2025年廣州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年廣州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

（本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號(hào)，并將

條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請(qǐng)保持條形碼整潔、不污損.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改

動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答

案無效.

4.作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再做答.

5.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題的4個(gè)選項(xiàng)中僅有一項(xiàng)是符合要求的。

1.（5分）函數(shù)f（x）=2-/-2x的值域是（)

1

A.(0,B.(-8,引C.(0,2]D.(-8,2]

2.（5分）點(diǎn)。是平行四邊形ABCD的中心,￡為/。的中點(diǎn),若。E=/L4B+/MD,則入-尸()

31

A.1B.-C.TD.-

42

-TT＜（P＜O）的部分圖象如圖所示，則f（孚）=（）

3.（5分）函數(shù)/(x)=cos(a)x+(p)(u)>0,

V3

c.TD.—

2

4.（5分）已知｛即｝是公差為2的等差數(shù)列，｛a｝為等比數(shù)列，且滿足62024=262023，61=201,64=09-1，

則使得加0＞。1+。2+…+即成立的n的最大值為（）

第1頁（共21頁）

A.32B.31C.30D.29

5.（5分）若s譏（a+'）=3s譏（a—?jiǎng)tta7i（2a—5）=（）

3L55

A.—B.2A/3C."D.一

436

6.（5分）直四棱柱45CQ-451ciQi的底面是菱形，AA1=2V2,45=4,NBAD=120°,E,F,G分

另I」是45,AD,CCi的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在該直四棱柱的表面（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且G尸〃平面4￡凡則尸的軌

跡長度為（）

3V3/_

A.3B.6C.2D.3V3

7.（5分）已知4（2,-1）,5（-2,-1）,圓（X-Q）2+（y-2a+4）2=1上存在點(diǎn)尸，使得日1?藁=0,

則〃的最大值為（）

612

A.-B.—C.2D.4

/y2

8.（5分）已知,N為雙曲線C葭一金=1（。＞0,匕＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)。與〃關(guān)于x

軸對(duì)稱，ME=^MQ,NE的延長線交C于點(diǎn)尸，若MN-MP=0,則C的離心率為（）

V14廣網(wǎng)

A.V5B.2C..V3D.

二、選擇題：共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，少選

得部分分，多選或錯(cuò)選得0分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)z二—±+苧3貝I」（）

A.z2=zB.z1+z=\C.5=；D.|z3|=l

（多選）10.（6分）已知一組樣本數(shù)據(jù)XI，%2，…，X50（XIVx2V…＜%50）的方差S?-soStJi8-2）2,

則（）

A.這組樣本數(shù)據(jù)的總和為100

B.這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2

C.3xi+l,3x2+1,…，3x50+1的標(biāo)準(zhǔn)差為3s

nXl+%2X+X久49+%50%50+%1M*口*+

D.---,-2--3,…，-----------.---------1的Vl極差比XI,X2,X50的極差大

（多選）11.（6分）已知定義在R上的函數(shù)/（x）可導(dǎo)，/（x）的導(dǎo)數(shù)為，（x）,若/（%+辦是奇函數(shù),

且/（2-x）-f（2+x）+4x=0,則（）

第2頁（共21頁）

1

A.期）=0

B.f(1)+f(4)=4

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱

D.f(2024)=2

三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知集合/={x|x>0},3={-2,0,a},(CR/)CB={-2,0},則實(shí)數(shù)0的取值范圍

是.

13.(5分)已知尸1,尸2是橢圓C：§+彳=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，/為。與y軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，

若△尸為尸2的面積是△/為尸2的面積的一半，記△尸尸1尸2內(nèi)切圓的圓心為/，則尸2的面積

為.

—>—>

14.(5分)已知棱長為3的正方體48。-4囪。。1中，CP=2PCi，則三棱錐尸-/81G的外接球的表

面積為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分，應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(13分)在△/8C中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,Ca+b-c)Cb+c-a)=3ac.

(1)求3；

BE

(2)若D,￡為/C上不同的點(diǎn)，滿足8。平分//8C,BELAC,求不;的取值范圍.

第3頁(共21頁)

16.(15分)在矩形/8C3中，AD=2CD=4,￡為4。的中點(diǎn).如圖，將△N8E沿8E翻折，使得點(diǎn)4到

P的位置且滿足平面P8E，平面BCDE，連接尸C,PD,EC.

(1)求證：平面平面尸CE；

(2)在棱尸C上是否存在點(diǎn)Q,使得二面角P-8E-。的余弦值為個(gè)？若存在，求衰的值；若不存在,

說明理由.

第4頁(共21頁)

32

17.(15分)甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有N個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小球，并且各箱中m是紅球，.是白球.

(1)當(dāng)N=5時(shí)，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，求2個(gè)球的顏色不同的概率；

(2)由概率學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)N足夠大而抽出的個(gè)體足夠少時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.現(xiàn)從甲箱

中不放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球的概率記作尸1,從乙箱中有放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球

的概率記作尸2.那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過0.001(Pi-P2W0.001)的前提下認(rèn)

為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布？(參考數(shù)據(jù)：V578x24.04)

第5頁(共21頁)

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=x2-axlnx.

(1)討論)(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

2

(2)若xo是方程f(x)=》在(1,+8)上的一個(gè)根，證明：x0<a.

第6頁(共21頁)

19.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸(0,1),點(diǎn)/為動(dòng)點(diǎn)，以/P為直徑的圓與x軸相切，記N

的軌跡為r,直線4P交「于另一點(diǎn)反

(1)求「的方程；

(2)△0/8的外接圓交「于點(diǎn)C(異于點(diǎn)。，A,5),依次連接O,A,C,2構(gòu)成凸四邊形。4C3,

記其面積為S.

(1)證明：△ZBC的重心在定直線上；

(?)求S的取值范圍.

第7頁(共21頁)

2025年廣州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題的4個(gè)選項(xiàng)中僅有一項(xiàng)是符合要求的。

1.（5分）函數(shù)/（久）=2---2X的值域是（）

11

A.（0,罰B.（-co,A]C.（0,2]D.（-8,2]

22

解：函數(shù)/'（久）=2f2-2x=2-（X+2X）=2-（X+1）+1；

函數(shù)f（x）=2-/-2x的值域?yàn)椋?,2],

故選：C.

—>—>—>

2.（5分）點(diǎn)。是平行四邊形的中心，E為/O的中點(diǎn)，若=+則入-口=

311

A-C---

42D.2

解：由于點(diǎn)O是平行四邊形48c〃的中心，￡為/O的中點(diǎn),

T1T1T1T1T1TR-

所以DE=之￡M+卷。。=之ZM+搟DB=搟48—=rAD,

ZZN444

由于。E=XAB+[1AD,

故4』〃=一點(diǎn)

所以入-n=l.

故選：A.

3.（5分）函數(shù)/（%）=cos（（i）x+（p）（o）>0,-n<（p<0）的部分圖象如圖所示，則/（^^）二

解：由函數(shù)的圖象可知（—冬）=孚，可得7=生=2皿解得3=1,

4ov3yza

_,—57r57r__1汗

又因?yàn)?TuVcpVO,且/（工"）—cos（—+q））=1,可得（p=—夕，

:77"

所以/（%）=COS（X--7-）,

第8頁（共21頁）

UTTUTT5TT17TTTTV3

可得=cos（————）=cos——=—cos-=——.

336662

故選：C.

4.（5分）已知｛劭｝是公差為2的等差數(shù)列，—為等比數(shù)列,且滿足歷024=2歷023，b\=2a\,64=09-1，

則使得加0>41+。2+-,+即成立的〃的最大值為（）

A.32B.31C.30D.29

解：｛劭｝是公差1為2的等差數(shù)列，｛為｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為夕，

由歷024=2人2023，b\=2a\,64=〃9-1，可得q=2,

由bi=2tzij8bI=QI+15,可得qi=l,bi=2,

n

則斯=2〃-1,bn=2,

bio>ai+a2^---H斯，即1024>1+3+...+（2〃-1）=-^n（1+2〃-1）=n2,

由312=961,322=1024,可得〃的最大值為31.

故選：B.

5.（5分）若+號(hào)）=3s譏（a—看），則tm（2a—'）=（）

3L55

A.-B.2V3C.-D.-

436

解：因?yàn)閟譏（a+寺）=3sin（a一卷）,

可得sin[（a—+^]=cos（a—=3sin（a一看）,

所以tan（a—卷）=

則tcm（2aV）=tan2（a-f）==常^^

故選：A.

6.（5分）直四棱柱/BCD-/bBiCiDi的底面是菱形，7MI=2VLAB=4,/24D=120°,E,F,G分

別是48,AD,CCi的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在該直四棱柱的表面（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且GP〃平面小跖，則尸的軌

跡長度為（）

3V3廣

A.3B.6C.2D.3V3

解：根據(jù)題意，取3cl的中點(diǎn)"取CbDi的中點(diǎn)尸，連接CH;CP、HP,

取〃Ci的中點(diǎn)M,尸。的中點(diǎn)N,連接GM、GN,MN,

下為AD的中點(diǎn)，〃為31cl的中點(diǎn)，易得CH〃AiF,

第9頁（共21頁）

又由G為CCi的中點(diǎn)，M為HCi的中點(diǎn)，則有MG〃CH,

則有GM//AF,

又由NFu平面/M,GMC平面/￡尸，故GM〃平面NM,

同理：GN〃平面4EF,

又由GAfc平面GMV,GNu平面GMV,GMP\GN=G,

故平面GM2V〃平面AEF,

則P的軌跡圍成的圖形為三角形GMN,

又由A4i=2&，AB=4,貝!]4￡=強(qiáng)與彳=2舊，易得CH=2遍,則有GM=*C/7=百，

同理：GN=V3,

ZBAD=nO°,E,尸分別是/瓦的中點(diǎn)，則EF=,4+4—2x2x2義cosl20°=2百,

則有MN=江尸=V3,

AGMN中，其周長為GM+GN+MN=V3+V3+V3=3A/3.

故選：D.

7.(5分)已知/(2,-I),B(-2,-1),圓(x-a)2+(y-2a+4)2=1上存在點(diǎn)尸，使得PH?PB=0,

則a的最大值為()

612

A.~B.-C.2D.4

—>—>—>—>

解：因?yàn)镻4?PB=0,所以P4LPB,所以點(diǎn)P在以N5為直徑的圓上，

因?yàn)辄c(diǎn)/(2,-1),5(-2,-1),所以圓心為(0,-1),半徑為2,圓的方程為7+(y+1)2=4,

又圓(x-a)2+(y-2a+4)2=1的圓心為(a,2a-4),半徑為1,

由題意知兩圓有交點(diǎn)，即相切或相交，所以1WJa2+Qa—3-W3,

+8

化簡得，巴—:華n-°,解得0<a<^,

15a2-12<05

第10頁(共21頁)

所以Q的最大值為

故選：B.

XV

8.（5分）已知M,N為雙曲線C：/一臺(tái)=l（a>0,b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)。與M關(guān)于x

->Q->—>—>

軸對(duì)稱，ME=|MQ,NE的延長線交。于點(diǎn)P,若MN?MP=O,則。的離心率為（）

V14V6

A.V5B.——C.D.

22

解：設(shè)M（冽，幾）,則N（-加，-n）,Q（m,-n).

tqtq

可得ME=]MQ=](0,-2n)=(0,-3〃),

則E(m.-2〃),

設(shè)尸（xo,/），

yo+幾n

由N,E,尸三點(diǎn)共線，可得

XQ-^-m—2rri

—>—>yo—nm

由MN,MP=0,可得?

XQ—mn

Vn2-n21

上面兩式相乘可得鳥一J二個(gè)

比0」一TH乙2

22

由尸在雙曲線上，可得,一號(hào)~=1，

Q乙b乙

m2n2

由M在雙曲線上，可得至■—記=1，

Xci2—m2Vn2一序

上面兩式相減可得°2=里7L，

azb"

2

h1C1+多=_V6

則/=e=—=

3aa乙=T,

故選：D.

二、選擇題:共3個(gè)小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，少選

得部分分，多選或錯(cuò)選得0分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)z二—±+苧3貝I」（）

A.z2=zB.z1+z=\C.5=；D.|z3|=l

解：z——

則z2=（?+孚i）2=_*_號(hào)］=5,故4正確；

z2+z=z+Z=-1,故5錯(cuò)誤；

第11頁（共21頁）

則團(tuán)=1,

故z-2=|z|2=l,即2=9，故C正確;

國=團(tuán)3=1,故。正確.

故選：ACD.

(多選)10.(6分)已知一組樣本數(shù)據(jù)XI，X2,???,X5Q(X1<X2<---<X50)的方差S2-soSffi(久「2)2,

則()

A.這組樣本數(shù)據(jù)的總和為100

B.這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2

C.3xi+L3x2+L…，3x50+1的標(biāo)準(zhǔn)差為3s

%1+%2、2+%3%49+工50%50+%1%士工￥山+

D.---,---,???,------,------的極差比XI，X2,…，X50的極差大

解：對(duì)于/,因?yàn)檫@組樣本數(shù)據(jù)的方差為s2=擊￡：方(々-2)2,所以這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2,

所以這組樣本數(shù)據(jù)的總和為50X2=100,故/正確；

對(duì)于8,根據(jù)方差只能得到這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2,不能確定中位數(shù)的值，故8錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由方差的性質(zhì)可知，3x1+1,3x2+1,…，3%50+1的方差為32><S2=9S2,標(biāo)準(zhǔn)差為3S,故C正

確;

%1+%2%2+43%49+%50中的極差為%1+42(%49一汽2)+(%501％1)

對(duì)于。,

22222

(%49-%2)+(%50111)

因?yàn)闊o法確定X49-X2與X50-XI的大小關(guān)系,所以無法確定“與X50~XI的大小關(guān)系,

2

故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

(多選)11.(6分)已知定義在R上的函數(shù)/(x)可導(dǎo)，/(x)的導(dǎo)數(shù)為，(x),若f(x+辦是奇函數(shù),

且/(2-x)-/(2+x)+4x=0,則()

A.=0

B.f(1)+f(4)=4

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱

D.f(2024)=2

第12頁(共21頁)

1

解：因?yàn)?(x+2)是奇函數(shù)，

11

所以/(x)的圖象關(guān)于勺，0)對(duì)稱，即4萬)=o,/正確；

所以/(1-x)+f(x)=0,

所以，(x)-f(1-x)=0,

所以，(0)=f(1),

因?yàn)?(2-x)(2+x)+4尤=0,

所以(2-x)-f(2+x)+4=0,BPf(2-x)+f(2+x)=4,

所以/(0)+f(4)=4,

故，(1)V(4)=4,8正確；

由，(2-x)+f(2+x)=4可得，(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?2-x)+f(2+x)=4,f(x)-f(1-x)=0,

所以/(4-x)+f(x)=/'(4-x)+f(l-x)=4,

故，(3+t)+f⑺=4,

所以/(6+/)+f(3+/)=4,

所以，(6+/)=f⑺，即7=6,

故，(2024)=/(2)=2,D正確.

故選：ABD.

三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知集合/={x|x>0},3={-2,0,a},(CR/)A5={-2,0},則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,

+0°)

解：?.?集合/={x|x>0},

■,-Cit4={x|x^0),

'：B={-2,0,a},(CR/)H3={-2,0},

.'.a>0,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,+8).

故答案為：(0,+°°).

萬2y2

13.(5分)己知尸1,仍是橢圓C：§+彳=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，/為。與y軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，

若△尸為尸2的面積是△4尸1尸2的面積的一半，記△尸為尸2內(nèi)切圓的圓心為/,則△31/2的面積為

第13頁(共21頁)

：.\yA\=242,又?：叢PF\Fz的面積是△/月干2的面積的一半,

?,-[yp|=V2,

-11

^APF1F2=2XIF1F2IX|yP|=|x2xV2=V2,

[1

又=2x(PF1+PF2+F1F2)Xr=2X(2a+2c)xr=V2,

.V2

??r=彳，

^A/F1F2=*X|F1F2|xr=1x2x^=^.

V2

故答案為：7

—■>―>

14.（5分）已知棱長為3的正方體48CD-481CYD1中，CP=2P￡,則三棱錐尸-的外接球的表

99

面積為一丁一

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DG所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

第14頁（共21頁）

則。1(0,0,3),P(0,3,2),Bl(3,3,3),A(3,0,0),

設(shè)三棱錐尸-4815的外接球球心為N(x,y,z),

由必]|2=凹2=網(wǎng)2=的2得，

x2+)^+(z-3)2=x2+(y-3)2+(z-2)2=(x-3)2+(y-3)2+(z-3)2=(x-3)2+)/+^,

解得x=z=(,y=

所以三棱錐P-ABiDx的外接球半徑R=[(*-3)2+(*)2+())2=券I,

所以三棱錐P-AB\D\的外接球表面積為S=4兀爐=4TTX(3A^)2=竽兀.

99

故答案為：—7T.

4

四、解答題：本大題共5小題，共77分，應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(13分)在△45C中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為Q,b,c,Ca+b-c)(b+c-a)=3ac,

(1)求3；

BE

(2)若。，E為4c上不同的點(diǎn)，滿足5。平分N45C,BELAC,求力;的取值范圍.

DD

解：(1)因?yàn)?Q+6-c)(6-a+c)-3QC=0,所以~(a-c)?-3〃c=0,

所以-4。=。2+。2_.，

由余弦定理可得：2accosB=a1+c2-b2,

_1

所以cosB=—

因?yàn)?6(0,n),所以B=竽；

(2)因?yàn)?43。=葭4處+屋8。。，

11.B1,B

SP-6zcsin5=-^aBDsirr-+-cBDsirr—,

22222

可得3票，

在△45。中，由余弦定理可得：b-Va2+c2-2accosB=Va2+c2+ac,

第15頁(共21頁)

_1

所以S^ABC=2b*BE,

可得8￡=至祥=3?,

b7a2+c2+ac

22

_遮.a+c_____且./a+c+2ac_V3e.工ac

“BD~2JQ2+C2+QC-2Na2+c2+ac-2Ja2+c2+ac?

因?yàn)椤?gt;0,c>0,且〃Wc,所以。2+C2>2QC,所以0V2i?—此時(shí)〈字。+)=1,

az+cz+ac32BD273

16.(15分)在矩形/5C。中，AD=2CD=4,E為/。的中點(diǎn).如圖，將沿5月翻折，使得點(diǎn)4到

尸的位置且滿足平面尸平面5CZ)￡,連接尸C,PD,EC.

(1)求證：平面尸5E_1_平面PCE；

(2)在棱尸C上是否存在點(diǎn)0,使得二面角入2￡-。的余弦值為f?若存在，求貴的值；若不存在,

說明理由.

P

(1)證明：取5c的中點(diǎn)R連接石廠，

,:DE〃BC,DE=CF,

???四邊形C/)E/為正方形，

：.CD=EF.

一1

又CD=^BC,

1

：.EF=^BC,

:.EC1BE,

??,平面尸5￡_L平面5cDE,PBEABCDE=BEf

第16頁(共21頁)

CEu平面BCDE,

；.CE_L平面PBE,

：￡Cu平面PCE,

，平面PB￡_L平面PCE.

(2)解：取BE的中點(diǎn)〃，連接尸〃，

,:PB=PE,：.PH±BE.

:平面尸8￡，平面8cD￡,平面尸8EC平面8CDE=BE,尸〃u平面尸BE,

.?.P8_L平面BCDE.

以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,EC的正方向分別為x,y軸的正方向，過點(diǎn)￡作z軸平行于直線尸”,

可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,2,2,0),P(VL0,V2),E(0,0,0),B(2V2,0,0),

->->->

PC=(-V2,2V2,-V2),EB=(2V2,0,0),EP=(V2,0,V2),

設(shè)PQ="C=(—&/L,2岳，-V2A)(0W入Wl),

：.EQ=EP+PQ^V2A,2V2A,V2-V2A),

設(shè)平面8￡。的法向量1=(x,y,z),

則，EB-n=2V2x=0

(EQ-n=(V2-V22)x+2gy+(V2-V2A)z

令解得x=0,z=2入，

—>

；.n=(0,A-1,22,

:平面PBELy軸，

平面的一個(gè)法向量藍(lán)=(0,1,0),

第17頁(共21頁)

.-.\cos<m,￡〉|=看

阿,㈤J(4-1)2+442b

解得4=去滿足0W入W1,

所唱，

32

17.(15分)甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有N個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小球，并且各箱中R是紅球，m是白球.

(1)當(dāng)N=5時(shí)，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，求2個(gè)球的顏色不同的概率；

(2)由概率學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)N足夠大而抽出的個(gè)體足夠少時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.現(xiàn)從甲箱

中不放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球的概率記作尸1,從乙箱中有放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球

的概率記作尸2.那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過0.001(乃-EWO.OOl)的前提下認(rèn)

為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布？(參考數(shù)據(jù)：V578?24.04)

解：(1)當(dāng)N=5時(shí)，甲箱中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，

基本事件總數(shù)n-Cl=10,

記事件/表示“抽出的兩個(gè)球的顏色不同”，則事件/包含的基本事件個(gè)數(shù)加=禺禺=6,

則2個(gè)球的顏色不同的概率為P(/)=與=余=|.

(2)尸2=政|)2(|)=需=0.288,

2

18

VPi-P2^0.001,-0.288<0.001,

25(N—l)(N—2)

2

18NQN-1)289

—,-----------------<0.289=--------,

25(N—l)(N—2)-1000

2

NQN-l)28925289

貝U----------------------<----------x—=—,

(N—l)(N—2)100018720

由題意知(N-1)(N-2)>0,

從而720N(1N-1)<289(N-1)(N-2),

化簡得解-147N+578N0,

又N>0,：.N+^>147,

由題意知函數(shù)了=久+第(刀>0)在%=V578~24.04處取得最小值,

從而y=N+資在NN25時(shí)單調(diào)遞增,

第18頁(共21頁)

又142+震=146.07<147,143+|||-147.04>147,

...當(dāng)N2143時(shí)，符合題意，

23

而又考慮到gM初gN都是整數(shù)，則N一定是5的整數(shù)倍，；.N=145,

又當(dāng)NW20時(shí)，N+資V147,

故當(dāng)N至少為145時(shí)，

在誤差不超過0.001(即P-尸2W0.001)的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=x2-axlnx.

(1)討論/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

z

(2)若xo是方程/(%)=%在(1,+8)上的一個(gè)根，證明：x0<a.

解：(1)函數(shù)/(%)-axlnx,定義域?yàn)閧x|x>0},

則f(x)=2x-a(1+lnx)=2x-alnx-a,

令cp(x)=f(x)=2x-alnx-a,

則“(x)=2—p

當(dāng)aVO時(shí)，cp*(x)>0,cp(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增，當(dāng)xf。時(shí)，cp(x)f-8,且叩(1)=2

-Q>0,

故存在xiW(0,1),使得(p(xi)=0,且當(dāng)OVxVxi時(shí)，cp(x)<0,當(dāng)時(shí)，cp(x)>0,

所以函數(shù)/(x)有一個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=/在(0,+8)上無極值點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，若0<￥<多，則d(X)<0,若x>今則O(x)>0,

所以函數(shù)(p(x)在(0,勃上單調(diào)遞減，在(m，+8)上單調(diào)遞增，(p(^)=-aZn|,

當(dāng)0caW2時(shí)，尹弓)20,即隼(x)—f(x)，0,函數(shù)/'(x)無極值點(diǎn)，

當(dāng)a>2時(shí)，+0弓)<0,且當(dāng)x-0時(shí)，<p(x)-*+°°,當(dāng)xf+8時(shí)，隼(%)->+°o,

此時(shí)函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)/(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0WaW2時(shí)，函數(shù)/(x)無極值點(diǎn)；當(dāng)。>2時(shí)，

函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

(2)證明：令/(x)=x,即，-辦/幾工=工，

所以x-1-alnx=O,

第19頁(共21頁)

令G(x)=x-1-H〃x,則G'(x)=1-0=3,

XX

當(dāng)aWl時(shí)，G(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，G(x)>G(1)=0,方程/(x)=x無解，

當(dāng)q>l時(shí)，易知G(x)在(La)上單調(diào)遞減，在(。，+8)上單調(diào)遞增，

所以G(a)<G(1)=0,

因?yàn)閤o是方程/(x)=%在(1,+°°)上的一個(gè)根，所以xE(Q,+8),

G(/)=/-1-alna2=a2-1-2alna,

令g(x)=x2-2xlnx-1(x>1),則g'(x)=2x=2(1+lnx)(x>1),

1y_-J

設(shè)h(x)=x-1-Inx(x>1),則h'(x)=1---=---->0,

xx

所以人(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/?(X)>h(1)=0,即g'(x)>0,

所以gG)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，所以g(a)>g(1)=0,即G(/)>0,

因?yàn)镚(xo)=0,

所以<a2.

19.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(0,1),點(diǎn)/為動(dòng)點(diǎn)，以/尸為直徑的圓與x軸相切，記N

的軌跡為「，直線4P交『于另一點(diǎn)反

(1)求「的方程；