2024年中考數學復習直角三角形的核心知識點精講（講義）（解析版）

專題18直角三角形的核心知識點精講

rtF~~=^n

?弊復習目標h

1.了解直角三角形的概念；

2.證明并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余（無需證明）；直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半；

3.掌握直角三角形的判定定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形；

4.掌握勾股定理；會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊和一組直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；

考點梳理

考點1：直角三角形的性質與判定

1.兩銳角之和等于90°

2.斜邊上的中線等于斜邊的一半

3.30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

1.若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于30°

性質（應用時需先證明）

2.勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,則

a2+1b2=c2

1.有一個角為90°的三角形時直角三角形

2.有兩個角的和時90°的三角形是直角三角形

1.一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形

判定2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足

22

a+b=c，那么這個三角形為直角三角形。

11,其中a是底邊常，hs是底邊上的高

Sc=-aKb=—c/7z

面積公式

b

考點2：勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別

為a,b,斜邊長為c,那么

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+〃=。2,那么這個三角形是直角三

角形.

(3)勾股數：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。

勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數

*

\典例引領

【題型1：直角三角形的性質與判定】

【典例1】(2022?紹興)如圖，把一塊三角板的直角頂點2放在直線跖上，2c=30。，AC//EF,

貝“1=()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解答】解：:/c〃斯，4c=30°,

ZC=ZCBF=30°,

?--AABC=90°,

?..41=180°-AABC-ACBF=1SO°-90°-30°=60°,

故選：C.

■

年BD時檢測

1.（2022?岳陽）如圖，已知/〃45,CDLI于點、D,若乙。=40。，則41的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【解答】解：在中，ACDE=90°,ADCE=40°,

則乙CED=90。-40°=50°,

■.-I//AB,

...41=乙CED=50°,

2.（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數據產業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許

多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長為12%,則底邊

上的高是（）

【答案】3

【解答】解：如圖，作于點。,

AB=ZC=A(1800-ABAC)=30°,

2

5L-：ADVBC,

.'.AD=^AB=—x12=6(m),

22

故選：B

【題型2：勾股定理及逆定理】

【典例2］（2023?恩施州）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數學的“算經之首”.書中記載：“今有戶

不知高、廣，竿不知長短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問戶高、廣、邪各幾何？”譯文:

今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放,

竿與門對角線恰好相等.問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別

是8,6,10尺.

DC

高

【答案】8,6,10.

【解答】解：設門對角線的長為x尺，貝!1門高為（x-2）尺，門寬為（x-4）尺，

根據勾股定理可得：

x2=（x-4）2+（x-2）2,即/=/一8x+16+f-4x+4,

解得：xi=2（不合題意舍去），X2=10,

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）.

答：門高8尺，門寬6尺，對角線長10尺.

故答案為：8,6,10.

?BD時希泅

1.（2023?天津）如圖，在△/水：中，分別以點/和點C為圓心，大于/AC的長為半徑作?。ɑ∷趫A的

半徑都相等），兩弧相交于N兩點，直線VN分別與邊8C,/C相交于點。，E,連接/D若BD=

【答案】。

【解答】解：由題意得：是/C的垂直平分線,

：,AC=2AE=?>,DA=DC,

ADAC=AC,

:BD=CD,

:.BD=AD,

二.AB=乙BAD,

vAB+/LBAD+AC+ADAC=180°,

.'.2ABAD+2ADAC=180°,

...乙BAD+乙DAC=90°,

ABAC=90°,

在Rta/BC中，BC=BD+CD=2AD=\0,

-'-AB=VBC2-AC2=V102-82=6,

故選：D.

2.（2023?東營）一艘船由N港沿北偏東60°方向航行30加至8港，然后再沿北偏西30°方向航行40筋7

至。港，貝I」/,C兩港之間的距離為50km.

【答案】50.

【解答】解：如圖：

由題意得：ADAB=60°,乙FBC=30°,AD//EF,

；.乙DAB=LABE=60°,

AABC=180°-乙ABE-乙FBC=9Q°,

在RtZUBC中，AB=30km,BC=40km,

AC=VAB2+BC2=Vso2+4O2=50（km）,

.'.A,C兩港之間的距離為50km,

故答案為：50

3.（2023?安徽）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積

的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如

22

圖，4D是銳角4ABC的高，貝I8D=」■（BC+次―）當N3=7,8C=6,/C=5時，CD=1.

2BC

【解答】解：5D=-1（BC+^~^2）,AB=1,BC=6,AC=5,

2BC

=（6+jW2.）=5,

26

.-.CD=BC-BD=6-5=1,

故答案為：1.

4.（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內壁離杯底4c加的點/處有

一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點8處，則螞蟻從外

壁B處到內壁A處所走的最短路程為10cm.（杯壁厚度不計）

【解答】解：如圖：

將杯子側面展開，作B關于M的對稱點Q，

連接夕A,則夕/即為最短距離，

B'A=D2+AD2=782+62=1。（。加）?

故答案為：10.

€典例麗

【題型3：勾股定理與弦圖、拼圖】

【典例3】（2020?隨州）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在

我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定

理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（1）①請敘述勾股定理;

②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該

定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）

（2）①如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這

三個圖形中面積關系滿足Si+S2=S3的有3個;

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分

別為S1,直角三角形面積為S3,請判斷Si,S2,S3的關系并證明；

(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重

復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方

形M的邊長為定值機，四個小正方形N,B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,已知乙1=乙2=乙3=乙

a,則當乙a變化時，回答下列問題：(結果可用含的式子表示)

①。2+y+。2+解=加2；

②b與c的關系為b=c,a與d的關系為a+d=,力.

【答案】見試題解答內容

【解答】解：(1)①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.

(或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.)

②證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即c2=x4+(6-a)2,

2

化簡得：cr+b2=c2.

在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即(a+b)2=c2+Aa/)x4,

2

化簡得：/+廬=C2.

在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和.

即工(a+b)(a+b)=Lbx2+lc2,

222

化簡得:a2+b2=<?.

(2)①三個圖形中面積關系滿足S1+S2=S3的有3個；

故答案為3；

②結論：S1+S2=S3.

'：S\+S2=—JI(—)2+—JT(—)2+S3-—n(￡)2,

222222

S1+S2=—n(a2+b2-c2)+S3,

8

cP+b2=c2.

?.?S1+S2=S3.

(3)①/+序+/+/=m2；

②b與c的關系為b=c,a與d的關系為〃+d=冽.

故答案為：m2;b=c,a+d=m.

?60時鞋測

1.（2022?湘潭）中國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如

圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”.若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面

積均為1,a為直角三角形中的一個銳角，則tana=（）

A.2B.3C.-1D.近

225

【答案】Z

【解答】解：由已知可得，

大正方形的面積為1x4+1=5,

設直角三角形的長直角邊為。，短直角邊為6,

貝I]a2+b2=5,a-b=\,

解得a=2,b=l或a=l,b=-2（不合題意，舍去），

丁?tana=且_=2=2,

b1

故選：A.

2.（2022?永州）我國古代數學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明.如

圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的

面積是25，小正方形的面積是1,則AE=3.

【答案】3.

【解答】解：???大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,

:,AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,

根據題意，設AF=DE=CH=BG=x,

貝=1,

在Rt/\AED中,AE2+ED2=AD2,

（X-1）2+/=52,

解得：xi=4,X2=-3（舍去）,

「.x-1=3,

故答案為：3.

屈^好嬴*1]

選擇題（共7小題）

1.在中，若一個銳角等于40。，則另一個銳角的度數為（）

A.40°B,45°C.50°D.60°

【答案】C

【解答】解：,??直角三角形中，一個銳角等于40°,

???另一個銳角的度數=90°-40°=50°.

故選：C.

2.如圖，在△/8C中，乙/C8=90。，點。在上，沿。折疊，使/點落在8c邊上的￡點，若乙B

=26°,則4CDE的度數為（）

c

E

T~DB

A.52°B.71°C.72°D.81°

【答案】5

【解答】解：V^ACB=90°,乙8=26。,

/.AA=90°-26°=64。,

根據折疊，ACDE=AADC,乙ACD=LBCD=45°,

/.AADC=180°-45°-64°=71°,

/.ACDE=AADC=7l°,

故選：B.

3.如圖，在△45。中，ZC=90°,44=15。，點。是4C上一點，連接AD,乙DBC=60。,BC=2,

則/。長是（）

【答案】Z

【解答】解：..?4。=90。,ADBC=60°,

ABDC=90°-ADBC=30°,

/.BD=2BC=4,

,.24=15。，

/.AABD=ABDC-AA=15°,

/.^A=AABD=15°,

:.AD=BD=4,

故選：A.

4.以2,3為直角邊的直角三角形斜邊長為（）

A.V5B.413C.4D.5

【答案】B

【解答】解：以2,3為直角邊的直角三角形斜邊長=正丁=0與，

故選：B.

5.下列各組數據是勾股數的是（）

A.-1,A,AB.4,5,6

345

C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

【答案】。

【解答】解：4（L）2+（■1）2厘（上）2,不能構成直角三角形，故不符合題意；

453

B、42+52/62,不能構成直角三角形，故不符合題意；

c、0.32+0.42=0.52,能構成直角三角形，但不是整數，故不符合題意；

D、92+402=412,能構成直角三角形，且9,40,41是正整數，故符合題意.

故選：D.

6.如圖，已知CD1BD,若用“HL”判定RS/AD和RQCDB全等，則需要添加的條件是（

A.AD=CBB.=ZCC.BD=DBD.AB=CD

【答案】/

【解答】解：-；ABLBD,CDLBD,

:.乙ABD=LCDB=90°,

A.AD=CB,BD=DB,符合兩直角三角形全等的判定定理HL,能推出RtzXNAD和RQC￡>5全等，故

本選項符合題意；

B.AA=AC,乙ABD=LCDB,BD=DB,符合兩直角三角形全等的判定定理44S,不是兩直角三角形

全等的判定定理HL,故本選項不符合題意；

C.AABD=ACDB,BD=DB,不符合兩直角三角形全等的判定定理，不能推出RtZUAD和Rt^CDB

全等，故本選項不符合題意；

D.AB=CD,乙ABD=LCDB,BD=DB,符合兩直角三角形全等的判定定理&4S,不是兩直角三角形

全等的判定定理加，故本選項不符合題意；

故選：A.

7.如圖所示，已知在△48C中，ZC=90°,AD=AC,DELAB交BC于點、E,若42=28。，貝

)

A.28°B,59°C.60°D.62°

【答案】栗

【解答】解：在△/BC中，AC=90°,AD=AC,交BC于點E,且ZE=/E,

△CAE/4DAE(HL),

乙CAE=乙DAE=—/_CAB,

2

AB+ACAB=90°,43=28°,

ACAB=90°-28°=62°,

AAEC=90°-X/LCAB=90°-31°=59°.

2

故選：B.

二.填空題(共6小題)

8.如圖，在△NBC中，AACB=90°,乙/=40。，。為線段的中點，則43。=50,

［答案］50.

【解答】解：?.?在△/BC中，AACB=90°,AA=40°,

.,22=50°.

為線段N8的中點，

：.CD=BD,

：.乙BCD=48=50°.

故答案為：50.

9.我國古代數學著作《九章算術》記載了這樣一個有趣的問題：“有一個水池，水面是邊長為10尺的正方

形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果將這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端剛好達

到岸邊的水面”，則水池的深度為12尺.

［答案】見試題解答內容

【解答】解：設水池的深度為x尺，由題意得:

/+(10+2)2=(x+1)2,

解得：x=12,

答：水的深度是12尺.

故答案為：12.

10.如圖△48C中，AA：乙B=l：2,DELAB于E,且4FCD=75。,則-D=40°.

［答案】見試題解答內容

【解答】解：,??乙尸cr>=75°,

AA+AB=75°,

?-?AA：AB=1：2,

=AX75°=25°,

3

,:DELAB于E,

AAFE=90°-44=90°-25°=65°,

/LCFD=AAFE=65°,

?--ZFCZ)=75°,

...△￡>=180°-ACFD-ZFC￡>=180°-65°-75°=40°.

故答案為：40°

11.如圖，在一個三角形的紙片(△4BC)中，4c=90。，則圖中41+乙2的度數為270

B

［答案1270.

【解答】解：,.,』C=90。，

?,AA+AB=90°,

；乙1+42+24+42=360°,

Zl+Z2=360°-90°=270°,

故答案為：270.

12.如圖，在中，AACB=90°,以NC為邊向外作正方形4DEC,若圖中陰影部分的面積為9c

【答案】5.

【解答】解：；正方形ADEC的面積為9,

.'.AC2=9,

在Rta/8C中，由勾股定理得，

AB=7AC2+BC2=49+16=5(cm),

故答案為：5.

13.如圖，。為△NBC內一點，CD平分乙4CB,BDLCD,AA=AABD,若BD=1,BC=3,貝I]NC的長

為5.

【解答】解：延長與/C交于點E,

AA=乙ABD,

:.BE=AE,

:BD1CD,

：.BE±CD,

〈CD平分乙4CB,

乙BCD=乙ECD,

乙EBC=乙BEC,

?.BC=CE,

.BE人CD,

.，.2BD=BE,

???BD=\,BC=3,

：.CE=3,

??.AE=BE=2,

'.AC=AE+EC=2+3=5.

故答案為：5.

三.解答題（共4小題）

14.如圖，在△48C中，。是8C的中點，DELAB,DF1AC,垂足分別是E,F,S.DE=DF.求證：Rt

△BDE"RtACDF.

［答案】見解析.

【解答】證明：■-DEA.AB,DFVAC,

：.ADEB=ZDFC=90°,

??,。是2c的中點，

：.BD=CD,

在Rt/XBDE與RtACZ)F中，

(BD=CD

IDE=DF'

RtASD^RtACDF(HL).

15.如圖，已知乙NDC=90°,4D=8,CD=6,AB=26,2C=24.

(1)證明：△NBC是直角三角形.

(2)請求圖中陰影部分的面積.

【答案】見試題解答內容

【解答】（1）證明：,??在中，AADC=90°,/。=8,CD=6,

.-.AC2=AD2+CD2=82+62=100,

■.AC=10（取正值）.

在△NBC中，-.-AC^+BC2=102+242=676,AB1=261=616,

：.AC1+BC2=AB2,

△N8C為直角三角形;

（2）解：S陰影=5氏人/8。-SJUANCD

=AX10X24-AX8X6

22

=96.

16.如圖1,蕩秋千是中國古代北方少數民族創(chuàng)造的一種運動.有一天，小明在公園里游玩，如圖2,他發(fā)

現秋千靜止時，踏板離地的垂直高度?！?1根，將它往前推送(水平距離8C=6〃?)時，秋千的踏板

離地的垂直高度BF=CE=3m,秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度?

圖1圖2

【答案】10m.

【解答】解：由題意得：AACB=90°,

在中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

設繩索40的長度為x%,則/C=(x-2)m,

.'.x2=62+(x-2)2,

解得：x=10,

答：繩索/。的長度是10m.

17.一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，

（1）這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米?

【答案】見試題解答內容

【解答】解：（1）根據勾股定理:

梯子距離地面的高度為：7252-72=24（米）；

（2）梯子下滑了4米，

即梯子距離地面的高度為48=-44'=24-4=20（米），

根據勾股定理得：25={+（7+CC’―）"2，

解得CC=8.

即梯子的底端在水平方向滑動了8米.

維力想升

選擇題（共5小題）

1.如圖，在Rta/BC中，AACB=90°,乙4=30°,點。是/C上一點，將△NAD沿線段3。翻折，使

得點N落在4處，若乙4BC=20°,則4c8D=（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

【答案】。

【解答】解：由折疊得乙乙H8Q,

...在中，乙ACB=90。,44=30。，

AABC=60°,

...乙48C=20°,

/.^ABAy=80°,

??.乙ABD=LA'BD=40。,

；.LCBD=LABD-LA'BC=2。。,

故選：D.

2.如圖，RSZBC中，AC=90°,乙ABC=60。，以頂點5為圓心、適當長為半徑作弧，在邊5C、BA

上截取BE、BD；然后分別以點。、E為圓心、以大于QE的長為半徑作弧，兩弧在4CA4內交于點尸;

作射線5方交4。于點G.若力C=6,尸為邊45上一動點，則G尸的最小值為（）

【答案】3

【解答】解：由尺規(guī)作圖步驟可得，5G平分443C,

VAC=90°,AABC=6Q°,

AACBG=AABG=30°,44=30。,

，AB=2BC,而/C=6,

(25C)2-BC2=62,

解得:BC2=U,

同理可得：BG=2GC,

/.(2GC)2-GC2=BC2=12,

??.GC=2,

當G尸，45時，GP最短，此時根據角平分線的性質可得GP=GC=2,

故選：B.

3.如圖，△/BC中，AACB=9Q°,ACAB=60°,動點尸在斜邊所在的直線加上運動，連接尸C,

那點尸在直線加上運動時，能使圖中出現等腰三角形的點尸的位置有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

【答案】C

【解答】解：如圖所示：以8為圓心，5c長為半徑畫弧，交直線小于點P4,尸2,

以/為圓心，NC長為半徑畫弧，交直線S于點P,P3,

邊AC和BC的垂直平分線都交于點尸3位置，

4.如圖，線段。尸=1,過點尸作尸產i_LOP且尸P=l,連結。Pi;過點尸1作為尸2，。為且為尸2=1,連結

。P2；過點尸2作P2P3LOP2且尸2P3=1,連結。尸3,則。尸3的長為（）

A.1B.V2c.VsD.2

【答案】。

【解答】解：由勾股定理得：op/：。尸2+pp/=2,

2=2+2=3

0P2P1P2OP1'

?！?Jopg+p2P

故選：D.

5.如圖，以RtZ\45C的三條邊作三個正三角形，貝iJSi、S2、S3、S4的關系為（）

$4

B

A.S1+S2+S3=S4B.S1+S2=S3+S4

C.S1+S3=S2+S4D.不能確定

【答案】c

【解答】解：如圖，設RQ/BC的三條邊48=c,AC=b,BC=a,

■：AACG,NBCH,尸是等邊三角形，

1

Si=SAACG-S5="^-b-S5,S3=S^BCH-$6=-$6,

44

22

S1+S3=?(a+b)-&-S6,

4

:S2+S4=S^ABF-S5-S6=叵2

-Ss-S6,

4

c2=a2+b2,

「?S1+S3=82+84,

二.填空題（共3小題）

6.如圖，在△Z8C,乙4cB=90。，分別以三邊為直徑向上作三個半圓.若4B=5,AC=4,則陰影部分

【解答】解：VAACB=90°,AB=59AC=4,

2222

BC2+AC2=AB2，BC=7AB-AC=7B-4=3，

SKABC-^BC?AC=_Lx3x4=6,

22

設以5C為直徑的半圓的面積為S1,以為直徑的半圓的面積為S3,以/C為直徑的半圓的面積為S2,

Si=—n*()2=_2Lj9C2,S2-—TI*(i4c)2=-H-AC2,S3-—n*(XAB)2=JI-AB2,

228228228

222

?二S陰影=S2+S1+S/5C-S3=(BC+AC-AB)+SLABC=S^ABC=6,

8

故答案為：6.

7.如圖，在一個長方形草坪N8C￡＞上，放著一根長方體的木塊.已知/。=12米，N8=8米，該木塊的較

長邊與AD平行，橫截面是邊長為1米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達C處需要走的最短路程

【解答】解：把立體圖形展開為平面圖形得：展開后43方向上線段長度變長，長度為/8+1+1=8+2=1

0米，BC=AD=12ABLBC,

?■?^c=Vio2+i22=2V6i(米)，

故答案為：2鬧.

8.如圖①，四個全等的直角三角形與一個小正方形，恰好拼成一個大正方形，這個圖形是由我國漢代數學

家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.如果圖①中的直角三角形的長直角邊

為7cm,短直角邊為3c〃z,連結圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長為J2

［答案］32.

【解答】解：由題意得：BD=1cm,AB=CD=3cm,

BC=7-3=4(cm),

由勾股定理得：AC=A/AH2+HC2=(。加)，

，陰影的周長=4(48+/C)=4x(3+5)=32(cm).

9.如圖，在△48C中，ZC=90°,AA=30°,AB=4cm,動點P、。同時從/、3兩點出發(fā)，分別在/

3、8C邊上勻速移動，它們的速度分別為。=2c〃?/s,VQ=lcm/s,當點尸到達點3時，尸、0兩點同時

停止運動，設點P的運動時間為ts.

(1)當/為何值時，△尸3。為等邊三角形？

(2)當:為何值時，△PB。為直角三角形？

(2)，=L

【解答】解：在△/BC中，?.?乙C=90。，AA=30°,

...48=60°.

---44-2=2,

...0W/W2,BP=4-2t,BQ=t.

(1)當AP=20時，△尸3。為等邊三角形.

即4-2f=t.

4

-t=~?

3

當t4寸，△尸3。為等邊三角形；

(2)若△尸80為直角三角形,

①當450尸=90。時，BP=2BQ,

即4-2/=2t,

.”=1.

②當乙2尸0=90。時，BQ=2BP,

即/=2(4-2,)，

.8

=

-t~5?

即當或，=1時，APB。為直角三角形.

10.如圖，等腰直角三角板如圖放置.直角頂點3在直線CD上，分別過點/、E作直線CD于點C,

直線CD于點D

(I)求證：CD=AC+ED.

(2)若設△/5C三邊長分別為.、b、c,利用此圖證明勾股定理.

［解答］證明：(1)：乙4BC+乙EBD=90°,

乙ABC+乙BAC=90°,

(BAC=/LEBD,

■■△4BE是等腰直角三角形，

1'AB=BE,

在AABC與ABED中,

，ZBAC=ZEBD

,ZACB=ZBDE，

AB=BE

.?.NABgXBED(AAS),

：.BC=DE,BD=AC,

CD=BC+BD=AC+ED；

(2)由(1)矢口，DE=BC=a,BD=AC=b,

11?19

一.S梯形=q(軟+b)(a+b)而4+ab+*yb，

又S梯形ZCQE=S?BLS?BE+SpDE

=^+yc2+yab

=ab^—r2,

2

.12,1,2-I2

,,'a+Jabqb=ab+5c，

a2+b2=c2.

11.如圖，鐵路上/,5兩點相距25癡，C,。為兩莊，DAIAB^A,已知￡U=15左m,C

B=10km,現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站￡,使得C,D兩村到E站的距離相等.

問：(1)在離/站多少機處？

(2)判定三角形DEC的形狀.

D

【答案】見試題解答內容

【解答】解：(1)丫使得C,D兩村到E站的距離相等.

-'-DE=CE,

-：DAVAB^-A,CBUB于B,

J.4/=乙8=90°,

.-.AE2+AD2=DE2,BE1+BC1=EC2,

：.AE2+AD2=BE2+BC1,

設/￡=x,貝i]5E=NB-4￡=(25-x),

DA=15km,CB=1Okm,

.*.X2+152=(25-x)2+102,

解得：x=10,

-"-AE=\0km；

(2)△DEC是直角三角形，理由如下:

???△DAE"AEBC,

/_DEA=/-ECB,/_ADE=乙CEB,

ADEA+AD=9Q°,

:.乙DEA+匕CEB=90°,

ADEC=90°,

即△OEC是直角三角形.

12.今年第6號臺風“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力.如

圖，臺風“煙花”中心沿東西方向N8由/向8移動，已知點C為一海港，且點C與直線N3上的兩點

4、8的距離分別為NC=300而1,BC=400km,又AB=500km,經測量，距離臺風中心260左根及以內的

地區(qū)會受到影響.

(1)海港C受臺風影響嗎？為什么？

(2)若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？

(2)臺風影響該海港持續(xù)的時間為典小時.

7

【解答】解：(1)海港C受臺風影響，理由:

AC=300km,BC=400km,AB=500km,

.-.AC2+BC2=AB2,

???△/5C是直角三角形，AACB=90°；

過點C作CDL4B于。，

???△ABC是直角三角形，

\ACxBC=CDxAB,

.?.300x400=500x0),

CD=240(km),

???以臺風中心為圓心周圍260的?以內為受影響區(qū)域，

，海港C受臺風影響；

（2）當EC=260前，FC=260bw時，正好影響C港口，

22

■■■ED=VEC-CD=72602-2402=100（.）,

EF=2ED=200km,

???臺風的速度為28千米/小時，

.?.200528=螞（小時）.

7

1.（2023?株洲）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知乙，。3=90。，

點。為邊的中點，點/、3對應的刻度為1、7,則CD=（）

D/\B

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【答案】8

【解答】解：由圖可得，

AACB=90°,A8=7-1=6（的），點。為線段AS的中點，

CD==3cm,

2

故選：B.

2.（2022?永州）如圖，在RtZUBC中，248c=90°,4c=60。，點。為邊NC的中點，BD=2,則8C

的長為（）

【解答】解：在RQ48C中，Z^5C=90°，點。為邊NC的中點，BD=2,

：.AC=2BD=4,

ZC=60°,

Z.A=30°,

：.BC=XAC=2,

2

故選：c.

3.（2020?河北）如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案.現有五種正方形

紙片，面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊（可重復選取）按如圖的方式組成圖案，使所圍成的

三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）

【答案】3

【解答】解：當選取的三塊紙片的面積分別是1,4,5時，圍成的直角三角形的面積是近,迎=退_,

22

當選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5時，圍成的直角三角形的面積是正又如二垣;

22

當選取的三塊紙片的面積分別是3,4,5時，圍成的三角形不是直角三角形；

當選取的三塊紙片的面積分別是2,2,4時，圍成的直角三角形的面積是亞2Hz=1_,

22

???所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5,

故選：B.

4.（2022?陜西）如圖，是一個棱長為1的正方體紙盒.若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面，從頂點/爬

到頂點8去覓食，則需要爬行的最短路程是（）

B.2C.V5D.3

【答案】C

【解答】解：需要爬行的最短路程即為線段的長，如圖:

??,正方體棱長為1,

二.BC=1,AC=2,

■■AB=7AC2+BC2=A/22+12=煙'

.??需要爬行的最短路程為遙；

故選：C.

5.（2023?攀枝花）如圖，在△NBC中，44=40。，AC=90°,線段45的垂直平分線交45于點。，交4

【解答】解：.??乙C=