與圓有關(guān)的證明和計算- 2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸重難點突破

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專題14與圓有關(guān)的證明和計算

△ABEsRDCE

△ABEsXADC

(1)切線判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法)

③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線

(2)切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

沙場點兵一

1.如圖，在：ABC中，AB=AC,以A8為直徑作圓0,分別交于點。，交C4的延長

線于點E,過點。作DHLAC于點連接DE交線段。4于點尸.

(1)求證：EH=CH；

⑵求證：是圓。的切線；

⑶若E4=M=1,求圓。的半徑.

【答案】⑴證明見解析;

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⑵證明見解析；

(3)1±^.

2

【分析】(1)先判斷出△即C是等腰三角形，即可得出結(jié)論；

(2)連接0。，先判斷出是等腰三角形，進(jìn)而得出=進(jìn)而判斷出

OD//AC,即可得出結(jié)論

(3)設(shè)。的半徑為r,即OD=O3=r,先判斷出/尸0D=NE4E,進(jìn)而得出

NFOD=/EAF=ZEFA=NOFD,得出DF=0D=r,BD=CD=DE=r+1,進(jìn)而得出

BF=BD=r+l,再判斷出△BED"△*,得出比例式建立方程求解，即可求出答案.

(1)

證明：-AB=AC,

:.NB=NC,

又?.?在。。中，ZE=ZB,

：.ZE=ZB=ZC,

」.△￡DC是等腰三角形，

DHLEC,

：.EH=CH

(2)

證明：連接0。，如圖1,

圖1

OB=OD,

：.是等腰三角形,

:.ZOBD=ZODB,

AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

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:.ZODB=ZOBD=ZACB,

OD//ACf

DH±AC,

DHLOD,

0。是。的半徑，

二.OH是圓。的切線；

(3)

連接AO,如圖1,,

設(shè)的半徑為r，即00=05=〃，

?.-EF=EA,

ZEFA=ZEAF,

-/OD//EC.

:.NFOD=NEAF,

則ZFOD=ZEAF=ZEFA=ZOFD,

DF=OD=r,

:.DE=DF+EF=r+l,

△即c是等腰三角形，

CD-DE,

,AB=AC,

ABC是等腰三角形，

,/A3是。。的直徑，

AD±BC,

..BD=CD,

BD=CD=DE=r+1,

在OO中，?.ZBDE=ZEAB,

/./BFD=ZEFA=ZEAB=ZBDE,

在VBO尸中，BF=BD=r+l,

...AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(\+r)=r-\,

NBFD=NEFA,ZB=ZE,

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..△BFDsAEFA,

.EF_BF

一五一而‘

1_r+1

r-1r，

解得：11±萼，釬舍），

綜上所述，。。的半徑為上史.

2

【我思故我在】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性

質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解（3）的關(guān)鍵.

2.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在。中，C是劣弧AB的中點，

直線8，至于點后，則AE=8E.請證明此結(jié)論；

（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,PB

組成。的一條折弦.C是劣弧AB的中點，直線CD,上4于點E,則AE=PE+PB.可以

通過延長DB、AP相交于點尸，再連接A。證明結(jié)論成立.請寫出證明過程；

（3）如圖3,PA,PB組成。的一條折弦，若C是優(yōu)弧A8的中點，直線CD,24于點E,

則AE,PE與尸8之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出證明過程.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE=PE-PB,理由見解析

【分析】（1）連接AD,BD,易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性

質(zhì)，可以證得=

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先NCDA=NCDF,再證AAFD為等腰三角形，進(jìn)一步證得

PB=PF,從而證得結(jié)論.

（3）根據(jù)=從而證明ADAEwADFE,得出AE=EF,然后判斷出PB=RF,

進(jìn)而求得AE=PE-P8.

【詳解】證明：（1）如圖1,連接4。，BD,

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圖1

c是劣弧的中點，

:.ZCDA=ZCDB,

,/DE±AB,

ZAED=ZDEB=90°,

/.ZA+/ADE=90°,ZB+ZCDB=90°,

.?.NA=N5,

/.AADB為等腰三角形，

.CD工AB,

AE=BE；

(2)如圖2,延長DB、AP相交于點歹，再連接A。,

ADB尸是圓內(nèi)接四邊形,

:.ZPBF=ZPAD,

C是劣弧A8的中點，

ZCDA=ZCDF,

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.CD1PA,

??.AAFD為等腰三角形，

ZF=ZA,AE=EF,

/.ZPBF=ZF,

PB=PF,

;.AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

連接AO,BD,AB,DB、AP相交于點尸，

圖3

?/弧4。=弧3。，

.\ZADC=ZBDCf

.CD_LAP,

:.ZDEA=ZDEF,ZADE=ZFDEf

DE=DE,

ADAEgADFE,

AD=DF,AE=EF,

/.ZDAF=ZDFA,

ZDFA=ZPFB,ZPBD=ZDAP,

/.ZPFB=ZPBF,

PF=PB,

:.AE=PE-PB.

【我思故我在】本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定

及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理-在5個條件中，1.平分弦所對的一條??；2.平分弦

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所對的另一條弧；3.平分弦；4.垂直于弦；5.經(jīng)過圓心（或者說直徑）.只要具備任意兩

個條件，就可以推出其他的三個.

3.如圖，AB是。的直徑，AC是。的切線，連接。C,或BDUOC,連接BC,DC.

⑴求證：DC是。的切線；

3

⑵若cos/ACB=y,求tan/CBO的值.

【分析】⑴連接。。，如圖，利用切線的性質(zhì)得N（MC=90,再利用平行線的性質(zhì)證明

ZAOC^ZDOC,貝lj可判定[AOC2DOC,從而得至叱0￡＞。=/。^=90,然后根據(jù)切

aAr1

線的判定方法得到結(jié)論；（2）作OELCB于E,如圖，在mABC中由于cosNACB===g],

5nC

74r3

則可設(shè)AC=3x,BC=4x,所以AB=4x,則sinNABC=工廠=^,再在加O3E中利用正

BC5

6YX17

弦可表示出。8=不，利用勾股定理可得到BE=-x,于是得到CE=—x,從而在RtOCE

中根據(jù)正切定義得至UtanNOCE=g然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得至Utan/CBD的值.

【詳解】（1）證明：連接。。，如圖，

;AC為切線，

.-.OA±AC,

ZOAC=90,

OC//BD,

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.\ZAOC=ZABC,ZDOC=ZODB,

.OB=OD,

;.NOBD=/ODB,

:.ZAOC=ZDOC,

OA=OD

在AOC和DOC中，\ZAOC=ZDOC

OC=OC

AOC^DOC,

/.ZODC=ZOAC=90,

:.OD,LCD,

?.DC是。的切線；

⑵解：作。于E,如圖，

3AC

在RtABC中，cosZ.ACB=—=——,

5BC

設(shè)AC=3x,BC=4x,

:.AB=4x,

.AC3

sinNABC-——,

BC5

OE3

在RtOBE中，sin/OBE=----=—,

OB5

:.OB=--2x=-

55f

,BE=NOB?-OE?=|x,

17

:.CE=BC-BE=—x,

6x

在用OCE中,tan/OCE4=川=鼻

CE￡￡17

,OC//CD,

:.ZCBD=ZOCB,

.?.tan/CBD的值為J.

【我思故我在】本題考查了切線的性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑?判定切線時"連圓心和直線與圓的公共點"或"過圓心作

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這條直線的垂線"；有切線時，常常"遇到切點連圓心得半徑”?也考查了解直角三角形.

4.圖，AB是。的直徑，點C在A8的延長線上，AD平分NCLE交。于點。，過點A

作AE_LCD,垂足為點E.

⑴判斷直線CE與O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若BC=3,CD=343,求。的半徑以及線段E￡＞的長.

【答案】(1)CE是。的切線，理由見解析

(2)3；述

2

【分析】(1)連接0D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NQ4D=/OD4,根據(jù)角平分線的定義

得出NK4D=NQ4D,即=根據(jù)平行線的判定方法得出,根據(jù)

AE1CD,得出根據(jù)即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)OD=x=OB,在RtCOD中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程即可；先求出

CDOC

OC=O5+5C=3+3=6,然后再根據(jù)。D〃AE,得出二二二，代入數(shù)據(jù)即可得出答案.

DEOA

【詳解】(1)：CE是。的切線，理由如下：

連接O。，如圖所示：

?.OA=OD,

ZOAD=ZODA,

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???AD平分，C4E,

ZEAD=ZOAD,

：.NEAD=NODA,

OD//AE,

又AELCD,

：.ODYCD,

■-0。是半徑，

CD是。的切線；

(2)解：設(shè)OD=x=C?,在RtCOD中，由勾股定理得，O￡)2+C￡>2=OC2,

即3+(3抬『=(尤+3)2,

解得x=3,

即半徑為3；

*/OD=OA=OB=3,

..OC=OB+BC=3+3=6,

根據(jù)解析(1)可知，OD//AE,

,CD0C

一~DE~~OA，

即￡|=g,

DE3

解得：DE=—.

2

【我思故我在】本題主要考查了切線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾

股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出AE.

5.如圖，在等腰/1BC中，AB=AC,以A8為直徑的O與交于點。，DE1AC,垂

足為E,EC的延長線與AB的延長線交于點E

⑴求證：EF是。的切線;

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7

⑵若。的半徑為BD=3,求CE的長.

【詳解】（1）證明：如圖，連接QD,

AB=AC,

/.ZABC=ZACB.

.OB=OD,

?..ZABC=ZODBf

/.ZACB=ZODBf

..OD//AC.

.DE1AC,

DE人OD,BPEFLOD,

QD是。的半徑，

??.EF是。的切線；

(2)解：如圖，連接A。,

A5是。的直徑,

/.AD1BC.

.DE1AC,

...ZADC=ZDEC=90°.

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zc=zc,

/.CDEsCAD,

.CD_CE

一~CA~~CD'

?「AB=AC=1,

..DC=DB=3.

.3_CE

：.CE=-.

7

【我思故我在】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定

理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵.

6.如圖，在Rt△至C中，NACB=90。，以AC為直徑的。與斜邊A8交于點。，點E為

邊3C的中點，連接DE.

⑴求證：DE是。的切線；

⑵填空

①若ZB=30。，AC=6貝I]DE_:

②當(dāng)NB=。時，以O(shè),D,E,C為頂點的四邊形是正方形.

【答案】⑴見解析

⑵①萬；②45

【詳解】（1）證明：?「AC是直徑，

/.ZADC=ZCDB=90°,

?.?點E為邊的中點，

DE=CE=BE,

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NECD=NEDC,ZB=ZBDE,

連接OD,則NOCD=NODC,

Z.ODE=ZODC+ZEDC=ZOCD+ZECD=ZACB=90°,

:.DE是。的切線.

(2)解：①...在RtZkABC中，tan/8=—,

3

13

DE=-BC=-,

22

3

故答案為：

②只要OEL3C,以O(shè),D,E,C為頂點的四邊形就是正方形,

則NB=ZBDE=1x90°=45°,

故答案為：45.

【我思故我在】本題考查了圓的切線的判定及解直角三角形的知識和正方形的判定，通過作

輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，是。。的直徑，弦SLAB,E是。1延長線上的一點，連接DE交0O于點產(chǎn)

連接AF,CE.

⑴若N54c=20。，求NAFC的度數(shù).

⑵求證：AF平分NCFE.

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(3)若AB=5,CD=4,且CP經(jīng)過圓心。，求CE的長.

【答案】⑴70°⑵詳見解析(3)4君

【分析】(1)由垂徑定理得到BC=8O,從而得到-ZM8與NBAC的關(guān)系，通過直角三角

形的性質(zhì)可以得到NAA”,由圓周角定理的推理即可得出NAFC；

(2)由垂徑定理和圓周角定理的推理可以得出NACD=NADC,再由圓內(nèi)接四邊形和得出

NARD與-4CD的關(guān)系，從而得到NAFE=NACD,由圓周角定理的推理得出NAFC與

N4X1的關(guān)系，從而得出NAFC與NA尸E的關(guān)系，得證；

(3)由垂徑定理可以得出CH,由勾股定理得出OH,從而得出A”的長，再由勾股定理得

出AC的長，由AH〃OE,根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出AC=AE,從而得出CE的

長.

(1)

(1)解：如圖，連接ODAD,設(shè)A2交CD于X.

VABYCD,

??BC=BD，ZAHD=900,

/.ZDAB=ZBAC=20°,

/.ZADH=90°-ZDAB=70°,

AAFC=^ADH=70°.

⑵

(2)證明：:AB是直徑，ABLCD,

AC二AO，

/.ZACD=ZADC,

/ZACZ)+ZATO=180°,ZAFE+ZAFD=180。，

/.ZAFE=ZACDf

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ZAFC=ZADC=ZACD,

ZAFC=ZAFE,

，AP平分NCFE.

⑶

是直徑，ABLCD,

CH=DH,CD=2,

2

OC=|,NOHC=90°,

OH=y10C2-CH2=

35

AH=OH+OA=-+-=4,

22

AC=^CH2+AH2=V22+42=2A/5

???C/是直徑，

NCDF=NAHC=90。,

AH//DE,

.CHCA

一DH~AE

-：CH=HD,

AC=AE=2-j5,

CE=2AC=4A/5.

【我思故我在】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及推理、勾股定理、平行線分線段成比例

定理，熟練掌握相關(guān)定理是解決本題的關(guān)鍵.

8.如圖，四邊形內(nèi)接于。。，BC為。。的直徑，AC與3。交于點E,P為CB延長

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線上一點，連接出，1.Zfi4B=ZADB.

⑴求證：B4為。。的切線；

3

⑵若AB=6,tanZADB=-,求尸B的長；

⑶在(2)的條件下，若AO=CD,求aCDE的面積.

【答案】⑴見解析

,90

⑵了

(3)5

【分析】(1)連接。4,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N0A2=NO2M,根據(jù)圓周角定理得到

ZCAB=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC=8,根據(jù)勾股定理得到降,舒+鉆2=10,求得。2=5,

1Q

過B作尸于憶設(shè)AF=4怎BF=3k,求得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論；

(3)連接OO交AC于H,根據(jù)垂徑定理得到AH=CH=4,得到OH=y/o^-AE2=3，根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)得到。石=石，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

(1)

證明：連接。4,

OA=OB,

ZOAB=NOBA,

??,3C為。。的直徑,

ZC4B=90°,

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ZACB+ZABC=90°,

??.ZADB=NACB=4PAB,

：.ZB4B+ZOAB=90°,

/.ZOAP=90°,

「?以為。。的切線;

(2)

解：:NADB=NACB,

3

A5

/.tanZA￡)B=tanZACB=——4-

AC

'.eAB=6f

AC=8,

BC=yjAC2+AB2=10>

/.05=5,

過3作于/,

A

尸

/ZADB=ZBAF,

3

tanZADB=tanZBAF=—,

4

「?設(shè)AF=4左，BF=3k,

AB=5k=6,

18

BF=y,

..0A±AP,BF±APf

：.BF//0A,

：.△PBFs△POA,

BFPB

,~OA~PB+5'

高考材料

18

即5=*_

5-PB+5

⑶

解：連接。。交AC于H,

*/AD=CD,

CD=AD

/.OD,LAC,

AH=CH=4,

?.0H=[ol_AE?=3，

.'.DH=2,

CD=y/cH2+DH2=2A/5，

BD=^BC2-CD1=475，

,/ZADE=ZBDA,ZDAE=AABD,

：.△ADE-△BDA,

.AD_DE

-BD-AD?

即羋=寫,

4V52V5

DE=y[5,

「.ACDE的面積為:CD-OE=；x26x石=5.

9.問題提出

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圖1圖2圖3

(D如圖1,4B為圓O的弦，在圓。上找一點P,使點P到的距離最大.

(2)問題探究

如圖2,在扇形中，點M為扇形所在圓的圓心，點P為A8上任意一點，連接PM,與

AB交于點Q,若AB=10,AM=7,求出PQ的最大值.

⑶問題解決

如圖3,小華家有一塊扇形AOB的田地，線段OA、線段。B以及AB分別為扇形A。。的邊

沿部分.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小華爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作種植當(dāng)

季蔬菜，具體操作方式如下：在AB上選取點C，過點C作CM〃。為CN//OA,則四邊形

MONC為小華爸爸所圈空地.已知：扇形A08的圓心角N408=60。，OA=OB=90m,且

用于修建圍擋的線段MC部分與線段CN部分的成本均為30元/米.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算：

小華爸爸最終所花費的修建費預(yù)算最多是多少元？(即求出CM+CN的最大值)(結(jié)果保留

整數(shù)，取有=1.73)

【答案】(1)見解析

(2)7-276

(3)210元

解：如圖1,過點。作。尸，A3,

圖1

此時點P處于AB中心位置,

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在圓內(nèi)，弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大，

此時P點到AB的距離最大；

(2)

解：如下圖，。點在48的中點時，最小，則尸。最大,

MA=MB,AQ=BQ,

QMA.AM,

-：AB=10,AM=7,

AQ=BQ=5,

.QM=yjAM2-AQ2=A/72-52=276,

?PQ=PM-QM=1-246■,

⑶

解：由題意可知，當(dāng)點C處于A8中點時，對角線最長，

此時，OC=OA=90,A2_L0C與點。，

CMHOB,

ZAMC=60°,

CN//OA,

：.ZCNB=6U°,

：.ZCMQ=ACNQ=60°,

△CMN為等邊三角形,

同理證明aOMN也為等邊三角形，

在Rt^OMQ中，OQ=3OC=45,0M=2MQ,OM2=MQ2+OQ2,

：.OM=1573?26.01,

O9MCN的周長C=OM+ON+NC+MC=4OM=8M0=2O8Q8=2O9（不足1米按照1米計算）,

成本均為30元/米，

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則預(yù)算最多為：7x30=210(元).

【我思故我在】本題考查了弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大，點到弦之間的距離垂線

段最短，平行四邊形周長的最大值，解題關(guān)鍵是把求平行四邊形四條邊的平方的和，換成求

平行四邊形對角線的最大值，問題就得以解決.

10.如圖，在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB為直徑的半圓。交AC于點D,點

E是3。上不與點B,D重合的任意一點，連接AE交BD于點F,連接BE并延長交AC于點G.

(1)求證：AADF=ABDG；

(2)填空：

①若AB=4,且點E是BD的中點，則DF的長為；

②取AE的中點H,當(dāng)NEAB的度數(shù)為時，四邊形OBEH為菱形.

【答案】⑴見解析(2)①4-20②30。

【分析】(1)利用直徑所對的圓周角是直角，可得NADB=NAEB=90°,再應(yīng)用同角的余角

相等可得=易得AD=BD,AADbvABZX?得證；

(2)作切，A3,應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得=再應(yīng)用角平分線性質(zhì)可

得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得BE=OB,結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得ZEAB=30°.

【詳解】圖1

解：(1)證明：如圖1,一BA=3C,ZABC=90°,

ABAC=45"

,AB是。的直徑，

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/.ZADB=ZAEB=90,

...ZDAF+ZBGD=ZDBG+ZBGD=90

.\ZDAF=ZDBG

.NAB。+NBA。=90

ZABD=ABAC=45

...AD=BD

\ADF=ABDG(ASA)；

圖2

(2)①如圖2,過F作m，A3于H,丁點E是瓦)的中點,

NBAE=ZDAE

丫FD1AD,FH1AB

FH=FD

-sinZABD=sin45°=

BF2

FD5/2門口I-

—，^BF=yj2FD

BF

AB=4,

.?.3D=4cos45°=2Vi，即砥+尸。=2及，(0+1)產(chǎn)。=20

...尸D=^L=4—20

V2+1

故答案為4-20.

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②連接OE,EH,?點H是AE的中點，

:.OH±AE,

,ZAEB=90°

BE_LAE

:.BE//OH

V四邊形OBEH為菱形，

：.BE=OH=OB=-AB

2

?BE1

sinNEAB=---=一

AB2

ZEAB=30°.

故答案為30。

11.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點E,G是AC上一動點，AG,DC的延長線交于

點F,連接AC,AD,GC,GD.

(1)求證：ZFGC=NAGD；

(2)若AD=6.

①當(dāng)AC_LDG,CG=2時，求sinNADG；

②當(dāng)四邊形ADCG