廣東省湛江市博雅學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

湛江博雅學(xué)校高中部2023—2024學(xué)年第一學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分為150分，考試用時(shí)120分鐘.2.答題前，請(qǐng)考生務(wù)必將答題卷左側(cè)密封線內(nèi)的項(xiàng)日填寫清楚.請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂?寫在答題卷上，在試題卷上作答無(wú)效.一?單選題（共8小題，40分）1.在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為（）A.B.C.D.2.若平面的法向量，直線的方向向量，則（）A.B.C.D.或3.已知，且，則（）A.B.C.D.4.如圖，直線的斜率分別為，則（）A.B.C.D.5.如圖，在四面體中，且，用表示，則等于（）A.B.C.D.6.已知空間中非零向量，且，則的值為（）A.B.133C.D.617.直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.8.正四面體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為（）A.B.C.D.二?多選題（共4小題，20分）9.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.任何一條直線都有唯一的斜率B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一條直線都有唯一的傾斜角D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.為鈍角D.在方向上的投影向量為11.已知是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）A.B.C.D.12.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面三?填空題（共4小題，20分）13.平面的法向量是，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為__________.14.兩平面的法向量分別為，則兩平面的夾角為__________.15.若直線與平行，則實(shí)數(shù)的值是__________.16.如圖，棱長(zhǎng)為2正方體為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且，則點(diǎn)到底面的距離與它到點(diǎn)的距離之和最小是__________.四?解答題（共6小題，70分）17.已知點(diǎn).（1）求直線的傾斜角（2）過點(diǎn)的直線與過兩點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，求直線斜率的取值范圍.18.設(shè)，向量，且.（1）求；（2）求向量與夾角的大小.19.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）以為一組基底表示向量；（2）若，求.21.已知.（1）若可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，判斷構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.22.如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，二面角為直二面角.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.參考答案：1.A【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為.2.D【詳解】因?yàn)?，所以?3.B【詳解】向量，則，因，于是得，解得，所以.4.D【詳解】由斜率的定義知，.5.C【詳解】因?yàn)椋?，?.A【詳解】因?yàn)椋?.C【詳解】以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為y軸，直線為軸，則設(shè)，則，故，，所以，故選C.8.A【詳解】因?yàn)樗拿骟w是棱長(zhǎng)為1的正四面體，所以其體積為.設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，得.如圖，取的中點(diǎn)為，則.顯然，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值.設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得.因?yàn)榍蛐牡近c(diǎn)的距離，所以球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為.9.ABD【詳解】解析A錯(cuò)，因?yàn)閮A斜角為的直線沒有斜率；B錯(cuò)，因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，C顯然對(duì)；若兩直線的傾斜角為，則它們的斜率不存在，D錯(cuò).10.BD【詳解】因?yàn)?，所以不垂直，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以?duì)，因?yàn)?，所以，所以不是鈍角，C錯(cuò)，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繉?duì)，11.AC【詳解】A.設(shè)，則無(wú)解，故正確；B.設(shè)，則，解得，故錯(cuò)誤；C.設(shè)，則，無(wú)解，故正確；D.設(shè)，則，解得，故錯(cuò)誤；12.BD【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取中點(diǎn)分別為，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，則，，所以或.故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取中點(diǎn)為，所以點(diǎn)軌跡為線段.設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確.13.【詳解】解：設(shè)直線與平面所成的角為，則點(diǎn)到平面的距離為14.【詳解】解：兩平面的法向量分別為，設(shè)兩平面的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，即兩平面的夾角為.15.-1【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得，當(dāng)時(shí)，直線與，兩條直線重合，故舍去.當(dāng)時(shí)，直線與，符合題意.16.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，則，即，即點(diǎn)，由題意可得，則，取點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為線段，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)在直線上，所以，，可得，①，②，聯(lián)立①②可得，則點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，所以，點(diǎn)到底面的距離與它到點(diǎn)的距離之和的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，即為.17.（1）（2）【詳解】（1）由已知得：直線的斜率，又（2）直線的斜率直線的斜率過點(diǎn)直線與過兩點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，直線斜率的取值范圍為18.（1）；（2）.【詳解】（1）由題意，，可得，解得，則，所以，故.（2）因?yàn)椋?，故向量與的夾角為.19.（1）證明見解析（2）【詳解】（1）由題意知，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.底面底面又，且平面，平面，所以是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所?又平面，所以P平面.（2）因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故：直線與平面所成角的正弦值為.20.（1）；（2）-3.【詳解】（1）為線段的中點(diǎn)，，，（2）21.（1）或或；（2）平行四邊形為菱形，平行四邊形不是菱形.【詳解】（1）由題意得，，設(shè).若四邊形是平行四邊形，則，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，即，解得，即.綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.（2）若的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以，所以平行四邊形為菱?若的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以平行四邊形不是菱?若的坐標(biāo)為，因?yàn)?，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.因此，平行四邊形為菱形，平行四邊形不是菱形.22.（1）證明見解析（2）【詳解】（1）連接，由題設(shè)知四邊形為菱形，，分別為中點(diǎn)，；又為中點(diǎn)，，因