2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：四邊形折疊問(wèn)題

2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)熱點(diǎn)專題加練

四邊形折疊問(wèn)題

1.(1)如圖1,在正方形A3CD中，點(diǎn)E,尸分別在邊和A3上，=求證：DF±AE；

(2)如圖2,在矩形ABCD中，將四邊形AFGD折疊，得到四邊形EFGP,EP交CD于點(diǎn)、

H,點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕交邊A3于R交邊CD于G,連接AE交G尸于點(diǎn)O.若

*=MtanZCGP=|,GF=3非,求AE與CP的長(zhǎng).

圖I圖2

2.如圖，點(diǎn)E是長(zhǎng)方形ABCD中8邊上一點(diǎn)，將-3CE沿BE折疊得到△3EE,點(diǎn)C的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在AD上，連接CP.若AB=4,BC=5,求AF,E尸和BE的長(zhǎng).

3.已知矩形紙片ABCD.

第①步：將紙片沿AE折疊，使點(diǎn)。與BC邊上的點(diǎn)尸重合，展開(kāi)紙片，連結(jié)AF,DF,DF

與AE相交于點(diǎn)。(如圖1).

第②步：將紙片繼續(xù)沿O尸折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在"上，展開(kāi)紙片，連接。G,

與AE交于點(diǎn)H(如圖2).

(1)請(qǐng)猜想DE和DH的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

(2)已知OE=5,CE=4,求1311/00斤的值和4//的長(zhǎng).

4.如圖，正方形紙片A3CO的邊長(zhǎng)AB=12,E是DC上一點(diǎn)，CE=5,折疊正方形紙片,

使點(diǎn)8和點(diǎn)E重合，折痕為FG,試求尸G的長(zhǎng).

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

5.【感知】如圖①，RtAABC中，ZC=90°,AC=-AB,則—3的度數(shù)為

2

【探究】如圖②，四邊形A5CD是一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片，E,尸分別為?1B,8的中

點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)。的折痕將紙片翻折，使點(diǎn)A落在所上的點(diǎn)H處，折痕交AE于點(diǎn)G,試求

NADG的度數(shù)和AG的長(zhǎng);

【拓展】若矩形紙片A3CD按圖③所示的方式折疊，B,。兩點(diǎn)恰好重合于對(duì)角線AC的中

點(diǎn)。（如圖④），則四邊形AEC尸為；當(dāng)A3=9”時(shí)，則四邊形AEC歹的面積為

.（用含。的代數(shù)式表示）

EB

圖④

6.如圖，把矩形ABC。沿AC折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)E重合，AE交BC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)E作EGCD

交AC于點(diǎn)G,交CF于點(diǎn)H,連接。G.

E

⑴求證：四邊形ECDG是菱形；

⑵連接ED交AC于點(diǎn)O,求證：DC2=OCAC;

14

⑶若DG=6,求即的值.

7.如圖，把矩形紙片ABCD沿所折疊，使點(diǎn)8落在邊AD上的點(diǎn)B'處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處,

求證：B'E=BF.

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

8.如圖1,長(zhǎng)方形紙片ABCD,AB=8,3C=10,點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)，連接BE,將二ABE

沿BE折疊，得到一EBE,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)

(1)連接。/，若DF〃BE,求AE的長(zhǎng);

(2)連接DRCF,若△BD是以ZTOC為底角的等腰三角形，求AE的長(zhǎng)；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EHJ.BC,垂足為延長(zhǎng)所與8交于點(diǎn)G,若點(diǎn)G在線段8上，

試探究四邊形。EPG的周長(zhǎng)與四邊形ABHE的周長(zhǎng)之比是否變化？若不變，請(qǐng)求出比值；若

變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(1)如圖，在11ABe中，D,E分別是BC,AC的中點(diǎn)，請(qǐng)用直尺畫出AB的中點(diǎn).

A

（2）尺規(guī)作圖：作一個(gè)ABC,使3C=。，AC=2a,ZBCA^Za.（不要求寫作法）

（3）如圖，已知長(zhǎng)方形A3CD中，AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E,將VADE

折疊，使點(diǎn)。恰好落在3C邊上的點(diǎn)F處，求CE的長(zhǎng).

D

E

10.綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“長(zhǎng)方形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

【動(dòng)手操作】如圖，將長(zhǎng)方形紙片A5CD沿AC所在的直線折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，CE

與AB交于點(diǎn)R

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

D

【猜想證明］(1)求證：是等腰三角形；

【結(jié)論應(yīng)用】(2)若AB=8,BC=6,求的面積

11.在..ASC中，/。=90。,44=42。.點(diǎn)。、E分別在ABC的邊AC、AB上，且均不與,ABC

的頂點(diǎn)重合，連接DE,將45C沿。E折疊，使點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A始終落在四邊形3CDE的

外部，AO交邊A3于點(diǎn)尸,且點(diǎn)A，與點(diǎn)C在直線的異側(cè).

圖①圖②圖③

(1)如圖①，則28=°.

(2)如圖②，則ZBED+ZCDE=°.

(3)如圖③，設(shè)圖②中的NCDF=/1,NA'跖=N2.求4一/2的度數(shù);

(4)當(dāng)_NDE的某條邊與AB或AC垂直時(shí)，直接寫出NADE的度數(shù).

12.如圖所示的一張矩形紙片ABC。(AD>AB),將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展

開(kāi)，折痕所交AD邊于點(diǎn)E,交BC邊于點(diǎn)尸，分別連接AF和CE.

(1)求證：四邊形AFCE是菱形(用兩種方法證明)；

(2)過(guò)E點(diǎn)作EP〃CD交AC于點(diǎn)P,試探究ARAP.AC的關(guān)系并說(shuō)明理由(請(qǐng)同學(xué)們將圖

補(bǔ)充完整之后再答題)；

⑶在(2)的條件下，若AB=6,BC=3,連接PF,求尸F(xiàn)的長(zhǎng).

13.如圖，在等邊ABC中，AB=2,過(guò)點(diǎn)C作射線CDL3C,點(diǎn)N分別在邊AB,BC

上，將ABC沿折疊，使點(diǎn)2落在射線C。上的點(diǎn)笈處，連接A9.

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

D

⑴證明：CN+NB'為定值；

(2)當(dāng)BN=2NC時(shí)，證明四邊形8MBW是菱形;

(3)當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，求/mi的度數(shù)；

(4)當(dāng)A9最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出跖V的長(zhǎng).

14.如圖，四邊形Q4BC為矩形，其中。為原點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上，8點(diǎn)的

坐標(biāo)是(8,14).點(diǎn)、D,E分別在OC,CB邊上,且CE:￡B=5:3,將矩形Q4BC沿直線DE

折疊，使點(diǎn)C落在43邊上點(diǎn)尸處

(1方點(diǎn)的坐標(biāo)是,D點(diǎn)的坐標(biāo)是.

⑵若點(diǎn)尸在第二象限，且四邊形尸EED是矩形，則尸點(diǎn)的坐標(biāo)是

⑶若M是坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸上，若以點(diǎn)M,N,D,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)

直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

15.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形038的邊。3在x軸上，且。(0,0),。(0,4).

(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)C(,)；

(2)如圖②，點(diǎn)尸為線段2C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段。3上，若/瓦＞尸=/。。/，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖③，動(dòng)點(diǎn)E,尸分別在邊08,C￡)上，將正方形03Q)沿直線所折疊，使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)M始終落在邊OD上(點(diǎn)M不與點(diǎn)。,。重合)，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，設(shè)=x,四邊形BEFC

的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案:

1.(2)AE=4小,CP=^—.

2.AF=3EF=-,BE=—.

f22

3.(1)DE=DH

(2)1,AH=4A/10.

4.13

5.(感知)：30。；(探究)：ZADG=15°；AG=8—46；(拓展)：菱形；18百/

42

6.(3)—

25

8.(1)5

⑵或64-8屈

⑶9

-8

9.(3)CE=3cm

75

10.(2)—

4

11.(1)48

(2)222

(3)84°

(4)24。或45。

12.(2)2AF2=A