2024年中考數(shù)學復(fù)習：幾何面積問題與面積法典例精析

幾何面積問題與面積法典例精析

知識梳理

幾何起源于對圖形的面積的測量，面積是平面幾何中一個重要的概念，求圖形的面積是平面幾何中常見的基本問題之一.

平面幾何圖形形狀不同，繁簡不一，計算圖形的面積常用以下幾種方法:

1.和差法：把圖形面積用常見圖形面積的和差表示，通過常規(guī)圖形面積公式計算.

2.運動法：有時直接求圖形面積有困難，可通過平移、旋轉(zhuǎn)、割補等方式，將圖形中的部分圖形運動起來，把圖形轉(zhuǎn)化為容易觀

察或解決的形狀，就可在運動中求解.

3.等積變形法：即找出與所求圖形面積相等或有關(guān)聯(lián)的特殊圖形，通過代換轉(zhuǎn)化求圖形的面積.

例題精析

例1如圖,△4BC的面積為lcm2,AP垂直/ABC的平分線BP于點P,則與△P8C的面積相等的長方形是（今

0.5cm0.5cm0.5cm0.5cm

0.9cm1.0cm1.1cm1.2cm

A.B.c.D.

思路點撥延長AP交BC于點E,根據(jù)AP垂直.N4BC的平分線BP于點P,即可證得點P為AE中點，又知△APC和^CPE等底同

高,可以證明兩三角形面積相等，即可求得^PBC的面積.

解題過程如圖，延長AP交BC于點E.

VAP垂直NABC的平分線BP于點P,

根據(jù)等腰三角形的三線合一可知AP=PE.

112

SAPB=SPBE，SAPC=^PCE-SpBC=]SABC=2cm-

選項中只有B的長方形面積為｝cm2,故選B.

方法歸納本題主要考查面積及等積變換的知識點，延長AP交BC于點E是解答本題的關(guān)鍵，證明出△PBC的面積和原三角形的

面積之間的關(guān)系很重要.

易錯誤區(qū)注意三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個三角形，但要注意這兩個三角形不全等.

例2如圖，在正方形ABCD中，已知AB=3,點E,F分別在邊CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于點G.若圖中涂色部分的面積與正方形A

BCD的面積之比為2：3,則^BCG的周長為.

思路點撥根據(jù)涂色部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3得出涂色部分的面積為6,空白部分的面積為3,進而依據(jù)^B

CG的面積以及勾股定理得出BG+CG的長，進而得出八BCG的周長.

解題過程正方形ABCD的面積為3x3=9.

???涂色部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,

涂色部分的面積為|X9=6.。空白部分的面積為9-6=3.

---四邊形ABCD是正方形,.,.BC=CD,NBCE=NCDF=90。，

又CE=DF,ABCE^ACDF./.ABCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為|x3=^,ACBE=乙DCF.

'：ZDCF+ZBCG=90°,.\ZCBE+ZBCG=90°./.ZBGC=90°.

設(shè)BG=a,CG=b，貝%ab=|.

又：a?+b?=32,a2+lab+b2=9+6=15,HP(a+b)2=15.

：.a+b=V15,BPBG+CG=V15.

...ABCG的周長為V15+3..故答案為：餐+3.

方法歸納本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問題.解題時注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

易錯誤區(qū)將涂色部分的面積轉(zhuǎn)化為△BCG的面積是解題的關(guān)鍵，解決面積問題最重要的方法就是將不規(guī)則的圖形通過割補或

等積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，面積之間的等量關(guān)系一定要分析清楚，不能搞錯.

例3在數(shù)學學習過程中，我們常常會有“似曾相識”的感覺，如果我們把這些類似進行比較、加以聯(lián)想的話，可能出現(xiàn)許多意想不

到的結(jié)果和方法，這種把類似進行比較、聯(lián)想，從而解決問題的方法就是類比法.類比法是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結(jié)論

的發(fā)現(xiàn)方法.

如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.

【嘗試探索】

①經(jīng)過三角形頂點的面積等分線有一條.

②平行四邊形有一條面積等分線.

【類比探究】如圖1是在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線.

【類比拓展】如圖2,在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB*CD,且SABC<S4m過點A畫出四邊形ABCD的面積等分

線，并描述方法.

【靈活運用】請您嘗試畫出一種圖形，并畫出它的一條面積等分線.

C

圖1

思路點撥嘗試探索：①根據(jù)三角形的三條中線是面積等分線解答.②根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形解答即可.類比探究：找出兩

個矩形的對稱中心即可.類比拓展：根據(jù)等底等高的兩個三角形面積相等作圖.靈活運用：根據(jù)經(jīng)過圓心的直線把圓分成面積相等的兩

部分解答.

解題過程【嘗試探索】①三角形的三條中線是面積等分線,

???經(jīng)過三角形頂點的面積等分線有3條.故答案為：3.

②?.?平行四邊形是中心對稱圖形，.?.經(jīng)過對稱中心的直線都是它的面積等分線..?.平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.故答案為：無

數(shù).

【類比探究】如圖3,經(jīng)過兩個矩形對角線的交點的直線是這個圖形的一條面積等分線.(答案不唯一)

【類比拓展】如圖4,過點B作BE〃AC交DC的延長線于點E,連接AE交BC于點H取ED的中點F,連接AF.VAABC和4A

EC的公共邊AC上的高也相等,二S=S.S=S.S皿皿…=S.AEID的中線AF是四邊形ABCD的面積等分線.

ABCAECABHHEC四也形AB3AED

【靈活運用】如圖5,經(jīng)過兩圓圓心的直線0。是這個圖形的面積等分線.(答案不唯一)

方法歸納本題考查的是面積與等積變換，正確理解平面圖形的面積等分線的定義、中心對稱圖形的概念以及三角形面積的計算公

式是解題的關(guān)鍵.

易錯誤區(qū)類比拓展題是將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題再解決，要注意轉(zhuǎn)化過程要保持面積不變，這個過程是本題的難點

也是易錯點.

例4如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB與x軸重合，點B的坐標為(5,0),點D的坐標為(2,4),直線1的解析式為.y=

kx+6(kW0).

(l)k取任意不為零的數(shù)時，直線1都經(jīng)過一個點，該點坐標為____.

(2)當直線1把矩形ABCD分成的兩部分面積相等時，求k的值

(3)當直線1與矩形ABCD有交點時，求k的取值范圍.

(4)當直線1與線段BC相交時，設(shè)交點為E,△CDE的面積為S,試求S與k的函數(shù)解析式及k的取值范圍.

思路點撥⑴在y=kx+6中，令x=0得y=6,即得答案為(0,6).⑵當直線1經(jīng)過矩形ABCD的對稱中心F時，直線1把矩形ABCD分成

的兩部分面積相等，由點B的坐標為(5,0),點D的坐標為Q,4),得F@2)用待定系數(shù)法即得k=-*(3)當直線1經(jīng)過A(2,0)時,解

得k=-3.當直線1經(jīng)過C(5,4)時,解得k=-1,即得當-3VkV-1時，直線1與矩形ABCD有交點.(4)在y=kx+6中，令x=5得y=5k+6,即

E(5,5k+6).可得CE=BC-BE=-5k-2.因為CD=3,所以△CDE的面積為S=^CD-CE=-^-k-3,當直線1經(jīng)過點B時，解得k=-*當直

線1經(jīng)過C(5,4)時,解得k=-1,故-￡W上＜-1據(jù)此解答即可.

解題過程〉(1)在y=kx+6中，令x=0得y=6,

直線1始終經(jīng)過點(0,6).

故答案為：(0,6).

⑵當直線1經(jīng)過矩形ABCD的對稱中心F時，直線1把矩形ABCD分成的兩部分面積相等，如圖1.

:點B的坐標為(5,0),點D的坐標為Q,4),二

將尸(('2)代入y=kx+6得2=+6,解得k=

(3)如圖2.

,?,四邊形ABCD是矩形，點B的坐標為(5,0),點D的坐標為(2,4),

.,.A(2,0),C(5,4).

當直線1經(jīng)過A(2,0)時，代入可得0=2k+6,解得k=-3.

當直線1經(jīng)過C(5,4)時代入可得4=5k+6,解得fc=-|.

由圖可知：當-3WkW-豹寸，直線1與矩形ABCD有交點

(4)如圖3.

??,點B的坐標為(5,0),點D的坐標為(2,4),

；.CD=3,BC=4.

在y=kx+6中，令x=5得y=5k+6,即E(5,5k+6),

，BE=5k+6.CE=BC-BE=-5k-2.

ZXCDE的面積為S=|CD-CE=|X3X(-5fc-2)=-yfc-3.

當直線1經(jīng)過B(5,0)時，代入可得0=5k+6,解得k=_*

由⑶知，當直線1經(jīng)過C(5,4)時,k=-|,

A當直線1與線段BC相交時，-&＜上V一1?

圖1圖2圖3

方法歸納本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形中心對稱性、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是求出直線1經(jīng)

過相關(guān)頂點時k的值，利用數(shù)形結(jié)合得到k的范圍.

易錯誤區(qū)解答本題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合題意，分情況作出圖形，利用圖形列式求得k的值.

八專項訓練

A組

1.在△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD_LCE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面積等于().

A.12B.14C.16D.18

2.在下列圖形中，各有一個邊長為4cm的正方形與一個8cmx2cm的長方形相重疊，則重疊部分的面積最大的是().

A.

(第3題)

4.如圖是山西省某古宅大院窗揭圖案，圖形構(gòu)成10x21的長方形，空格與實木的寬度均為1,那么這種窗戶的透光率（即空格面積

與全部面積之比）是（）.

（第4題）（第5題）

5.如圖,在凸四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,EG與FH相交于點O,設(shè)四邊形AEOH,BFOE,CGOF的面積分

別為3,4,5,則四邊形DHOG的面積為（）.

4苧C.4D.6

6.如圖，在△48c中,AB=10cm,AC=6所,,點D在BC邊上，作DE14B于點E,DF±4c于點F.若DE=2cm,△的面積為

49cm2,,則DF的長為___.

2

工C

E

AB

（第6題）（第7題）

7.如圖，長方形ABCD平移得到長方形交BC于點E,4Di交CD于點F,若E為BC的中點，四邊形.4ECF為

正方形，AB=20cm,AD=10c科則涂色部分的面積為___（cm2.

8.如圖，已知矩形ABCD的面積是36c*在邊AB,AD上分別取點E,F,使得.ZE=3EB,DF=2AF,DE與CF的交點為點O,求△

A

（第8題）

9.規(guī)律：如圖1,直線7n||n,A,B為直線n上的點,C,P為直線m上的點.如果A,B,C為二個7E點，點P在m上移動,那么無論點P

移動到何位置，△ABP與△4BC的面積總相等，其理由是.

（第9題）

應(yīng)用：

⑴如圖2,.△48c和△DCE都是等邊三角形，若A4BC的邊長為1,則.△B4E的面積是

⑵如圖3,四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的邊長為4,求△4CF的面積.

B組

10.如圖,在△ABC中,/人08=125。,把4ABC剪成三部分，邊AB,BC,AC放在同一直線上，點O都落在直線MN上，且

SBCO-SCAO-SABO=BC:AC:4B,則NACB的度數(shù)為（）.

A.70°B.65°C.60°D.85°

（第10題）

1L如圖,已知點MG3,4）,點P從點O出發(fā),沿射線OM方向以1個單位/秒的速度進行勻速運動,運動的過程中以P為對稱中心，O

為一個頂點作正方形OABC,當正方形面積為128時點A的坐標是（）.

（第11題）

C.(2,2同)MM)

12.如圖，已知△48c的面積為S,D是邊BC的三等分點，E是邊AC的四等分點，F(xiàn),G皆是邊AB的五等分點，則四邊形DEFG

的面積是一

13.如圖，已知直線Zi,12,13.〃及mj,m2mx,m2,m3,如分別互相平行，且S四邊形ABCO=100,S=20,則

S四邊形PQRS=■

14.如圖,在四邊形ABCD中,DE=EF=FC,AG=GH=HB.試判斷四邊形EFHG的面積.S1與四邊形ABCD的面積.S?之間的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

（第14題）

15.(1)如圖1在.ZMBC中."C8=90°,,AE平分ZC4B,4c=6,4B=10,,貝［J點E至！JAB的距離為_.

⑵如圖2,在.A4BC中，NC=90°,乙4=60°,BC=2,,D為斜邊AB上一點,且乙EDF=90。,/EDF的兩邊分別交BC于點E,交

AC于點F,若DE=DF,求四邊形DECF的面積.

（3）為了美化城市，某公園準備設(shè)計一個三角形觀賞花園，如圖3,A48c為觀賞花園的大致輪廓，并將觀賞花園分成△BEDA

DFC和四邊形AEDF三部分，其中在四邊形AEDF區(qū)域內(nèi)種植（6475n的牡丹，在和△DFC兩區(qū)域內(nèi)種植薰衣草，設(shè)計要

求：LBAC=120。,,點D,E,F分別在邊BC,AB,AC上，且DE=DF/EDF=60。為了節(jié)約種植成本，三角形觀賞花園ABC的面積是否

存在最小值?若存在，請求出AABC面積的最小值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

（第15題）

A組

1.C2.B3.B4.B5.C6.13cm7.1008.連接OBQA,設(shè)SSAFOD=X,SAOBE=y,.則SA0D=

DF=JABCDCOD=矩形人蛇口二-^-由AOBCOD矩形得

,S^AOE=3y,S^AOB=4y,S^C~^^^^^12-I,S4DAE=^+^=]SABCD'4y

2

+12-x=18①，由SA0E=SME-SyioD得孑一1％=3ycirc歷2,解由①②聯(lián)立的方程組得.%=4.-SF0D=4cm.

9.規(guī)律：同底等高的兩個三角形面積相等

應(yīng)用：⑴弓⑵連接BF.

四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，

.".ZBAC=ZEBF=45°..,.AC/7BF.

'''SACF=SABC=gS正方形ABCD=8.

B組

29

10.All.D1620.—S

13.60

【解析】口II12,mi||m3,

??.四邊形APFQ是平行四邊形.

:*SAPQ=SFQP.

同I理可得，SBRQ=SGQR，SCRS=SHSR，SDPS=SESP?

?*,SAPQ+^BRQ+^CRS+SDPS=^FQP+^GQR+^HSR+^ESP-

△人四邊形。一

?SPQ+S^BRQ+SACRS+S&DPS=SABC

S福力髀CR4QP+SGQR+SHSR+SESP=s四邊形PQRS-S]四邊形EFGH,

?**S四邊形ABC。-S四邊形PQRSS四邊形PQRS

S四邊形EFGH-

,/S四邊形ABCD=100,SP四邊形EFGH=20,

A100-S四邊形PQRs=S四邊形PQRs-20,

解得S四邊形PQRS=60.

14.如圖，連接EH,EA,CH,CA.

DE=EF=FC,AG=GH=HB,

ADE

S'=S四邊形EFHG=SEGH+SEHF—^EAH+^EHC—2^^=3^ADC$BCH=^SABC,■-SADE+SBCH=-(SADC+54BC)

?四邊形；，(S溝=紙.

S=3.STSLS“+BCH)]=j(s2-

15.(1)如圖1,作EH_LAB于點H.

在RtAACB中,：ZACB=90°,AC=6,AB=10,BC=yjAB2-AC2=V102-62=8.

VAE平分NCAB,:.ZCAE=ZEAH.

VZACE=ZAHE=90°,AE=AE,

JAAEC^AAEH(AAS).

:.AC=AH=6,EC=EH.Z.BH=4.

設(shè)EC=EH二x.在RtAEHB中，???EH2+BH2=BE2,:,%2+42=(8-%產(chǎn)解得x=3.AEH=3.

圖1圖2

(2)如圖2,作DM±BC于點M,DN±AC于點N,連接CD.

；ZDNC=ZDMC=ZMCN=90°,

，四邊形DNCM是矩形.I.ZNDM=90°.

???ZNDM=ZEDF.AZNDF=ZMDE.

■:NDNF=NDME=90°,DE=DF,

ADNF^ADME(AAS).

???DN=DM,S四邊形DECF=S四邊形DNCM-

在RtAACB中,,?,ZACB=90°,ZA=60°,BC=2,

；?易得4C=^,4B=竽.

,:SABC=SCDB+SACD>

1?2V31r，12V3

-x2x—=--2-DM+-----DN.

23223

DM=DN=V3-1.ASi四邊形DECF=S四邊形DNCM二(V3-1)X(V3-1)=4-2V3.

⑶存在.

如圖3,作DM±AB于點M,DN±AC于點N.

，ZMDN=ZEDF=60°.Z.ZEDM=ZFDN.

,/DE=DF,NDME=NDNF=90。,

???ADME^ADNF(AAS).