的解析式為：y=Ax+6(左/0)

:B(-4,6),G(-3,-4),

f-4k+b=6

A[-3k+b=-4'

p=-io

A[b=-34，

..y=-10x-34,

當產0時，x=-3A,

；.尸(-3.4,0),

￡(-0.4,0)

故答案為：(-0.4,0).

19.如圖，在平面直角坐標系中有4（。,3）,。（5,0）兩點.將直線?。?x向上平移2個單位長度得

到直線4,點B在直線4上，過點3作直線4的垂線，垂足為點C,連接43,BC,CD,則折

線ABCD^AB+BC+CD的最小值為.

【答案】275+72

【分析】先證四邊形48CF是平行四邊形，可得AB=CF,則48+3C+CD=3+近+。0，即當

點C,點。，點下三點共線時，Cb+CD有最小值為。尸的長，即/B+8C+CD有最小值，即可求

解.

【詳解】解：如圖，將點A沿了軸向下平移2個單位得到石（0,1）,以NE為斜邊，作等腰直角三角形

AEF,則點尸（1,2）,連接CF,

,二△/E尸是等腰直角三角形，

:.AF=EF=6，ZAEF=45°,

；將直線4：夕=》向上平移2個單位長度得到直線4，

ZAOC=45°,BC=近,

BC=AF=42,ZAEF=ZAOC=45°,

:.EFHOC,

'：AFLEF,BCLOC,

AFIIBC,

，四邊形48CF是平行四邊形，

AB=CF,

AB+BC+CD=CF+41+CD,

，當點C,點。，點尸三點共線時，C尸+CD有最小值為。歹的長，即48+8C+CD有最小值,

二點￡)(5,0),點方(1,2),

DF=7(5-I)2+(2-0)2=2sJ~5,

二折線4BCD的長4B+3C+CD的最小值為2行+&

廣西來賓中考真題

20.如圖，已知點火3,0),8(1,0),兩點C(-3,9),。(2,4)在拋物線了=/上，向左或向右平移拋物

線后，C,。的對應點分別為。，D。當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式

為.

【詳解】解：?.?4(3,0),5(1,0),C(-3,9),Z>(2,4),

Z8=3-l=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572,

由平移的性質可知：C'D'=CD=54i,

四邊形48clO'的周長為AB+BC'+C'D'+D'A=2+BC'+5y[l+D'A；

票使其周長最小，則應使3O+DN的值最??；

設拋物線平移了0個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a<0時，拋物線向左平移;

C'(-3+a,9),。(2+0,4),

將。響左平移2個單位得到。4),則由平移的性質可知：BD"=AD：

將。"(a,4)關于x軸的對稱點記為點￡,則典°,-4),由軸對稱性質可知，BD”=BE,

BC'+D'A^BC'+BE,

當8、E、C'三點共線時，3C'+3￡的值最小，

90

將E點坐標代入解析式可得：-4=——。+——,

a-44-a

25___________________

解得：?=—，2匕時8C'+8E=C'￡=J（-3+a-ay+（9+4）2

此時四邊形4BCD'的周長為AB+BC'+C'D'+D'A=2+542+yfnS?

當a=4時，0（1,9）,￡>'（6,4）,4（3,0）,8（1,0）,

此時四邊形ABCD'的周長為：

N8+BO+C'D+ZT/=2+（9-0）+5&+46-3『+（4-0）2=16+50；

2+5A/2+V178<16+5V2,

，當a=1|時，其周長最小，所以拋物線向右平移了II個單位，所以其解析式為：y=(x

題型四垂線段最短

21.（2023下?湛江?二模）如圖，在Rt^ABC中，44cs=90。，AC=6,BC=8,AB=10,4D平

濟NCAB交BC于點、D,點、E、F分別是、NC邊上的動點，則CE+跖的最小值為.

【詳解】解：如圖，在NB上取一點尸，使/尸=/尸，連接EF,作

,：4D平分/BAC,

\ODAC=GDAB,

'：AE=AE,

AAEF\AE叫SAS'）,

EF=EF',

:.CE+EF=CE+EF',

，當點C,E,尸在同一條線上，且CE//3時，CE+EF最小,即CE+E尸最小，其值為CH,

7S,

△AZsJCr=2-ACBC=-2AB-CH,

“ACBC6x824

CH-----------=------=—,

AB105

24

即CE+EF的最小值為彳

22.如圖，2MON=45。,OP平分4MON,點/為射線。河上一點，04=4,點及/分別為射線

0P,。河上的動點，連接EF,貝U/E+跖的最小值為.

【解析】在ON上截取OG=OF,連接EG,過點A作AH_LON于點H.

?.OG=OF,ZEOG=ZEOF,OE=OE,

AOEG^AOEF,EG=EF,

AE+EF=AE+EGNAH.

5

■：AMON=45°,0A=4,/.AH=——OA=272.