2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的計(jì)算與證明（解答題）

第七單元圓的計(jì)算與證明一解答題

專(zhuān)題一圓和勾股

核心考點(diǎn)一構(gòu)造垂徑圖，得背靠背型共邊雙勾股

01.如圖,OA,OB,OC都是＜30的半徑,N4CB=2乙BAC.

(1)求證:ZAOB=2ZBOC;

(2)若.AB=4,BC=有，求。O的半徑.

核心考點(diǎn)二利用直徑構(gòu)造直角

02.如圖,AB為。O的直徑,CB是。O的切線,D為。O外一點(diǎn),AD交。O于點(diǎn)E,AB=AD,DC1CB,垂足為C.

(1)求證:CD=DE-,

(2)若DE=2,BC=6,求AB的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三利用切線構(gòu)造直角，設(shè)參與共邊雙勾股

03.如圖.在Rt△4BC中，ZC=90。,點(diǎn)O在AC邊上，以O(shè)A為半徑的半圓。交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.在BC

邊上取一點(diǎn)F,連接FD,使得DF=BF.

(1)求證:DF為。。的切線;

(2)若AC=6,8C=4,CF=1?求。O的半徑.

AOEC

專(zhuān)題二圓與全等

核心考點(diǎn)一構(gòu)造8字型全等轉(zhuǎn)邊

01.如圖,AB為圓O的直徑,AE為圓O的弦,C為圓O上一點(diǎn),AC^CE,CD14B,垂足為D.

(1)連接CO,判斷CO與AE的位置關(guān)系,并證明;

⑵若AE=8,BD=2,求圓O的半徑.

02.如圖，。。是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E,AE=DE,BC=CE,過(guò)點(diǎn)O作。F，AC于點(diǎn)F,延長(zhǎng)FO交

BE于點(diǎn)G.若DE=3,EG=2.

(1)求證:△E8C為等邊三角形；

⑵求AB的長(zhǎng).

核心'考點(diǎn)二對(duì)稱(chēng)型全等與導(dǎo)角

03如圖，在。O中,直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E,連接AC,AD,BC,過(guò)點(diǎn)C作(CF14。于點(diǎn)F,交線段OB于點(diǎn)G(不與

點(diǎn)O,B重合),連接OF.

⑴若BE=1,求GE的長(zhǎng)；

⑵若.FO=FG,猜想的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

專(zhuān)題三圓與相似

核心考點(diǎn)一結(jié)合角平分線(或弧的中點(diǎn))可構(gòu)造射影型相似

01.如圖,AB是。O的直徑,CD是。O上兩點(diǎn),C是皿的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線,垂足是E.連接AC交BD于點(diǎn)

F.

⑴求證:CE是。。的切線；

⑵若會(huì)=跖求cosZABD的值.

核心考點(diǎn)二切割線與斜射影型相似

02.如圖,在RtAABC中，NABC=90。,O為AB邊上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB長(zhǎng)為半徑的。O交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)

D,CB=CD.

(1)求證:AC是。O的切線；

⑵連接DE,若tan^EDA=|,DE=2,求線段AD的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三斜射影型相似、三角函數(shù)轉(zhuǎn)比

03.如圖,已知D為OO上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上,BE與。O相切,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且BE=DE.

⑴證明:CE是。。的切線；

⑵若AC=4,sinC=/求BD的長(zhǎng)

核心考點(diǎn)四旋轉(zhuǎn)型相似

04.如圖,△ABC是。O的內(nèi)接三角形，AB是0O的直徑，AC=遮,BC=2迷，點(diǎn)F在AB上.連接CF并延長(zhǎng),交

?0于點(diǎn)D,連接BD,作BE1CD,垂足為E.

⑴求證:△DBE△ABC;

⑵若AF=2,求ED的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)五連弧的中點(diǎn)與圓心構(gòu)"A、X”型相似

05.如圖，AB為。O的直徑，弦DC的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,乙BDC+24ABD=90°.

⑴求證:麗=CD;

⑵若AC=4V2,tan^ABD=爭(zhēng)求BE的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)六導(dǎo)角證相似

06.如圖,以△ABC的邊AC為直徑作。O,交BC邊于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作（CE||4B交OO于點(diǎn)E,連接AD,DE,ZB=Z

ADE.

(1)求證:AC=BC;

(2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的長(zhǎng).

BDC

專(zhuān)題四圓和三角函數(shù)

核心考點(diǎn)一遇弦作垂，得直角和線段中點(diǎn)

01.如圖，在。O中，弦AB的長(zhǎng)為8,點(diǎn)C在BO延長(zhǎng)線上，且COSAABC=三,℃=”B.

(1)求。O的半徑；

(2)求tanZBAC.

核心考點(diǎn)二連切點(diǎn)構(gòu)直角，含直角的斜A相似與三角函數(shù)轉(zhuǎn)比，設(shè)參求解

02.如圖,在4ABC中，ZACB=90°,D是AB上一點(diǎn),且乙BCD=點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)C,D

兩點(diǎn).

⑴求證:AB是。。的切線；

⑵若sinB=|,OO的半徑為3,求AC的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三作直徑構(gòu)直角，三角函數(shù)轉(zhuǎn)比

03.如圖,Rt△40B中，N。=90°?以O(shè)A為半徑作。O,BC切OO于點(diǎn)C,連接AC交OB于點(diǎn)P.

(1)求證:BP=BC;

⑵若sin^PAO=1，且PC=7,求。O的半徑.

B

O

專(zhuān)題五直徑的構(gòu)造

核心考點(diǎn)一直接利用直徑

01.如圖,AB是。O的直徑,C是。O上一點(diǎn),ZACB的平分線交AB于E,交。O于D,連接AD,BD.

(1)求證:AD=BD;

⑵若AB=6,4C=2V3,求益的值.

核心考點(diǎn)二連線利用直徑

02.如圖，。。半徑為2,弦BC=3,A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧上的一個(gè)點(diǎn),連接CO并延長(zhǎng)交。0點(diǎn)M,連接AM,過(guò)點(diǎn)B作

BE±AC,垂足為E.

(1)求證:BE/7AM;

⑵過(guò)點(diǎn)A作AD1BC,分別交BE,BC于點(diǎn)H,D,求AH的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三延長(zhǎng)直徑構(gòu)直角

03.如圖,。。是△ABC的外接圓,AB=AC,CD1AB于點(diǎn)D,BO的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)E.

(1)求證:Z.DBE=乙BCD;

(2)若BC=4VxBE=4,求OE的長(zhǎng).

專(zhuān)題六垂徑圖

核心考點(diǎn)一構(gòu)造直徑轉(zhuǎn)化角并得直角三角形，求三角函數(shù)值

01.如圖，OO的直徑人8，弦CD,垂足為點(diǎn)E,點(diǎn)P在優(yōu)弧CAD上（不包含點(diǎn)C和點(diǎn)D）,連PC,PD,CB,tanzBCD

_1

-2

(1)求證:AE=CD;(2)求sinZCPD.

核心考點(diǎn)二構(gòu)造直徑轉(zhuǎn)化角并得直角三角形，求三角函數(shù)值

02.如圖,AB是。O直徑，弦（CD14B于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF1DB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,垂足為F,連接AC.

(1)求證:AC=CG;

⑵若CD=EG=8,求GF的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三導(dǎo)角或構(gòu)造直徑轉(zhuǎn)化角，求三角函數(shù)值

03.如圖,在△28C中,AD1BC于D,點(diǎn)。在AD上,OO與AC,BC分別交于點(diǎn)E,F,連BE.

(1)求證:NABE=ZXC5;

(2)若tan^ABE=-,BC=3CF,求tcm/EBC的值.

4

專(zhuān)題七弧的中點(diǎn)

01.如圖,在0O中,AB為直徑.EF為弦,連接AF,BE交于點(diǎn)P,且F為在的中點(diǎn)

(1)求證:△FBP^AFAB;

⑵若tan/BEF=|,求sinZABE的值.

02.如圖,AABC內(nèi)接于。O,AB=AC,BD為。O的直徑,過(guò)點(diǎn)A作1于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

⑴若AE=4,AB=5,求0O的半徑；A

(2)若BD=2DF,求sinZACB的值.//\r

03.如圖,△ABC內(nèi)接于0O,ABAC=6(F,D,E分別為通和女的中點(diǎn)，連接DE.

(1)求證:BC=DE;

⑵若tanZ.ADE=/求s譏乙4ED的值.

專(zhuān)題八阿基米德折弦圖

方法：等腰三角形(弧的中點(diǎn))結(jié)合同弧對(duì)的圓周角相等，利用一邊一角等作垂或截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等.圖中隱藏了角平

分線，故也可構(gòu)造對(duì)稱(chēng)型全等處理.

核心考點(diǎn)一頂角為90。的等腰三角形與全等構(gòu)造

01.如圖,AB是半圓O的直徑,C是砂的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作弦BD的垂線，垂足為E.

⑴求證:CE=DE;

⑵若AD=DE=1,求AB的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)二頂角為60。的等腰三角形與全等構(gòu)造

02如圖，點(diǎn)A,P,B,C是。O上的四個(gè)點(diǎn),^APC=^CPB=60。.

⑴判斷△ABC的形狀，并證明；

(2)若CP=6,BC=2夕,求S4PB.

核心考點(diǎn)三頂角為普通角的等腰三角形與全等構(gòu)造

03.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC1BD,垂足為E,AB=AC.

(1)求證:ABAC=2ACAD;

(2)若。。的半徑為5,sin^CAD=|,求BE-DE的值.

專(zhuān)題九婆羅摩笈多

01.如圖,AB,CD是半徑為5的。O的兩條弦,且ABLCD于點(diǎn)G,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)連接EG并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F.

(1)求證:GFXBD;

⑵若冠1=BD,BG=7,求EF的長(zhǎng).

02.如圖,AB為。O的直徑,弦CD與AB相交于點(diǎn)E,DE=EC,,過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作

EGLBC交BC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)GE交AD于點(diǎn)H.

(1)求證:AH=HD;

(2)若coszC=|,DF=9,求。。的半徑.

03如圖,AB,CD是。O的兩條弦,AB=CD,AB1CD,垂足為點(diǎn)M,點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)NM交CB于點(diǎn)H,若

HN=8,AMBC的面積為15,MN>MH?則AD為()

A.6近B.5V2

C.10D.9

專(zhuān)題十切割線與角平分線

核心考點(diǎn)一作直徑構(gòu)直角，三角函數(shù)轉(zhuǎn)比

01.如圖,AB是。O的直徑.點(diǎn)E,C在。O上，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn),AE垂直于過(guò)點(diǎn)C的直線DC,垂足為D,AB的延

長(zhǎng)線交直線DC于點(diǎn)F.

⑴求證:DC是。。的切線；

⑵若AE=2,sin^AFD=*①求。O的半徑；②求線段DE的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)二勾股與相似結(jié)合（或構(gòu)造矩形）

02.如圖,AB為。O的直徑,E為OO上一點(diǎn)，點(diǎn)C為既的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作（CD1AE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,延長(zhǎng)

DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

⑴求證:CD是。O的切線；

⑵若DE=1,DC=2,求。O的半徑長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三結(jié)合角平分線可構(gòu)造斜射影型相似

03.如圖,RtAABC中,NC=90。,，。為AB上一點(diǎn)以O(shè)為圓心,OA為半徑的。。與BC相切于點(diǎn)D.

(1)求證:AD平分.NB4C;

⑵連接DE,若.AB=2BD,求cos/CDE的值.

CDB

專(zhuān)題十一圓與等腰三角形

核心考點(diǎn)一圓心在三線上

01.如圖，。。是△ABC的外接圓,AB=AC,,BO的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D.

⑴求證:NB4C=2乙ABD;

⑵若蔡=|,求tan/ABD.

核心考點(diǎn)二腰過(guò)圓心

02如圖,已知△4BC,,以AB為直徑的。O交BC于點(diǎn)D,DE是。O的切線，且.DE1AC,垂足為E,延長(zhǎng)CA交。0于

點(diǎn)F.

⑴求證:AB=AC-,

⑵若AE=3,DE=6,求AF的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三底過(guò)圓心'—含特殊角的等腰三角形與構(gòu)造直徑

03如圖,△ABC中，AB=AC=43,ABAC=120。，點(diǎn)O在BC上,0O過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B.

⑴求證:CA是。。的切線；

⑵點(diǎn)D是圓周上一點(diǎn),AADC=90。,,求AD的長(zhǎng).

專(zhuān)題十二圓與平行四邊形

核心考點(diǎn)一利用平行轉(zhuǎn)化角

01.如圖，已知AB是半圓O的直徑，C是半圓弧上一點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，PD||BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

(1)求證:PD為。O的切線;

⑵若AB=10,cos/。=芻求PC的值.

AOBD

核心考點(diǎn)二作直徑構(gòu)直角

02.如圖，OO經(jīng)過(guò)平行四邊形4BCD的頂點(diǎn)A,D,C,邊AB與。O相切于點(diǎn)A,邊BC與。O相交于點(diǎn)H.

(1)求證:AB=AH;

⑵若AB=2,4。=VT7,求sinZBAH的值.

核心考點(diǎn)三平行四邊形與相似

03.如圖,平行四邊形ABCD中、過(guò)A,B,C三點(diǎn)的。O交AD于E點(diǎn)OO與CD相切于C點(diǎn)

(1)求證:AC=AD;

(2)若AB=4,BE=5,求DE的長(zhǎng).

專(zhuān)題十三圓和矩形

核心考點(diǎn)一直接矩形的性質(zhì)

01.如圖,過(guò)矩形ABCD頂點(diǎn)A,B的。。與CD相切于點(diǎn)E,與AD,BC分別相交于點(diǎn)G,H,連接EH,AH.

(1)求證:EH平分/AHC;

⑵若AB=6,BH=8,求EH的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)二切割圖中弦切角、圓心角的轉(zhuǎn)化

02.如圖,OO與矩形ABCD的BC邊相切于點(diǎn)M,且經(jīng)過(guò)CD邊上的點(diǎn)N,CM=CN.

(1)求證:CD與。O相切；

(2)?O與AB交于點(diǎn)E,連接EM.若tanNEMB=j,OO的半徑為5,求AD的長(zhǎng).

核心考點(diǎn)三構(gòu)造矩形

03.如圖,在△ABC中，AB=AC,,以AC為直徑作。O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE1AB,垂足為E,延長(zhǎng)BA交。O

于點(diǎn)F.

⑴求證:DE是。。的切線；

⑵若黑=|,。4=13,求AF的長(zhǎng).

DE3

專(zhuān)題十四圓與菱形

01.如圖，OO過(guò)菱形ABCD的頂點(diǎn)B,D,且與AB相切,直徑BF交CD于點(diǎn)E.

⑴求證:AD與OO相切；

⑵若喋=|,連接CF,求tanaFE的值.

BF3

02.如圖,在菱形ABCD中,DH1A8于H,以DH為直徑的。O分別交AD,BD于點(diǎn)E,F.連接EF.

(1)求證:①CD是0O的切線;(@△DEF△DBA;

(2)若AB=5,DB=6,求sin^DFE.

H

B

專(zhuān)題十五圓和正方形

01.如圖，OO過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D,且與BC相切于點(diǎn)M,OO分別交AB,CD于E,F兩點(diǎn)連接MO并延長(zhǎng)

交AD于點(diǎn)N.

(1)求證:AN=DN;

⑵連接BF交。。于點(diǎn)G,連接EG.若AD=8,求EG的長(zhǎng).

02.如圖，OO過(guò)長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)D和BC上一點(diǎn)E,且與BA相切于點(diǎn)F,。。分別交AD,CD于G,H兩點(diǎn)BF

=BE.

⑴求證:BC是。。的切線；

(2)連接FE,ED.若4G==5,求tcmZFED的值.

專(zhuān)題十六圓與內(nèi)心

核心考點(diǎn)一雞爪定理和等腰共邊雙勾股(利用半徑相等)

01.如圖,以AB為直徑的。O經(jīng)過(guò)△48c的頂點(diǎn)