高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座 第21講 高頻考點(diǎn)分析之平面向量探討

【備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座】第21講：高頻考點(diǎn)分析之平面向量探討1～2講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，3～8講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，9～12講對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開(kāi)始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。平面向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，它包括向量的概念和運(yùn)算。向量的坐標(biāo)表示，定比分點(diǎn)及數(shù)量積。以前教材中，在解析幾何、復(fù)數(shù)中涉及到平面向量的問(wèn)題，只是對(duì)一個(gè)概念的介紹；而在現(xiàn)在教材中，是高一的必學(xué)內(nèi)容，教學(xué)大綱要求理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。一般來(lái)說(shuō)，平面向量在高考中所占份量不大，一道選擇題或填空題，結(jié)合年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從以下三方面探討平面向量問(wèn)題的求解：1.平面向量的概念、性質(zhì)和計(jì)算：2.平面向量的坐標(biāo)表示和計(jì)算；3.平面向量與其它知識(shí)的綜合。一、平面向量的概念、性質(zhì)和計(jì)算：典型例題：例1.（年全國(guó)大綱卷理5分）中，邊上的高為，若，則【】A．B．C．D．【答案】D。【考點(diǎn)】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加減法幾何意義的運(yùn)用?！窘馕觥俊?，∴，∴在中，根據(jù)勾股定理得。∴由等面積法得，即，得?！?。又∵點(diǎn)在上，∴。故選D。例2.（年四川省理5分）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是【】A、B、C、D、且【答案】C?！究键c(diǎn)】充分條件。【解析】若使成立，即要、共線且方向相同，即要。所以使成立的充分條件是。故選C。例3.（年天津市理5分）已知為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足，，，若，則【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】A?！究键c(diǎn)】向量加減法的幾何意義，平面向量基本定理，共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用.?！痉治觥俊?，=，又∵，且，，∴，即，即，∴，解得。故選A。例4.（年天津市文5分）在△中，=90°，=1，設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足，。若，則=【】（A）（B）（C）（D）2【答案】B。【考點(diǎn)】向量加減法的幾何意義，平面向量基本定理，共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用?！痉治觥咳鐖D，設(shè)，則。又，。由得，即。故選B。例5.（年浙江省理5分）設(shè)，是兩個(gè)非零向量【】A．若，則B．若，則C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C?！究键c(diǎn)】平面向量的綜合題。【解析】利用排除法可得選項(xiàng)C是正確的：∵|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，∴選項(xiàng)A：|a＋b|＝|a|－|b|時(shí)，a，b可為異向的共線向量，不正確；選項(xiàng)B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正確；選項(xiàng)D：若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，a，b可為同向的共線向量，此時(shí)顯然|a＋b|＝|a|－|b|，不正確。故選C。例6.（年遼寧省理5分）已知兩個(gè)非零向量a，b滿(mǎn)足|a+b|=|ab|，則下面結(jié)論正確的是【】(A)a∥b(B)a⊥b(C)a=b(D)a+b=ab【答案】B?！究键c(diǎn)】平面向量的運(yùn)算，向量的位置關(guān)系?！窘馕觥坑蓔a+b|=|ab|，平方可得ab=0，所以a⊥b。故選B?；蚋鶕?jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|ab|分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)閨a+b|=|ab|，所以該平行四邊形為矩形，所以a⊥b。故選B。例7.（年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）已知向量夾角為，且；則▲【答案】?！究键c(diǎn)】向量運(yùn)算?！窘馕觥俊?，∴。∵向量夾角為，且，∴，解得，。例8.（年北京市理5分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為l，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)。則的值為▲；的最大值為▲【答案】1；1?！究键c(diǎn)】平面向量的運(yùn)算法則?！窘馕觥咳鐖D，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，得?！撸叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為l，∴。又∵，而就是在上的射影，要使其最大即要點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，此時(shí)?！嗟淖畲笾禐?。例9.（年浙江省理4分）在中，是的中點(diǎn)，，，則▲．【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。【解析】此題最適合的方法是特殊元素法：如圖，假設(shè)ABC是以AB＝AC的等腰三角形，AM＝3，BC＝10，由勾股定理得AB＝AC＝。則cos∠BAC＝，∴＝。例10.（年江蘇省5分）如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是▲．【答案】?！究键c(diǎn)】向量的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，和的余弦公式，銳角三角函數(shù)定義?！窘馕觥坑?，得，由矩形的性質(zhì)，得。∵，∴，∴?！?。記之間的夾角為，則。又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴?！?。本題也可建立以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后求解。例11.（年湖南省文5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且，則=▲.【答案】18【考點(diǎn)】平面向量加法的幾何運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算?！窘馕觥吭O(shè)，則=。二、平面向量的坐標(biāo)表示和計(jì)算：典型例題：例1.（年安徽省理5分）在平面直角坐標(biāo)系中，，將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是【】【答案】?！究键c(diǎn)】向量的計(jì)算。【解析】∵∴設(shè)，得。又∵向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量，∴。故選。例2.（年廣東省理5分）若向量=（2,3），=（4,7），則=【】A．（-2,-4）B．(2,4)C．(6,10)D．(-6,-10)【答案】A?！究键c(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算?！窘馕觥?。故選A。例2.（年廣東省文5分）若向量，則【】A．B．C．D．【答案】A?！究键c(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算?！窘馕觥?。故選A。例3.（年福建省文5分）已知向量，則的充要條件是【】A．x＝－eq\f(1,2)B．x＝－1C．x＝5D．x＝0【答案】D。【考點(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)?！窘馕觥坑上蛄看怪钡某湟獥l件得所以x=0。故選D。例4.（年遼寧省文5分）已知向量若則=【】(A)—1(B)—(C)(D)1【答案】D?！究键c(diǎn)】向量的數(shù)量積?！窘馕觥俊撸?。故選D。例5.（年重慶市理5分）設(shè)R，向量且，則【】（A）（B）（C）（D）10【答案】B?！究键c(diǎn)】平面向量的基本運(yùn)算及向量共線、垂直的性質(zhì)?！痉治觥俊咔遥?。又∵，∴?！?。∴。故選B。例6.（年重慶市文5分）設(shè)，向量且，則【】（A）（B）（C）（D）【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。【分析】通過(guò)向量的垂直，求出向量，求出，然后求出模：∵，向量且，∴，即?！唷！?。∴。故選B。例7.（年陜西省文5分）設(shè)向量=（1，）與=（－1，2）垂直，則等于【】A.B.C.0D.－1【答案】C。【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，二倍角的余弦。【解析】∵，∴。又∵=（1，）與=（－1，2），∴，即。故選C。例8.（年上海市理4分）若是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為▲（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】?！究键c(diǎn)】直線的方向向量，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，反三角函數(shù)的表示角。【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則。例9.（年上海市文4分）若是直線的一個(gè)方向向量，則的傾斜角的大小為▲（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】?！究键c(diǎn)】直線的方向向量，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，反三角函數(shù)的表示角?！窘馕觥吭O(shè)直線的傾斜角為，則。例10.（年安徽省文5分）設(shè)向量，若⊥,則▲【答案】?！究键c(diǎn)】向量的計(jì)算。【解析】∵，∴。又∵⊥，∴，即，解得?！?。∴。例11.（年山東省理4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2，1）時(shí)，的坐標(biāo)為▲?！敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】圓的弧長(zhǎng)，銳角三角函數(shù)，向量的坐標(biāo)?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知圓滾動(dòng)了2單位個(gè)弧長(zhǎng)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了弧度，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，?！?。例12.（年湖北省文5分）已知向量，則（Ⅰ）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為▲；（Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為▲。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）?！究键c(diǎn)】向量的數(shù)量積，向量同向的條件，單位向量，向量間的夾角?！窘馕觥浚á瘢┯?，得。設(shè)與同向的單位向量為，則,且，解得?！?，即與同向的單位向量的坐標(biāo)為。（Ⅱ）由，得。設(shè)向量與向量的夾角為，則。三、平面向量與其它知識(shí)的綜合：典型例題：例1.（年廣東省理5分）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義．若平面向量滿(mǎn)足，與的夾角，且和都在集合中，則=【】A．B.1C.D.【答案】C?！究键c(diǎn)】新定義，平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的值域，集合的概念。【解析】∵由定義，∴=，?！?。∵，∴，即。∵，∴。又∵，∴=?！唷！啵?。故選C。例2.（年廣東省文5分）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量，定義．若平面向量滿(mǎn)足與的夾角，且和都在集合中，則【】A．B．C．D．【答案】D。【考點(diǎn)】新定義，平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的值域，集合的概念?！窘馕觥俊哂啥x，∴=，。∴?！?，∴，即?！撸??！唷！?。故選D。例3.（年湖南省理5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，=1則【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理?！窘馕觥咳鐖D知?！?。又由余弦定理得，即，解得。故選A。例4.（年上海市理4分）在平行四邊形中，，邊、的長(zhǎng)分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是▲.【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量的基本運(yùn)算?！窘馕觥咳鐖D所示，以為原點(diǎn)，向量所在直線為軸，過(guò)垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。∵平行四邊形中，，，∴。設(shè)，則。∴由得，。∴的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為。∴∴?！吆瘮?shù)在有最大值，∴在時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加。∴在時(shí)有最小值2；在時(shí)有最大值5?！嗟娜≈捣秶?。例5.（年上海市文4分）在矩形中，邊、的長(zhǎng)分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是▲【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量的基本運(yùn)算。【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，向量所在直線為軸，過(guò)所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系?！咴诰匦沃校?，∴。設(shè)，則?！嘤傻?，?！嗟淖鴺?biāo)為?！?。∴?！撸??！嗟娜≈捣秶?。例6.（年安徽省理5分）若平面向量滿(mǎn)足：；則的最小值是▲來(lái)【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥俊撸?。又∵，∴?！??！嗟淖钚≈凳恰＠?.（年山東省理12分）已知向量m=（sinx，1），函數(shù)的最大值為6。（Ⅰ）求A；（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象。求g（x）在上的值域?！敬鸢浮拷猓海á瘢?。∵函數(shù)的最大值為6。而∴。（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，.?！嗪瘮?shù)g（x）在上的值域?yàn)??！究键c(diǎn)】向量的運(yùn)算，三角函數(shù)的值域，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)。【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)關(guān)于的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后根據(jù)三角函數(shù)的值域確定A。（Ⅱ）由平移的性質(zhì)，求出g（x），由得出的范圍，從而求得函數(shù)g（x）在上的值域。例8.（年湖北省理12分）已知向量，設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線=π對(duì)稱(chēng)，其中為常數(shù)，且（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（2）若的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍?！敬鸢浮拷猓?。（Ⅰ）∵函數(shù)的圖像關(guān)于直線=π對(duì)稱(chēng)，∴?！唷Ｓ帧?，∴。∴的最小正周期為。（=2\*ROMANII）若的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，∴?！?。∵，∴。∴?！嗪瘮?shù)在區(qū)間上的取值范圍為?！究键c(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，三角函數(shù)的恒等變化，正弦函數(shù)的定義域和值域?！窘馕觥浚á瘢┫壤孟蛄繑?shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)化為，最后利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和ω的范圍，計(jì)算ω的值，從而得函數(shù)的最小正周期。（=2\*ROMANII）先將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得λ的值，再求內(nèi)層函數(shù)的值域，最后將內(nèi)層函數(shù)看做整體，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)的值域。例9.（年江蘇省14分）在中，已知．（1）求證：；（2）若求A的值．【答案】解：（1）∵，∴，即。由正弦定理，得，∴。又∵，∴?！嗉础＃?）∵，∴。∴?！啵??！唷Ｓ桑?），得，解得。∵，∴。∴?！究键c(diǎn)】平面向。量的數(shù)量積，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正切公式，解三角形?！窘馕觥浚?）先將表示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明。（2）由可求，由三角形三角關(guān)系，得到，從而根據(jù)兩角和的正切公式和（1）的結(jié)論即可求得A的值。例10.（年上海市理18分）對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集.若對(duì)于任意，存在，使得，則稱(chēng)X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當(dāng)n＞1時(shí)，1=1；（6分）（3）若X具有性質(zhì)P，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則Y中與垂直的元素必有形式?！?，從而=4。（2）證明：取，設(shè)滿(mǎn)足。由得，∴、異號(hào)?！撸?是X中唯一的負(fù)