2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-分解因式

專題02分解因式

【知識點梳理】

知識點1：十字相乘法

要點一、十字相乘法

利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式

x1+bx+c,若存在1,則x2+fcr+c=(x+p)(x+q).

、p+q=b

要點詮釋：(1)在對一+法+c分解因式時，要先從常數(shù)項C的正、負入手，若c>0,

則p、4同號(若c<0,則.、4異號)，然后依據(jù)一次項系數(shù)8的正負再確定p、q的符號；

(2)若必+Zzr+c中的及。為整數(shù)時，要先將c分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后

看這兩個整數(shù)之和能否等于人，直到湊對為止.

要點二、首項系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項式依？+以+。(。川)中，如果二次項系數(shù)?？梢苑纸獬蓛蓚€因數(shù)之積，即

。=。陷2,常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即。=。1。2,把4，。2，Q。2排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到弓。2+4。1，若它正好等于二次三項式依2+陵+。的一次項系數(shù)人，

即a0+出。=。，那么二次三項式就可以分解為兩個因式qx+q與。2%+。2之積，即

2

ax+Zzx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

要點詮釋：(1)分解思路為“看兩端，湊中間”

(2)二次項系數(shù)。一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號

里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負號添上.

知識點2：提取公因式法與分組分解法

1、提取公因式法：如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外面，把多項式

轉(zhuǎn)化成公因式與另一個多項式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。

2、符號語言：ma+mb+me—m(a+b+c)

3、提公因式的步驟：

(1)確定公因式(2)提出公因式并確定另一個因式(依據(jù)多項式除以單項式)

原多項式

另一個因式=

公因式

4、注意事項：因式分解一定要徹底

知識點3：關(guān)于x的二次三項式ax2+6x+c(a/))的因式分解

若關(guān)于X的方程。/+6%+。=0(。/0)的兩個實數(shù)根是再、%,則二次三項式。%2+〃%+(;(。W0)就

可分解為。(%-%)0-％2).

【題型歸納目錄】

題型一：十字相乘法

題型二：提取公因式法與分組分解法

題型三：關(guān)于X的二次三項式依2+氏+0(。/0)的因式分解

【典例例題】

題型一：十字相乘法

例1.(2023?安徽滁州?八年級?？茧A段練習)由多項式乘法：(x+aXx+b)=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到

左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

示例：分角軍因式：J+5主+6=Y+(2+3)尤+2x3=(x+2)(x+3).

⑴嘗試：分解因式：X2+7x4-10=(x+)(尤+)；

(2)應(yīng)用：請用上述方法解方程：X2-X-20=0.

［解析］(l)x2+7x+10=.^2+(2+5)X+2X5=(X+2)(X+5),

故答案為：2,5；

⑵原方程可化為(x+4/x-5)=0,

x+4=0或x-5=O,

解得：西=-4,9=5.

例2.(2023?浙江?七年級專題練習)閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：

(x+2)(x+3)=X~+5x+6；(x-l)(x+3)=x~+2x-3,

而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：

X2+5x+6=(x+2)(x+3)；Y+2x-3=(x-l)(x+3).

通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式.如將式子/+2彳-3分解因式.這

個式子的二次項系數(shù)是1=1x1,常數(shù)項-3=(-l)x3,一次項系數(shù)2=(-1)+3,可以用下圖十字相乘的形式

表示為：

I-1———A

1，、3--------?

1x3+1x(-l)=2

先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上

角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫.這樣，我們就可以得到：

+2x—3=(x—l)(x+3).

利用這種方法，將下列多項式分解因式：

(I)%2+7x+10=;

⑵%2-2x-3=;

⑶產(chǎn)一7尸12=；

(4)X2+7X-18=.

【解析】⑴；10=2x5,2+5=7,

:.x~+7無+10=(尤+2)(無+5)；

故答案為：(x+2)(x+5)；

(2),/-3xl=-3,-3+1=-2,

x~—2x—3—(x—3)(x+l)；

故答案為：(x-3)(x+l)；

⑶???-3x(Y)=12,-3+(T)=-7,

A/-7y+12=(y-3)(y-4)；

故答案為：(y-3)(y-4)；

(4)V9x(-2)=-18,9+(-2)=7,

/.%2+7x-18=(x+9)(x-2)；

故答案為：(x+9)(x-2).

例3.(2023?江蘇?七年級期中)閱讀理解完成任務(wù)：教材第121頁閱讀與思考中有一種因式分解的方法叫十字

相乘法，書中描述分解因式x?+3x+2的過程如下：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左

下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次

項系數(shù)(如分解圖)，這樣，我們就可以得到：x?+3x+2=(x+l)(x+2)

1X2+1X1=3

某同學(xué)看完教材沒完全懂，問老師后就懂了，老師講解如下：利用十字相乘法分解61+7X-3,首先分解

二次項系數(shù)6,可分解為1x6或2x3或(-L)x(-6)或(-2)x(-3),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角;

再分解常數(shù)項一3,可分解為-1x3或1x(-3),分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，這

樣就會出現(xiàn)16種情況(如下分解圖)，求代數(shù)和等于一次項系數(shù)7,符合分解的分解圖有2種情況(就是方框

框起的兩種情況).所以得到：6Y+7x-3=(2x+3)(3x-1)或6尤?+7x-3=(-2尤一3)(-3尤+1).

十字相乘法公式：成v?+(以/+bc)x+cd=(av+c)(&v+d)(其中，a,b,c,d為常數(shù))

1V31V11V-32X/'1

6-16-36^133

-1X6+1X3=3-1X1+6X3=17-3X1+1X6=3-3X6+1X1=-17-1X3+2X3=3-1X2+3X3=7

-1V-1

:X：-63:X：

-3X3+2Xl=-7-lX3+(-6)X(-l)=3-lX(-l)+(-6)X3=-17-lX(-3)+(-6)Xl=-3

-2丫-1-2V3-2v1

-33-J-1-3-3

-lXl+(-6)X(-3)=17-2X3+(-3)X(-l)=-3-2X(-l)+(-3)X3=-7-2X(-3)+(-3)Xl=3-2Xl+(-3)X(-3)=7

閱讀以上材料，完成以下任務(wù)：請用十字相乘法分解下列多項式，要求寫出一種符合分解的分解圖.

(1)爐一7%+12

(2)2?+3%+1

【解析】(1)分解圖如下:

(-4)Xl+(-3)Xl=-7

x2-lx+12=(x-3)(x-4)；

(2)分解圖如下:

2X1+1X1=3

?**2M+3%+1—(2%+l)(x+1).

變式L(2023?全國?八年級期末)仔細閱讀下面例愿，并解答問思、：已知二次三項式/+5%+加有一個因式是

%+2,求另一個因式以及根的值.參考答案

設(shè)另一個因式為x+得￡+5X+M=(X+2)(X+〃),貝UY+5x+機+(〃+2)x+2〃，解得：〃=3,%=6.

另一個因式為％+3,冽=6.

(1)若二次三項式公―％_12可分解為(尤+3)(%—a),貝

(2)若二次三項式2d—H—6可分解為(2x+3)(x—2),則方=_；

⑶已知二次三項式6/一7%-左有一個因式是3%-2,求另一個因式以及左的值.

【解析】(1)由題意得：X2-X-12=(X+3)(X-?),

以￡—x—12—爐+(3—cijx—3〃，

所以—3a=—12,

解得1=4,

故答案為：4.

(2)由題意得：2x2—Zzx—6=(2x+3)(x—2),

所以2Y_bx_6=2x2-x—6，

所以〃=1,

故答案為：1.

(3)設(shè)另一個因式為2%+c,

貝ij6x2-7%—左=(2x+0(3x—2),

所以6f—Jx-k—6%2+(3c-4)%-2c,

所以3c—4=—7,—k=—2c,

解得c=-1,k=—2,

所以另一個因式是2%-1,%的值為-2.

變式2.(2023?湖南邵陽?七年級統(tǒng)考期中)閱讀理解題：

由多項式乘法：(%+。)(％+3=冗2+(，+與%+〃匕,將該式從右到左使用，即可得到因式分解的公式：

X2+([+人)%+=(%+Q).

示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2x3=(x+2)(x+3)

分解因式：X2—x—2=X2+[1+(—2)]%+[1x(—2)]=(x+l)(x—2)多項式x1+(a-\-b)x+ab的特征是二次項系

數(shù)為1,常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和.

⑴嘗試：分解因式：尤2+6%+8=(X+)(x+—)

⑵應(yīng)用：請用上述方法將多項式九2—5x+6進行因式分解.

【解析】⑴/+6%+8

=X2+(2+4)X+2X4

=(x+2)(x+4),

故答案為：2,4或4,2；

(2)x2—5x+6

=X2+[(-2)+(-3)]X+(-2)X(-3)

=(x-2)(x-3).

變式3.(2023?八年級課時練習)閱讀下列材料：將一個形如V+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿

足4=7"〃且0=〃2+77,則可以把*+px+q因式分解成(x+〃z)(x+”).

例如：(1)*+4x+3=(x+l)(x+3)；(2)Y—4x—12=(x—6)(x+2).

根據(jù)材料，把下列式子進行因式分解.

(l)x2—6x+8;

(2)/一2元-15；

(3)(x-4)(x+7)+18.

【解析】⑴爐-6x+8=(x-2)(x-4)；

(2)廠—2x—15=(x+3)(x-5)；

(3)(x-4)(x+7)+18=x2+3x—10=(x—2)(x+5).

題型二：提取公因式法與分組分解法

例4.(2023?新疆喀什?統(tǒng)考三模)分解因式召+3戶.

【答案】My+3)

【解析】原式=耳>3),

故答案為：x(>+3).

例5.(2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模)若孫=3,x+y=5,則尤)+孫？=

【答案】15

【解析】；個=3,尤+y=5,

/.尤2y+"2=Ay(x+y)=3x5=15,

故答案為：15.

例6.(2023?安徽黃山??？家荒?分解因式：-6尤2y+9孫3_3沖=.

【答案】-3xy(2%-3/+l)

【解析】-6工2,+9孫3_3孫

=-3xy(^2x-3y2+1).

故答案為：-3xy(2x-3y2+l).

變式4.(2023?廣東廣州?廣州市南武中學(xué)?？级?分解因式：3x2-9xy=

【答案】3x(x-3y)

【解析】3x2-9xy=3x(x-3y).

故答案為：3x(%-3y).

變式5.(2023?安徽蚌埠??？家荒?分解因式：4m2-4m-4n2+1=

【答案】(2m-l+2zi)(2m-l-2n)

【解析】4m2—4m—4n2+1

=(4m2-4m+l)-4n2

=(2m-l)2-(2n)2

=(2m-l+2n)(2m-l-2n).

故答案為：(2?/z—1+2〃)(2加—1—2〃).

變式6.(2023?四川內(nèi)江??？家荒?分解因式：X3-6X2+11X-6=.

【答案】(冗―1)(%—2)(%—3)

【解析】x3-6x2+llx-6

=x3-6x2+9x+2x—6

=-6%+9)+2(x-3)

=x(x—3)2+2(x—3)

=—3)+2^|(x—3)

=(/一3%+2)(%一3)

=(x-l)(x-2)(x-3),

故答案為：(1-1)(%-2乂1-3).

1QQ

變式7.(2023?全國?九年級專題練習)當x=-6,y=礪時，代數(shù)式/_6孫-fy+6/=

【答案】0

199

【解析】?.?1=-6,y=端,

/.x3-6xy-x2y+6x2

=x(x2-6y-xy+6x)

=x(x2+6x-6y-xy)

=x[x(x+6)-y(x+6)]

=x(x+6)(x-y)

=0.

故答案為：0.

變式8.(2023?全國?九年級專題練習)分解因式：x-xy+y-l=

【答案】(%—1)(1—y)

【解析】x-xy-^-y-l

=x(l-y)+y-l

=x(l-y)-(l-y)

=(x-l)(l-y)

故答案為：(x-1)(1-y).

32

變式9.(2023?山東聊城?統(tǒng)考一模)分解因式：x+x-x-i=

【答案】(x-D(x+1)

【解析】x3+x2-x-l

=(丁+X?)-(X+1)

=x2(x+l)-(x+l)

=(x?

=(x-l)(x+l)2,

故答案為：(x—+.

題型三：關(guān)于X的二次三項式依2+反+c(awo)的因式分解

例7.(2023?全國?九年級專題練習)分解因式：

⑴尤2-10x+16;

(2)x2—2x—3-

【解析】⑴月_10尤+16

=(x-8)(x-2)；

(2)x2—2x—3

=(x-3)(x+l).

例8.(2023?河北張家口??？寄M預(yù)測)問題情景:將下列完全平方式進行因式分解，將結(jié)果直接寫在橫線上.

x~+2x+1=(x+1)2；4x~—4x+1=(2x—I)2；9x?-30x+25=;

探究發(fā)現(xiàn)：觀察以上多項式，發(fā)現(xiàn)：22=4x1x1;(-4尸=4x4x1；(-30)2=4x9x25；

歸納猜想：若多項式在2+以+°(。>0,。>0)是完全平方式，則a,6,c之間存在的數(shù)量關(guān)系為從=4時；

驗證結(jié)論：嘉琪驗證歸納猜想中的結(jié)論的過程如下，請補全嘉琪的驗證過程；

ax2+bx+c>0,c>0)

_(2b}

=<21XH--XI+C

=a(x+)2+

,**ax2+Zzx+c是完全平方式，

，BPb1=4QC.

解決問題：

①若多項式5+1)%2-(2〃+6)%+(九+6)是一個完全平方式，求n的值；

②若多項式9y2+4加上一個含字母y的單項式就能變形為一個完全平方式，請直接寫出所有滿足條件的單

項式.

【解析】問題情境：9/-30彳+25=(3元)2-2*5乂3尤+52=(3元一5)2,

故答案為：(3x-5)2.

驗證結(jié)論：ax2+bx+c(o>0,c>0)

+c-----

4。

1**ax2+Zzx+c是完全平方式,

0,BPb2=4ac.

故答案為：；c-—(^――~~―);c—生=o(或4ac-Z?2=0);

2a4。4。4a

解決問題：①?.,多項式(〃+1)/—(2〃+6)x+(〃+6)是一個完全平方式,

(2〃+6)T—4(n+l)(n+6),

解得：n=3；

②當添加的含字母y的單項式為中間項時，

?.?9y2±12y+4=(3y±2)2,

???此時需要添加的單項式為12y或-12y；

當添加的含字母y的單項式為平方項時，

.?,9+99+4=42+2)，

Q1

???此時需要添加的單項式為2y%

綜上分析可知，需要添加的含y的單項式為12y,-12y或2y，

例9.(2023?浙江溫州?七年級?？茧A段練習)已知關(guān)于尤的多項式3/+x+w因式分解后有一個因式是3x-2.

⑴求m的值；

(2)將該多項式因式分解.

【解析】⑴：尤的多項式3/+》+加分解因式后有一個因式是3x-2,

2

當冗=1時多項式的值為0,

42

BP3x—H----bm=0,

93

2+機=0,

/.m=—2；

(2)Vm=-2,

3x?+x+m=3f+%—2—(x+l)(3%—2),

變式10.(2023?江蘇?七年級專題練習)分解因式

(1)m2—4m—5.

⑵%2+2%-3

(3)Y—2%—8

【解析】(1):-5=-5x1,-5+1=~4,

工原式=0—5)0+1).

(2)*.*—3——1x3,—1+3=2,

二?原式=(%+3)(%-1).

(3)?:—8=Tx2,—4+2=—2

；?原式=(%—4)(%+2).

變式11.(2023?江蘇無錫?七年級宜興市實驗中學(xué)校考期中)分解因式:

(1)3X2-27;

2

(2)X-4X-12.

【解析】⑴原式=3任-9)=3(x+3)(x-3)：

(2)原式=(x—6)(x+2).

變式12.(2023?全國?八年級專題練習)因式分(1)27.2-3x

(2)a2+b2-9+2ab

(3)%2—2x-8

【解析】(1)27孫z-3x

=3x(9y2-l)

=3x(3y+l)(3yT)；

(2)(r+b2-9+2ab

=a2+lab+b2-9

=(a+b)2-32

=(〃+0+3)(〃+Z?—3)?

(3)x2—2x—8

=(x+2)(x-4).

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?陜西西安?八年級交大附中分校?？计谥?多項式2--5尤-3可因式分解成(依+1)(尤+6),其中。、b

均為整數(shù)，則湖的值為()

A.-5B.-6C.6D.5

【答案】B

【解析】(OX+1)(A:+Z?)=a>c+(^ab+\)x+b=2x2—5x—3

ab+\=-5,即"=-6.

故選：B.

2.(2023?黑龍江哈爾濱?九年級哈爾濱德強學(xué)校校考開學(xué)考試)下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解

的為()

A.。(。+1)=a?+〃B./—2a—3=Q(Q—2)—3

C.(a-b)x-(a-b)y=(a-b)(x-y)D.(a+b)2-4ab=屋-2疝+/

【答案】C

【解析】A、等式從左邊到右邊屬于整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；

B、等式的右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；

C、等式從左邊到右邊把一個多項式化成整式積的形式，符合因式分解的定義，故此選項符合題意；

D、等式的右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；

故選：C.

3.(2023?江蘇無錫?七年級無錫市江南中學(xué)?？计谥?下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確

的是()

A.(a+l)(a-1)=儲-1B.-16a+64=(a-8y

C.a2-2a+4-(a-2)2D.ab+ac+l=a^b+c")+l

【答案】B

【解析】A.=從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項

不符合題意；

B.a2-16a+64=(a-8)2,從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；

C.〃-2。+42(。-2)2,因式分解錯誤，故本選項不符合題意；

D.ab+ac+l=a(b+c)+l,等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意.

故選:B.

4.(2023?陜西西安??？寄M預(yù)測)下列因式分解正確的是()

A.+y?=(x+y)2B.%。—5x+6=(x—2)(%—3)

C.一3產(chǎn)+6%=—3(+2)D.x2y+xy+x=x{xy+y)

【答案】B

【解析】A、f+y2不能進行因式分解，不符合題意；

B、X2-5X+6=(X-2)(X-3),因式分解正確，符合題意；

C、-3廠+6f=-3①-2),因式分解錯誤，不符合題意；

D、^y+xy+x=x{xy+y+1),因式分解錯誤，不符合題意；

故選：B.

5.(2023?廣東深圳??？级?下列說法正確的是()

A.五邊形的外角和是540。

B.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

C.因式分解2a2-必-a=-b-1)是正確的

D.關(guān)于x的方程-爐+"+1=。有兩個不相等的實數(shù)根

【答案】D

【解析】五邊形的外角和是360。，A錯誤，故不符合要求；

對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，B錯誤，故不符合要求；

2a~-a=a(2a-b-1)w2a(a-6-1),C錯誤，故不符合要求；

由-/+法+1=0,可得=b2+4>4,則關(guān)于x的方程-爐+法+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，D正確，故

符合要求；

故選：D.

6.(2023?河北滄州?模擬預(yù)測)若+6‘+6‘+65+65+6‘=36",則〃的值為()

A.10B.6C.5D.3

【答案】D

【解析】V65+65+65+65+65+65=36",

/.65(l+l+l+l+l+l)=65x6=62n,即66=620

2〃=6,解得：n=3.

故選D.

7.(2023?安徽安慶?校聯(lián)考一模)下列各式中能用完全平方公式因式分解的是()

A.4x2-6xy+9y2B.4a2-4a-1C.x2—1D.4m2-4mn+zz2

【答案】D

【解析】A、4/-6盯+9好不符合完全平方公式的特點，故不符合題意；

B、4/一4°-1不符合完全平方公式的特點，故不符合題意；

C、x2-l=(x+l)(x-l),用平方差公式分解，故不符合題意;

D、4加_4〃"7+"2氣2加_”)-,用完全平方公式分解，故符合題意；

故答案為：D.

22

8.(2023?安徽蕪湖?統(tǒng)考三模)已知三個實數(shù)。，b,c,滿足a-3匕+c=O,a-c>0,則下列結(jié)論正確的

是()

A.b<0,a>cB.b>0,a<cC.9b2<4acD.9b2>4ac

【答案】D

【解析】：a-36+c=0,

a+c=3b,

??Q?+2ac+c?=9Z?2,

***a1-c2>0,

(a+c)(a—c)>0,

3Z?(tz-c)>0,

fz?>ofz?<o[Z?>0[z?<o

??.八或z即或，故A、B結(jié)論錯誤，不符合題意；

[a-c>0[a-c<0[a>c[a<c

*/9b2—4ac=a?+2ac+c2—4ac=a2—2ac+c?=(a—cj>o,

A9b2>4ac,故C結(jié)論錯誤，不符合題意，D結(jié)論正確，符合題意；

故選D.

9.(2023?山東棗莊??？家荒?已知。、b、。為ABC三邊，且關(guān)于元的一元二次方程

(c-b)x2+2(。-a)x+(a-Z?)=0有兩個相等的實數(shù)根,則這個三角形是()

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.不等三角形

【答案】C

【解析】??,關(guān)于犬的一元二次方程〃)%+(〃-3=0有兩個相等的實數(shù)根，

A=4(Z?-a)?—4(tz—/?)(<?—Z?)=0,

即(a-/?)?=0

(a—c)=0

，a=b或〃=c

???這個三角形是等腰三角形，

故選：C.

b

10.(2023?浙江?九年級專題練習)如果三+辦2+陵+8能被f+3光+2整除，則—的值是()

a

A.2B.gC.3D.-

23

【答案】A

【解析】***x2+3x+2=(x+2)(x+1)

???/+公2+陵+8能被(％+2)(%+1)整除,

即一2,—1是方程/+公2+汝+8=0的木艮,

J-8+4々-2。+8=0

解得2a—b=0，

[—l+a—b+8=0

b=2a,

.?心=2,

a

故選A.

二、填空題

11.（2023?江西吉安?統(tǒng)考一模）已知方程d-5x-2=0的兩個解分別為知三，則片斗+可；的值為

【答案】-10

【解析】:?方程V-5x-2=0的兩個解分別為占，三，

xt+x2=5,\x2=-2,

2

+^2=\x2（玉+%）=5x（-2）=_]0.

故答案為：-10.

12.（2023?江蘇宿遷?模擬預(yù)測）若多項式2d+依+6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2》-3,

則a的值為_______________

【答案】-7

【解析】??,多項式2f+ax+6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2X-3,???6=（-3）x（-2）.

2x?+QX+6=（2x-3）（x—2）—2d—7x-6.

ci=-7.

故答案為-7.

13.（2023?安徽蚌埠??？寄M預(yù)測）分解因式：-機％+8療A?_i6w?=

【答案]—mn（m—4n）2

【解析】-nfn+8m2n2-16mn3

=—mn(n^—Smn+16n2)

14.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）因式分2〃m+々=

【答案】。（利-1）2

【解析】am2-2am+a，

=a^m2—2m+l),

=a(jn—I)2.

故答案是a(〃Ll)2.

15.(2023?黑龍江綏化??？级?分解因式x2(a-b)+4y2(b-a)=.

【答案】(。-6)(x+2y)(尤-2>)

【解析】x2(a-b)+4y2{b-a)

=x2(a-b)—4y2(a-b)

=(a-b)(x2-4/)

=(a-b)(x+2y)(x-2y),

故答案為：(a-3(x+2y)(x-2y).

三、解答題

16.(2023?河北石家莊?石家莊市第四十中學(xué)校考二模)數(shù)學(xué)學(xué)習中常見互逆運算，例如加法和減法互為逆運

算，乘法和除法互為逆運算，分解因式和整式乘法也是互逆運算.請回答下列問題：

222

(1)?(?+/?)"=a+2ab+b,@cr+2ab+b=(^a+by,(§)x—3xy=r(l—3y),④(x+3)(x—l)=x?+2尤—3是因式分

解的(在括號內(nèi)寫序號)；

(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊中，有這樣一條信息：

a-b,x-y,x2-y2,a2-b2,x+y,a+b分別對應(yīng)下列六個字：四、愛、學(xué)、中、我、十.現(xiàn)將

(尤②-產(chǎn),2一(/一/)62因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是哪四個字？

【解析】(1)②③

(2)提取公因式，利用平方差公式得：

22222222_2=

(%-y^a_(尤2-y)/?=(x-y)(?^)(a+b)(a-b)[x+y^[x-y^,

所以對應(yīng)的四個字可能是“我愛四十”.

17.(2023?河北邯鄲?校考三模汝口果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘

2222

數(shù)”.如4=22-。2,12=4-2-20=6-4.因此，4、12、20這三個數(shù)都是神秘數(shù).

(1)驗證28和44這兩個數(shù)是否為神秘數(shù)；

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2女+2和兼(其中左取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？請說

明理由.

(1)V28=14x2=82-62,44=22x2=122-102

/.28和44這兩個數(shù)都是神秘數(shù)；

(2)是，理由如下

V這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)為

(2左+2)2-(2%)?=(2%+2+2左)(2左+2-2左)=4(2左+1)

???左取非負整數(shù)

由2左+2和2%造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)

18.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）填空：42-22=12=4x3;62-42=20=4x5;82-62=28=4x；

發(fā)現(xiàn)：兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除；

論證：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個正偶數(shù)中較小的為2〃（"為正整數(shù)），請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論；

應(yīng)用：請將36表示成兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差.

【解析】82-62=28=4x7;

論證：（2n+2）2-（2n）2

=4〃2+8〃+4—4712

=8n+4

=4（2"+1）,

??”為正整數(shù)，

...兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除，

應(yīng)用：36=4x9=102—82.

_22

19.（2023?湖南衡陽?九年級統(tǒng)考期中）先化簡，再求值：已知x=g+l,y=y/3-l.求代數(shù)式上+孫+工的

22

值.

【解析1*.*x=百+1,y=A/3-1

?*.x+y=石+1+6-1=24

???5+xy+'=；（x+y『=gx（2⑹=1xl2=6

20.（2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在一次數(shù)學(xué)課上，張老師對大家說：“你任意想一個非零有理數(shù)，然

后按下列步驟操作，去運算出最后結(jié)果.”

操作步驟如下：

第一步：計算這個數(shù)與1的和的平方，減去這個數(shù)與1的差的平方；

第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；

第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個數(shù).

（1）若嘟嘟同學(xué)心里想的是數(shù)T,請你計算出最后結(jié)果；

（2）老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進行操作，得到的最后結(jié)果都相等.”

雯雯想驗證這個結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是。（。/0）,請你幫雯雯完成這個驗證過程.

[解析1+if-（-1-1）1x25+（-1）

=[02-（-2）2]X25^（-1）

=（0-4）x254-（-1）

=Tx25?l)

=-100<-(-l)

=100

⑵由題意得[(。+-(a-]x25+a

=(a+1+a—l)(a+1-a+1)x25+ci

=2ax2x25+Q

=100,

...最后的結(jié)果為100,結(jié)論得證.

21.(2023?河北石家莊?統(tǒng)考二模)嘉淇上小學(xué)時得知“一個數(shù)的各個數(shù)字之和能被3整除，那么這個數(shù)就能被

3整除”，她后來做了如下分析：

嘉淇的分析：

258=2x100+5x10+8=2x(99+1)+5x(9+1)+8

=2x99+2+5x9+5+8=(2x99+5x9)+(2+5+8)

=3(2x33+5x3)+3x5

?；2x33+5x3為整數(shù),5為整數(shù)，

.??3(2x33+5x3)能