2025版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何初步-原卷版

專題09立體幾何初步

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，4

1.高考對(duì)立體幾何初步的考查，重點(diǎn)是2023?新高考I卷，14

掌握基本空間圖形及其簡(jiǎn)單組合體的2024?新高考I卷,5

柱、錐、臺(tái)體的表面積與體積

概念和基本特征、解決多面體和球體的2022?新高考n卷，11

相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。同時(shí)需要關(guān)注異面直線2023?新高考n卷，9

的判定和成角問(wèn)題、空間點(diǎn)線面的位置2023?新高考n卷，14

關(guān)系問(wèn)題、夾角距離問(wèn)題、截面問(wèn)題。2022?新高考I卷，8

這些問(wèn)題對(duì)考生的空間想象能力要求球的切接問(wèn)題2023?新高考I卷,12

有所提升，需要考生有強(qiáng)大的邏輯推理2022?新高考n卷，7

能力。2022?新高考I卷，9

夾角問(wèn)題

2024?新高考n卷，7

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，n卷考查了以棱臺(tái)為背景的線面角

的求法，總的來(lái)說(shuō)，基本立體圖形的表面積和體積屬于?？键c(diǎn)，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式

和提升計(jì)算能力比較重要。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺(tái)

體的表面積和體積計(jì)算。

試題精講

一、單選題

1.（2024新高考I卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為則圓錐的體

積為（）

A.26兀B.C.6乖inD.96兀

52

2.（2024新高考n卷-7）已知正三棱臺(tái)的體積為石，AB=6,44=2,則4/與平面/8C

所成角的正切值為（）

A?-2B.1C.2D.3

近年真題精選

一、單選題

1.（2022新高考I卷-4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已

知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為"O.Okn?；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為

180.0km2，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升至t]157.5m時(shí),

增加的水量約為（不。2.65）（）

A.1.0xl09m3B.1.2x10sm3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

2.（2022新高考I卷-8）己知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為367，且

34/436，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

■81]「27811「2764]…

A.18,—B.-C.—D.r[i1n8,27]

_4J144」L43_

3.（2022新高考n卷-7）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為36和46，其頂點(diǎn)都在同一球面

上，則該球的表面積為（）

A.IOOTIB.1287rC.1447tD.192兀

二、多選題

4.（2022新高考I卷-9）已知正方體/BCD-&qGA，貝I（）

A.直線與所成的角為90°B.直線與C4所成的角為90°

C.直線8G與平面"?自。所成的角為45°D.直線8G與平面/BCD所成的角為45°

5.（2023新高考I卷-12）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L(zhǎng)8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

6.（2022新高考II卷?“）如圖，四邊形/8CO為正方形，即，平面/BCD,必〃瓦》,48=￡。=2尸8,記

三棱錐E-/CO,F-ABC,尸-/CE的體積分別為匕匕，匕，貝U（）

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

7.（2023新高考n卷-9）已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。，N2為底面直徑，ZAPB=120°,PA=2,

點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角尸-/C-0為45。，貝U.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=242D.△尸NC的面積為G

三、填空題

8.（2023新高考I卷-14）在正四棱臺(tái)/BCD-44GA中，=2,/e=1,/4=&，則該棱臺(tái)的體積

為.

9.（2023新高考II卷-14）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

必備知識(shí)速記

一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)

1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面

所圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體.

2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱

錐.

(1)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.

3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)

叫做正棱臺(tái).

簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

正

斜棱柱四

梭柱棱

柱

長(zhǎng)方體

棱錐一?正棱錐一-正四面體

正

方

正多面體體

二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓

錐.

3、圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái).

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球(球面距離:

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度).

5、由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計(jì)算公式

1、表面積公式

a

一

S正棱臺(tái)=~n(a+d)h+S上+S下

臺(tái)體

S圓臺(tái)-欣丫'2+r2+r'l+r/)

?

球S=4兀N

2、體積公式

/

柱體匕主二S/z

錐體噓=興j\

體

積

臺(tái)體七=^(s+4ss'+S')h

?

4&

球V=—7TR3

3

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：

(1)建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐標(biāo)系.

(2)畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀

圖中畫成平行于O'y',使/x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平平面.

(3)畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變;

在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于了軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一般.可簡(jiǎn)化為“橫不變,

縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去K軸、了'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為VL4.

五、四個(gè)基本事實(shí)

基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

基本事實(shí)2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論③：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7

符號(hào)aC\b=Pa\\bap\a=A,b<^a,A^b

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一

個(gè)平面內(nèi)

七、直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

//

符號(hào)1ualC\oc=Pl\\a

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10

八、平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形a

\r-T

￡17

符號(hào)aIIPp-1a1(3,a[}(3=1

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一

一的一條直線上的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線/與平面a平行，記作/IIa

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果平面外的一條直線和這個(gè)平

l//lx

線II線二>線面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直I】ua>n/〃a

II面線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線線IqLa

平行=>線面平行

如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平a//B'

>na//[3

面1面n線面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)//QU%

II面平面//

3、性質(zhì)定理1（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線和一個(gè)1//a

平面平行，經(jīng)過(guò)這條iu/3，=>/〃/'

線II面二）線1|線a[\/3—l'

直線的平面和這個(gè)平/1

面相交，那么這條直Z

線就和交線平行

H一~?、兩個(gè)平面平行

1、定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和4,若分=。，則aII，

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相

線II面=>交的直線都平行于另一個(gè)a〃B，b///3^>a//f3

//

面II面平面，那么這兩個(gè)平面平行

（簡(jiǎn)記為'線面平行n面面

平行

線J_面=>如果兩個(gè)平面同垂直于一I.La]

卜nallP

面II面條直線，那么這兩個(gè)平面平"J

行/1/

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果兩個(gè)平面平行，那么

面〃面n

在一個(gè)平面中的所有直a!1(3}“

線〃面\na110

線都平行于另外一個(gè)平QU幻

面

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)

和第三個(gè)平面相交，那么Q/a//6]

性質(zhì)定理他們的交線平行（簡(jiǎn)記為aC\/=a>=>a//b.

“面面平行n線面平/3C\y=b

行”）

如果兩個(gè)平面中有一個(gè)

面〃面=>垂直于一條直線，那么另al10}

線，面一個(gè)平面也垂直于這條7/±aJ

直線

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直.

2、判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一條直線與一個(gè)平

1a,bua

面內(nèi)的兩條相交直aVI

判斷定理>=>/J_a

線都垂直，則該直bLl

acb=P

線與此平面垂直y

兩個(gè)平面垂直，則

a10

在一個(gè)平面內(nèi)垂直ac0=a

面1面=>線1面>nb_La

于交線的直線與另bu[3

bLa

一個(gè)平面垂直J

n

一條直線與兩平行

/

平面中的一個(gè)平面alIp

平行與垂直的關(guān)系a10

垂直，則該直線與a.La

另一個(gè)平面也垂直z

兩平行直線中有一gb

條與平面垂直，則a1lb、

平行與垂直的關(guān)系_7>n6_La

另一條直線與該平aLa

面也垂直

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

ab

垂直于同一平面的兩aLa],,

性質(zhì)定理\=a1lb

條直線平行bLa]

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

垂直于同一直線a-La]

垂直與平行的關(guān)系"all。

的兩個(gè)平面平行匚aL(3\

如果一條直線垂

直于一個(gè)平面，則

線垂直于面的性質(zhì)I_La,auan/_LQ

該直線與平面內(nèi)

所有直線都垂直

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂

直.（如圖所示，若ac〃=CD,CO_L/,S^acy=AB,0cy=BE,ABLBE,則a_L6）

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

2、判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理一個(gè)平面過(guò)另一b-La]

卜=>a_L4

bu[\

個(gè)平面的垂線，則上

這兩個(gè)平面垂直7

知識(shí)點(diǎn)6：性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一a工B

個(gè)平面內(nèi)垂直于交acB=a

>=b_La

bu(3

線的直線與另一個(gè)

b.La

平面垂直

十四、直線與平面所成的角

1、定義

①斜線和斜足：如圖，一條直線/與一個(gè)平面a相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的

斜線，斜線和平面的交點(diǎn)/叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)尸向平面a引垂線尸。，過(guò)垂足。和斜足/的

直線NO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所

成的角.

2、直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0。.

②一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90。.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角，的范圍是0°<3<90°.

④直線與平面所成的角。的取值范圍是0。W6W90。.

十五、二面角

1、二面角的定義

①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱為面分別為a,￡的二面角記作二面角a-48-/7,如果棱記作/,那么這個(gè)二面角記作二面角a

-l-p,如圖⑴.

②若在a,6內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P,Q,這個(gè)二面角可記作二面角如果棱記作/,那么這

個(gè)二面角記作二面角尸-/-0,如圖(2).

3、二面角的平面角

①自然語(yǔ)言

在二面角a-//的棱/上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在半平面a和￡內(nèi)分別作垂直于棱/的射線OA和

OB,則射線OA和OB構(gòu)成的乙408叫做二面角的平面角.

②圖形語(yǔ)言

③符號(hào)語(yǔ)言

aCt/3=l,0^1,0A（Za,0B（Z（3,0A±l,>乙4。8叫做二面角a-//的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是0°；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，

規(guī)定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角…的范圍是0。WaW180。.

一、單選題

TT

1.（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長(zhǎng)為2,且母線與底面所成角為?，則該圓錐的側(cè)面積為（）

4

A.瓜B.2兀C.2亞兀D.4兀

2.（2024?河北秦皇島?三模）已知加，"表示兩條不同的直線，1表示平面，則（）

A.若n//a,則加〃7?B.若機(jī)||<7,m,則〃_La

C.若加_La,mLn,貝！J“〃aD.若加_La,〃ua,則

3.（2024?新疆喀什?三模）已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱/BCD-44G2的體積為16,則直線/C與

所成角的余弦值為（）

A2百口石_Vion3廂

551010

4.（2024?山東濰坊?三模）某同學(xué)在勞動(dòng)課上做了一個(gè)木制陀螺，該陀螺是由兩個(gè)底面重合的圓錐組成.已

知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1:2,上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長(zhǎng)之比為

（）

AVioRi「后nVi5

A.b.—C.U.

5225

5.（2024?陜西?三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷器.該龍紋盤敞口,

弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可

近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃

地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：兀的值取3,725,4025-5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

6.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)平行

平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過(guò)

高的中點(diǎn)且平行于底面的平面截?cái)M柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為

%=9MS+4S0+S）,其中S,S'分別是上、下底面的面積，耳是中截面的面積，〃為擬柱體的高.一堆形為擬

柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對(duì)應(yīng)邊平行（如圖），下底面長(zhǎng)20米，寬10米，堆高1米，上底的

長(zhǎng)、寬比下底的長(zhǎng)、寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運(yùn)走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運(yùn)，則至少

需要運(yùn)（）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

A.51車B.52車C.54車D.56車

7.（2024?天津河西?三模）如圖，在三棱柱/8C-44。中，E,廠分別為NC的中點(diǎn)，平面E4G尸將

三棱柱分成體積為匕，匕兩部分，則匕：匕=（）

C,

8.（2024?新疆?三模）設(shè)四棱臺(tái)23CD-/4G。的上、下底面積分別為岳，昆，側(cè)面積為S,若一個(gè)小球

與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（）

A.S?=S&B.S=S,+S2

C.S=2^S^D.#+叵

9.（2024?天津北辰?三模）中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國(guó)家能夠獨(dú)立開展載人

航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月"到古代"萬(wàn)戶飛天"，從詩(shī)詞"九天攬?jiān)?到壁畫"仕女飛天"……千百年來(lái)，中國(guó)人

以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成

由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將

其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

10.（2024?山東泰安?二模）已知四面體/BCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=4拒,平面平面3C。，則該球的表面積是（）

A.40KB.80KC.100兀D.160兀

11.（2024?天津?二模）在如圖所示的幾何體中，底面/BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，AAi,BG,C￡,DD,

均與底面ABCD垂直，且A4=CG=DD、=2BG=46，點(diǎn)E、F分別為線段BC、CC,的中點(diǎn)，記該幾何

體的體積為K，平面/在將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）

12.（2024?江西鷹潭?三模）在菱形/5CD中，AB=2,/C=2百，將沿對(duì)角線/C折起，使點(diǎn)8到

達(dá)9的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐夕-/CD的外接球的表面積為（）

A.5兀B.16兀C.20TID.100兀

二、多選題

13.（2024?山西?三模）將一個(gè)直徑為10cm的鐵球磨制成一個(gè)零件，能夠磨制成的零件可以是（）

A.底面直徑為8cm,高為6cm的圓柱體B.底面直徑為8cm,高為8cm的圓錐體

C.底面直徑為7cm,高為9cm的圓錐體D.各棱長(zhǎng)均為8cm的四面體

14.（2024?浙江?二模）正方體/BCD-44?？谥?，E,尸分別為棱/。和。2的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的

是（

A.4DJ/平面BEF

B.30_1_平面班》

C.異面直線4A與E尸所成角為60°

D.平面8所截正方體所得截面為等腰梯形

15.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體/BCD-44。。的棱長(zhǎng)為1,尸為8a的中點(diǎn)，。為線段/C

上一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.異面直線4尸與4D1所成角為30。