初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：二次函數(shù)與線段和角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題

中考數(shù)學(xué)大題狂練之壓軸大題突破培優(yōu)練

二次函數(shù)與線段和角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題

1.（2020年泰州第26題）

2.（2020年準(zhǔn)安第27題）

3.（2020年常州第28題）

4.（2020年鎮(zhèn)江第28題）

5.（2019年宿遷28題）

（―【真題再現(xiàn)】0

6.（2019年鹽城27題）

7.（2018年常州28題）

專(zhuān)題5二次函8.（2019年蘇州28題）

數(shù)與線段和角9.（2018年無(wú)錫28題）

的數(shù)量關(guān)系問(wèn)

題

【真題再現(xiàn)】

1.（2020年泰州第26題）如圖，二次函數(shù)yi=a（.x-m）2+n,y2=6a^+n（cz<0,m>Q,

力>0）的圖象分別為Cl、Cl,Cl交y軸于點(diǎn)P,點(diǎn)A在Ci上，且位于y軸右側(cè)，直線

以與C2在y軸左側(cè)的交點(diǎn)為B.

（備用圖）

（1）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,Ci的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,求a的值;

（2）設(shè)直線出與y軸所夾的角為a.

①當(dāng)a=45°,且A為Ci的頂點(diǎn)時(shí)，求am的值;

②若a=90°,試說(shuō)明：當(dāng)。、相、”各自取不同的值時(shí)，而的值不變；

(3)若出=2尸8,試判斷點(diǎn)A是否為Ci的頂點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可.

(2)①如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AN_Lx軸于N,過(guò)點(diǎn)尸作PALLAN于M.證明

m,根據(jù)AM+MV=AM+0P=A7V,構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題.

②如圖2中，由題意AB_Ly軸，求出B4,尸2的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

(3))如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作軸于H,過(guò)點(diǎn)尸作PK_LAH于K,過(guò)點(diǎn)8作BE_LKP

交KP的延長(zhǎng)線于E.設(shè)B⑶6ab2+n),由PA=2PB,推出A[-2b,a2b-m)2+n],

,BEPB1一

由BE//AK,推出—=—=推出AK=2BE,由此構(gòu)建關(guān)系式，證明m=-2b即可

AKPA2

解決問(wèn)題.

【解析】(1)由題意m=2,"=4,

.,.yi—a(x-2)2+4,

把(0,2)代入得到。=一/

(2)①如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AMLx軸于N,過(guò)點(diǎn)尸作PM_LAN于

'.P(0,anr+n),

VA(m,n),

:?PM=m,AN—n,

VZAPM=45°,

：.AM=PM=m,

m+am+"=

Vm>0,

??4H2=-1.

VP(0,?m2+n),

當(dāng)y=arr?+n時(shí)，an?+n—6ax^^n，

解得x=±—m,

6

B(-anr'+n),

:?PB=咯加，

9：AP=2m,

PA2m「

而F=2后

6

(3)如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AH_Lx軸于”，過(guò)點(diǎn)P作PK_LAH于K,過(guò)點(diǎn)8作BELLKP

交KP的延長(zhǎng)線于E.

設(shè)5Qb,6〃/十〃)，

*：PA=2PB,

???點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-24

.*.A[-2b,a(-2Z?-m)2+n],

9：BE//AK,

.BEPB1

AK~PA~2"

：.AK=2BE,

:,a(-2/?-m)2+H-am2-n=2(am1+n-6ab^-〃),

整理得：m2-2bm-8Z?2=0,

(m-4Z?)(m+2Z?)=0,

■:m-4/?>0,

m+2/?=0,

?*in~~~2b,

AA(m,n),

???點(diǎn)A是拋物線Ci的頂點(diǎn).

2.(2020年淮安第27題)如圖①，二次函數(shù)y=-/+版+4的圖象與直線/交于4-1,2)、

B(3,")兩點(diǎn).點(diǎn)P是無(wú)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線/于點(diǎn)交該

二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為楊.

(1)b=1,n=-2；

(2)若點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，且MN=3,求機(jī)的值；

(3)將直線AB向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、D(如圖②).

①記△NBC的面積為Si,△N4C的面積為S2,是否存在相，使得點(diǎn)N在直線AC的上

方，且滿(mǎn)足SI-S2=6?若存在，求出能及相應(yīng)的Si,S2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②當(dāng)機(jī)＞-1時(shí)，將線段MA繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MF,連接FB、FC、OA.若

ZFBA+ZAOD-ZBFC^45°,直接寫(xiě)出直線OF與該二次函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【分析】(1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，求出b,進(jìn)而得出二次函數(shù)解析式，

再將點(diǎn)2坐標(biāo)代入二次函數(shù)中，即可求出”的值；

(2)先表示出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而用MN=3建立方程求解，即可得出結(jié)論；

(3)①先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC的解析式，再求出直線BC的解析式，進(jìn)而

表示出Si,S2,最后用SI-S2=6建立方程求出機(jī)的值；

②先判斷出C尸〃。4,進(jìn)而求出直線CF的解析式，再判斷出A尸〃x軸，進(jìn)而求出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)，即可求出直線的解析式，最后聯(lián)立二次函數(shù)解析式，解方程組即可得出結(jié)

論.

【解析】⑴將點(diǎn)A(-1,2)代入二次函數(shù)y=-/+6x+4中，得-1-b+4=2,

???二次函數(shù)的解析式為y=-?+x+4,

將點(diǎn)5(3,〃)代入二次函數(shù)y=-/+x+4中，得幾=-9+3+4=-2,

故答案為：1,-2；

(2)設(shè)直線A5的解析式為由(1)知，點(diǎn)3(3,-2),

VA(-1,2),

.C—k+a=2

**l3/c+a=一2'

.(k=-1

**ta=1

???直線AB的解析式為y=-x+l,

由(1)知，二次函數(shù)的解析式為y=-/+%+4,

??,點(diǎn)尸(m,0),

?\M(m,-m+1),N(m,-m2+m+4),

???點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，且MN=3,

-m2+m+4-(-m+1)=3,

.*.m=0或m=2；

(3)①如圖1,由(2)知，直線AB的解析式為y=-x+1,

工直線CD的解析式為y=-x+l+4=-x+5,

令y=0,則-x+5=0,

?.x=5,

：.C(5,0),

VA(-1,2),B(3,-2),

A直線AC的解析式為產(chǎn)-1x+f,直線BC的解析式為y=x-5,

過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線交AC于K,交BC于H,；點(diǎn)P(n0),

15

:?NQm,一zn9+zn+4),K(m,一可加+可)‘H(m,m-5),

247

n￡--

NK=-m+m+4+33

]]o47、o

?\S2=S^NAC=(XC-X4)=2(~m2+3)X6=-3m2+4m+7,

SI=SANBC=^NHX(XC-XB)=-徵2+9,

VSi-52=6,

-m2+9-(-3m2+4m+7)=6,

.*.m=l+V3(由于點(diǎn)N在直線AC上方，所以，舍去)或m=1-V5；

：.S2=-3m2+4m+7=-3(1-V3)2+4(1-V3)+7=2舊一1,

Si=-m2+9=-(1-V3)2+9=2V3+5：

②如圖2,

記直線AB與x軸，y軸的交點(diǎn)為/,L,

由(2)知，直線AB的解析式為y=-x+1,

：.I(1,0),L(0,1),

OL=OI,

：.ZALD=ZOLI=45°,

AZAOD^-ZOAB=45°,

過(guò)點(diǎn)B作2G〃O4,

，ZABG=ZOAB,

：.ZAOD+ZABG=45°,

:ZFBA=ZABG+ZFBG,ZFBA+ZAOD-ZBFC=45°,

AZABG+ZFBG+ZAOD-ZBFC=45°,

：./FBG=/BFC,

：.BG//CF,

：.OA//CF,

VA(-1,2),

，直線OA的解析式為y=-2x,

VC(5,0),

直線CF的解析式為y=-2尤+10,

過(guò)點(diǎn)A,尸分別作過(guò)點(diǎn)M平行于x軸的直線的垂線，交于點(diǎn)。，S,

由旋轉(zhuǎn)知，AM=MF,ZAMF=9Q°,

,AAMF是等腰直角三角形，

：.ZFAM=45a,

■：ZAIO=45°,

AZFAM=乙4/0,

尸〃x軸，

...點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為2,

：.F(4,2),

，直線OF的解析式為尸占①，

?二次函數(shù)的解析式為》=-f+x+4②,

(1+V65(1-V65

聯(lián)立①②解得,J或J，

1+V651-V65

\y=~8-\y=-8-

'：m>-1,

3.(2020年常州第28題)如圖，二次函數(shù)y=f+6x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作x

軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)8,拋物線過(guò)點(diǎn)C(l,0),且頂點(diǎn)為。，連接AC、BC、

BD、CD.

(1)填空：b=-4；

(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線3。于點(diǎn)。.若NC。。

=ZACB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)E在直線AC上，點(diǎn)E關(guān)于直線3。對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為凡點(diǎn)尸關(guān)于直線2C對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

為G,連接AG.當(dāng)點(diǎn)/在無(wú)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出AG的長(zhǎng).

【分析】(1)將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求解；

(2)分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CELA8于E,設(shè)8。與x軸交

于點(diǎn)R可得點(diǎn)E(l,3),CE=BE=3,AE=1,可得NEBC=NECB=45°,tan/ACE=

AT1

第=6，ZBCF=45°,由勾股定理逆定理可得N8CO=90°,可求/ACE=NDBC,

可得/ACB=NCED,可得點(diǎn)歹與點(diǎn)。重合，即可求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CHLOB于在線段28的延長(zhǎng)線上截取H尸=。8,

連接C。交拋物線于點(diǎn)P,先求直線解析式，點(diǎn)/坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求點(diǎn)。

坐標(biāo)，求出C。解析式，聯(lián)立方程組，可求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為N,作CHLBD于H,過(guò)點(diǎn)N作MNLx軸，過(guò)點(diǎn)E作

EM±MN,連接CG,GF,先求出/CNH=45°,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得￡N=NF,ZENB

Q

=ZFNB=45°,由“AAS”可證AEMNmANKF,可得EM=NK=(MN=KF,可求

CF=6,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得點(diǎn)G坐標(biāo)，即可求解.

【解析】(1)?.?拋物線y=/+bx+3的圖象過(guò)點(diǎn)C(1,0),

；.0=1+6+3,

:?b=-4,

故答案為：-4；

(2)9：b=-4,

.?.拋物線解析式為y=--4x+3

:拋物線y=7-4x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)

B,

.?.點(diǎn)A(0,3),3=X2-4X+3,

.'.xi=0(舍去)，X2=4,

...點(diǎn)B(4,3),

-/y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

頂點(diǎn)。坐標(biāo)(2,-1),

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)D上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CELAB于設(shè)2D與x軸交于點(diǎn)R

圖1

:點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)、B(4,3),點(diǎn)C(1,0),CELAB,

.?.點(diǎn)E(l,3),CE=BE=3,AE=1,

：.ZEBC=ZECB=45°,tanZAC￡=

：.ZBCF=45°,

二點(diǎn)B(4,3),點(diǎn)C(l,0),點(diǎn)。(2,-1),

：.BC=V9T9=3V2,CD=V1T1=V2,BD=V(4-2)2+(3+l)2=2V5,

VBC2+CD2=20=B￡>2,

：.ZBCD^90°,

1

--tanZDBC=BC=^=w=tanZACE,

???NACE=NDBC,

：.NACE+NECB=NDBC+/BCF,

：.NACB=/CFD,

又Y4CQD=/ACB,

...點(diǎn)二與點(diǎn)Q重合,

.,.點(diǎn)P是直線CF與拋物線的交點(diǎn),

.'.0—x1-4x+3,

??XI=1,X2=3,

???點(diǎn)P(3,0)；

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。下方上，過(guò)點(diǎn)。作于X,在線段5H的延長(zhǎng)線上截取族=。H

■:CH1DB,HF=QH,

：?CF=CQ,

：.ZCFD=ZCQD,

：.ZCQD=ZACB,

???點(diǎn)5(4,3),點(diǎn)。(2,-1),

J直線8。解析式為：y=2x-59

一5

，點(diǎn)F(-,0),

2

*,?直線CH解析式為：y=-p

.\y=一尹+5

y=2x—5

(11

解得"飛,

3=一5

11Q

二?點(diǎn)〃坐標(biāo)為(=",—q),

5，

?:FH=QH,

44

--

???直線C。解析式為:33

4,4

聯(lián)立方程組?y=—/+w

y=x2—4%+3

5

2--

得

解3

8

---

29

5

P-

3

58

--

綜上所述：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,39

（3）如圖，設(shè)直線AC與8。的交點(diǎn)為N,作CH_LB￡＞于X,過(guò)點(diǎn)N作MALLx軸，過(guò)

點(diǎn)E作連接CG,GF,

直線AC解析式為：y=-3x+3,

(y=—3x+3

[y=2%—5，

8Q

???點(diǎn)N坐標(biāo)為(二，一亮)，

5。

110

:點(diǎn)”坐標(biāo)為(二，一百，

53

°11o3090118°39cq

：.CH2=(―-1)2+(-)2=：,2=(---)2+(屋+/2=:,

55》5HN5535

：.CH=HN,

：.ZCNH=45°,

??,點(diǎn)E關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為F,

:?EN=NF,ZENB=ZFNB=45°,

:?/ENF=90°,

:./ENM+/FNM=90°,

又?：/ENM+/MEN=90°,

JZMEN=/FNM,

:.AEMN%ANKF(AAS)

9

:?EM=NK=W，MN=KF,

???點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-1，

118

點(diǎn)E(一耳,—

27

：.MN=弋=KF,

.\CF=1+^-1=6,

???點(diǎn)F關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為G,

：.FC=CG=6,ZBCF=ZGCB=45°,

：.ZGCF=90°,

.,.點(diǎn)G(1,6),

：.AG=V12+(6-3)2=V10.

4.(2020年鎮(zhèn)江第28題)如圖①，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,0)且平行于y軸，二次函數(shù)y=a/

-2ax+c(a,c是常數(shù)，a<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,1),交直線/于點(diǎn)N,圖象的頂

點(diǎn)為。，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C,直線DM、DN分別與無(wú)軸相交于A、B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)〃=-1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及成;的值；

AC

(2)隨著。的變化，少的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

BC

(3)如圖②，E是無(wú)軸上位于點(diǎn)B右側(cè)的點(diǎn)，BC=2BE,DE交拋物線于點(diǎn)尺若FB=

FE,求此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式.

【分析】⑴證明△OMGS/\D4C,△DCBsADTN,求出AC=?,BC=|,即可求解;

(2)點(diǎn)ZX1,1-4a),N(4,1+5°),貝I]AfE=2,OE=-4a,由(1)的結(jié)論得：AC=士聿,

-LCL

8C=與力，即可求解；

5512

(3)利用△fWEs\CE,求出/(一——,即可求解.

2jD312a63

【解析】(1)分別過(guò)點(diǎn)M、N作MGLC。于點(diǎn)E,NTLOC于點(diǎn)T,

\'MG//TN//x^,

：.叢DMGs△DAC,/\DCB^/\DTN,

.MGDGBCDC

""AC~DCTN-DT'

a=-1,貝?。輞=-/+2x+c,

將M(-1,1)代入上式并解得：c=4,

拋物線的表達(dá)式為：y=-/+2x+4,

則點(diǎn)。(1,5),N(4,-4),

則MG=2,DG=4,DC=5,TN=3,DT=9,

24BC56s

?解得：AC=2,BC=q,

AC—5'3

AC3

----=—?

BC2'

(2)不變，

理由：?.?尸0?-2依+。過(guò)點(diǎn)M(-1,1),貝!J〃+2〃+c=l,

解得：c—1-3”，

??y=aj^-2ox+(1-3i),

，點(diǎn)D(L1-4。)，N(4,1+5〃)，

：.MG=2,DG=-4a,0c=1-44,FN=3,DF=-9a,

由(1)的結(jié)論得：AC=主要，BC=上券，

-Ztt—DU

.AC3

??一;

BC2

(3)過(guò)點(diǎn)尸作切_Lx軸于點(diǎn)〃，則切〃/,則△尸HES^DCE,

:?BH=HE,

'：BC=2BE,

貝!JCE=6HE,

'：CD=1-4a,

1—4a

：.FH=~~6~

4a—1

9：BC=

3a

...CEHI=-57X-4^a5—1=20a—5

43a12a

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入-2ox+(1-3a)—a(x+1)(%-3)+1得:

125555

—~a4(一一一+1+1)(---+1-3)+1,

63312a312a

解得：〃=-1或，(舍棄),

q4

經(jīng)檢驗(yàn)〃=

十.57,5,19

故y=一平+>+彳?

解法二：VAC：3c=3：2,BC=2BE,

：.AC=CE,

：.AD與DE關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng),

VAD,。石交拋物線于M,F,

：.M,廠關(guān)于直線8對(duì)稱(chēng)，

：.F(3,1),

?12

??一——a—1,

63

??〃=~7?

,,,5o,5,19

故y=-4X+2x+~4'

5.(2019年宿遷28題)如圖，拋物線y=/+b無(wú)+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,

0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖①，連接AC,點(diǎn)尸在拋物線上，且滿(mǎn)足NP4B=2NACO.求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖②，點(diǎn)。為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn),

直線A。、3。分別交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M、N.請(qǐng)問(wèn)。M+ON是否為定值？如果是,

請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)把點(diǎn)4、C坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得6、c的值.

(2)點(diǎn)P可以在x軸上方或下方，需分類(lèi)討論.①若點(diǎn)P在x軸下方，延長(zhǎng)4P至

使AH=AB構(gòu)造等腰△ABH,作BH中點(diǎn)G,即有/E4B=2/A4G=2/ACO,利用ZACO

的三角函數(shù)值，求BG、8”的長(zhǎng)，進(jìn)而求得H的坐標(biāo)，求得直線A〃的解析式后與拋物

線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)尸坐標(biāo).②若點(diǎn)尸在x軸上方，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，AP一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)X

關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)尸坐標(biāo).

(3)設(shè)點(diǎn)。橫坐標(biāo)為f,用/表示直線A。、8N的解析式，把x=-1分別代入即求得點(diǎn)

M.N的縱坐標(biāo)，再求OW、DV的長(zhǎng)，即得到DM+DN為定值.

【解析】(1)?..拋物線y=/+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),C(0,-3)

?f聚c=。解得:『=2

(0+0+c=—3I。=-3

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=/+2x-3

(2)①若點(diǎn)尸在x軸下方，如圖1,

延長(zhǎng)A尸到"使A8=A3,過(guò)點(diǎn)3作3/Lx軸，連接作出/中點(diǎn)G,連接并延長(zhǎng)

4G交8/于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)”作HUB/于點(diǎn)/

,當(dāng).P+2x-3=0,解得：xi=-3,X2=1

：.B(-3,0)

VA(1,0),C(0,-3)

：.OA=l,OC=3,AC=Vl2+32=V10,AB=4

?./""八OA710/“八八OC3710

■?RtZ\AOC中，sin/ACO=，cos/ACO=~JQ-

'：AB=AH,G為①/中點(diǎn)

：.AG±BH,BG=GH

：.ZBAG=ZHAG,即/E4B=2/BAG

,：ZPAB=2ZACO

：.ZBAG=ZACO

/Tn

.?.n△A8G中，ZAGB=90°,sin/ft4G=譚=爵

.?―弗=爭(zhēng)

：.BH=2BG=^^-

'：ZHBI+ZABG=ZABG+ZBAG=90°

???ZHBI=ZBAG=ZACO

：.RtABHI^fZBIH=90°,sinNHB/=焉=挈，cosZHBI=

bibh

二聯(lián)播汨4=^=￥

，砧=一3+仁母，,弋,即打（一春一）

設(shè)直線AH解析式為y=kx+a

k+a=0

11,12

~~5k7+a=~~5

*,?直線AH：y=.

9

X-

2--4

y=4%解得：（即點(diǎn)A）,39

y-

y=%24-2x—32--16

939

_---

?416

②若點(diǎn)尸在x軸上方，如圖2,

在AP上截取AH1=AH,則與X關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

(一11甘—12)

55

設(shè)直線解析式為y=k'x+a'

k7+a/=0k

[-11k'+a'=12解得:

TTa

**?直線AH'：y=-4%+

15

%2二一彳

?.?)=一4久+4解得:（即點(diǎn)幻，

y=/+2%—357

.^=16

1557

：.P(一%—)

416

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-/-瑞）或（-苧，*.

(3)DM+DN為定值

:拋物線y=x2+2x-3的對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=-1

:.D(-1,0),XM=XN=-1

設(shè)。G,尸+2L3)(-3<?<1)

設(shè)直線AQ解析式為y=dx+e

?1d+e=0解得：｛二13

**tdt+e=t2+2t—3

,直線A。：y=(r+3)x-t-3

當(dāng)x=-1時(shí)，yM=-t-3-t-3=-2t-6

：.DM=O-(-2Z-6)=2什6

設(shè)直線BQ解析式為y=mx+n

?f—3m+n=0冷刀汨fm=t—1

imt+n=t2+2t-3牛得，tn=3t—3

，直線5Qy=(Z-1)x+3r-3

當(dāng)x=-1時(shí)，yN=-Z+l+3r-3=2t-2

：.DN=O-(2L2)=-2什2

為定值.

圖1

點(diǎn)睛：本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次

方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用.第（2）題由于不確定點(diǎn)尸位置需分類(lèi)討

論；（2）（3）計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真理清線段之間的關(guān)系再進(jìn)行計(jì)算.

6.（2019年鹽城27題）如圖所示，二次函數(shù)y=k（x-1）2+2的圖象與一次函數(shù)左+2

的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)2在點(diǎn)A的右側(cè)，直線分別與尤、y軸交于C、。兩點(diǎn)，

其中k<0.

(1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)若△OAB是以0A為腰的等腰三角形，求上的值；

(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E,是否存在實(shí)數(shù)總4變得/0DC=2NBEC,

若存在，求出左的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【分析】(1)將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k(x-1)2+2^kx-k+2,即可求解；

(2)分。4=42、兩種情況，求解即可；

(3)求出根=-法-k^Jk2+1,在中，tana==今=k+^Jk2+1=tan/8EC=

爵=人2,即可求解.

【解析】(1)將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k(x-1)2+2=kx-k+2,

解得：x=l和2,

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分別為1和2；

(2)0A="22+1=遮,

①當(dāng)0A=A2時(shí)，

即：1+/=5,解得：k=+2(舍去2)；

②當(dāng)04=02時(shí)，

4+(Z+2)2=5,解得：左=-1或-3；

故人的值為：-1或-2或-3；

(3)存在，理由：

①當(dāng)點(diǎn)8在x軸上方時(shí)，

過(guò)點(diǎn)B作BHLAE于點(diǎn)H,將△AHB的圖形放大見(jiàn)右側(cè)圖形，

過(guò)點(diǎn)A作/的角平分線交28于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)〃作施7,42于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)B作2K,

x軸于點(diǎn)K,

圖中：點(diǎn)A(1,2)、點(diǎn)、B(2,Z+2),貝！JAH=-Z,HB=1,

設(shè)：HM=m=MN,貝(J5M=1-加，

貝ljAN=AH=-k,AB=迎2+i,NB=AB-AN,

222

由勾股定理得：MB=NB+MNf

即：（1-m）2=W+3k2+1+左）2,

解得：m-—必-ky/k2+1,

在△AHM中，tana==g：=Z:+Vfc2+1=tanZBEC==k+2,

解得：k=±V3,

止匕時(shí)Z+2>0,則-2〈kVO,故：舍去正值，

故k=-V3；

②當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，

同理可得：tana=亨%=g=%+7^可不"1=tanNBEC=翳=—（女+2）,

解得：上亨或昔&

—4+

此時(shí)左+2V0,k<-2,故舍去------，

3

故%的值為：—舊或—

點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)綜合應(yīng)用題，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形的知識(shí)，其中（3）,

通過(guò)tan2a求出tana,是此類(lèi)題目求解的一般方法.

7.（2018年常州28題）如圖，二次函數(shù)>=-}/+灰+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）,P是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B、C不重合）.

c3

（1）b=-,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（二，0）；

7C-2

（2）設(shè)直線尸2與直線AC相交于點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PM：MB^l：2?

若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)連接AC、BC,判斷NCAB和NCA4的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出6的值，代入y

=0求出x值，進(jìn)而可得出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)(解法一)代入x=0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待

定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,1^+2),分B、P

在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況考慮，由點(diǎn)8、M的坐標(biāo)結(jié)合PM：MB=1：2即可得

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于根的一元二次方程，解

之即可得出結(jié)論；

(解法二)代入尤=0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系

數(shù)法可求出直線AC的解析式，過(guò)點(diǎn)B作2次〃丁軸交直線AC于點(diǎn)次，過(guò)點(diǎn)P作PP

〃丫軸交直線AC于點(diǎn)P',由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出8次的值，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可

得出PP的值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-1X2-|A+2),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為G,4+2),結(jié)

362

合PP的值可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

(3)(解法一)作NCA4的角平分線，交y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EfUBC于點(diǎn)尸，設(shè)OE

OC1OE

=n,則CE=2-n,EF=n,利用面積法可求出n值，進(jìn)而可得出一=-=——，結(jié)合

OA2OB

ZAOC=90°可證出△AOCs^BOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出NC4O=

ZEBO,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出NCBA=2NE2O=2/C4B,此題得解；

(解法二)將沿y軸對(duì)折，交尤軸于點(diǎn)2',根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)2,

的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AB'=B'C=8C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，

可得出NC54=2NCA2.

【解析】(1)???點(diǎn)A(-4,0)在二次函數(shù)y=-扛2+公+2的圖象上，

—46+2—0,

當(dāng)y=0時(shí)，有一g2-小%+2=0,

解得：xi=-4,X2=I，

3

???點(diǎn)5的坐標(biāo)為（二，0）.

故答案為：Y；（二,0）.

62

（2）（方法一）當(dāng)冗=0時(shí)，y=一獲+2=2,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）.

設(shè)直線AC的解析式為y=h+c?（左W0）,

將A（-4,0）、C（0,2）代入v=fcc+c中，

1

C-Of-

解得

得-c-2

-

C2

一1

工直線AC的解析式為y=g+2.

_1

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,-m+2）.

2

3a3

①當(dāng)點(diǎn)尸、5在直線AC的異側(cè)時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（/一不，-m+3）,

,/點(diǎn)P在拋物線尸-#-1x+2上，

3I33?53

m+3=—9X（-m—7）2—7X（一機(jī)一彳）+2,

4324624

整理，得：12毋+20m+9=0.

VA=202-4X12X9=-32<0,

方程無(wú)解，即不存在符合題意得點(diǎn)尸；

121

②當(dāng)點(diǎn)尸、5在直線AC的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（鼻小+彳，-m+1）,

??,點(diǎn)P在拋物線產(chǎn)-|x+2上，

11137513

m+l=—oX（-m+-r）—yx（-m+-r）+2,

4324624

整理，得：4m^+44m-9=0,

-11+7130

解得:mi=—m2=

22，

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2-等或-2+等.

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2-等或-2+零

綜上所述：存在點(diǎn)P,使得PM：MB=1：2,

q4,

（方法二）當(dāng)x=0時(shí)，v=-lx2-f.r+2=2,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）.

設(shè)直線AC的解析式為y=h+c?（左W0）,

將A（-4,0）、C（0,2）代入v=fcc+c中，

1

C-Of-

得

-解得c-2

-

c2

一1

，直線AC的解析式為y=g+2.

過(guò)點(diǎn)3作3次〃丁軸交直線AC于點(diǎn)8，，過(guò)點(diǎn)尸作PP〃丁軸交直線AC于點(diǎn)P

如圖1-1所示.

3

??,點(diǎn)5的坐標(biāo)為（-，0）,

2

311

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（一，—）,

24

,DDr—1'1'

一甲

9：BB,//PP',

：./\PP'Ms^BB'M,

.PPIPM1

??BB，~BM~2

:.pp'=祟

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,則點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（x,-X+2）,

362

iq11411

oo=

PP=|—QX—z%+2-（-x+2）|—\~x+QX\-Q-,

13623318

解得…=一2-等，也=-2+零，

,存在點(diǎn)尸，使得PM：MB=1：2,點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-2—綽^或-2+綽^

（3）（解法一）/CBA=2/CAB,理由如下：

作/C8A的角平分線，交y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)孔如圖2所示.

3

:點(diǎn)B（-,0）,點(diǎn)C（0,2）,

2

35

OB=OC=2,BC=|.

設(shè)OE=〃，則CE=2-九，EF=n,

由面積法，可知：LOB?CE=3BC?EF,即三(2-n)=^n

2222

解得：n=

OC1OE

*.*—=-=—,ZAOC=90°=/BOE,

OA2OB

：.XAOCsXBOE,

：.ZCAO=ZEBOf

???ZCBA=2ZEBO=2ZCAB.

(解法二)ZCBA=2ZCAB,理由如下：

將8c沿y軸對(duì)折，交x軸于點(diǎn)次，如圖3所示.

3

???點(diǎn)8(-,0),點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)A(-4,0),

:?點(diǎn)、B'(—2?0),

：.AB'=一|一(-4)=|,B'C=J22+(|)z=|,

：.AB'=B'C=BC,

：.ZCAB=ZACB',NCBA=/CB'B.

"：ZAB'B=NCAB+NACB',

：.ZCBA=2ZCAB.

點(diǎn)睛：題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形

的面積、勾股定理、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出b的值；（2）（解

法一）分8、P在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況找出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；（解法二）利用相似

三角形的性質(zhì)找出PP'=~（3）（解法一）構(gòu)造相似三角形找出兩角的數(shù)量關(guān)系；（解

法二）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角性質(zhì)找出NCA4=2NC4艮

8.（2019年蘇州28題）如圖①，拋物線y=-x?+（a+1）x-a與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A

位于點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.已知△ABC的面積是6.

（1）求a的值；

（2）求△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)；

（3）如圖②，尸是拋物線上一點(diǎn)，Q為射線C4上一點(diǎn)，且尸、。兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，

。、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為d,AQPB的面積為2d,

且/出。=/4。3,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】(1)由y—-x2+(a+1)x-a,令y=0,即-x2+(a+1)x-a—0,可求出A、B

坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積，解出a=-3；(2)三角形外接圓圓心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

求出兩邊垂直平分線，解交點(diǎn)可求出；

(3)作PMLx軸，則SAB4P=/B?PM=ix4d由&PQB=S△出B可得A、Q到PB的距

離相等，得到A?！ㄊ?,求出直線PB的解析式，以拋物線解析式聯(lián)立得出點(diǎn)P坐標(biāo)，由

于APB。絲△ABP,可得PQ=AB=4,利用兩點(diǎn)間距離公式，解出相值.

【解析】(1)Vy=-/+(a+1)x-a

令y=0,即-7+(a+1)尤-a=0

解得xi=a,%2=1

由圖象知：a<0

：.A(a,0),B(1,0)

?S/\ABC=^

1

(1-a)(-a)=6

解得：a--3,(a=4舍去)

(2)VA(-3,0),C(0,3),

：.OA=OC,

；?線段AC的垂直平分線過(guò)原點(diǎn),

線段AC的垂直平分線解析式為：>=-尤,

;由A(-3,0),B(1,0),

線段AB的垂直平分線為》=-1

將尤=-1代入y=-x,

解得：y=l

.?.△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)(-1,1)

(3)作PMlx軸交x軸于M,則S^BAP=^AB-PM=1X4d

S^PQB=SAPAB

，A、。到尸8的距離相等，

：.AQ//PB

設(shè)直線尸2解析式為：y=x+b

;直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0)

所以：直線PB的解析式為y=x-1

聯(lián)立,=—/2X+3

iy=x—1

解得：g:::

???點(diǎn)尸坐標(biāo)為(-4,-5)

又?.,NB4Q=NAQB,

:?/BPA=/PBQ,

：.AP=QB,

在△P5Q與△5B4中，

AP=QB

Z-BPA=(PBQ,

PB=BP

名△ABP(SAS),

：.PQ=AB=4

設(shè)Q(徵，m+3)

由尸。=4得：

(m+4)2+(m+3+5)2=42

解得：m=-4,m=-8(當(dāng)加=-8時(shí)，NB4QWNAQB,故應(yīng)舍去)

Q坐標(biāo)為（-4,-1）

點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，拋物線