2024年高考數(shù)學(xué)試題（新課標(biāo)I卷）含答案

2024年高考數(shù)學(xué)試題(新課標(biāo)I卷)

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.

1.己知集合A={rr|-5</<5},B={-3,一1,0,2,3},則40口=

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

2.若曰=1+"則2=

A.-1-iB.-l+iC.l-iD.l+i

3.已知向量。=(0,1),b—(2㈤，若〃_L(〃一4〃)，則比

A.-2B.-lC.lD.2

4.已知cos(a+6)=m,tanatan/3=2,貝!jcos(a—￡)=

A.-3??iB.—C.等D.3m

oo

5.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為V3，則圓錐的體積為

A.2A/3TUB.3A/3TUC.6V37tD.9V37t

6.已知函數(shù)加)(二：",'U在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

A.(-oo,0]B.[-l,0]C」-1,1]D.[0,+8)

7.當(dāng)①e[0,2兀]時，曲線y=sina;與y=2sin(3a?—春)的交點個數(shù)為

A.3B.4C.6D.8

8.已知函數(shù)/(c)的定義域為R,f(x)>f(x—l)+/(c—2),且當(dāng)reV3時，/(rc)=2，則下列結(jié)論中一定正

確的是

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000DJ(20)<10000

二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全

部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均

值分=2.1,樣本方差"0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布7V(1.8,0.12),假設(shè)推動出口

后的畝收入y服從正態(tài)分布,貝M若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(〃，O,則P(Z<〃+Q20.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0,5

C.F(y>2)>0.5D.F(Y>2)<0.8

10.設(shè)函數(shù)_f(rc)=(re—l)2(x—4),則

A.c=3是/(①)的極小值點B.當(dāng)OV±<1時，/(⑼Vf(d)

C.當(dāng)1<必<2時，-4</(22—1)V0D.當(dāng)一1<eV0時，/(2—a?)>/(a:)

1

11.造型d可以做成美麗的絲帶,將其看作圖中曲線。的一部分.已知。過坐標(biāo)原點O,且。上的點滿足橫

坐標(biāo)大于—2,到點尸（2,0）的距離與到定直線c=a（a<0）的距離之積為4,則

A.a=-2

B.點（22,0）在。上

C.。在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1

D.當(dāng)點（g,%）在。上時，現(xiàn)《總5

XQJZ

三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.設(shè)雙曲線C:1—萼=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為用,￡,過用作平行于沙軸的直線交。于AB

兩點，若四川=13,|AB|=10,則。的離心率為.

13.若曲線在點（0,1）處的切線也是曲線v=lnQ+1）+a的切線，則a=.

14.甲乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別

標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比

較所選卡片上的數(shù)字大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置

的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）記△ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,6,c,已知sinC=V2cosB,a2+62—c2=V2ab.

⑴求B；

（2）若△ABC的面積為3+6,求c.

2

16.(15分)已知4(0,3)和P(3,--)為橢圓=l(a>b>0)上兩點.

4a+b

(1)求。的離心率;

(2)若過P的直線/交。于另一點且△ABF的面積為9,求，的方程.

17.(15分)如圖，四棱錐P—ABCD中，_R4_L底面ABCD,_R4=47=2,反7=1,AB=血.

(1)若AD_LPB,證明：AD〃平面PBC；

3

18.(17分)己知函數(shù)/(2)=In武/+ax+6(2:—I)3.

(1)若6=0,且求a的最小值；

(2)證明：曲線9=/(。)是中心對稱圖形；

(3)若/(力)>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<①<2,求b的取值范圍.

19.(17分)設(shè)巾為正整數(shù)，數(shù)列aiQ,…，電”+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項應(yīng)和火。<力后

剩余的癡項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列alta2,-,a4m+2是(i,j)

一可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的(i,j),1<y<6,使得數(shù)列的,a?,…,ae是&力一可分?jǐn)?shù)列；

(2)當(dāng)?n>3時，證明：數(shù)列di,a2,…,a41n+2是(2,13)一可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1,2,,4m+2中一次任取兩個數(shù)，和/(，</),記數(shù)列aiQ,…，0^+2是(?J)一可分?jǐn)?shù)列的概率

為兄，證明：3>4.

O

4

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)I卷）

數(shù)學(xué)參考答案與解析

本參考答案與解析共7頁，19小題，滿分150分.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)

考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4。分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={?—5</<5},B={-3,-1,0,2,3},則4nB=

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A.

【解析】一5<〃<5今—5i<x<5^,而1<5專<2,因此AAB={-1,0}.

故答案為A.

2.若--T=l+i,則2=

z—1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C.

【解析】兩邊同時減1得：一二=i,進而z=l+±=l—i.

故答案為C.

3.已知向量a=(0,1),b=(2,x).若b_L(b-4a)，則c=

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D.

【解析】即b?(b—4a)=0.代入得4+孤力—4)=0,即①=2.

故答案為D.

4.已知COS(Q+/?)=m,tanatan。=2,則cos(a—/?)=

數(shù)學(xué)參考答案與解析第1頁（共7頁）

A.-3mB.---C.一D.3m

33

【答案】A.

【解析】通分sinasinB=2cosacos/.積化和差：(COS(Q—/?)—cos(a+0))=2](cos(a—

/3)+cos(a+B)).即cos(a—/?)=—3cos(a+0)=—3m.

故選A.

5.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且他們的高均為通，則圓錐的體積為

A.2e7TB.3>/3%C.6&7TD.9通不

【答案】B.

【解析】設(shè)二者底面半徑為T,由側(cè)面積相等有7rrQF5=27rL通，解得r=3.故

V=—■irr2-\/3=-^7TX9=3v^兀

33

故答案為B.

—①2—2aoe—ax<0

''在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

e"+ln(a;+1),a;》0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B.

【解析】，)0時，八x)=1+-^―〉0,故f(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞增.而"=

1+X

—力2—2zx—a的對稱軸為直線6=—a,故由/(6)在(—oo,0)上單調(diào)遞增可知—a》。今a<0.

在n=0時應(yīng)有—劣②—2ax—aWe"+In(劣+1),解得a>—1,故—1<a<0.

故答案為B.

7.當(dāng)，6[0,2n]時，曲線沙=sine與n=2sin,/一()的交點個數(shù)為

A.3B.4C.6D.8

【答案】C.

【解析】五點作圖法畫圖易得應(yīng)有6個交點.

故答案為C.

8.已知函數(shù)/Q)的定義域為R,—+2),且當(dāng)熊<3時/(乃=%則下

列結(jié)論中一定正確的是

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B.

【解析】/⑴=1,/(2)=20/(3)>30〃4)>50f⑸>8今f(6)〉13今…分

/(II)>143=>7(12)>232=>/(13)>300=>/(14)>500=>/(15)>800=>/(16)>1000=>

…=/(20)>1000

故答案為B.

數(shù)學(xué)參考答案與解析第2頁（共7頁）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解推動出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝

收入的樣本均值為了=2.1,樣本方差s2=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入x服從正態(tài)分布

河(1.8,0.12),假設(shè)推動出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N0,§2),則(若隨機變量Z服從正

態(tài)分布N(p,,a2),則P(Z<fi+a)0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8

【答案】BC.

【解析】由所給材料知兩正態(tài)分布均有。=0.1及正態(tài)分布的對稱性得：

P(X>2)<P(X>1.9)=1-P(X<1.9)=1-0.8413<0.2,A錯誤；P(X>2)<P(X>

1.8)=0.5,B正確；

P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,C正確；

P(Y>2)=P(Y<2.2)=0.8413>0.8,D錯誤.

故答案為BC.

10.設(shè)函數(shù)/(，)=(，一1)2Q—4),則

A.2=3是的極小值點B.當(dāng)0</<1時，/(x)</(一)

C.當(dāng)1<①<2時，一4<f(2x-1)<0D.當(dāng)一1<a;<0時，/(2—2)〉/(,)

【答案】ACD.

【解析】計算知13)=33—1)3—3).故-C(1,3)時單調(diào)減，其余部分單調(diào)增.由

此知c=3為j(x)極小值點，A正確；

由上知xG(0,1)時f⑺單調(diào)增，又此時田〉/，故/(x)>/(7),B錯誤；

此時2c—1C(1,3),故f(2x-1)￡(/(3),/(1))=(-4,0),C正確;

由/(2—%=(x—1『(—2-2),故/(2-x)-f⑸=2(1-xf>0,D正確.

故答案為ACD.

11.造型o<可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點O,且。上的點滿足橫坐標(biāo)

大于一2;到點F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的距離之積為4,則

A.a=—2

B.點(2\/2,0)在。上

C.C在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1

4

D.

當(dāng)點(/o,團)在C上時，y0<——-

XQ十/

【答案】ABD.

【解析】由原點。在曲線C上且\OF\=2知O到直線x=a距離為2,由a<0知

a=-2,A正確；

由力>—2知。上點滿足(/+2)^。―2)2+g2=4,代(272,0)知B正確；

216O

解出y=/,OA2—3—2)2,將左邊設(shè)為于⑺,則/⑵=-0.5<0.又有/⑵=1,故存

數(shù)學(xué)參考答案與解析第3頁(共7頁)

60e(0,1)使/(&)>I.此時y>1且在第一象限,C錯誤；

162164

又/=(x+2)2—(①—2)<3+2)2,故如<g+2)，D正確?

故答案為ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)雙曲線。：形—左=l(a〉0,b〉0)的左右焦點分別為華,為，過為做平行于y軸的

直線交。于4,8兩點，若|FMI=13,\AB\=10,則。的離心率為▲..

【答案】

【解析】根據(jù)對稱性比用=怨=5,則2a=四川—田川=8,得到a=4.另外根據(jù)

c3

勾股定理2c=出為=12,得到c=6,所以離心率e=-=-.

a/

13.若曲線"=e"+①在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+a的切線，則a=▲—

【答案】In2.

【解析】設(shè)曲線分別為yi,y2,那么比=d+1,得到切線方程沙―1=2立，根據(jù)必=+

得到切點橫坐標(biāo)為一：，代入y2得至IJa=ln2.

14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,

乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的

卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然

后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得

分不小于2的概率為▲..

【答案】j-

【解析】.由對稱性，不妨固定乙出卡片順序依次為(2,4,6,8),為了簡便,設(shè)甲依次出

(a,b,c,d),{a,b,c,d}e{1,3,5,7).首先注意到8是最大的，故甲不可能得四分.若甲得三分，則

從c到a均要求得分，比較得必有c=7,b=5,a=3,d=l共一種情況；若甲得兩分，則討論

在何處得分：若在4。處，則同樣。=7,b=5,進而a==3,共一種；若在電。處，則必

有。=7,。,l,b,5,在b=1時有全部兩種，在d=1時僅一種，共三種；若在a.b處，則

be{5,7},a7^1,C7^7.當(dāng)a=5時，由上述限制，c=1時有兩種，d=1時僅一種；當(dāng)a=7

時，a,c,d全排列六種中僅a=1的兩種不行，故有四種，此情形共八種.故共有1+3+8=12種,

191

又總數(shù)為4!=24,故所求為1—萬=w

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

記AABC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,b,c,已知sin。=V2cosB,a2+b2-c2=y/2ab.

(1)求比

(2)若AABC的面積為3+通，求c.

數(shù)學(xué)參考答案與解析第4頁(共7頁)

【解析】

(1)根據(jù)余弦定理。2+廬一=2abcosC=^a6,那么cosC=g,又因為。6(0戶)，

7T17T

得到c=~,此時cosB=-,得到B

?-T)

(2)根據(jù)正弦定理b=‘‘in———c,并且sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

smC2

那么S=^bcsinA=3+y/3,解得c=2\/2.

4JL/

16.(15分)

已知4(0,3)和P(3,1)為橢圓。4+*=l(a〉F〉0)上兩點.

(1)求。的離心率；

(2)若過P的直線I交C于另一點B,且△ABP的面積為9,求才的方程.

【解析】

(1)直接代入后解方程，得到。2=12,廬=9,02=3,所以e2=",離心率e=1.

(2)設(shè)3(3加，則赤=(g-3,團—萬5=卜,—|).得到9=S

=|—|(與—3)—3(而—|)卜或者0+2團=—6,與橢圓方程聯(lián)立，得到B1(-3,-15),B2(0,-3),

13

對應(yīng)的直線方程y=2x或者y=2x~3'

17.(15分)

如圖，四棱錐P—AN。。中，PAL底面AB。。，PA=4。=2,BC=1,AB=心.

(1)ADIAB.證明：40〃平面。3。；

/42

(2)若AD，。。，且二面角A—CP—。的正弦值為A號，求4D.

【解析】

(1)由PA1.面ABCD知PALAD,又ADIPB,故AD1.面PAB.故ADI.AB,又

由勾股定理知ABIBC,故AD//BC,進而AD//面PBC.

(2)由PAX.面ABCD.PALAC,PC=2\/2,設(shè)AD=力，則PD=

CD=不，由勾股定理知PD±CD.則S&PCD=S&ACD=二羽

數(shù)學(xué)參考答案與解析第5頁(共7頁)

2t

設(shè)4到PCD距離為h.由等體積，S4PCD?h=SMCD?P4代入解出h=-7==.考慮A

，4+力2

向CP作垂線AM,二面角設(shè)為。則%=AMsin。=tI由此解出t=g

18.(17分)

已知函數(shù)f⑺=In--------[-ax+b(x—l)3.

/x

(1)若6=0,且求a的最小值；

(2)證明：曲線4=/(乃是中心對稱圖形；

(3)若/(乃>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<①<2,求b的取值范圍.

【解析】

函數(shù)定義域(0,2).

119

(1)當(dāng)b=0時，廣(c)=一+-----Fa=——-----r+a)0恒成立.令，=1得a2—2.

x2—xc(2—x)

當(dāng)a=—2時，，⑺=2(；1)：》0,從而a的最小值為—2.

x[2—X)

nr*2——X

(2)f(x)+f(2—x')—In-----f-arr+6(x—l)3+ln-------\-a(2—x)+b(l—x)3—2a—2/(1),

2—xx

且定義域也關(guān)于1對稱，因此y=f⑺是關(guān)于(l,a)的中心對稱圖形.

(2e網(wǎng)+1\

(3)先證明a=-2.由題意，a=/⑴W-2.假設(shè)a<—2,由/f—)>

(2e|b1+1\

\b\+l-\b\=1,應(yīng)用零點存在定理知存在歸e[1,]+回+J,/(%)=°，矛盾-故。=—2?

此時，r⑺=(力])：[3.(2—,)+2].當(dāng)b》一，/3》(力])：(2-4x+2,2)》0，且

X(/X)oX(/X]

不恒為0,故于⑺在(0,2)遞增.f(x)>-2=/(I)當(dāng)且僅當(dāng)1</<2,此時結(jié)論成立.當(dāng)

b<—得令g=6be(0,1),r(g)=o,且廣⑵<o,當(dāng)，e(g,1),因此f⑺

在(%1)遞減,從而/(3)>/(l)=-2,而%隹(1,2)此時結(jié)論不成立.綜上，b的取值范圍是

19.(17分)

設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列ai,a2,-a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項%和

%(i<j)后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列

°4，。2,…項+2是('，/)—可分?jǐn)?shù)列?

(1)寫出所有的(E,力使數(shù)列%口2,…&6是出力―可分?jǐn)?shù)列;

(2)當(dāng)山23時，證明：數(shù)列的,a2,…a4m+2是(2,13)—可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1,2,…4m+2中一次任取兩個數(shù)i和j(i<j),記數(shù)列旬⑦，…a4m+2是(30一可

分?jǐn)?shù)列的概率為Pm,證明Pm>:

O

【解析】

數(shù)學(xué)參考答案與解析第6頁(共7頁)

記｛an｝的公差為d.

(1)從的,。2,…，&6中去掉兩項后剩下4項，恰構(gòu)成等差數(shù)列，公差必為d,否則原數(shù)列至

少有7項.因此剩下的數(shù)列只可能為ar,a2,a^ai,a2,a3,a4,a5,a3,a4,a5,a6三種可能，對應(yīng)的

(V)分別為(5,6),(1,6),(1,2).

(2)考慮分組(?1，?4>a7>a10)>(a3>a6>a9>a12)>(a5>a8>011>a14)>(04fc-l>a4fc>a4fc+l)a4fc+2)(^.

出W機)，(當(dāng)小=3時只需考慮前三組即可)即知結(jié)論成立.

(3)一