高考數學專題講座 第18講 高頻考點分析之命題、邏輯推理和程序框圖探討

【備戰(zhàn)高考數學專題講座】第18講：高頻考點分析之命題、邏輯推理和程序框圖探討1～2講，我們對客觀性試題解法進行了探討，3～8講，對數學思想方法進行了探討，9～12講對數學解題方法進行了探討，從第13講開始我們對高頻考點進行探討。結合中學數學的知識，高考中命題、邏輯推理和程序框圖問題主要有以下幾種：1.四種命題的判定；2.真假命題的判定；3.充分必要條件的判定；4.邏輯推理；5.程序框圖。結合年全國各地高考的實例，我們從以上五方面探討命題和簡易邏輯問題的求解。一、四種命題的判定：典型例題：例1.（年安徽省文5分）命題“存在實數,，使”的否定是【】對任意實數,都有不存在實數，使對任意實數,都有存在實數，使【答案】?！究键c】否命題?！窘馕觥咳绻麅蓚€命題中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件和結論的否定，則這兩個命題稱互為否命題。因此，命題“存在實數,，使”的否定是：對任意實數,都有。故選。例2.（年湖北省理5分）命題“”的否定是【】ABCD【答案】D。【考點】命題的否定?！窘馕觥扛鶕胤Q命題“?x∈A，p（A）”的否定是“?x∈A，非p（A）”，結合已知中命題，即可得到答案：∵命題“”是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，∴“”的否定是“”。故選D。例3.（年湖北省文5分）命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是【】A.任意一個有理數，它的平方是有理數B.任意一個無理數，它的平方不是有理數C.存在一個有理數，它的平方是有理數D.存在一個無理數，它的平方不是有理數【答案】B?！究键c】命題的否定?！窘馕觥扛鶕胤Q命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結論，故該命題的否定為“任意一個無理數,它的平方不是有理數”。故選B。例4.（年湖南省理5分）命題“若，則”的逆否命題是【】A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C。【考點】四種命題。【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若，則”的逆否命題是“若，則”。故選C。例5.（年遼寧省理5分）已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，則p是【】(A)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(B)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(C)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0(D)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0【答案】C?！究键c】含有量詞的命題的否定?！窘馕觥棵}p為全稱命題，所以其否定p應是特稱命題，所以(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定為(f(x2)f(x1))(x2x1)<0。故選C。例6.（年重慶市文5分）命題“若p則q”的逆命題是【】（A）若q則p（B）若p則q（C）若則（D）若p則【答案】A?！究键c】四種命題?！痉治觥繉⒃}的條件與結論互換，可得逆命題，從而可得解答：命題“若p則q”的逆命題是：若q則p。故選A。例7.（年陜西省理12分）（1）如圖，證明命題“是平面內的一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則”為真.（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）【答案】解：（1）證明：如圖，過直線上任一點作平面的垂線，設直線的方向向量分別是，則共面。根據平面向量基本定理，存在實數使得，則。∵，∴。又∵，，∴?！?，從而。（2）逆命題：a是平面內一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則。逆命題為真命題?！究键c】向量語言表述線面的垂直、平行關系，命題。【解析】（1）作出輔助線，在直線上構造對應的方向向量：過直線上任一點作平面的垂線，要證兩條直線垂直，只要證明兩條直線對應的向量的數量積等于0，根據向量的運算法則得到結果。另解：如圖，記，為直線上異于點A的任意一點，過P作，垂足為，則?！撸?，∴直線。又∵，平面，，∴平面。又∵平面，∴。（2）把所給的命題的題設和結論交換位置，得到原命題的逆命題，判斷出逆命題的正確性。如上圖，記，為直線上異于點A的任意一點，過P作，垂足為，則?！撸?，∴直線。又∵，，∴平面。又∵平面，∴。二、真假命題的判定：典型例題：例1.（年全國課標卷理5分）下面是關于復數的四個命題：其中的真命題為【】的共軛復數為的虛部為 【答案】?！究键c】真假命題，復數的概念?！窘馕觥俊?，，，的共軛復數是，∴不是真命題；是真命題；的共軛復數為不是真命題；的虛部為是真命題。故選。例2.（年四川省理5分）下列命題正確的是【】A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C?！究键c】立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質?！窘馕觥坎捎门懦ǎ喝魞蓷l直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確。故選C。例3.（年山東省文5分）設命題p：函數的最小正周期為；命題q：函數的圖象關于直線對稱.則下列判斷正確的是【】Ap為真B為假C為假D為真【答案】C?！究键c】真假命題的判定，三角函數的周期和對稱性?！窘馕觥俊吆瘮档淖钚≌芷跒椋嗝}p為假?！吆瘮档膱D象的對稱軸為，∴命題q為假?！酁榧佟９蔬xC。例4.（年江西省理5分）下列命題中，假命題為【】A．存在四邊相等的四邊形不是正方形B．為實數的充分必要條件是互為共軛復數C．若，且則至少有一個大于D．對于任意都是偶數【答案】B?！究键c】真假命題的判定，特稱命題和全稱命題，充要條件，共軛復數，不等式的基本性質，二項式定理。【解析】對于A項，通過特例判斷：例如菱形，滿足四邊相等的四邊形不是正方形，所以A為真命題；對于B項，通過特例判斷：令,顯然，但不互為共軛復數，所以B為假命題；對于C項，通過不等式的基本性質判斷：顯然正確（可用它的逆否命題證明），所以C為真命題；對于D項，通過二項式定理系數的特例判斷：根據二項式定理，對于任意有為偶數，所以D為真命題。綜上所述，假命題為B項。故選B。例5.（年浙江省理5分）設是公差為（）的無窮等差數列的前項和，則下列命題錯誤的是【】A．若，則數列有最大項B．若數列有最大項，則C．若數列是遞增數列，則對任意，均有D．若對任意，均有，則數列是遞增數列【答案】C?！究键c】命題的真假判斷與應用，數列的函數特性。【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…，滿足數列{Sn}是遞增數列，但是Sn＞0不成立。故選C。例6.（年福建省理5分）下列命題中，真命題是【】A．?x0∈，≤0B．?x∈，2x＞x2C．a＋b＝0的充要條件是eq\f(a,b)＝－1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件【答案】D?！究键c】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應用?！窘馕觥繉τ贏，根據指數函數的性質不存在x0，使得≤0，因此A是假命題。對于B，當x＝2時，2x＝x2，因此B是假命題。對于C，當a＋b＝0時，eq\f(a,b)不存在，因此C是假命題。對于D，a＞1，b＞1時ab＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，因此D是真命題。故選D。例7.（年福建省理5分）函數在[a，b]上有定義，若對任意x1，x2∈[a，b]，有，則稱在[a，b]上具有性質P.設在[1,3]上具有性質P，現給出如下命題：①在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的；②在[1，eq\r(3)]上具有性質P；③若在x＝2處取得最大值1，則＝1，x∈[1,3]；④對任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有．其中真命題的序號是【】A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】D?！究键c】抽象函數及其應用，函數的連續(xù)性?！窘馕觥繉τ诿}①，設，顯然它在[1,3]上具有性質P，但函數在處是不連續(xù)的，命題錯誤；對于命題②，設，顯然它在[1,3]上具有性質P，但在[1，eq\r(3)]上不具有性質P，命題錯誤；對于命題③，∵在x＝2處取得最大值1，∴在[1，3]上，，即?！??！啵?，x∈[1,3]。命題正確；對于命題④，對任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有命題正確。故選D。例8.（年四川省理4分）記為不超過實數的最大整數，例如，，，。設為正整數，數列滿足，，現有下列命題：①當時，數列的前3項依次為5,3,2；②對數列都存在正整數，當時總有；③當時，；④對某個正整數，若，則。其中的真命題有▲_。（寫出所有真命題的編號）【答案】①③④?！究键c】真命題的判定，對高斯函數的理解，數列的性質，特殊值法的應用，基本不等式的應用?！窘馕觥繉τ冖?，若，根據當n=1時，x2=[]=3,同理x3=。故①正確。對于②，可以采用特殊值列舉法：當a=3時，x1=3,x2=2,x3=1,x4=2……x2k=1,x2k+1=1,……此時數列從第二項開始為2，1，2，1……，不成立。故②錯誤。對于③，由的定義知，，而為正整數，故，且是整數?！邔τ趦蓚€正整數、，當為偶數時；當為奇數時，∴不論是偶數還是奇數，有?！吆投际钦麛?，∴。又當時，，∵，∴成立。∴當時，。故③正確。對于④，當時，，∴，即?！?，即，解得。由③，∴?！?。故④正確。綜上所述，真命題有①③④。例9.（年四川省文4分）設為正實數，現有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則。其中的真命題有▲。（寫出所有真命題的編號）【答案】①④?！究键c】真命題的判定，特殊值法的應用?！窘馕觥繉τ冖伲邽檎龑崝?，∴。又∵，∴。故①正確。對于②，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實數和的條件，但。故②錯誤。對于③，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實數和的條件，，但。故③錯誤。對于④，不妨設，由得，∴?！邽檎龑崝担??！?。故④正確?！咔遥?。綜上所述，真命題有①④。三、充分必要條件的判定：典型例題：例1.（年北京市理5分）設a，b∈R.“a=0”是‘復數a+bi是純虛數”的【】A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B。【考點】復數的概念，純虛數的定義，充分必要條件的判定。【解析】復數a+bi是純虛數必須滿足a=0，b≠0同時成立。當a=0時，如果b=0，此時a+bi是實數，不是純虛數，因此不是充分條件：而如果a+bi已經為純虛數，由定義實部為零，虛部不為零可以得到a=0。因此，.“a=0”是‘復數a+bi是純虛數”的必要而不充分條件。故選B。例2.（年上海市文5分）對于常數、，“”是“方程的曲線是橢圓”的【】A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件【答案】B?！究键c】充分條件、必要條件和充要條件，橢圓的標準方程的理解?！窘馕觥糠匠痰那€表示橢圓，常數的取值為或，所以，由得不到方程的曲線表示橢圓，因而不充分。反過來，根據該曲線表示橢圓，能推出，因而必要?！唷啊笔恰胺匠痰那€是橢圓”的必要不充分條件。故選B。例3.（年四川省文5分）設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是【】A、且B、C、D、【答案】D?！究键c】充分條件?！窘馕觥咳羰钩闪?，即要、共線且方向相同，即要。所以使成立的充分條件是。故選D。例4.（年天津市理5分）設，則“”是“為偶函數”的【】（A）充分而不必要條件（Ｂ）必要而不充分條件（Ｃ）充分必要條件（Ｄ）既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，函數奇偶性的判斷?！痉治觥俊邽榕己瘮担闪?；為偶函數，推不出。∴“”是“為偶函數”的充分而不必要條件。故選A。例5.（年天津市文5分）設，則“”是“”的【】（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次不等式的解?！痉治觥俊卟坏仁降慕饧癁榛?，∴“”是“”成立的充分不必要條件。故選A。例6.（年安徽省理5分）設平面與平面相交于直線，直線在平面內，直線在平面內，且，則“”是“”的【】 充分不必要條件必要不充分條件充要條件 即不充分不必要條件【答案】?！究键c】充分和必要條件，兩直線垂直的判定和性質?！窘馕觥俊撸唷啊笔恰啊钡某浞謼l件。∵如果，則與條件相同，∴“”是“”的不必要條件。故選。例7.（年山東省理5分）設，則“函數在R上是減函數”，是“函數在R上是增函數”的【】A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c】充分必要條件的判斷，指數函數和冪函數的性質?！窘馕觥俊遬：“函數在R上是減函數”等價于，q：“函數在R上是增函數”等價于且，即且，∴p是q成立的充分不必要條件.。故選A。例8..（年浙江省理5分）設，則“”是“直線：與直線：平行”的【】A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c】充分必要條件。【解析】當a＝1時，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0顯然平行，所以“”是“直線：與直線：平行”的充分條件；若直線l1與直線l2平行，則有：，解之得：a＝1或a＝﹣2，所以“”是“直線：與直線：平行”的不必要條件?！唷啊笔恰爸本€：與直線：平行”的充分不必要條件。故選A。例9.（年湖北省文5分）設∈R，則“”是“”的【】A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要的條件【答案】A?！究键c】充分、必要條件的判定，基本不等式的應用。【解析】當時，，而（當且僅當，且，即時等號成立），∴。當取,顯然有,但。∴由不可以推得。綜上，是的充分不必要條件。故選A。例10.（年重慶市理5分）已知是定義在R上的偶函數，且以2為周期，則“為[0，1]上的增函數”是“為[3，4]上的減函數”的【】（A）既不充分也不必要的條件（B）充分而不必要的條件（C）必要而不充分的條件（D）充要條件【答案】D?！究键c】充分條件、必要條件、和充要條件的判定，函數的奇偶性、周期性和單調性及其之間的關系。【分析】∵為[0，1]上的增函數，是偶函數，∴在上遞減。任取，則。又∵是周期為2的周期函數，∴且?！酁閇3，4]上遞減。反之，當在[3，4]上遞減時，根據是周期為2的周期函數知在上遞減；又根據是定義在R上的偶函數，得到在[0，1]上遞增。故選D。例11.（年陜西省理5分）設，是虛數單位，則“”是“復數為純虛數”的【】A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B。【考點】充分必要條件?！窘馕觥慨敃r，，只有，并且時，復數為純虛數，否則不成立。所以“”是“復數為純虛數”的不充分條件。若復數為純虛數，則有：，所以“”是“復數為純虛數”的必要條件?！唷啊笔恰皬蛿禐榧兲摂怠钡谋匾怀浞謼l件。故選B。例12.（年安徽省理13分）數列滿足：（=1\*ROMANI）證明：數列是單調遞減數列的充分必要條件是（=2\*ROMANII）求的取值范圍，使數列是單調遞增數列?！敬鸢浮拷猓海?1\*ROMANI）證明：必要條件：當時，，∴數列是單調遞減數列。充分條件當數列是單調遞減數列時，，∴?！鄶盗惺菃握{遞減數列的充分必要條件是。（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）得：=1\*GB3①當時，，不合題意。=2\*GB3②當時，。

由解得，?！?，∴。∴。又，當時，，∴?！嗯c同號。由得，∴?！唷．敃r，存在，使，即即與異號。與數列是單調遞減數列矛盾。綜上所述，當時，數列是單調遞增數列?！究键c】充分必要條件，數列的單調性證明?！窘馕觥浚?1\*ROMANI）要證數列是單調遞減數列的充分必要條件是，即要=1\*GB3①由得出數列是單調遞減數列：=2\*GB3②由數列是單調遞減數列得。（=2\*ROMANII）求的取值范圍，使數列是單調遞增數列，即要求出數列的后項與前項之差大于0時的取值范圍。由（=1\*ROMANI）和時，，不合題意。因此在的條件下推導。四、邏輯推理：典型例題：例1.（年全國大綱卷理5分）正方形的邊長為1，點在邊上，點在邊上，，動點從出發(fā)沿直線向運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角。當點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數為【】A．16B．14C【答案】A?！究键c】反射原理，正方形的性質，三角形相似的判定和性質?！窘馕觥拷Y合已知中的點,的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到點時，需要碰撞14次即可。也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖，為便是于計算，將正方形的邊長擴大7倍，這樣邊長為7，，?！噙@些三角形相似的兩邊長之比?！啵?；；；；?！嘟涍^7次碰撞，到達與點成軸對稱的點處，根據正方形的對稱性，再經過7次碰撞，到達點，共14次碰撞。故選A。例2.（年全國大綱卷文5分）正方形的邊長為1，點在邊上，點在邊上，，動點從出發(fā)沿直線向運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角。當點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數為【】A8B6C4D3【答案】B。【考點】反射原理，正方形的性質，三角形相似的判定和性質?！窘馕觥拷Y合已知中的點,的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到點時，需要碰撞6次即可。也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖，為便是于計算，將正方形的邊長擴大3倍，這樣邊長為7，，?！噙@些三角形相似的兩邊長之比?！啵?；∴經過3次碰撞，到達與點成軸對稱的點處，根據正方形的對稱性，再經過3次碰撞，到達點，共6次碰撞。故選B。例3.（年江西省理5分）觀察下列各式：則【】A．28B．76C．123D．199【答案】C?！究键c】歸納推理的思想方法?！窘馕觥坑^察各等式的右邊,它們分別為1，3，4，7，11，…，發(fā)現從第3項開始，每一項就是它的前兩項之和，故等式的右邊依次為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故。故選C。例4.（年福建省文5分）數列{an}的通項公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n項和為Sn，則S2012等于【】A．1006B．C．503D．0【答案】A?！究键c】規(guī)律探索題?！窘馕觥繉ふ乙?guī)律：a1＝1coseq\f(π,2)＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝3coseq\f(3π,2)＝0，a4＝4cos2π＝4；a5＝5coseq\f(5π,2)＝0，a6＝6cos3π＝－6，a7＝7coseq\f(7π,2)＝0，a8＝8coseq\f(8π,2)＝8；······∴該數列每四項的和。∵÷4=503，∴S2012＝2×503＝1006。故選A。例5.（年北京市理5分）已知，若同時滿足條件：，則m的取值范圍是▲【答案】?！究键c】簡易邏輯，函數的性質?！窘馕觥坑傻?。∵條件，∴當時，。當時，，不能做到在時，，所以舍去?！咦鳛槎魏瘮甸_口只能向下，∴，且此時兩個根為。為保證條件=1\*GB3①成立，必須。又由條件的限制，可分析得出時，恒負?！嗑托枰谶@個范圍內有得正數的可能，即－4應該比兩根中小的那個大。由得，∴當時，，解得交集為空集，舍去。當時，兩根同為－2＞－4，舍去。當時，。綜上所述，。例6.（年湖北省文5分）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他們研究過如圖所示的三角形數：將三角形數1,3，6,10，…記為數列，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列，可以推測：（Ⅰ）是數列中的第▲項；（Ⅱ）=▲。（用表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）。【考點】歸納規(guī)律。【解析】由以上規(guī)律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為，寫出其若干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110。故。從而由上述規(guī)律可猜想：（為正整數），。故,即是數列中的第5030項。例7.（年湖南省理5分）設N=2n（n∈N*，n≥2），將N個數x1,x2,…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數，并對每段作C變換，得到；當2≤i≤n-2時，將Pi分成2i段，每段個數，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當N=16時，x7位于P2中的第▲個位置；（2）當N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第▲個位置.【答案】（1）6；（2）?！究键c】演繹推理的基本方法，進行簡單的演繹推理?！窘馕觥浚?）當N=16時,,可設為,,即為,,即,x7位于P2中的第6個位置。（2）考察C變換的定義及（1）計算可發(fā)現：第一次C變換后，所有的數分為兩段，每段的序號組成公差為2的等差數列，且第一段序號以1為首項，第二段序號以2為首項；第二次C變換后，所有的數據分為四段，每段的數字序號組成以為4公差的等差數列，且第一段的序號以1為首項，第二段序號以3為首項，第三段序號以2為首項，第四段序號以4為首項；依此類推可得出P4中所有的數字分為16段，每段的數字序號組成以16為公差的等差數列，且一到十六段的首項的序號分別為1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13為首項的那一段的第11個數，由于N=2n（n≥8）故每段的數字有2n-4個，以13為首項的是第四段，故x173位于第個位置。例8.（年福建省理4分）數列{an}的通項公式，前n項和為Sn，則S2012＝▲.【答案】3018?！究键c】規(guī)律探索題。【解析】尋找規(guī)律：a1＝1coseq\f(π,2)＋1＝1，a2＝2cosπ＋1＝－1，a3＝3coseq\f(3π,2)＋1＝1，a4＝4cos2π＋1＝5；a5＝5coseq\f(5π,2)＋1＝1，a6＝6cos3π＋1＝－5，a7＝7coseq\f(7π,2)＋1＝1，a8＝8coseq\f(8π,2)＋1＝9；······∴該數列每四項的和?！摺?=503，∴S2012＝6×503＝3018。例9.（年福建省文4分）某地區(qū)規(guī)劃道路建設，考慮道路鋪設方案，方案設計圖中，點表示城市，兩點之間連線表示兩城市間可鋪設道路，連線上數據表示兩城市間鋪設道路的費用．要求從任一城市都能到達其余各城市，并且鋪設道路的總費用最小，例如：在三個城市道路設計中，若城市間可鋪設道路的線路圖如圖①，則最優(yōu)設計方案如圖②，此時鋪設道路的最小總費用為10.現給出該地區(qū)可鋪設道路的線路圖如圖③，則鋪設道路的最小總費用為▲．【答案】16?！究键c】最優(yōu)設計方案?！窘馕觥扛鶕}意先選擇中間最優(yōu)線路，中間有三條，分別是A→F→G→D，E→F→B，E→G→C，費用最低的是A→F→G→D為3＋1＋2＝6；再選擇A→F→G→D線路到點E的最低費用線路是：A→E費用為2；再選擇A→F→G→D到C→B的最低費用，則選擇：G→C→B，費用最低為3＋5＝8，所以鋪設道路的最小費用為：6＋2＋8＝16。例10.（年陜西省理5分）觀察下列不等式，……照此規(guī)律，第五個不等式為▲.【答案】。【考點】歸納規(guī)律?！窘馕觥坑深}設中所給的三個不等式歸納出它們的共性：左邊式子是連續(xù)正整數平方的倒數和，最后一個數的分母是不等式序號n+1的平方；右邊分式中的分子與不等式序號n的關系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，得出第n個不等式，即可得到通式：。令n=5，即可得出第五個不等式，即。例11.（年北京市文13分）設A是如下形式的2行3列的數表，abcdef滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0。記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），cj（A）為A的第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。（1）對如下數表A，求k（A）的值11－0.80.1－0.3－1（2）設數表A形如11－1－2ddd－1其中－1≤d≤0.求k（A）的最大值；（3）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值?！敬鸢浮拷猓海?）由題意可知，∴。（2）∵－1≤d≤0，∴?！唷！喈攄=0時，k（A）取得最大值1。（3）任給滿足性質P的數表A（如下所示）abcdef任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表A*仍滿足性質P，并且k（A）=k（A*）因此，不防設r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，由k（A）的定義知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），∴∴k（A）≤1由（2）可知，存在滿足性質P的數表A使k（A）=1，故k（A）的最大值為1?！究键c】邏輯推理?！窘馕觥浚?）根據ri（A）為A的第i行各數之和（i=1，2），cj（A）為A的第j列各數之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即為所求。（2）k（A）的定義可求出k（A）=1+d，然后根據d的取值范圍可求出所求。（3）任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表A*仍滿足性質P，并且k（A）=k（A*）。因此，不防設r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性質可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），從而求出k（A）的最大值。例12.（年上海市理18分）對于數集，其中，，定義向量集.若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質P.例如具有性質P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性質P，求證：1X，且當n＞1時，1=1；（6分）（3）若X具有性質P，且1=1，（為常數），求有窮數列的通項公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則Y中與垂直的元素必有形式?！啵瑥亩?4。（2）證明：取，設滿足。由得，∴、異號?！撸?是X中唯一的負數，所以、中之一為－1，另一為1。故1X。假設，其中，則。選取，并設滿足，即。則、異號，從而、之中恰有一個為－1。若=－1，則，矛盾；若=－1，則，矛盾.∴=1。（3）猜測，i=1,2,…,。記，=2,3,…,。先證明：若具有性質P，則也具有性質P。任取，、.當、中出現－1時，顯然有滿足。當且時，、≥1?！呔哂行再|P，∴有，、，使得。從而和中有一個是－1，不妨設=－1，假設且，則。由，得，與矛盾。∴，從而也具有性質P?，F用數學歸納法證明：，i=1,2,…,。當=2時，結論顯然成立。假設時，有性質P，則，i=1,2,…,；則當時，若有性質P，則也有性質P，所以。取，并設滿足，即。由此可得與中有且只有一個為－1。若，則，所以，這不可能；∴，，又，所以。綜上所述，，i=1,2,…,?！究键c】數集、集合的基本性質、元素與集合的關系，數學歸納法和反證法的應用?！窘馕觥浚?）根據題設直接求解。（2）用反證法給予證明。（3）根據題設，先用反證法證明：若具有性質P，則也具有性質P，再用數學歸納法證明猜測，i=1,2,…,。例13.（年北京市理13分）設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數表構成的集合。對于A∈S(m，n)，記Ri(A)為A的第ⅰ行各數之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數之和（1≤j≤n）；記K(A)為∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）對如下數表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）設數表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）給定正整數t，對于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由題意可知，∴。（2）先用反證法證明：若，則，∴（無解）。同理可知?！唷Ｓ深}設所有數和為0，即，∴，解得，與題設矛盾?！?。易知當時，存在?！嗟淖畲笾禐?。（3）的最大值為。首先構造滿足的：，。經計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個數表A∈S（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數之和的絕對值都在區(qū)間中.由于，故的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于。設中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設，則。另外，由對稱性不妨設的第一行行和為正，第二行行和為負。考慮的第一行，由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少于個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小于（即每個負數均不超過）。因此，故的第一行行和的絕對值小于，與假設矛盾。因此的最大值為?！究键c】邏輯推理，反證法的應用?！窘馕觥浚?）根據ri（A）為A的第i行各數之和（i=1，2），cj（A）為A的第j列各數之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即為所求。（2）用反證法證明。（3）先構造滿足的，用反證法證明是最大值。例14.（年湖北省理14分）（Ⅰ）已知函數，其中為有理數，且.求的最小值；（=2\*ROMANII）試用（1）的結果證明如下命題：設為正有理數，若，則；（=3\*ROMANIII）請將（2）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題。注：當為正有理數時，有求導公式【答案】解：（Ⅰ），令，解得。當時，，所以在內是減函數；當時，，所以在內是增函數?！嗪瘮翟谔幦〉米钚≈怠＃á颍┯桑á瘢┲?，當時，有，即①。若，中有一個為0，則成立；若，均不為0，又，可得。于是在①中令，，可得，即，亦即。綜上，對，，為正有理數且，總有②。（Ⅲ）（Ⅱ）中命題的推廣形式為：設為非負實數，為正有理數.若，則.③用數學歸納法證明如下：（1）當時，，有，③成立。（2）假設當時，③成立，即若為非負實數，為正有理數，且，則。當時，已知為非負實數，為正有理數，且，此時，即?！??！?，由歸納假設可得，∴。又∵，由②得，∴.故當時，③成立。由（1）（2）可知，對一切正整數，所推廣的命題成立，【考點】利用導數求函數的最值，數學歸納法的應用?！窘馕觥浚á瘢脤登蠛瘮档淖钪?。（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，分，中有一個為0和，均不為0討論即可。（Ⅲ）應用數學歸納法證明。五、程序框圖：典型例題：例1.（年全國課標卷理5分）如果執(zhí)行下邊的程序框圖，輸入正整數和實數，輸出，則【】為的和為的算術平均數和分別是中最大的數和最小的數和分別是中最小的數和最大的數【答案】?！究键c】程序框圖的結構。【解析】根據程序框圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是：和分別是中最大的數和最小的數。故選。例2.（年北京市理5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為【】A.2B.4C【答案】C。【考點】程序框圖?！痉治觥扛鶕鞒虉D所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用，程序的運行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)Sk循環(huán)前10第一圈是21第二圈是42第三圈是83第四圈否輸出8∴最終輸出結果k=4。故選C。例3.（年天津市理5分）閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，當輸入的值為時，輸出的值為【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】C?！究键c】程序框圖?！痉治觥扛鶕鞒虉D所示的順序，程序的運行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前－25第一圈是4第二圈是1第三圈否輸出3∴最終輸出結果。故選C。例4.（年天津市文5分）閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出S的值為【】（A）8（B）18（C）26（D）80【答案】C?！究键c】程序框圖?！痉治觥扛鶕鞒虉D所示的順序，程序的運行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前01第一圈是2第二圈是3第三圈是4第四圈否輸出26∴最終輸出結果。故選C。例5.（年安徽省理5分）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是【】【答案】。【考點】程序框圖的結構?！窘馕觥扛鶕绦蚩驁D所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是計算滿足的最小項數：根據流程圖所示的順序，程序的運行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈是22第二圈是43第三圈是84第四圈否輸出4∴最終輸出結果。故選。例6.（年山東省理5分）執(zhí)行下面的程序圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為【】A2B3C4D5【答案】B?！究键c】程序框圖?！痉治觥扛鶕鞒虉D所示的順序，程序的運行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)n=n+1P=P+42Q=2Q+1循環(huán)前001第一圈是013第二圈是157第三圈是22115第四圈否輸出3∴最終輸出結果n=3。故選B。例7.（年遼寧省理5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是【】(A)1(B)(C)(D)4【答案】D。【考點】程序框圖中的循環(huán)結構，數列的周期性?！窘馕觥扛鶕绦蚩驁D可計算得由此可知S的值呈周期出現，其周期為4，輸出時因此輸出的值與時相同。故選D。例8.（年廣東省文5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為6，則輸出的值為【】A．B．C．D．【答案】C?！究键c】程序框圖。【解析】本循環(huán)結構是當型循環(huán)結構，它所表示的算式為=1×3×5×…×（2i-1），輸入n=6，可得：進入循環(huán)的條件為，即