人教版九年級下冊數學課本

義務教育課程標準實驗教科書九年級下冊本冊導引破浪，去探索、發(fā)現數學的奧秘；你還要用學到的本領去解決“復習的數學世界.通過探索、嘗試，相信你的聰明才智會得到充分的發(fā)揮，的另一個重要成員—二次函數，學習它的圖象和性質，利用它來表你將會得到答案.類似于全等，相似是圖形之間的一種特殊關系，與得到不同的平面圖形.在“投影與視圖”一章，你將了解投影的基礎 226.1二次函數 實驗與探究推測植物的生長與溫度的關系 26.2用函數觀點看一元二次方程 信息技術應用探索二次函數的性質 26.3實際問題與二次函數 復習題26 27.1圖形的相似 27.2相似三角形 觀察與猜想奇妙的分形圖形 27.3位似 信息技術應用探索位似的性質 復習題27 71 數學活動 復習題28 29.1投影 小結 復習題29 26.2用函數觀點看一元二次方程26.3實際問題與二次函數再看章前圖，從噴頭飛出的水些性質?它的圖象是什么樣的?它與以前學習的函數、方程等有哪些聯我們看引言中正方體的表面積的問題正方體的棱長為x,表面積為y,顯然對于x的每一個值，y都有一個對應值，即y是x的函數，它們的具體關系可以表示為圖26.1-1圖26.1-2我們再來看幾個問題.問題1多邊形的對角線數d與邊數n有什么關系?由圖26.1-2可以想出，如果多邊形有n條邊，那么它有_個頂點。從一個頂點出發(fā)，連接與這點不相鄰的各頂點，可以作條對角線因為像線段MN與NM那樣，連接相同兩頂點的對角線是同一條對角線，所以多邊形的對角線總數即②②式表示了多邊形的對角線數d與邊數n之間的關系，對于n的每一個值，d都有一個對應值，即d是n的函數.問題2某工廠一種產品現在的年產量是20件，增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示?這種產品的原產量是20件，一年后的產量是即③式表示了兩年后的產量y與計劃增產的倍數x即y是x的函數.示的.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a+0)x是自變量，a,b,c分別是函數表達式的二次項系現在我們學習過的函數有：一次函數y=ax十b(a+0),其中包括正比例函數y=kx(k÷0),反比例們將從最簡單的二次函數≠0)和二次函數y=ax2+br+e(a≠0).變量的關系.練習1.一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與半徑r之間的關系式.2.n支球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽.寫出比賽的場次數m與球隊數n之間的關系式圖象是雙曲線，二次函數的圖象是什么形狀呢?討論一般二次函數的我們先來畫最簡單的二次函數y=x2的圖象.圖象和性質.在y=x2中自變量r可以是任意實數，列表表示幾組對應值(填表):還記得如何用描點法畫一個畫數023根據表中x,y的數值在坐標平面中描點(r,y)(圖26.1-3),再用平滑曲線順次連接各點，就得到y(tǒng)=x2的圖象(圖26.1-4).66圖26.1-3圖26-1-4可以看出，二次函數y=x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃球或擲鉛球時球在空中所經過的路線，只是這條曲線開口向上.這條曲線叫做拋物線y=x2.實際上，二次函數的圖象都是拋物線，它們的開口或者向上或者向下.一般地，二次函數y=ax2+還可以看出，y軸是拋物線y=x2的對稱軸，拋物線y=x2與它的對稱軸的交點(0,0)叫做拋物線y=x2的頂點，它是拋物線y=x2的最低點。實際上，每條拋物線都有對稱軸，拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點.頂點是拋物線的最低點或最高點.例1在同一直角坐標系中，畫出函數y=2x2的圖象.解：分別填表，再畫出它們的圖象(圖26.1-5).工01234文-012.00的對稱點(—mm2)都在拋物線圖26.1-577函數,y=2x2的圖象與函數y=x(圖26.1-5中的虛線圖形)的圖象相比，有什么共同點和不同點?操究畫出函數y=-x2,,y=-2z2的圖象。并考慮這些拋物線有什么共同點和不同點.你畫出的圖象與圖26.1-6相同嗎?對比拋物線y-r和y=-x,它們關于x軸對稱嗎?一和y=-ax2呢?圖26.1-6一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點.當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點，a<0時，拋物線的開口向,頂點是拋物線的最點，a越大，拋物線的開口越_.與拋物線第二十六章二圓酸與拋物線第二十六章二圓酸列2在同一直角坐標系中，畫出二次函數T012326.1-7).(1)拋物線y=x2+1,y=x2-1(2)拋物線y=x+1,y=r-199事事條拋物線?向下平移3.4個單位呢?,x…0123的圖象(圖26.1-8).可以看出，拋物線對稱軸是經過點(-1,O>且與x軸垂直的直線，我們把它記作x=-1,頂點是(-1,0);拋物線(x-1)2的開口向__,對稱軸是,頂點拋物線有什么關系?可以發(fā)現，把拋物線向左平移1個單位，就得到拋物線把拋物線向右平移1個單位，就得到拋物線練習,,,觀察三條拋物線的相互關系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸及頂點例3畫出函數的圖象，指出它的開口方向、對稱軸及頂點.拋物線經過怎樣的變換可以得到拋物線解：函數的圖象如圖26.1-9還有其他平移方法嗎?所示.y0圖26.1-9拋物線的開口方向向下、對稱軸是x=—1,頂點是(-1,—1).把拋物線向下平移1個單位，再向左平移1個單位，就得到拋物線物線y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線y=a(x—h)2+k.拋物線y=a(x—h)2+k有如下特點：(1)當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下(2)對稱軸是直線r=h;(3)頂點坐標是(h,k),例4要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安高，高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應多長?解：如圖26.1-10建立直角坐標系，點(1,3)圖26.1-10當x=0時，y=2.25,也就是說，水管應長))說出下列拋物線的開口方向、對稱軸及項點：(1)y=2(x+3)2+5;(2)y--3(x-1)2-(3)y=4(x—3)2+7;(4)y=-5(x的圖象，討論一般考思考由此可知，拋物線的頂點是點(6,3).對稱軸是直線x=6.接下來，利用圖象的對稱性列表(請?zhí)畋?:34567895o5圖26.1-11然后描點畫圖，得到(圖26.1-11).這是確定對稱軸的公式。一般地，我們可以用配方求拋物線y=ax2+因此，據物線y=ax2+bx+c的對稱軸是頂點坐標積S隨矩形一邊長1的變化而變化.當1是多少時，場地的面積S最大?分桿：先寫出S與1的函數關系式，再求出使S最大的I值.矩形場地的周長是60m,一邊長為1,則另一邊即畫出這個函數的圖象(圖26.1-12).圖26.1-12分.這條拋物線的頂點是函數的圖象的最高點，也就圖26.1-12是說，當1取頂點的橫坐標時，這個函數有最大值.二十*章二己數15因此，,S有最時，場地的面積S最大(S=225m2).一般地，因為拋物線y=ar2-bx+c的頂點是最低(高)點，所以時，二次函數y=ax2+bx+c有最小(大)值練習值最小(大)?個直角三角形的面積最大，最大值是多少? 格是2元，準備進行兩次降價.如果每次降價的百分率都是x,經的價格y(單位：元)隨每次降價的百分率x的變化而變化，y與x以用怎樣的函數來表示?4.分別寫出拋物線y=4x2與的開口方向、對稱軸及頂點,,6先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸及頂點(用公式)。再描點畫7.如圖，在△ABC中，∠B=90°,AB=1.2cm。BC=2.4cm.動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t如何變化?寫出函數關系式及》的取值范圍.8.一輛汽車的行駛距離s(單位：m)與行駛時間t(單位：s)(第7題)的函數關系式是經12s汽車行駛了多遠?行駛380m需要多少時間?9.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位；m)與小球運動時間1(單位：s)之間的關系式是h=30r—5r.小球運動的時間是多少時，小球最高?小球運動中的最大高度是多少?(第9題)(第10題)拓廣探索(2)如果斜面的長是1.5m,從斜面頂端滾到底端用多推測植物的生長與溫度的關系溫度t/℃11026161第二+☆章二營器服利用上面的實驗站果，我們可以進行如下探究：在表內數據中，當1—-2和1—0時，植物增長最快；從0℃起隨溫度逐漸增加，增長量逐漸減小；從-2℃起隨溫度逐漸減少，增長量逐漸減小、由此可以精想，作為1的函數。其圖象的形狀呈中間高兩邊低，且有對稱性.由此猜想。圖象可能是拋物線，即2可能是2的二次函數。為檢驗上述猜想，建立坐標系，以E為橫坐標，1為I/mm接它們(圖1).可以看出，這條曲線像是拋物線，于是，我們用二次函數來近似地表示1與1的關系.設l-ar十b4十c,如何磷定常數a,b,c?因為1-0時l-49,-1Q-1Q1/℃丈L—-2時1-49;z-2時1-41,即解得這樣我們得到二次函數把表中1的其他值代入上式，可以發(fā)現對應的【值基本與表中值一致，個別不一致的電相差不多(這可能是固為試臉中存在觀察誤差，或者是這個函數只近似反映1與1的關系),因此，2與!的關系可以用函數①來描述由函數l--r1-2t十49可知，當時，【有最大值50,這說明上面我們根據實際問題中的有關數據，數形結合地求出表示變量間關系的面數，這屬于建立模擬菌數描述實際問題，有時這樣的函數可能只是近似地反映實際規(guī)律，但是它對認識事物有一定作用.20二十*章二聲器(2)解方程?=I?=2.(3)解方程你能結合圖高度為20m嗎?(4)解方程你能結合圖你能結合圖度為0m嗎?密切.例如，已知二次函數y=—x2+4x的值為3,-x2+4x-3(即x2-4.x+3=0),反過來，解方程x3-4x+3=0又可以看作已知二次函數y=x2-4+3的值為0,求自變量x的值.深入討論一元二次方程ax2+bax十c=0.圖26.2-2下列二次函數的圖象與x軸有公共點嗎?如果有，公共點的橫坐標是多少?當x取公共點的橫坐標時，函數的值是多少?由此，你能得出相應的一元二次方程的根嗎?這些函數的圖象如圖26.2-2所示.0反過來，由次畫數與x軸的位置關系.(1)拋物線y=r2十r—2與x軸有兩個公共點，它值是0.由此得出方程x2十x-2=0的根是—2,1.(2)拋物線y=x2—6x+9與x軸有一個公共點，這點的橫坐標是3.當x=3時，函數的值是0.由此得出方程x2—6x+9=0有兩個相等的實數根3.(3)拋物線y=x2-x+1與x軸沒有公共點，由此可知，方程x2—x+1=0沒有實數根.歸歸二次函數y=a.x2+bx+c的圖象可知，物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點，公共點的橫坐標r=x?時，函數的值是0,因此x=xo就是方程ax2+數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一等的實數根，有兩個不等的實數根.(1)如果拋是r,那么當hx十c=0的一個(2)二次函一元二次方程的根.由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根；一般是近似的.Y圖26.2-3例利用函數圖象求方程x2-2x—2=0的實數根(精確到0.1)解：作y=x2-2x-2的圖象(圖26.2-3),它與x軸的公共點的橫坐標大約是一0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的實數根為x≈一0.7,x?≈2.7.1.已知函數y=3x2-4x+1.(1)畫出函數的圖象；(2)觀察圖象，當x取哪些值時，函數值為0?2.用函數的圖象求下列方程的解：綜合運用3.如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y與水平距離x之間的關系是(1)畫出函數的圖象；(2)觀察圖象，指出鉛球推出的距離.拋物線與x軸的公共點是(-1,0),(3,0),求這條拋物線的對(第3題)稱軸5.畫出函數y=r-2r-3的圖象，利用圖(1)方程x-2x-3=0的解是什么;(2)x取什么值時，函數值大于0:(3)x取什么值時，函數值小于0..下列情形時，如果a>0,拋物線y=ax2+br+c的頂點在什么位置?(1)方程ax2+br十c=0有兩個不等的實數根；(2)方程ax2+br十c=0有兩個相等的實數根；(3)方程ax2+br+c=0無實數根.如果a<0呢?信息技術應用選學用某些計算機西圖軟件(如《幾何西板》),可以方便地畫出二次函數的圖象，進而從圖象探索二次函數的性質，如圖1,用計算機軟件畫出西數y=r2-2x—3的圖象，拖動圖象上的一點P,讓這點沿拋物線移動，觀察動點坐標的變化，可以發(fā)現：圖象最低點的坐標是(1,-4),也就是說，當x=1時，y有最又如圖2,用計算機軟件西出畫數y=-x2—4x-3的圖象，拖又如圖2,用計算機軟件西出畫數y=-x2—4x-3的圖象，拖動圖象上的一點P,可以發(fā)現：圖象最高點的坐標是(-2,1),也就是說，當x-2時，y有最大值1;當x<-2時，y隨r的增大而增大，當x>-2時，y隨x的增圖2大而減小二次方程.要解方程ax2+bx+c=0,只要用計算機軟件畫出相應拋物線y=ax2+bx+c,1,圖2中的圖象試一試，分別求出方程x2—2x—3=0,—x2—4x—3=0的根1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件.已知商品的進價為每件40元，分稈，調整價格包括漲價和降價兩種情況.我們的取值范國?y=(60十a)(300-10.r)—40(300-10r),即其中，0≤r≤30.當x=時，y最大，也就是說，在漲價的情況大利潤是(2)在降價的情況下，最大利潤是多少?請你參考(1)的討論自己得出答案由(1)(2)的討論及現在的銷售狀況，你知道應可以查閱可以查閱據的原理.磁道，如圖26.3-1,現有一張半徑為45mm的磁盤.圖26.3-1(1)磁盤最內磁道的半徑為rmm,其上每0.015mm的弧長為1個存儲單元，這條磁道有多(2)磁盤上各磁道之間的寬度必須不小于0.3mm,磁盤的外圓周不是磁道，這張磁盤最多(3)如果各磁道的存儲單元數目與最內磁道相同，最內磁道的半徑r是多少時，磁盤的存儲量最大?分析：(1)最內磁道的周長為2πrmm,它上面的(2)由于磁盤上各磁道之間的寬度必須不小于0.3mm,磁盤的外圓周不是磁道，各磁道分布在磁盤上內徑為r外徑為45的圓環(huán)區(qū)域，所以這張磁盤最多條磁道(3)當各磁道的存儲單元數目與最內磁道相同時，磁盤每面存儲量=每條磁道的存儲單元數×磁道數.設磁盤每面存儲量為y,則即根據上面這個函數式，你能得出當r為何值時磁盤的存儲量最大嗎?探究3圖26.3-2中是拋物拱頂離水面2m,水面寬圖26.3-24m,水面下降1m,水面寬度增加多少?圖26.3-2圖26.3-3為什么這樣設二次圍數?分析：我們知道，二次函數的圖象是拋物線，建數.為解題簡便，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系(圖26.3-3).圖26.3-3為什么這樣設二次圍數?可設這條拋物線表示的二次函數為y=ar2.由拋物線經過點(2,-2),可得居二子☆撞二函數27這條拋物線表示的二次函數為當水面下降1m時，水面的縱坐標為y=-3.請你根據上面的函數表達式求出這時的水面寬度.水面下降1m,水面寬度增加m.習題26.3復習鞏固1.下列拋物線有最高點或最低點嗎?如果有，寫出這些點的坐標(用公式)2.某種商品每件的進價為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出(200—x)件，應如何定價才能使利潤最大?3.飛機著陸后滑行的距離s(單位：m)與滑行的時間1(單位：s)的函數關系式是s=60c-1.5t2.飛機著陸后滑行多遠才能停下來?綜合運用一塊三角形廢料如圖所示，∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用這塊廢料剪出一個長方形CDEF,其中，點D,E,F分別在AC,AB,BC上，要使剪出的長方形CDEF面積最大，點E應選在何處?(第4題)(第5題)5.如圖，點E、F、G、H分別位于正方形ABCD的四條邊上.四邊形EFGH也是正方形.當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小?6.某賓館有50個房間供游客居住。當每個房間的定價為每天180元時，房間會全部住滿.當每個房間每天的定價每增加10元時，28第二十六者二園就會有一個房間空閑.如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.房價定為多少時，賓館利潤最大?7.如圖，廠門的上方是一段拋物線，拋物線的頂點離地面的高度是3.8m.一輛裝滿貨物的卡車，寬為1.6m,高為2.6m.要求卡車的上端與門的距離不小于23m0.2m,這輛卡車能否通過廠門?哪種圖形的面積大?為什么?(第7題)第二十六帝二營29活動1如圖1,在一張紙上作出函數y=r-2x+3的圖象；沿x軸把這張紙對折，描出與拋物線y=x2-2x+3關于x軸對稱的拋物線，這條拋物線是哪個二次函數的圖象?話動1如圖2,從一張矩形紙較短的邊上找一點E,過這點剪下兩個正方形，它們的邊長分別是AE,DE.要使剪下的兩個正方形的面積和最小，點E應選在何處?為什么?實際問題二次函數日標利用二次函數的圖象和性質求解實際間題的答案1.舉例說明，一些實際問題中變量之間的關系可以用二次函數表示，列出函數表達式并畫出圖象.2.結合二次函數的圖象回顧二次函數的性質，例如根據批物線的開口方向、頂點坐標，說明二次函數在什么情況下取得最大(小)值.3.結合批物線y=ax2+bx+c(a+0)與x軸的位置關系，說明方程ax2十4.在日常生活、生產和科研中，常常會遇到求什么條件下可以使材料最值或最小值.請舉例說明如何分析、解決這樣的問題.5.回煩一次函數、反比例函數和二次函數，體會函數這種數學模型在反二十大二數31復習題26.如圖，正方形ABCD的邊長是4.E是AB上一點，F是AD的的面積y隨BE的長x的變化而變化，y與x之間的關系可以用怎樣的函數來表示?2.某商場第1年銷售計算機5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率r,寫出第3年的銷售量y與每年增加的百分率x之間的函數關系式3.選擇題.在拋物線y=x2-4r-4上的一個點是()(第1題)毒.先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標(用公式),3=15t—6t.汽車剎車后到停下來前進了多遠?綜合運用6.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園。墻長為18m,這個矩形的長、寬各為多少時，菜園最大面積是多少?7.一個滑雪者從85m長的山坡滑下，滑行的距離s(單位：m)墻菜園(第6題)與滑行時間!(單位：s)的函數關系式是s=1.8t+0.064t.他通過這段山坡需要多長時間?8已知矩形的周長為36cm,矩形繞它的一條邊旋轉形成一個圓柱，矩形的長、寬各為多少時，旋轉形成的圓柱的側面積最大?拓廣探索10.對某條路線的長度進行n次測量，得到n個結果x?,x?,…,xn,如果用x作為這條路線長度的近似值，當x取什么值時，(x-x)2+(x-x?)2+…+(x—x,)2第二十六二園政33第二十七章相似在現實生活中，我們經常見到形狀相同的圖形.如國旗上大小不同的五角星，還有不同尺寸同底版的相片等等.瞧，兩張大小不等的萬里長城圖片是多么相像!這些形狀相同的圖形之間，在數量關系和位置關系上有什么規(guī)律嗎?地圖上的比例尺是怎么得到的?怎么才能按要求放大或縮小一張美麗的圖片?進入這一章的學習吧!在實驗和探索之后，你就會得出答案。27.1圖形的相似圖27.1-1中，有用同一張底片洗出的不同尺寸的照片，也有大小不同的兩個足球，還有一輛汽車和它的模型，以及排版印刷時使用的部分不同的字號，所有這些，都給我們以形狀相同的圖形的印象，我們把這種形狀相同的圖形說成是相似圖形(similarfig-ures).相似圖形相似圖形圖27.1-1兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到。例如，放映電影時，投在屏幕上的畫面就是膠片上的圖形的放大；實際的建筑物和它的模型是相似的；用復印機把一個圖形放大或縮小后所得的圖形，也都與原來的圖形相似.圖27.1-2是圖27.1-21.如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎?(第1題)2.如圖，圖形a～「中，哪些是與圖形(1)或(2)相似的?db(第2題)我們進一步研究相似多邊形(similarpolygons)的主要特征.圖27.1-4(1)中的△A?B?C?是由正△ABC放大后得到的，觀察這兩個圖形，它們的對應角有什么關系?對應邊呢?對于圖27.1-4(2)中兩個相似的正六邊形，對比圖27.1-4(1)中的△A?B對比圖27.1-4(1)中的△A?B?C?和△ABC,由正三角形的每個角都等于60°,可得另外，由△ABC和△A?B?C?是正三角形可得，線段的比相等，如-(即ad=ke),利用這種方法，我們可以得到，相似的正多邊形對應角相等，對應邊的比相等.這個結論對于一般的相似多邊形是否成立呢?9為了驗9為了驗圖27.1-5(1)是兩個相似的三角形，它們的對應角有什么關系?對應邊的比是否相等?對于圖27.1-5(2)中兩個相似的四邊形，它相似多邊形對應角相等，對應透的比相等反過來，如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似.我們把相似多邊形對應邊的比稱為相似比(simi-例如圖27.1-6,四邊形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的長度x,解：四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應角相等.由此可得練習1.在比例尺為1:10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm,求兩地的實際距離。2.如圖所示的兩個三角形相似嗎?為什么?3.如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長度.1.兩地的實際距離是2000m。在地圖上量得這兩地的距離為2cm.這個地圖的比例尺為多少?2.任意兩個正方形相似嗎?任意兩個矩形呢?證明你的3.如圖，△ABC與△DEF相似，求未知邊x、y的長度綜合運用4.如圖，試著在方格紙中畫出與原圖形相似的圖形，你用的是什么方法?與同學交流一下.(第4題)(第5題)5.如圖，DE//BC,求,,BE并證明△ADE與△ABC相似在.如圖，矩形草坪長30m,寬20m,沿草坪四周有1m寬的環(huán)行小路，小路內外邊緣所形成的兩個矩形相似碼?說出你的理由(第6題)7.如果兩個多邊形僅有對應角相等，它們相似嗎?如果僅有對應邊的比相等呢?若不相似，請舉出反例8.如圖，將一張矩形紙片沿較長邊的中點對折，如果得到的兩個矩形都和原來的矩形相似，那么原來矩形的長寬比是多少?將這張紙再如此對折下去，得到的矩形都相似嗎?(第8題)二+七章相412相似三角形27.2.1相似三角形的判定在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形(similartriangles).在△ABC和△A'B'C′中，我們就說△ABC與△A'B℃'相似，記作△我們就說△ABC與△A'B℃'相似，記作△ABCO△A′B℃'.k就是它們的相似比.如圖27.2-1,在△ABC中，點D是邊AB的中點，E,△ADE與△ABC有什么關系?圖27.2-1直覺告訴我們，△ADE與△ABC相似，我們通在△ADE與△ABC中，∠A-∠A.這里略去.過點E作EF//AB,EF交BC于點F.在□BFED中，DE=BF,DB=EF.又∠A=∠1,∠2=∠C,這樣，我們證明了△ADE和△ABC的對應角相EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up20(1),e)改變點D在AB上的位置，繼續(xù)觀察圖形，容易進一步猜想△ADE與△ABC仍有相似關系.因此，個三角形全等外，還有判定的簡便方法(SSS、SAS、ASA、AAS),類似地，判定兩個三角形相似時，是不嗎?這兩個三角形相似嗎?與鄰座交流一下，看如圖27.2-2,在△ABC和△A'B'℃'中，求證△ABCon△A'B'C△A'B'C”相似.這里困27.2-2證明：在線段A'B'(或它的延長線)上截取AD=AB,過點D作DE//B℃',交A℃′于點E,根據前面的結論可得△A'DEu△A'B'C'△A'DE一△ABC.44能二+七由此我們得到利用三邊判定三角形相似的方法(圖27.2-3):圖27.2-3兩個三角形相似使∠A=∠A',和都等于給定的值k,改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有相似的方法(圖27.2-4):圖27.2-4如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似類似于證明通過三邊判定三角形相似的方法，請你自己證明這個結論.思考對于△ABC和△A'B'℃',如果∠B=∠B',這兩個三角形一定相似嗎?試著畫畫看.相僅，不改變AC的長，A'C的長應例1根據下列條件，判斷△ABC與△A'B'℃′是否相似，并說明理由：,解：(1)∵,△ABC與△AB℃'的三組對應邊的比不等，它們不相似練習1.根據下列條件，判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理肉2.圖中的兩個三角形是否相似?(第2題)3.要制作兩個形狀相同的三角形柜架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6,另一個三角形柜架的一邊長為2,它的另外兩條邊長應當是多少?你有幾個答案?觀察兩副三角尺(圖27.2-5),其中同樣角度形有兩組對應角相等，它們一定相似嗎?圖27.2-5二十七47件，改變這兩個三角邊的比例關系，有條作△ABC和△A'B'C',使得∠A=∠A',∠B=∠B',這時它們的第三個角滿足∠C=∠C一樣嗎?△ABC和△A'B℃'相似嗎?方法(圖27.2-6):圖27.2-6圖27.2-748能二十七碼例2如圖27.2-7,弦AB和CD相交于O0內一點P,求證PA·PB=PC·PD.證明：連接AC、BD.∠A和∠D都是CB所對的圓周角，同理∠C=∠B.練習1.底角相等的兩個等腰三角形是否相似?頂角2.如圖，Rt△ABC中，CD是針邊上的△ACD和△CBD都和△ABC相似嗎?證A明你的結論(第2題)利用三角形的相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度的問題，下面請看幾個例子.例3據史料記載，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.怎樣測出怎樣測出OA的長?如圖27.2-8,如果木桿EF長2m,它的影長FD為3m,測得OA為201m,求金字塔的高度BO.圖27.2-8解：太陽光是平行光線，因此又∠AOB=∠DFE=90°,二十十章49圖27.2-9因此金字塔的高為134m例4如圖27.2-9,為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸取點Q和S,使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T,確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.如果測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的寬度PQ解：∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,即解得PQ=90.因此河寬大約為90m.例5已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m,兩樹的根部的距離BD=5m.一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路1從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C?分析：如圖27.2-10(1),設觀察者眼晴的位置(視點)為點F,畫出觀察者的水平視線FG,它交AB、CD于點H、K.視線FA、FG的夾角是觀察點A時的仰角，類似地，∠CFK是觀察點C不到的區(qū)域(曹區(qū))之內圖27.2-10點E時，他的眼睛的位置點F與兩棵樹的頂端點A、C恰在一條直線上.由題意可知，AB⊥,CD⊥1,即解得FH=8.端點C在觀察者的盲區(qū)之內，觀察者看不到它練習1.在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹早的影長為3m,同時測得一棟高樓的影長為90m,這株高樓的高度是多少?EC-50m,求河寬AB.(第2題)二十七51我們知道，如果△ABCO△A'B℃',相似比為k,因此AB=kA'B',BC=kBC',CA=kC'A'從而(1)如圖27.2-11(1),△ABCe△A'B℃',相似比為k,它們的面積比是多少?AADB圖27.2-11(2)如圖27.2-11(2),四邊形ABCD相似于四邊形A'B℃'D',相似比為k,它們的面積比是52二+七章高AD和A'D'應中線的比，對應對于圖27.2-11(2)中的四邊形，可以分別把它們劃分為兩個三角形，則△ABCw△A'B'C',例6如圖27.2-12,在△ABC和△DEF中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△A24,面積是48,求△DEF的周長和面積.圖27.2-12又D=∠A.△DEFo?△ABC,相似比為面積為0練習1.判斷(1)一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這令三角形的周長也擴(2)一個四邊形的各邊長擴大為原來的9倍，這今四邊形的西積也擴大為原來的9倍.()2.如圖，△ABCer△A'B'C,它們的周長分別為60cm和72cm,且AB-15cm,BC'-24cm,求BC、AC、A'B'、A'℃的長.(第2題)(第3題)3.蛋糕店制作兩種園形蛋糕，一種半徑是15,一種半徑是30cm,如果平徑是15cm的蛋趙夠2個人吃，半徑是30cm的蛋欄夠多少人吃?(假設兩種蛋糕高度相同)4.在一張復印出來的紙上，一個多邊形的一條邊肉原圖中的2cm變成了6cm,這次復印的放縮比例是多少?這個多邊形的面積發(fā)生了怎祥的變化?54能二十章習題27.2復習現固1.有一塊三角形的草地，它的一條邊長為25m,在圖紙上，這條邊的長為5em,其他兩條邊的長為4em,求其他兩邊的實際長度.2.根據下列條件，判斷△ABC與△A'B′℃是否相似，并說明理由：3.如圖，判斷兩個三角形是否相似，并求出x和y.(第1題)AAD(第3題)4.如圖，△ABC中，DE//BC,EF//AB,求證△ADEO△EFC.(第4題)(第5題)5.圖中EF//GH//IJ//BC.找出圖中所有的相似三角形.6如果把一個15cm×20cm的矩形按相似比進行變換，得到的新矩形的周長和面積各是多少?靠二+t章557.如圖，△ABCO△A'B'℃',相似比為k,AD、A'D分別是邊BC、BC上的中線，求(第7題)(第8題)度相等的兩腳AD和BC交叉構成的.如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方(即同時使OA=30D,OB=30C).然后張開兩腳，使A、B兩個尖端分別在線段!的兩個端點上，這時CD與AB有什么關系?為什么?太陽的半徑SR約為6.96×10km,月球的半徑LM約為1738km,此時月球中心距地球表面有多遠(即圖中EM為多少)?(第9題)10.如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，如果標桿BE長1.2m,測得AB=1.6m.BC=8.4m,樓高CDDDE(第10題)(第11題)退，直到她剛好在鏡子中看到大樓頂部.這時∠LMK等于∠SMT嗎?如果王青身高1.55m,她估計自己眼睛離地面1.50m,同時量得LM=30cm.12.如圖，四邊形ABCD是矩形，點F在對角線AC上運動，EF//BC,FG//CD.四邊形AEFG和矩形ABCD一直保持相似嗎?證明你的結論.(第12題)(第13題》13.如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，試確定點D(或E)的位置.18.兩個立方體的棱長的比為它們的表面積的比為多少?15.如圖，△ABC中，CD是邊AB上的求∠C的大小.(第15題)(第16題)16.如圖，△ABC中，AB=8.AC=6.BC=9,如果動點D以每秒2個單位長的速度，從點B出發(fā)沿AB方向向點A運動，直線DE//BC,記x秒時這條直線在△ABC內部的長度為y,寫出y關于x的函數關系式，并畫出它的圖象.蓄二+七章相57能二+*相能二+*相奇妙的分形圖形個正三角形分為全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形；對刷下的3個小正三賓斯基地毯(圖3).這種圖形中大大小小的三角形之間有什么關系?圖3角星.然后在六角星的各邊上用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，出現了一個有18個尖角的圖形.如此繼續(xù)下去，就能等到分支越來越多的曲線(圖4).繼續(xù)重復上面似的.的格子中；它的尖端可以無限多，無數小尖尖布滿了整個曲線，但它們彼此卻不會相交.從20世紀70年代起，一個新興的數學分支——分形幾何逐步形成，它的研究對象就是具有自相似性的圖形再看一個分形圖形的例子。畫一個大的正五邊形，接著畫出內嵌的5個小正五邊形(如果算上中間的一個小正五邊形，則正好是6個);在每個小正五邊形內再愿出5個更小的正五邊形(圖5);繼續(xù)下去，不斷重復此過程(圖6),就可以得到有無窮自相似結構形放大到屏幕上(圖27.3-1顯示了它工作的原理),在底片上.圖27.3-1圖27.3-2中有多邊形相似嗎?如果有，那么圖27.3-2利用位似，可以將一個圖形放大或縮小例如，要把四邊形ABCD縮小到原來的,我們可以在四邊形外任取一點O(如圖27.3-3),分別在線段OA、OB、OC、OD上取點A'、B'、C、D,使得順次連接點A'、B、C、圖27.3-3D',所得四邊形A'B'C'D'就是所要求的圖形.圖27.3-3棵究對于上面的問題，還有其他方法嗎?如果在四邊形外任取一個點O,分別在OA、OB、OC、OD的反向延長線上取A'、B'、C、D',使得呢?如果點O取在四邊形ABCD內部呢?分別畫出這時得到的圖形.練習1.如圖，△OAB和△OCD是位似圖形，AB與CD平行嗎?為什么?(第1題)(第2坦)2.如圖，議0為位似中心，將△ABC放大為原來的兩倍，二+七619不同方法9不同方法得到的圖形坐標是不同的兩點A(6,3),B(6,0).以原點O為位似中心，x6ACBA圖27.3-4如圖27.3-4(2),△ABC三個頂點坐標分別為A(2,3),B(2,1),C(6,2),以點O為位似中心，相似比為2,將△ABC放大，觀察對應頂2B0B可以看出，圖27.3-4(1)中，位似變換后A,B的對應點為A'(2,1),B'(2,0);A”(—2,—1),B(-2,0).圖27.3-4(2)中，位似變換后A,B,Ck,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或一kA(-6,6),B(—8,2),C(-4,0),D(-2畫出它的一個以原點O為位似中心，相似比為的位似圖形33A4AB)C60圖27.3-3即(-3,3).類似地，可以確定解：如圖27.3-5.利用位似變換中對應點的坐標1),C(-2,0),D'(—1,2).依次連接點A'、B、C、D,四邊形A'B℃D'就是要求的四邊形ABCD的位似圖形。練習1.如圖表示△AOB和把它縮小后將到的△COD,求它們的相似比.(第1題(第2題)2.如圖，△ABC三個頂點坐標分別為A(-2,2),B(4,-5),C(5,-2),以原點O為位似中心，將這個三角形放大為至此，我們已經學習了四種變換：平移、軸對27.3-6所示的圖案中，你能找到這些變換嗎?圖27.3-664解二++習題27.3復習鞏固位似中心.(第1題)2.如圖，以點P為位似中心，將五角星縮小為原來的3.△ABC三個頂點坐標分別為A(2.2),B(4,2),換后得到的△DEF與△ABC對應邊的比為1:2,這時△DEF各個頂點的坐標分別是多少?(第2題)P(1)如果相似比為3.正方形ABCD的位似圖形是什么?(2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似圖形嗎?如果(3》如果由正方形EFGH得到它的位似圖形正方形ABCD,求相似比.(第4題)(第5題)12(1)相似比為4:(2)相似比為5.如圖，寫出矩形WXYZ各點的坐標。如果矩形STUV相似于WXYZ,點S的坐標為(2,7),按照下列相似比，分別寫出T、U、V各點的坐12(1)相似比為4:(2)相似比為6.如圖中的圖案是由A字圖案(虛線圖案)經過變換后得到的，變換前后圖案發(fā)生了什么變化?對應點的坐標之間有什么關系?(第6題)7.如圖，將矩形MNPQ以點Q為位似中心，相似比為0.75進行位似變換，畫出變換后的圖形(第7題)(第8題)121266第二+t章相信息技術應用選學探索位似的性質利用圖形計算器載計算機等信息技術工具，可以很方使地將圖形放大成縮小，還可以探索位似變換的性質，下面以《幾何畫板》軟件為例說明.如圖1,任意畫一個三角形ABC,以點O為位似中心，自選相似比為，進行位似變換，得到三角形A'B℃圖1(1)度量對應邊的比，觀察結果與k的關系.(2)以O為原點建立坐標系，分別度量點A、A′的橫坐標，并計算比值；分州度量點A、A'的縱坐標，并計算比值，觀察比值與k的關素，其他對應點呢?(3)作線段OA、OA'、OB、OB'、0C、O,度量它們，你有什么發(fā)現?(4)任意改吏三角形ABC的位置，你對上面問題得出的結論是否仍然成立?由此，你能得出位似變換的一些性質嗎?黃二十七67活動1測量旗桿顯利用影子利用標桿利用鏡子用類似的方法，與同學合作，測量你的校園中一些物體(如旗觀察圖2(1)(2)中的藝術字，你會發(fā)現(2)中的字更有立圖2量一量這兩圖中每個藝術字上端的各條線段，你能否發(fā)現其中對應線段的有什么,有什么,圖3圖4(1)(2)給出由第一種藝術字寫出第二種藝術字的一種方法，請找出其中的位似圖形以及位似中心，并解釋上面所說的對應線段的比的關系圖4請你利用位似變換寫出一些立體藝術字，并與同學交流.對應角相等對應邊的比相等相似圖形相似多邊形周長比等于相似比應用相似三角形位似圖形1.類似于全等，相似也是圖形之間的一種特殊關系，與平移、軸對稱、旋轉一樣，位似也是圖形的一種基本變換.在本章，我們學習了有關相似圖形、相似多邊形、相似三角形、位似的一些知識.2.相似多邊形有哪些性質?位似圖形呢?如何利用位似將一個圖形放大或縮小?3.如何判斷兩個三角形相似?三角形的相似與三角形的全等有什么關系?4.舉例說明三角形相似的一些應用，5.到現在為止，我們已經學習了平移、軸對稱、旋轉、位似等變換，你能說出它們之間的異同嗎?舉出一些它們的實際應用的例子.并結合以上內容，體會從運動的角度研究圖形的方法，復習題27復習現固1.如圖，四邊形EFGH相似于四邊形KLMN,求∠E、2G、∠N的度數以及x、y.(第1題)2△ABC的三邊長分別為5、12、13,與它相似的△DEF的最小邊長為15,求△DEF的其他兩條邊長和周長.3.根據下列圖中所注的條件，判斷圖中兩個三角形是否相似，并求出r和y的值.(第3題)李華要在報紙上刊登廣告，一塊10cm×5cm的長方形版面要付180元的廣告費，如果他要把版面的邊長擴大要付多少廣告費?(假設單位面積廣告費相同)5.將如圖所示的圖形縮小，使得縮小前后對應線段的比為2:1(第5題)6.某同學的座位到黑板的距離是6m,老師在黑板上要寫多大的字，才能使這個學生看黑板上的字時，同他看相距30em的教科書的字的感覺相同?(教科書上的小四號字大小約為0.35cm×0.4cm)7.如圖，已知零件的外徑為a,現用一個交更卡鉗(兩條尺長AC和BD相等),去量零件的內孔直徑AB.如果OA:0C=OB:OD=n。且量得CD=b,求AB以及厚度x.(第7題)(第8題)8.如圖，CD是00的弦，AB是直徑，CDLAB,垂足為P.求證PC2=PA·PB.如果她跳起擊球時的高度是1.8m,排球落地點離墻的距離是6m,假設球一直沿直線運動，球能碰到墻面離地多高的地方?(第9題)10.如圖是一個照相機成像的示意圖，如果底片XY寬35mm.焦距是50mm,能拍攝5m外的景物有多寬?如果焦距是70mm呢?(第10題)(第11題)(第12題)12.如圖，在長為10cm,寬為6em的矩形中，裁去一個矩形，使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似，留下矩形的面積是多少?13.如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少?(第13題)(第14題)14.為了求出海島上的山峰AB的高度，在D處和F處樹立標桿CD和EF,標桿的高都是3丈，D、F兩處相隔1000步(1步等于6尺),并且AB、CD、和EF在同一平面內，從標桿DC后退123步的G處，可以看到山峰A和標桿頂端C在一條直線上；從標桿FE后退127步的H處，可看到山峰A和標桿頂端E在一條直線上.求山峰的高度AB及它和標桿CD的水平距離BD各是多少?(提示；連接EC并延長交AB于點K,用AK表示KC及KE,)蓄二+七章73門28.1銳角三角函數門始建于1350年的意大利比薩斜塔落成時就已經傾斜.1972年比薩發(fā)生地震，這座高54.5m的針塔大幅度搖擺22分之后，仍巍然屹立.可是，塔頂中心點偏離垂直中心線的距離已由落成時的2.1m增加至5.2m,而且還以每年傾斜1em的速度繼續(xù)增加，隨時都有倒塌的危險，為此，意大利當局從1990年起對斜塔進行維修糾偏.2001年設工，使塔頂中心點偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm.根據上面的信息，你能用“塔身中心線偏離垂直中心線的角度”來描述比薩斜塔的傾針程度嗎?這個問題涉及到銳角三角函數的知識，學過本章之后，你就可以輕松地解答這個問題了!問題為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的的度數是30°,為使出水口的高度為35m,那么需要這個問題可以歸結為，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB(圖28.1-1).可得AB=2BC=70m,也就是說，需要準備70m長的水管.考在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m,那么需要準備多長的水管?在上面求AB(所需水管的長度)的過程中，我們考思考如圖28.1-2,任意畫一個45°,計算∠A的對邊與斜邊的比你能得出什么結論?圖28.1-2如圖28.1-2,在Rt△ABC中，∠C=90°,由于∠A=45°,所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾因此綜上可知，在一個Ri△ABC中，∠C=90°,當∠A=30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于?.是一等于也是一個固定值.一般地，當∠A取其他一顏二十人若程三酸77任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'(圖28.1-3),使得∠C=∠C=90°,∠A=∠A'=αB圖28.1-3在圖28.1-3中，由于∠C=∠C=90°,∠A=∠A'=a,所以Rt△ABCoR△A'B'℃',即圓28.1-4如圖28.1-4,在Rt△ABC中，∠C=90°,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦(sine)記作sinA,即78解二+八稅南三席百數求sinA和sinB的值.圖38.1-5=5.=12.求sinA就是要確定∠A的對邊與特邊的比；求sinB就是要確定∠B的練習根據下圖，求sinA和sinB的值.如圖28.Ri△ABC中，∠C=90°,當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時，其A定了呢?為什么?B對邊a對邊aC圖28.1-6C大小確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對邊與鄰邊的比也分別是確定的.我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine),記作cosA,即把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent),記作tanA,即銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的脫角三例2如圖28.1-7,在Ru△ABC中，∠C=90°,解∵又AC=/AB2-BC2=√102-62=8,,練習1.分別求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值(第1題)2.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化?3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,tanA求sinA、cosB的值.(第3題)兩塊三角尺中有幾個不同的銳角?分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如第二十八章三二酸設圖28.1-8中每個三角尺較短的設圖28.1-8中每個三角尺較短的及定理和三角畫數的定義可以求出這解二+八預南三革政悅角α三角函數近2后：1例3求下列各式的值：=0.例4(1)如圖28.1-9(1),在Ri△ABC中，∠CcOsA≠cosB,解：(1)在圖28.1-9(1)中，(2)在圖28.1-9(2)中，2.在Ri△ABC中，∠C=90°,BC=√7.AC=√21,求∠A、∠B的通過上面的學習我們知道，當銳角A取30°、45°弦值和正切值；如果銳角A不是這些特殊角，怎樣得例如求sin18°,利用計算器的sin鍵，并輸入角度值18,得到結果sin18°=0.309016994.第二十八章銳峰三角函數83使用銳角三角函數表，也可以查得銳角的三角函數值，或根據銳角三角函怎樣驗算求怎樣驗算求是否正確?如果已知銳角三角函數值，也可以使用計算器求出相應的銳角例如，已知sinA=0.5018;用計算器求銳角A可以按照下面方法操作：依次按鍵2ndFsin,然后輸入函數值0.5018,得到∠A=30.11915867°(這說明銳角A精確到1°的結果為30°).精確到1”的結果為30°7'9”).練習2.已知下列銳角三角函數值，用計算器求其A=0.6252,cosB=0.1659;題的結果，你能想嗎?習題28.1復習鞏固.分別求出圖中∠A、∠B的正弦值、余弦值和正切值(第1題)2.在Rt△ABC中，∠C=90°,當∠A的大小確定時，它的正弦值是否會隨之確定?余弦值呢?正切值呢?為什么?4.用計算器求圖中∠A的正弦值、余弦值和正切值.(第4題)5.已知下列三角函數值，用計算器求銳角A,B..在Rt△ABC中，∠C=90",BC=5,sinA=0.7,求cosA、tanA的值.7.如圖，要焊接一個高3.5m,底角為32°的人字形鋼架，需要多長的鋼材?第二+八常積主審園慧第二+八常積主審園慧19.在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A的正弦、余弦之間有什么關系?(提示：利用表，而x的大小從0~180°每隔依次取值。利用我們現在已經學習過的圓和銳角三角函數的知識可知，弧的度數與它所對的圓心角的度數一樣，當半徑r和圓心角0(圖1).當了為固定值。0.1通過解直角三角形可以求出圍心角所對的弦長(圖1).當了為固定值。0.1的值的關系，因此，這張弦表表面上是由弧的值的關系，因此，這張弦表表面上是由弧的度數對應弦長l,實際上隱含了由角0對應a(=量)從0~90°每隔依次取值.弦函數(sina)表，其中的角a(=量)從0~90°每隔依次取值.托勒密圖1托勒密在《天文學大成》一書中還介紹了他利用幾何方法推導弦表的過程，這需要進行許多仔細的推理和計算.由于當時既沒有現成的計算公式，又沒有先進的計算工具，所以制作這張弦表要付出艱辛的努力。然而，有了這張弦表后，大大促進了三角學在天文測量等應用方面的發(fā)展，人們可以直接利用上述計算結果解決有關問題，這因此托勒密編制弦表在數學史上是值得紀念的一大貢獻隨著人們對數學研究的不斷深入，正弦、余弦、正切等三角函數的概念建立起來，對數的產生使三角函數計算極大地提高了速度，微積分的出現又帶來利用級數計算三角函數的方法……后來的三角函數表正是在這些成果的基礎上不斷改進的.在科學研究、生產實踐、軍事活動等諸多領城中，這些三角西數表比托勒密編制的弦表發(fā)揮了大得多的作用，它們成為許多人手中的、應用極其廣泛的計算工具.隨著現代信息技術的高度發(fā)展，人們日益普遍地利用計算機、計算器等進行各種計算，這些與時俱進的變化使計算效率有了新的提高。雖然現在直接查三角函數表的做法題來越少了，但是三角函數表的歷史功績是我們永遠不能忘記的.第二十八章銳培二函圖28.2-1問題要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子75°(圖28.2-1),現有一個長6m的梯子，問：(1)使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻(2)當梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1)?這時人是否能夠安對于問題(1),當梯子與地面所成的角α為75°問題(1)可以歸結為：在Rt△ABC中，已知∠A=75°,斜邊AB=6,求∠A的對邊BC的長(如圖28.2-1).所以BC≈6×0.97≈5.8.約是5.8m.對于問題(2),當梯子底端距離墻面2.4m時，求梯子與地面所成的角α的問題，可以歸結為：在Rt△ABC中，已知AC=2.4,斜邊AB=6,求銳角a的度數(如圖28.2-1).由于a≈66°.因此當梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角大約是66%三角形有六條邊和三個內角。在圖28.2-1的在圖28.2-1的Ri△ABC中，(1)很據∠A=75°,斜邊AB=6,你能求出(2)根據AC=2.4,斜邊AB=6,你能求出圖28.2-2如果再知道兩個元素(其中至少有一個是邊),這個三關系(圖28.2-2).(1)三邊之間的關系a2+b2=c2(勾股定理).(3)邊角之間的關系,;,二+八章稅三南函酸89垂圖28.2-3圖28.2-4圖28.2-5例1如圖28.2-3,在Rt△ABC中，∠C=90°,例2如圖28.2-4,在Rt△ABC中，∠B=35°,b=20,解這個直角三角形(精確到0.1).在Rt△ABC中，∠C=90,根據下列條件例32003年10月15日“神舟”5號載人航天飛船發(fā)射成功.當飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運行.如圖28.2-6,當飛船運行到地球表面上P點的正上方時，從飛船上最遠能直接看到的地球上的點在什么位置?這樣的最遠點與P點的距離是多少?(地球半徑約為6400km,結果精確到0.1km)分析：從飛船上能最遠直接看到的地球上的點，如圖28.2-6,O0表示地球，點F是飛船的位置，FQ是O0的切線，切點Q是從飛船觀測地球時的最遠點.PQ的長就是地面上P、Q兩點間的距離，為計算PQ的長需先求出∠POQ分析：從飛船上能最遠直接看到的地球上的點，如圖28.2-6,O0表示地球，點F是飛船的位置，FQ是O0的切線，切點Q是從飛船觀測地球時的最遠點.PQ的長就是地面上P、Q兩點間的距離，為計算PQ的長需先求出∠POQ(即α).圖28.2-7例熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底部的俯角為60,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中，在Ri△ABD中，α=30,AD=120,所以可以利用解直角三角形的知識求出BD;類似地可以求出CD,進而求出BC..重練習1.建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D處觀察旗桿頂部AAACC同時施工，從AC上的一點B取∠ABD-140°,BD-520m,∠D一50°,那么開挖點E離D多遠正好能使A,C,E成一直戰(zhàn)(精確到p圖28.2-8例5如圖28.2-8,一艘海輪位于燈塔P的北偏上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(精確到0.01海里)?BB在Ri△BPC中，∠B=34°,,解解二+八章說角三市態(tài)時，它距離燈塔P大約130.23海里.如圖28.2-9所示大壩的高度h時，只要測出仰角α和大壩的坡面長度1,就能算出A=[sina.但是，當我們圍28.2-9圖28.2-10坡“化整為零”地劃分為一些小段，圖28.2-11表示其中一部分小段.劃分小段時，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出這段坡長I,測出相應的仰角a,這樣就可以算出這段山坡的高度h=圖29.2-11上面的方法分別算出各段山坡的高度h,h?,…,h,然后我們再“積零為整”,把h?,h?,…,h。相加，于是得到山高h.以上解決問題中所用的“化整為零，積零為整”分的基本思想，它在數學中有重要地位，在今后的學練習1.海中有一個小島A,它的周圍8海里內有暗磁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達續(xù)向東航行，有沒有觸碾的危險?(第1題)(第2題)2.如圖，攔水壩的橫斷面為梯彤ABCD(圖中i=1:3是指玻面的鉛直(1)坡角a和β:(2)壩頂寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m).利用解直角三角形的知識解決實際間題的一般過程是：(1)將實際間題抽象為數學間題(畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題);(2)根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形：(3)得到數學問題的答案：(4)得到實際問題的答案.習題28.2復習鞏固1.如圖，在△ABC中，AB=AC.∠BAC=(第1題)(第2題)2.如圖，廠房屋頂人字架(等腰三角形)的跨度為10m,∠B=36°,求中柱AD(D為底邊中點)和上弦AB的長(精確到0.01m).21°,帆船距燈塔有多遠(精確到1m)?4.如圖，某飛機于空中A處探測到目標C,此時飛行高度AC看地平面指揮臺B的俯角a=1631,求飛機A到指揮臺B的距離(精確到1m),(第4題(第5題)5.如圖，在山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是5.5m.測得斜坡的傾斜角是24°,求斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離(精確到0.1m),綜合運用6.一座埃及金字塔被發(fā)現時，頂部已經蕩然無存，但底部未曾受損。是一個邊長確到1m)?(第6題)7.如圖，一只運載火箭從地面L處發(fā)射，當衛(wèi)星到達A點時，從位于地面R處的雷達站測得AR的距離是6km,仰角為4的距離是6.13km。仰角為45.54°,這個火箭從A到B的平均速度是多少?(第7題)(第8題》8為方便行人，打算修建一座高5m的過街天橋，已知天橋的斜面坡度為1:1.5,計算斜坡的長度9.如圖，某海域直徑為30海里的暗礁區(qū)中心有一哨所A,值班人員發(fā)現有一輪船從哨所正西方向45海里的B處向哨所駛來，哨所及時向輪船發(fā)出了危險信號，但輪船沒處，此時哨所第二次發(fā)出緊急信號.(第9題)(1)若輪船收到第一次信號后，為避免觸砸，航向改變角度至少為東偏北α求sina的值.(2)當輪船收到第二次信號時，為避免觸礁，輪船航向改變的角度至少應為多少?18.根據圖中標出的百慕大三角的位置，計算百慕大三角多年來，很多多年來，很多船只、飛機都在大西洋的一個區(qū)域內神秘失蹤，這個區(qū)域稱為百慕大三角，直至現在，人們仍未能破解這個秘密.定鳳大西洋百慕大島定鳳大西洋M(第10題)活動1制作測角儀，測量樹的離度(1)把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀，利用它可以測量仰角或俯角(圖1);(2)將這個儀器用手托住，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達樹的最高點(圖2);(3)讀出仰角α的度數；(4)測出你到樹根的距離；(5)計算這棵樹的高度.98第二十從焊(1)在塔前的平地上選擇一點A.用活動1中制作的測角儀測出你看塔頂的仰角α(圖3);(2)在A點和塔之間選擇一點B,測出你由B點看塔頂的仰角β;(3)量出A、B兩點的距離；(4)計算塔的高度.圖3二+八群二紹數解二十稅南三1.銳角三角函數是如何定義的?直角三角形的邊角關系包括哪些內容?2.總結直角三角形的邊角關系，完成下面的表格.Ri△ABC中的已知條件一般解法一直角邊a和一銳角A兩邊兩直角邊a,b3.結合實例體會銳角三角函數的廣泛應用.4.結合本章內容，體會數形結合地研究問題的方法.習題28復習鞏固1.在Rt△ABC中，∠C-90°,a-2,求cosA和tanA的值2.在△ABC中，∠C=90°,,AC=4√3,求BC的長.3.求下列各式的值：4.用計算器求下列各式的值：5.已知下列銳角三角函數值，用計算器求銳角A:6.等腰△ABC的一個內角是30°,一條邊長為2√3.求△ABC的周長.7.從一艘船看海岸上高為42m的燈塔頂部的仰角為33°,船離海岸多遠(精確8.如圖。兩建筑物的水平距離