四川省綿陽市高中2024屆高三第三次診斷性考試文科數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

秘密★啟用前

綿陽市高中2024屆第三次診斷性考試

數(shù)學(xué)（文科）

滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

=

1.已知復(fù)數(shù)z=2—i,則F|（）

A.75B.4C.5D.25

2.已知集合4={尤|%2<9},3={尤|X—2V0},則AB=（）

A.{0,1,2}B.{-2,2}C.[x\2<x<3}D.{x\-3<x<2}

3.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

K-4—>1

俯視圖

A.16B.24C.40D.48

4.用1,3,4三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中小于300的概率為（）

5.己知等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S”，滿足6=1,04=353+1,則%=（

A.B.C.9D.27

84

6.若函數(shù)"x）=cos（7ix+0）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，在下列選項(xiàng)中，（）不是/（%）的零點(diǎn)

,135

A.—1B.-----C.—D.一

222

7.已知單位向量的夾角為60,A3=a+Z?,O3=a—（O,A不重合），則彳的值為

（）

113

A.----B.0C.—D.一

222

8.國家統(tǒng)計(jì)單位統(tǒng)計(jì)了2023年全國太陽能月度發(fā)電量當(dāng)期值（單位：億千瓦時(shí)），并與上一年同期相比

較，得到同比增長率（注：同比增長率=今年月發(fā)電量-去年同期月發(fā)電量）+去年同期月發(fā)電量

X100%）,如統(tǒng)計(jì)圖，下列說法不正確的是（）

2023年1-12月我國太陽能發(fā)電量及其同比增長率變化情況

卜35.0%

FJO.O%

300

上2S,0%

250卜20.0%

200115.0%

HO.O%

5.0%

100

0.0%

?5此

-10.0%

t1-2月3月4a月5月6月7月8月9l月10月IiI月12月

CZD發(fā)電量（億千瓦時(shí)）?同比增長率（%）

A.2023年第一季度的發(fā)電量平均值約為204

B.2023年至少有一個(gè)月的發(fā)電量低于上一年同期發(fā)電量

C.2022年11月發(fā)電量也高于該年12月發(fā)電量

D.2023年下半年發(fā)電量的中位數(shù)為245.2

lg（-x+l）,x<0、

9.已知函數(shù)/（%）=7，存在%使得/（%）<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

x-ax,x>0

A.(-oo,-l]B.(-oo,0)C.[0,+oo)D.(0,+oo)

10.在平行四邊形A3CD中，AB±BD,BC=275,CD=2,沿對角線BD將三角形ABD折起，所得四

面體A-BCD外接球的表面積為24兀，則異面直線A5與CD所成角為（）

A.30B.45C.60D.90

IL若函數(shù)/(x)=g加-x+AhMawO)有唯一極值點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定成立是()

A.a>0,b<0B,a<0,b>0C.ab<—D.ab>Q

4

12.如圖，過點(diǎn)〃(—1,0)的直線交拋物線C:/=2x于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)A在之間，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)

于原點(diǎn)對稱，延長5N交拋物線。于E,記直線AN的斜率為《，直線ME的斜率為左2,當(dāng)％=3%

時(shí)，直線AB的斜率為()

A|B.1C.aD.6

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知a=(sina,cosa),6=(2,1),若a〃人，則tana=.

14.已知雙曲線工=1(加〉0,〃〉0),若一二2,則該雙曲線的離心率為.

mnn

15.底面半徑為4的圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1,母線長為3的圓錐，則所得圓

臺的側(cè)面積為.

16.在_ABC中，。是邊上一點(diǎn)，BD=3CD,若/BAD=2/DAC=2NABD,MACD面

積為且，則AD=.

2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足6s“=1+44.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵令么=邑,+1，求數(shù)列色｝前)項(xiàng)和&

18.某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時(shí)間不低于10小時(shí)的為合格品，工程師選擇某臺生

產(chǎn)電池的機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試.在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了如下頻率分

布直方圖和2x2列聯(lián)表:

產(chǎn)品合格不合格

調(diào)試前2416

調(diào)試后a12

(1)求調(diào)試前生產(chǎn)的電池平均持續(xù)放電時(shí)間，及列聯(lián)表中。的值；

(2)根據(jù)列聯(lián)表分析，能否有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試影響了產(chǎn)品質(zhì)量?

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD//BC,AB^AP,平面？ABJ_平面P5C,平面PC。，平面

PBC.

c

(1)點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，求證：AE//平面PC。；

(2)若AB=AP=BC=2應(yīng),NPBC=135,求三棱錐。一尸5￡)體積的最大值.

]+辦

20.設(shè)〃x)=(lux-Ina)—--ax.

(1)當(dāng)a=l,求/(%)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程;

(2)當(dāng)a>l時(shí)，證明：/(x)>-|(l+ln4z)efl-'.

21.己知橢圓+/=1(?！?〉6〉0)的離心率為手，過點(diǎn)"(1,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)A,3,

且當(dāng)/Lx軸時(shí)，|AB|=g.

(1)求橢圓。的方程；

(2)記橢圓。的左焦點(diǎn)為尸，若過”A3三點(diǎn)的圓的圓心恰好在y軸上，求直線/的斜率.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題

記分.

【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

x=cosa+6sina

22.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線G的參數(shù)方程為廠(a為參數(shù))，

y=2+sina-J3cosa

(1)求曲線G與>軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為

psin，+g=2,&與C2交于A,3兩點(diǎn)，求ZAOB的大小.

［選修4-5：不等式選講］

33

23.已知a>b>0,ILa+b=—+-,函數(shù)/（x）=|x-4+|x—g最小值為2.

（1）求人的值；

（2）求,3—G+癡的最大值.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知復(fù)數(shù)z=2—i,則上|=（）

A.舊B.4C.5D.25

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及模的運(yùn)算公式即可求解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=2—i，則團(tuán)=（2-曠=|3-4i|=^32+（-4）2=5.

故選：C

2.已知集合4={引9<9},3={尤|X—2K0},則AB=（）

A.{0,1,2}B.{一2,2}C.{x\2<x<3}D.{x|-3<%<2}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合，即可由交集的運(yùn)算求解.

【詳解】A=1x|x，<9}=何-3<x<3},5={x|x—2<0}={x|x<2},

故AB={x\-3<x<2},

故選：D

3.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

H—4—>1H—4——

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.16B.24C.40D.48

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體是四棱錐，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接求解.

P

根據(jù)三視圖可知該幾何體是如圖所示的一個(gè)四棱錐P-A8CD,

且上4上面ABC。，底面ABCD為正方形，

所以％—4BCD=gx4x4x3=16.

故選：A

4.用1,3,4三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中小于300的概率為（）

421

A.-B.-C.一

933

【答案】C

【解析】

【分析】先用排列計(jì)算出無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，再用古典概率計(jì)算即可.

【詳解】用1,3,4三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)一共可以有A；=6個(gè)，

其中小于300的有134,143,兩個(gè),

所以概率為工，

3

故選：C

5.已知等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，滿足。1=1,64=353+1,則%=()

11

A.-B.-C.9D.27

84

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件并結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求得公比心再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】由%=1,$4=3$3+1,得1+4+/+/=3(l+q+/)+l,

即a(l+q+42)=3(l+q+/),由1+q+q2Ho得4=3,所以。3=囚x/=3?=9.

故選：C

6.若函數(shù)〃x)=cosg:+0)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，在下列選項(xiàng)中，()不是的零點(diǎn)

135

A.—1B.C.—D.一

222

【答案】A

【解析】

T1

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期，以及函數(shù)的對稱性可得了(%)的零點(diǎn)滿足1-萬+左=Q+kkeZ,即可求解.

2九

【詳解】由于/(尤)的周期T=—=2,

71

又〃X)=COS(7lX+0)的圖象關(guān)于直線％=1對稱,

T1135

所以了(%)的零點(diǎn)滿足1—萬+左=萬+匕左ez,所以——，:均為“X)的零點(diǎn)，-1不是八％)的零

點(diǎn)，

故選：A

7.已知單位向量d*的夾角為60=a+=4瓦。4,03(O,A不重合)，則2的值為

()

113

A.----B.0C.—D.一

222

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算可得。A=03-AB=(-XT)》,即可利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合數(shù)量積定義求

解.

【詳解】由46=〃+。,08=。一；1。,得。6—745二(〃一71/7)-(。+/7)=(-/1-1)/?,/?-a=lxlx^=-

由OA±0B可得OA-OB=0n{OB-ABj-OB=0n(-2-1)Z??(a-Xb)=0，

_-.1i

所以(一丸一1)人.a+/l(X+l)b2=0n/(-X-l)+X(X+l)=0n4=—1或％=—,

由于O,A不重合，所以Xw-1,故2=」,

2

故選：C

8.國家統(tǒng)計(jì)單位統(tǒng)計(jì)了2023年全國太陽能月度發(fā)電量當(dāng)期值（單位：億千瓦時(shí)），并與上一年同期相比

較，得到同比增長率（注：同比增長率=今年月發(fā)電量-去年同期月發(fā)電量）+去年同期月發(fā)電量

xlOO%）,如統(tǒng)計(jì)圖，下列說法不正確的是（）

2023年1-12月我國太陽能發(fā)電量及其同比增長率變化情況

4000HB班因(40.0%

1-2月3月4月5月6月7月8月9月10月II月12月

U）發(fā)電量（億千瓦時(shí)）?同比增長率（%）

A.2023年第一季度的發(fā)電量平均值約為204

B.2023年至少有一個(gè)月的發(fā)電量低于上一年同期發(fā)電量

C.2022年11月發(fā)電量也高于該年12月發(fā)電量

D.2023年下半年發(fā)電量的中位數(shù)為245.2

【答案】C

【解析】

【分析】選項(xiàng)A：由平均數(shù)公式求解；選項(xiàng)B：由條形圖及同比增長率的含義判斷；選項(xiàng)C：由條形圖及

同比增長率的含義判斷；選項(xiàng)D：利用中位數(shù)的定義判斷.

【詳解】選項(xiàng)A：由圖中數(shù)據(jù)可知，2023年第一季度的發(fā)電量平均值約為

369.6+242.9生生土204,正確;

3

選項(xiàng)B：由圖中數(shù)據(jù)可知，2023年4月的同比增長率為負(fù)數(shù),

故該月發(fā)電量低于上一年同期發(fā)電量，正確;

選項(xiàng)C：根據(jù)同比增長率公式可知，2022年11月發(fā)電量為2341口W3.2,

1+0,354

2022年12月發(fā)電量為2I?！?87.9，而187.9>173.2,

1+0.172

則2022年11月發(fā)電量低于該年12月發(fā)電量，錯誤；

選項(xiàng)D：2023年下半年發(fā)電量按從小到大的順序排列如下，210.5,234.6,244.3,246.1,258.9,269.2,

2443+2461

所以中位數(shù)為一:------二二245.2,正確.

2

故選：C

9.已知函數(shù)/(%)=彳、)，存在%使得/(%)<0,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

[x-ax,x>0

A.B.(-8,0)C.[0,+8)D.(0,+a)

【答案】D

【解析】

【分析】分。式和兩種情況討論即可得到答案.

【詳角軍】x3-ax=x^x2-cij,

當(dāng)時(shí)，當(dāng)了>0時(shí)，x^x2—aj>0,

加)如圖:

當(dāng)0<40<6時(shí)，/(/)<().

故選：D.

10.在平行四邊形ABCD中，AB±BD,BC=245,CD=2,沿對角線BD將三角形MD折起，所得四

面體A-BCD外接球的表面積為24兀，則異面直線A5與CD所成角為()

A.30B.45C.60D.90

【答案】D

【解析】

【分析】畫出翻折前后的圖形，找到球心位置，利用長度的幾何關(guān)系證明四邊形。目/。2為正方形即可得到

異面直線A3與CD所成角.

P_AC'

於A

［詳解］

C面)D0D

□)

取中點(diǎn)。一AD中點(diǎn)。2，6。中點(diǎn)尸，

則。?△3CD外心，。2為外心，O［F1ICDQF//AB,

因?yàn)锳B=CD=2,則0區(qū)=02尸=1，

翻折后，過。?作直線垂直于平面5cD,過。2作直線垂直于平面加，兩直線的交點(diǎn)為。即為球心，設(shè)球

半徑為『

由題意可得4兀廠2=24兀，可得r=即。4=OC=J^

且OXC—O2A=y/5,

則由勾股定理可得0。1=0。2=1，

由OXF=QE=1得四邊形00/。2為菱形，

由。Q，平面ABD，。2/<=平面ABD,可得。。2上FC>2,

所以四邊形。。沙。2為正方形，/0灑。2=90°,

由GF//CD,QP/MB可得異面直線A5與CD所成角為ZO.FO,=90°,

故選：D.

11.若函數(shù)〃耳=；加-工+協(xié)式(。片0)有唯一極值點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定成立的是()

A.a>0,b<0B,a<0,b>0C.ab<—D.ab>Q

4

【答案】C

【解析】

【分析】求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=G：2—x+人(。。0),利用二次函數(shù)零點(diǎn)的分布，結(jié)合分類討論以及極值點(diǎn)

的定義即可求解.

【詳解】f'(x)=ax-l+-=ax2~X+b,

XX

g(x)=ax2-x+b[a0),A=l—4ab,

若△=l-4ab?0,則g(x)=ax2—或g(x)=ax2一%+/,4()，止匕時(shí)/(%)單調(diào)，不存在極值

點(diǎn)，故不符合題意，

若Aul—dab〉。，則方程g(x)=ox2—X+人=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由于/(x)=g<zx2—x+OlnMawO)有唯一極值點(diǎn),故8("=W2-％+〃=。只能有一個(gè)正實(shí)數(shù)根,

若另一個(gè)實(shí)數(shù)根為0,此時(shí)〃=0,顯然滿足條件，

b

若令一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)根，則一<0,故。人<0,

a

結(jié)合選項(xiàng)可知，ab<L一定成立,

4

故選：c

12.如圖，過點(diǎn)〃（—1,0）的直線交拋物線C：V=2x于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在〃、8之間，點(diǎn)N與點(diǎn)/關(guān)

于原點(diǎn)對稱，延長5N交拋物線。于E，記直線AN的斜率為匕，直線ME的斜率為左2，當(dāng)匕=342

時(shí)，直線AB的斜率為（)

A.2

B.1C.V2D.73

3

【答案】A

【解析】

%

【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線5N方程為y=（x-1）,與拋物線聯(lián)立可得進(jìn)而

(]A

可得E—,即可由斜率公式化簡求解.

*2)

【詳解】設(shè)直線A5方程為丁=左（九+1）且左W0,A（%,yJ,3（孫％），

%

由N（l,0），則直線5N方程為丁=

/、2/、2/\2(、2

%%%%

聯(lián)立/=(九一1)一=2x=>x22+2x+=0,

\入2一工\入2-"—1/

11丁2—1_2i

由韋達(dá)定理可得%E%2=ln4=一,將其代入y=22—(%-1)可得力=%U-1=

?九2

(1、

故E—,-A

\X2X27

_A

「一3工」秩但/(%+1)

由尢=342可得上7=3%工，即一、---

%T1+1%—11+%2%—11+%2

解得%故唔

,,1-02

故心"=心”=匚=§,

2

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去無（或V）建立一元二

次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.涉及到直線方程的設(shè)法

時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為?；虿淮嬖诘忍厥馇闆r，強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二

次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知己=（sina,cosa）,方=（2,1）,若-〃方,則tana=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)共線的坐標(biāo)表示可sinc=2cosi,即可由同角關(guān)系求解.

【詳解】由a〃人可得sina=2cosmtana=2,

故答案為：2

22

YVm

14.已知雙曲線匕=1（加〉0,〃〉0）,若一=2,則該雙曲線的離心率為.

mnn

［答案］^##-76

22

【解析】

【分析】利用雙曲線離心率e=￡=Jl+］即可計(jì)算得到答案.

a\a

【詳解】e=￡=

a\a2\m\22

故答案為：

2

15.底面半徑為4的圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1,母線長為3的圓錐，則所得圓

臺的側(cè)面積為_________.

【答案】45K

【解析】

【分析】根據(jù)相似可得母線，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積公式即可求解.

13

【詳解】如圖，設(shè)原圓錐的母線為/,則一,則/=12,

4I

所以圓臺的側(cè)面積為：71x(1+4)x(12-3)=4571.

故答案為：4571

16.在中，。是邊上一點(diǎn)，BD=3CD,若/BAD=2NDAC=2NABD,且..ACD的面

積為走，則AD=.

2

【答案】也

【解析】

【分析】作的角平分線即可利用等面積法得4竺=世，結(jié)合等腰關(guān)系即可求解a=2b,進(jìn)

ACDC

而判斷一為等邊三角形，即可利用面積求解b,即可求解.

【詳解】作184。的角平分線AM,

由/BAD=2/ZMC=2NABD得NBAM=ZDAM=ZDAC=ZABD=tz,

故A。是NM4C的角平分線,

^AM.AD.ZMADMD.MD

根據(jù)等面積法可付-j---------------=――=>——=——

-ACADZCAD以AC以

2

由于ZAMC=ZABC+ZBAM=2a,ZMAC=ZMAD+ZDAC=2a,

所以AC=MC=b,

又BD=3CD,所以CD=工BC=La,

44

MD=MC—DC=b——a,AM=MB=a—b

4

,1

jb—ci

a—bA

所以^=--，所以a=2b,

b1°

因此AM=MC=AC=b,故AMC為等邊三角形,

所以戊二30,

sADC=；SAMC=7^2sin60=與護(hù)=gnb=2，AD=gb=6

Z4oZZ

故答案為：出

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)/B4T>=2NIMC=2/ABD作角平分線，得等腰關(guān)系，利用角平分線定理

得比例關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵之處.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.己知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S”，且滿足6s“=1+4%,.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令么=邑用,求數(shù)列｛2｝的前幾項(xiàng)和T?.

【答案】⑴a“=g(-2廣

⑵22〃+3+3”—8

18

【解析】

【分析】(1)利用為=s“—S,T5N2)求通項(xiàng)公式；

(2)利用分組求和的方法求7；.

【小問1詳解】

當(dāng)”=1時(shí)，6s1=6弓=1+4囚，則

當(dāng)時(shí)，由6s〃=l+4a”①，得6S,i=l+4a,i②，

①一②，得6ali=4%,-4a“_],

an=-2%，即廣=-2(/7>2),

an-l

，數(shù)列｛q｝是以q=；為首項(xiàng)，—2為公比的等比數(shù)列，，%=g(—2產(chǎn)，

當(dāng)〃=1時(shí)也滿足上式，

【小問2詳解】

2n+l

2)14”

由(1)得…而—+一

!+11-(-2)63

1_4，!

丁|()_?4"+i—4

_n22n+3+3n-8

T——I----------——I--------18

"61-469

18.某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時(shí)間不低于10小時(shí)的為合格品，工程師選擇某臺生

產(chǎn)電池的機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試.在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了如下頻率分

布直方圖和2x2列聯(lián)表:

產(chǎn)品合格不合格

調(diào)試前2416

調(diào)試后a12

(1)求調(diào)試前生產(chǎn)的電池平均持續(xù)放電時(shí)間，及列聯(lián)表中々的值；

(2)根據(jù)列聯(lián)表分析，能否有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試影響了產(chǎn)品質(zhì)量?

,,K2=_________n(ad-bc)2_________

(a+b)(c+d)(a+c)(>+d)

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

【答案】(1)調(diào)試前生產(chǎn)的電池平均持續(xù)放電時(shí)間為11小時(shí)，a=48

(2)有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試影響了產(chǎn)品質(zhì)量

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解，根據(jù)頻率的關(guān)系即可求解a=48.

(2)根據(jù)隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表，計(jì)算觀測值結(jié)合臨界值表可判斷是否有95%的把握認(rèn)為參數(shù)

調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量；

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖可得調(diào)試前生產(chǎn)的電池平均持續(xù)放電時(shí)間為

2.5x0.02x5+7.5x0.06x5+12.5x0.08x5+17.5x0.04x5=11小時(shí)，

由調(diào)試后的頻率分布直方圖可得不合格的概率為(0.01+0.03)x5=0.2,而不合格的數(shù)量為12,所以合格

的概率為0.8,數(shù)量為48,故a=48,

【小問2詳解】

根據(jù)隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)，可得下面的2x2列聯(lián)表，

產(chǎn)品合格品淘汰品總計(jì)

調(diào)試前241640

調(diào)試后481260

總計(jì)7228100

則K'—_=-a-。，

(a+0)(c+d)(a+c)(6+d)72x28x40x60

所以有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試影響了產(chǎn)品質(zhì)量.

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD//BC,AB^AP,平面？A3,平面P5C,平面PCD,平面

PBC.

c

（1）點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，求證：AE//平面PC。；

（2）若AB=4「=3。=2應(yīng),/尸3。=135,求三棱錐。一尸5￡）體積的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面尸5C,進(jìn)而根據(jù)平面PCD，平面尸5C,即可求證，

（2）利用線面平行的性質(zhì)可證明AE//ED,進(jìn)而可得四邊形AEFD為矩形，進(jìn)而根據(jù)等體積法，結(jié)合基本

不等式即可求解.

【小問1詳解】

延長CD,54交于Q,連接尸。，顯然面PCZZ面PA5=PQ,

由面R43,面尸5C,面PCD,面尸5C,所以P。上面「5C,

由于平面B4B_L平面尸5c,兩個(gè)平面的交線為尸3,

由于A3=AP，E是PB的中點(diǎn)，所以PBLAE，5Pu平面尸5C,

故AE，平面尸5C,所以PQ//AE,

由AE<Z平面PC。，PQu面PC。，則AE〃平面PCD.

小問2詳解】

取PC,BP的中點(diǎn)分別為F,E,連接AE,EF,FD,

版以EFIIBC,又BCIIAD,所以瓦//AD,

由（1）知E是PS的中點(diǎn)，AE〃平面PCD,

AEu平面AEED,且平面AEED「平面PC。=FD，

WAEHFD,因此四邊形AEED為平行四邊形,

由(1)知AE，平面尸5C,故D尸工平面尸5C,且。尸=AE，

設(shè)PB=2BE=2EP=2a,

2

^C-PBD~VD—PBC=-SDF=-S-AE=-x-BC-BP8,ml35-AE=-x-x2y/2-a

3prcir3PRcC32322

2-28

a<—?

333

o

當(dāng)且僅當(dāng)8-4=/,即。=2時(shí)取最大值，故最大值為目，

|x2+?x

20.設(shè)/(%)=(lux-ln〃)—-Y-ax.

⑴當(dāng)a=l,求/(力在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程;

(2)當(dāng)a>l時(shí)，證明：/(x)>-|(l+lna)efl*.

3

【答案】(1)(e+l)x—y——e-—e=0

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求導(dǎo)后代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出切線斜率，再把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入了(%)求出縱坐標(biāo)，最后由點(diǎn)斜

式寫出直線方程即可；

51+JC

⑵用導(dǎo)數(shù)求出/(xL=/(。)=-把問題轉(zhuǎn)化為設(shè)g(x)=——eA-1,即證：g(x)>l在

xe(Lw)上恒成立，求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)〃(%),再求導(dǎo)后得到g'(x)>o在。,內(nèi))恒成立，從而得到g(x)

在(1,+8)上單調(diào)遞增，即可證明.

【小問1詳解】

當(dāng)a=］時(shí)，=x2+xjinx——%2—x,

/r(x)=(x+l)lnx+x---x-l=(x+l)ln

x2

r(e)=e+l,

X/(e)=1e2,

所以在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程為y—ge2=(e+l)(x—e),

3c

即(0+1)兀_,一不2_￡=0

【小問2詳解】

因?yàn)?'(x)=(%+Q)(lnx-lna),x>0

由力2")>。得x>a,由/。)<0得0<%<a,

所以/(%)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

所以小)皿=?)=—%,

1

要證/(尤)>——(1+lno)e",即證—a/>—z(l+lna)e"1,

只需證號幺。"1>0,

a

1_i_］口丫

設(shè)g(x)=-2—e'T,即證:g(x)>lxe(l,+oo)上恒成立,

e/、r(x-2)lnx+x-ll.

則g'(x)=U——>—......,

X

令/z(x)=(x—2)lnx+%-l,

2

所以〃(x)=如％---卜2,

x

令"(%)=0nx=1,

所以h'(無)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則〃⑴>〃⑴=0,

所以力⑺在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，則可力>〃⑴=0,

所以g'(x)>0在(1,內(nèi))恒成立，則g⑴在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g⑴=0,原不等式得證.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

（1）第一問用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可；

（2）第二問證明函數(shù)不等式恒成立，求導(dǎo)判斷函數(shù)的最小值，最小值大于不等式右邊即可，當(dāng)一次求導(dǎo)

無法判斷時(shí)，通常二次求導(dǎo).

21.已知橢圓C:二+與=1（?！?〉6〉0）的離心率為@,過點(diǎn)M（LO）的直線/交橢圓C于點(diǎn)A3,

ab2

且當(dāng)軸時(shí)，|AB|=否.

（1）求橢圓。的方程；

（2）記橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，若過”三點(diǎn)的圓的圓心恰好在y軸上，求直線/的斜率.

【答案】（1）—+/=1

4-

⑵k=+—

5

【解析】

【分析】（1）由離心率以及點(diǎn)l,土￥j在橢圓上，即可聯(lián)立方程求解.

（2）設(shè)圓心P（O,m）,設(shè)/:y=k（x—1）,利用|PA『=|尸尸尸『以及點(diǎn)點(diǎn)距離，可得%,%分別是

_弘21

3y2+2〃9-1=0的兩根，進(jìn)而聯(lián)立方程組可得—求解即可.

4人2+13

【小問1詳解】

V2y2

橢圓C的方程為二+=1,

ab2

當(dāng)Ux軸時(shí)，|AB|=6