2025年高考數(shù)學總復習專項訓練：常用邏輯用語

專練2常用邏輯用語

［基礎強化］

一、選擇題

1.［2024?新課標II卷］已知命題p：VxER,|x+l|>l；命題q：3x>0,—=X.貝！J()

A.p和q都是真命題

B.rp和q都是真命題

C.p和rq都是真命題

D.rp和rg都是真命題

答案：B

解析：對于命題p,當x=—1時，|x+1|=0<1,所以p是假命題，是真命題.對于命題q,若x3=x,

則X=—1,0,1,所以滿足'勺x>0,必=￡’,故4是真命題，F(xiàn)是假命題.故選B.

2.［2023?全國甲卷(理)］設甲：sin2a+sin2jg=l,乙：sina+cos片0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：B

解析：甲等價于sin2a=1—sin2,=cos2A，等價于sina=±cos夕，所以由甲不能推導出sina+cos4=0,

所以甲不是乙的充分條件；由sina+cos￡=0,得sina=-cos/?,平方可得sin2a=cos2￡=l—sin2￡,即sin2a

+sin2/?=l,所以由乙可以推導出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.

3.［2024.福建泉州模擬］在等比數(shù)列｛斯｝中，公比為q.已知刃=1,貝。0<q<l是數(shù)列｛詼｝單調(diào)遞減的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：C

解析：

當0<(?<1時，=q<\,

斯

所以數(shù)列｛詼｝單調(diào)遞減，故充分性成立，

若數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞減，則0(誓<1,即0<4<1,故必要性成立，

所以0<?<1是數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞減的充要條件.

故選c.

4.設x￡R,貝IJ"一一5兀<0”是“僅一1|<1"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案:B

解析：由f—5x<0可得0<x<5.由以一1]<1可得0<%<2.由于區(qū)間(0,2)是(0,5)的真子集，故"f—5x<0”

是“|x—1|<1"的必要而不充分條件.

5.設命題p：加+2改+1>0的解集是實數(shù)集R；q：0<?<1,則夕是鄉(xiāng)的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案:B

解析：當。=0時，不等式Q/+2QX+1>0的解集為R；

當時，由不等式ax21+2ax~\~1>0的解集為R知,

a>09

得0<a<l.

/=4儲9一4〃<0,

???當OW〃<1時不等式ax2+2ax+l>0的解集為R,

即p：又(0,1)[0,1).

??P是q的必要不充分條件.

6.已知“函數(shù)丁=2%+加一1有零點”是“函數(shù)y=k)gQ在(0,+8)上為減函數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：B

解析：由y=2%+加-1=0,得m=1—2*,由函數(shù)》=2尤+加一1有零點，則加<1,由函數(shù)y=l0gm%在(0,

+8)上是減函數(shù)，得0<加<1,.,?“函數(shù)y=2*+nz—1有零點”是“函數(shù)y=log涼;在(0,+8)上為減函數(shù)”

的必要不充分條件.

7.設p：\x-a\>3,q：(x+1)(2%—1)20，若Y是q的充分不必要條件，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.-4'2

B.(一8,—4]U+°°

答案：B

解析：p：3或x>〃+3,q：—1或,

「p：a—3W%W〃+3.

因為Y是q的充分不必要條件，

所以〃+3W—1或〃一32號,

得aG（—8,—4]U+8）.

8.已知A,B,C為不共線的三點，則端+AC|=|通-AC|”是“△ABC為直角三角形”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：|矗+AC|=|矗-AC|兩邊平方得到贏2+AC2+2ABAC=贏2+AC2-2ABAC,得

ABAC=0,即贏±AC,故△ABC為直角三角形，充分性成立；若△ABC為直角三角形，當或NC

為直角時，|通+AC|溝贏-AC|,必要性不成立.故選A.

9.（多選）下列命題說法錯誤的是（）

A.3xGR,e*W0

B.VxSR,2W

C.a+b=0的充要條件是號=-1

D.若無，y￡R,且x+y>2,則x,y中至少有一個大于1

答案：ABC

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質可得e'O,故A錯誤；x=2時，2，>/不成立，故B錯誤；當。=6=0時，

f沒有意義，故C錯誤；因為“x+y>2,則x,y中至少有一個大于1”的逆否命題為“x,y都小于等于1,

則x+yW2”,是真命題，所以原命題為真命題，故D正確.故選ABC.

二、填空題

10.關于函數(shù)/（x）=sin尤+總工有如下四個命題：

①Ax)的圖象關于y軸對稱.

②/U)的圖象關于原點對稱.

領勸的圖象關于直線尤=胃對稱.

④Ax)的最小值為2.

其中所有真命題的序號是.

答案：②③

解析：要使函數(shù)式無尸sinx+總：有意義，則有sinx#O,.,.x^kn,AdZ,...定義域為｛x|xWE,feeZ),

定義域關于原點對稱.

又???/(—x)=sin(—x)+sinL)=一'inx_+=—(sinx+日=~^,

，火X)為奇函數(shù).「./(x)的圖象關于原點對稱，

???①是假命題，②是真命題.

對于③，要證兀0的圖象關于直線x=T對稱，只需證向一X)=啟+￡).

???③是真命題.

令sinx=￡,—1WW1且后0,「.g⑺=/+1,—且/W0,此函數(shù)圖象如圖所示(對勾函數(shù)圖象

的一部分)，???函數(shù)的值域為(-8,-2]U[2,+8),

???函數(shù)的最小值不為2,即兀0的最小值不為2..,.④是假命題.

綜上所述，所有真命題的序號是②③.

11.記不等式d+x—6<0的解集為集合A,函數(shù)y=lg(x—〃)的定義域為集合A“若是匕￡3"

的充分條件，則實數(shù)，的取值范圍為.

答案：(-8,—3］

解析：由f+x—6<0得一3Vx<2,

即：A=(—3,2),

由％—。>0,得x>〃，即：B=(a,+°°),

由題意得(一3,2)(a,+°°),.*.(2^—3.

x—1

12.已知p：1———W2,q：2x+1—m2^0(m>0),若p是q的充分而不必要條件，則機的取

值范圍為.

答案：［9,+°°)

%—1

解析：由1—下一W2,得一2WxW10,

由/—Zx+l一相2忘0得l—MtWxWl+〃Z,

設P，4表示的范圍為集合P,Q,則

尸={尤|一2?10},

Q={x|l—ZTIWXW1+機，m>0}.

因為p是q的充分而不必要條件，所以尸Q.

m>0,

所以<1—nzW—2,解得加29.

［能力提升］

r11

13.(多選)若“存在工￡悖2)，使得2—&+1<0成立”是假命題，則實數(shù)％可能是()

39

A.2B.2\r2C.3D.］

答案：AB

一ri-iri-i

解析：因為“存在292,使得2f-&+1<0成立”是假命題，所以對任意工￡2??，2A2—雙

+120恒成立，即2x+1對任意xd1,21恒成立.因為2x+l22啦(當且僅當尤=當時，等號成

JC1_乙」XZ

立)，所以.故選AB.

14.［2024?天津卷］設a,b^R,則“十二引，是"3。=3&”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：C

解析：a3—b3<^>a—b,若a=b,則3"=3",若3"=3)，則所以"蘇二分"是"3"=3""的充分必

要條件，故選C.

15.[2023?新課標I卷]設斗為數(shù)列｛斯｝的前"項和，設甲：｛斯｝為等差數(shù)列；乙：，界為等差數(shù)列，

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：C

n(Y]—1)q

解析：若｛斯｝為等差數(shù)列，設其公差為d,則斯=〃1+(幾一1)4,所以&=〃〃1+------2------d,所以；1=

Qi+(〃-1)苧,所以苦—乎=m+(〃+l—1)4—[ai+(n—1)-^]=[,為常數(shù),所以佛｝為等差數(shù)列，

即甲=乙；若佛｝為等差數(shù)列，設其公差為則)=Y+(n—l)t=ai+(n—l)t9所以。=〃s+雙〃一1"