萊蕪市市級(jí)2024年中考數(shù)學(xué)四模試卷（含解析）

萊蕪市市級(jí)名校2024年中考數(shù)學(xué)四模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.已知反比例函數(shù)y=1下列結(jié)論正確的是（）

X

A.圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,1）B.圖像在第一、三象限

C.y隨著x的增大而減小D.當(dāng)x>l時(shí)，y<l

2.如圖，已知直線AB//CD,點(diǎn)E,F分別在AB、CD上，ZCFE:ZEFB=3:4,如果NB=40。，那么/3石尸=

A.20°B.40°C.60°D.80°

3.已知A（xi,yi）,B（X2,y2）是反比例函數(shù)y=?k#0）圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)xi<X2<0時(shí)，yi>y2,那么一次函數(shù)y=kx

-k的圖象不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.如圖，A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，5點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，尸點(diǎn)是直徑ATN上一動(dòng)點(diǎn)，。。的半徑為1,則AP+

BP的最小值為

A.1B.C.72D.73-1

2

5.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2018年1月18日公布,2017年我國(guó)GDP總量為827122億元,首次登上80萬(wàn)億元的門(mén)檻,數(shù)據(jù)827122

億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.8.27122xl012B.8.27122xl013C.0.827122xl014D.8.27122xl014

6.一、單選題

如圖，AABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分另U是NBAC、NABC的平分線，ZBAC=50°,NABC=60。，則

ZEAD+ZACD=()

C

A.75°B.80°C.85°D.90°

x21

7.分式方程;~下一一二=1的解為()

(x+l)X+1

2

A.x=lB.x=0C.x=-----D.x=-1

3

8.方程x2-4x+5=0根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

ab2(b>0)

9.定義運(yùn)算“※”為：aXb=<，如：珠(-2)=-lx(-2)2=-1.則函數(shù)y=2^x的圖象大致是()

-ab2(b<0)

10.某幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，其主視圖與左視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體最少有

()

左視圖主視圖

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

11.已知拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于(xi,0)、(X2,0)兩點(diǎn),且OvxKl,1〈X2<2與y軸交于(0,-2),下列結(jié)論:

①2a+b>l；②a+b<2；③3a+b>0；@a<-l,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

12.下列計(jì)算，結(jié)果等于a”的是()

A.a+3aB.a5-aC.(a2)2D.a8-j-a2

二、填空題：(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.)

13.如圖所示，某辦公大樓正前力有一根高度是15米的旗桿ED,從辦公樓頂點(diǎn)A測(cè)得族桿頂端E的俯角a是45。，

旗桿底端D到大樓前梯坎底端C的距離DC是20米，梯坎坡長(zhǎng)BC是13米，梯坎坡度i=l：2.4,則大樓AB的高度

14.在平面直角坐標(biāo)系中，智多星做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點(diǎn)出發(fā)，第1步向上走1個(gè)單位，第2步向上

走2個(gè)單位，第3步向右走1個(gè)單位，第4步向上走1個(gè)單位……依此類(lèi)推，第n步的走法是：當(dāng)n被3除，余數(shù)為

2時(shí)，則向上走2個(gè)單位；當(dāng)走完第2018步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是

15.一次函數(shù)丫=(k-3)x-k+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限.則k的取值范圍是.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，。尸的圓心是(2,a)(a>2),半徑為2,函數(shù)y=x的圖象被。尸截得的弦45的長(zhǎng)為26,

則a的值是.

17.如圖，當(dāng)半徑為30cm的轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)120。角時(shí)，傳送帶上的物體A平移的距離為<

18.某廣場(chǎng)要做一個(gè)由若干盆花組成的形如正六邊形的花壇，每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>l）盆花，設(shè)這個(gè)花壇

邊上的花盆的總數(shù)為S,請(qǐng)觀察圖中的規(guī)律：

■——...??-一

/<,??<?/、

/\/、*\

\/??'、、▼

\/\.

?.....?

n=2,S=6n=3,S=12n=4,S=18

按上規(guī)律推斷，S與n的關(guān)系是.

三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19.（6分）爸爸和小芳駕車(chē)去郊外登山，欣賞美麗的達(dá)子香（興安杜鵑），到了山下，爸爸讓小芳先出發(fā)6min,然后

他再追趕，待爸爸出發(fā)24min時(shí)，媽媽來(lái)電話，有急事，要求立即回去.于是爸爸和小芳馬上按原路下山返回（中間

接電話所用時(shí)間不計(jì)），二人返回山下的時(shí)間相差4min,假設(shè)小芳和爸爸各自上、下山的速度是均勻的，登山過(guò)程中

小芳和爸爸之間的距離s（單位：m）關(guān)于小芳出發(fā)時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)圖象如圖，請(qǐng)結(jié)合圖象信息解答下列

問(wèn)題：

（1）小芳和爸爸上山時(shí)的速度各是多少？

（2）求出爸爸下山時(shí)CD段的函數(shù)解析式；

（3）因山勢(shì)特點(diǎn)所致，二人相距超過(guò)120m就互相看不見(jiàn)，求二人互相看不見(jiàn)的時(shí)間有多少分鐘？

20.（6分）今年，我國(guó)海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動(dòng)，堅(jiān)決把“洋垃圾”拒于國(guó)門(mén)之外.如圖，某天我國(guó)一艘海

監(jiān)船巡航到A港口正西方的5處時(shí)，發(fā)現(xiàn)在3的北偏東60。方向，相距150海里處的C點(diǎn)有一可疑船只正沿C4方向

行駛，C點(diǎn)在A港口的北偏東30。方向上，海監(jiān)船向4港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出，在。處

成功攔截可疑船只，此時(shí)。點(diǎn)與8點(diǎn)的距離為750海里.

（1）求3點(diǎn)到直線CA的距離；

（2）執(zhí)法船從A到。航行了多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）

21.(6分)如圖，已知一次函數(shù)y=；x+m的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),與二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象交于y

軸上一點(diǎn)B,該二次函數(shù)的頂點(diǎn)C在x軸上，且OC=L

(1)求點(diǎn)B坐標(biāo)；

(1)求二次函數(shù)y=ax1+bx+c的解析式；

(3)設(shè)一次函數(shù)y=[x+m的圖象與二次函數(shù)y=ax】+bx+c的圖象的另一交點(diǎn)為D,已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.(8分)如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分另U在OA,OC±.

⑴給出以下條件；①OB=OD,②N1=N2,?OE=OF,請(qǐng)你從中選取兩個(gè)條件證明△BEOg△DFO；

⑵在⑴條件中你所選條件的前提下，添加AE=CF,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

23.(8分)先化簡(jiǎn)，再求值：(1--)vX-+6r+9＞其中x=L

x+1X-1

24.(10分)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+l=L

(1)當(dāng)b=a+2時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況；

(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出一組滿足條件的a,b的值，并求此時(shí)方程的根.

25.(10分)如圖，在AABC,AB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,且BF是。O的切線，BF

交AC的延長(zhǎng)線于F.

(1)求證：ZCBF=1ZCAB.(2)若AB=5,sinZCBF=—,求BC和BF的長(zhǎng).

25

26.(12分)某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批30瓦的LED燈泡和普通白熾燈泡進(jìn)行銷(xiāo)售，其進(jìn)價(jià)與標(biāo)價(jià)如下表:

LED燈泡普通白熾燈泡

進(jìn)價(jià)(元)4525

標(biāo)價(jià)(元)6030

(1)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個(gè)，LED燈泡按標(biāo)價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售，而普通白熾燈泡打九折銷(xiāo)售，當(dāng)

銷(xiāo)售完這批燈泡后可獲利3200元，求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為多少個(gè)？

(2)由于春節(jié)期間熱銷(xiāo)，很快將兩種燈泡銷(xiāo)售完，若該商場(chǎng)計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)這兩種燈泡120個(gè)，在不打折的情況下，請(qǐng)

問(wèn)如何進(jìn)貨，銷(xiāo)售完這批燈泡時(shí)獲利最多且不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的30%,并求出此時(shí)這批燈泡的總利潤(rùn)為多少元？

27.(12分)如圖1,在RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC=2,點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB±,AD=DE=-AB,連接

2

DE.將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為0.

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

BE

①當(dāng)0=0。時(shí)，—=；

BE

②當(dāng)8=180。時(shí)，—=.

(2)拓展探究

BF

試判斷：當(dāng)0。4)<360。時(shí)，布的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

(3)問(wèn)題解決

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE的最大值為；

②當(dāng)AADE旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD的長(zhǎng)為.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、B

【解析】

分析：直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而分析得出答案.

詳解：A.反比例函數(shù)產(chǎn),，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,-1）,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

X

B.反比例函數(shù)產(chǎn)工，圖象在第一、三象限，故此選項(xiàng)正確；

X

C.反比例函數(shù)產(chǎn)每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

X

D.反比例函數(shù)y=L當(dāng)Q1時(shí)，0<J<1,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

x

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得NCEB的度數(shù)，再根據(jù)NCFE:NEEB=3:4以及平行線的性質(zhì)，即可得出々及'的度數(shù).

【詳解】

VAB//CD,NAM=40°,

?*.Z.CFB=180°—N3=140°,

,：ZCFE:ZEFB=3:4,

3

:.ZCFE=-ZCFB=60°,

7

AB//CD,

:.ZBEF=ZCFE=60°，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，且內(nèi)錯(cuò)角相等.

3、B

【解析】

試題分析：當(dāng)xiVx2Vo時(shí)，yi>y2,可判定k>0,所以-kVO,即可判定一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、

四象限，所以不經(jīng)過(guò)第二象限，故答案選B.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

4、C

【解析】

作點(diǎn)A關(guān)于拉N的對(duì)稱點(diǎn)4,連接3,交于點(diǎn)P,貝!J24+PB最小，

連接OA'^A'.

?.?點(diǎn)4與￡關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn),

:.ZA'ON=ZAON^60°,PA=PA',

???點(diǎn)5是弧AN八的中點(diǎn)，

:.NBON=30°,

:.ZA'OB=ZA'ON+ZBON=9Q°,

又?.?OA=Q4，=1,

：.A'B=y/2

:.PA+PB^PA'+PB^A，B=72

故選：C.

5、B

【解析】

由科學(xué)記數(shù)法的定義可得答案.

【詳解】

解：827122億即82712200000000,用科學(xué)記數(shù)法表示為8.27122xl013,

故選B.

【點(diǎn)睛】

科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為ax10"(1W時(shí)＜10且n為整數(shù)).

6、A

【解析】

分析：依據(jù)AD是BC邊上的高，ZABC=60°,即可得到NBAD=30。，依據(jù)NBAC=50。，AE平分NBAC,即可得到

ZDAE=5°,再根據(jù)△ABC中，ZC=1800-ZABC-ZBAC=70°,可得NEAD+NACD=75。.

詳解：；AD是BC邊上的高，NABC=60。，

/.ZBAD=30°,

VZBAC=50°,AE平分NBAC,

/.ZBAE=25°,

/.ZDAE=30°-25°=5°,

VAABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,

:.ZEAD+ZACD=5°+70o=75°,

故選A.

點(diǎn)睛：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180。.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義

的運(yùn)用.

7、C

【解析】

首先找出分式的最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)而去分母，再解分式方程即可.

【詳解】

解：去分母得：

x2-x-l=(x+1)2,

整理得：-3x-2=0,

2

解得：x=--,

3

2

檢驗(yàn)：當(dāng)x=--時(shí),(x+1)2#0,

3

2

故*=--是原方程的根.

3

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了解分式方程的解法，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵.

8,D

【解析】

解：曾可，b=-4,c=5,

/.△=b2-4ac=(-4)2-4x1x5=-4<0,

所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

9、C

【解析】

ab1(b>0)

根據(jù)定義運(yùn)算“※”為:aXb=可得y=2Xx的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)圖象.

-ab2(b<0y

【詳解】

2x2(%>0)

解:尸2Xx=?

-2x2(x<0)

當(dāng)x>0時(shí),圖象是y=2V對(duì)稱軸右側(cè)的部分;

當(dāng)x<0時(shí),圖象是y=-2x2對(duì)稱軸左側(cè)的部分,

所以C選項(xiàng)是正確的.

【點(diǎn)睛】

ab2(b>0)

本題考查了二次函數(shù)的圖象，利用定義運(yùn)算“※”為:aXb=

-ab2(b<0)

得出分段函數(shù)是解題關(guān)鍵.

10、B

【解析】

由主視圖和左視圖確定俯視圖的形狀，再判斷最少的正方體的個(gè)數(shù).

【詳解】由主視圖和左視圖可確定所需正方體個(gè)數(shù)最少時(shí)俯視圖（數(shù)字為該位置小正方體的個(gè)數(shù)）為:

俯視圜

則搭成這個(gè)幾何體的小正方體最少有5個(gè),

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，根據(jù)主視圖和左視圖畫(huà)出所需正方體個(gè)數(shù)最少的俯視圖是關(guān)鍵.

【詳解】

請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

【點(diǎn)睛】

請(qǐng)?jiān)诖溯斎朦c(diǎn)睛！

11、A

【解析】

如圖，0<西<1,1<%<2

且圖像與y軸交于點(diǎn)(0,-2),

可知該拋物線的開(kāi)口向下，即a<0,c=-2

①當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b-2<Q

4Q+2/?<22a+b<l

故①錯(cuò)誤.

②由圖像可知，當(dāng)％=1時(shí)，y>0

：?cL'\-b—2>0

,a+b>2

故②錯(cuò)誤.

③?.?0<XJ<L1<X2<2

工IV玉+X2<3,

又;Xj+x2——，

a

a

:-a<b<-3a,

:.3Q+Z?V0,

故③錯(cuò)誤；

(4)V0<再％2<2,x,x=—<2,

2a

又丁c=-29

：?a<—1.

故④正確.

故答案選A.

本題考查二次函數(shù)y^ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)的確定由拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)確定.

12、C

【解析】

根據(jù)同底數(shù)塞的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；同底數(shù)塞的乘法法則：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；塞的

乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

A.a+3a=4a,錯(cuò)誤；

B./和。不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.（a2）2=a4,正確；

D.a8-ra2=a6,錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同底數(shù)幕的乘除法，以及塞的乘方，關(guān)鍵是正確掌握計(jì)算法則.

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13、42

【解析】

延長(zhǎng)AB交DC于H,作EG_LAB于G,貝!jGH=DE=15米，EG=DH,設(shè)BH=x米，貝！|CH=2.4x米，在RtABCH中,

BC=13米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=5米，CH=12米，得出BG、EG的長(zhǎng)度，證明AAEG是等腰直角

三角形，得出AG=EG=12+20=32（米），即可得出大樓AB的高度.

【詳解】

延長(zhǎng)AB交DC于H,作EGLAB于G,如圖所示：

貝?。軬H=DE=15米，EG=DH,

???梯坎坡度i=l：2.4,

ABH：CH=1：2.4,

設(shè)BH=x米，則CH=2.4x米，

在R3BCH中，BC=13米，

由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132,

解得：x=5,

；.BH=5米，CH=12米，

/.BG=GH-BH=15-5=10（米），EG=DH=CH+CD=12+20=32（米），

,:Za=45°,

.,.ZEAG=90°-45o=45°,

.,.△AEG是等腰直角三角形，

,\AG=EG=32（米），

AAB=AG+BG=32+10=42（米）；

故答案為42

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度、俯角問(wèn)題；通過(guò)作輔助線運(yùn)用勾股定理求出BH,得出EG是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

14、（672,2019）

【解析】分析：按照題目給定的規(guī)則，找到周期，由題意可得每三步是一個(gè)循環(huán)，所以只需要計(jì)算2018被3除，就可

以得到棋子的位置.

詳解：

解：由題意得，每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右1個(gè)單位，向上3個(gè)單位，

：2018+3=672…2,

二走完第2018步，為第673個(gè)循環(huán)組的第2步，

所處位置的橫坐標(biāo)為672,

縱坐標(biāo)為672x3+3=2019,

二棋子所處位置的坐標(biāo)是(672,2019).

故答案為：(672,2019).

點(diǎn)睛：周期問(wèn)題解決問(wèn)題的核心是要找到最小正周期，然后把給定的數(shù)(一般是一個(gè)很大的數(shù))除以最小正周期，余

數(shù)是幾，就是第幾步，特別余數(shù)是1,就是第一步，余數(shù)是0,就是最后一步.

15、k>3

【解析】

%—3>0

分析：根據(jù)函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限列出不等式組1,°八通過(guò)解該不等式組可以求得上的取值范圍.

—左+2<0,

詳解：???一次函教尸(-3)xi+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，

%—3>0

*

\-k+2<0,

解得，A>3.

故答案是：k>3.

點(diǎn)睛：此題主要考查了一次函數(shù)圖象，一次函數(shù)y=丘+人的圖象有四種情況：

①當(dāng)%>03>0時(shí)，函數(shù)>=履+6的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；

②當(dāng)上>03<0時(shí)，函數(shù)>=履+6的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；

③當(dāng)上<03>0時(shí)，函數(shù)丫=履+6的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；

④當(dāng)左<0力<0時(shí)，函數(shù)>=丘+力的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限.

16、2+^/2

【解析】

試題分析：過(guò)P點(diǎn)作PELAB于E,過(guò)P點(diǎn)作PC_Lx軸于C,交AB于D,連接PA.

VPE±AB,AB=2四，半徑為2,

.,.AE=-AB=V3，PA=2,根據(jù)勾股定理得：PE=1,

2

點(diǎn)A在直線y=x上，

.\ZAOC=45°,

VZDCO=90°,

.,.ZODC=45°,

--.△OCD是等腰直角三角形，

.\OC=CD=2,

.,.ZPDE=ZODC=45°,

:.ZDPE=ZPDE=45°,

，DE=PE=1,

.?.PD=0

V（DP的圓心是（2,a）,

，a=PD+DC=2+也.

本題主要考查的就是垂徑定理的應(yīng)用以及直角三角形勾股定理的應(yīng)用，屬于中等難度的題型.解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就

是在于作出輔助線，將所求的線段放入到直角三角形中.本題還需要注意的一個(gè)隱含條件就是：直線y=x或直線y=-x

與x軸所形成的銳角為45。，這一個(gè)條件的應(yīng)用也是很重要的.

17、20n

【解析】

解：120"——=20nc?i.故答案為20ncm.

180

18、S=ln-1

【解析】

觀察可得，n=2時(shí)，S=l；

n=3時(shí)，S=l+(3-2)xl=12；

n=4時(shí)，S=l+(4-2)xl=18；

???；

所以，S與n的關(guān)系是：S=l+(n-2)xl=ln-l.

故答案為S=ln-1.

【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，

是按照什么規(guī)律變化的.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19、(1)小芳上山的速度為20m/min,爸爸上山的速度為28m/min；(2)爸爸下山時(shí)CD段的函數(shù)解析式為y=12x-

288(24<x<40)；(3)二人互相看不見(jiàn)的時(shí)間有7.1分鐘.

【解析】

分析：(1)根據(jù)速度=路程+時(shí)間可求出小芳上山的速度；根據(jù)速度=路程+時(shí)間+小芳的速度可求出爸爸上山的速度；

(2)根據(jù)爸爸及小芳的速度結(jié)合點(diǎn)C的橫坐標(biāo)(6+24=30),可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)比點(diǎn)E少4可得出

點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出CD段的函數(shù)解析式；

(3)根據(jù)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出DE段的函數(shù)解析式，分別求出CD、DE段縱坐標(biāo)大于120時(shí)x的取

值范圍，結(jié)合兩個(gè)時(shí)間段即可求出結(jié)論.

詳解：(1)小芳上山的速度為120+6=20(m/min),

爸爸上山的速度為120+(21-6)+20=28(m/min).

答：小芳上山的速度為20m/min,爸爸上山的速度為28m/min.

(2)V(28-20)x(24+6-21)=72(m),

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(30,72)；

,二人返回山下的時(shí)間相差4min,44-4=40(min),

.??點(diǎn)D的坐標(biāo)為(40,192).

設(shè)爸爸下山時(shí)CD段的函數(shù)解析式為y=kx+b,

將C(30,72)、D(40,192)代入y=kx+b,

’30左+匕=72,\左=12

,“c,,解得：\

40k+b=192[b=-228

答：爸爸下山時(shí)CD段的函數(shù)解析式為y=12x-288(24<x<40).

(3)設(shè)DE段的函數(shù)解析式為y=mx+n,

將D(40,192)、E(44,0)代入y=mx+n,

40m+n=192[m=-48

\c，解得：1>

44-m+n=0[”=2112

ADE段的函數(shù)解析式為y=-48x+2112(40<x<44).

當(dāng)y=12x-288>120時(shí)，34<x<40；

當(dāng)y=-48x+2112>120時(shí)，40<x<41.1.

41.1-34=7.1(min).

答：二人互相看不見(jiàn)的時(shí)間有7.1分鐘.

點(diǎn)睛：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：

(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算；(2)根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出CD段的函數(shù)解析式；(3)利用一次

函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別求出CD、DE段縱坐標(biāo)大于120時(shí)x的取值范圍.

20、（1）3點(diǎn)到直線CA的距離是75海里；（2）執(zhí)法船從A到O航行了（75-256）海里.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)8作377,CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)77,根據(jù)三角函數(shù)可求37/的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)勾股定理可求在RtAAB"中，根據(jù)三角函數(shù)可求進(jìn)一步得到AO的長(zhǎng).

【詳解】

解：（1）過(guò)點(diǎn)3作交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

；NM5C=60。，

/.ZCBA=30°,

?.?/MW=30。，

AZBAC=120°,

,*.ZBCA=180°-ZBAC-ZCBA=3Q°,

.*.BH=BCxsinZBCA=150x-=75（海里）.

2

答：B點(diǎn)到直線CA的距離是75海里；

（2）;BD=756海里,88=75海里，

:.DH=《BD?-BH?=75（海里），

?.?/R4H=180。-ZBAC=60°,

BH

在RtAAB”中，tanZBAH^——=石，

AH

:.AH=256,

：.AD=DH-AH=（75-2573）（海里）.

答：執(zhí)法船從A到。航行了（75-25g）海里.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.能合理構(gòu)造直角三角形，并利用方向角求得三角

形內(nèi)角的大小是解決此題的關(guān)鍵.

21>(1)B(0,1)；(1)y=0.5xJ-lx+1；(3)Pi(1,0)和Pi(7.15,0)；

【解析】

(1)根據(jù)y=0.5x+m交x軸于點(diǎn)A,進(jìn)而得出m的值，再利用與y軸交于點(diǎn)B,即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；(1)二次函數(shù)

y=axi+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C,且OC=1.得出可設(shè)二次函數(shù)y=ax1+bx+c=a(x-1)1,進(jìn)而求出即可;

(3)根據(jù)當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，分別利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出即可.

【詳解】

(1),.,y=；x+l交x軸于點(diǎn)A(-4,0),

/.0=—x(-4)+m,

2

m=l,

與y軸交于點(diǎn)B,

".'x=0,

?'?y=l

?\B點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,1),

(1),??二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C,且OC=1

...可設(shè)二次函數(shù)y=a(x-1)1

把B(0,1)代入得：a=0.5

二次函數(shù)的解析式：y=0.5xi-lx+1；

(3)(I)當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作BPi±AD交x軸于Pi點(diǎn)

由RtAAOBSRSBOPI

,AOBO

??茄—訪’

.4_2

-I—訪，

得：OPi=l,

APi(1,0),

(II)作PiDJ_BD,連接BPi,

將y=0.5x+l與y=0.5x1-lx+1聯(lián)立求出兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)：

D點(diǎn)坐標(biāo)為:(5,4.5),

貝!)AD=述，

2

當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)

VZDAPi=ZBAO,ZBOA=ZADPi,

/.△ABO^AAPID,

AB_AO述=^_

,瓦=15，A與W5，

2

解得：APi=11.15,

則OPi=11.15-4=7.15,

故Pi點(diǎn)坐標(biāo)為(7.15,0)；

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為:Pi(1,0)和Pi(7.15,0).

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及求函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)和相似三角形的與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知進(jìn)行分類(lèi)討論得

出所有結(jié)果，注意不要漏解.

22、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）選取①②，利用ASA判定△BE。名△￡）尸。；也可選取②③，利用AAS判定△BEO絲△。尸。；還可選

?、佗郏肧AS判定△BEO會(huì)/\DFO；

（2）根據(jù)ABE。g△。尸?？傻肊O=P。，BO=DO,再根據(jù)等式的性質(zhì)可得AO=CO,根據(jù)兩條對(duì)角線互相平分的

四邊形是平行四邊形可得結(jié)論.

試題解析：

證明：（1）選取①②，

Z1=Z2

,在△BEO和4DFO中

ZEOB=ZFOD

：./\BEO^/\DFO(ASA)；

(2)由(1)得：XBEOmADFO,

:.EO=FO,BO=DO,

'：AE=CF,

:.AO=CO,

，四邊形ABCD是平行四邊形.

點(diǎn)睛：此題主要考查了平行四邊形的判定，以及全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行

四邊形.

1

23、一?

5

【解析】

原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把X的值代入

計(jì)算即可求出值.

【詳解】

2x+2—x+1(x+l)(x—1)x+3(x+l)(x—1)x-1

22

八x+1(x+3)x+1(x+3)x+3

當(dāng)x=i時(shí)，原式=?--=-.

2+35

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

24、(2)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)b=-2,a=2時(shí)，x2=x2=-2.

【解析】

分析：(2)求出根的判別式A=〃-4ac，判斷其范圍，即可判斷方程根的情況.

(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△=土紇=0,寫(xiě)出一組滿足條件的。，b的值即可.

詳解：(2)解：由題意：awO.

2

A=Z?—4-ac=(a+2)一—4a=+4>0,

...原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)答案不唯一，滿足A?—4ac=0(a/0)即可，例如：

解：令4=1,b=-2,貝！J原方程為x?—2x+l=0，

解得：X]=%—1?

點(diǎn)睛：考查一元二次方程ax2+bx+c=Q（a^0）根的判別式\=b2-^ac，

當(dāng)A=〃—4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)A=〃—4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)/=〃—4ac<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

on

25、（1）證明略；（2）BC=2五，BF=—.

3

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)AE.有AB是。O的直徑可得NAEB=90。再有BF是。O的切線可得BFLAB,利用同角的余角相

等即可證明；

（2）在RtAABE中有三角函數(shù)可以求出BE,又有等腰三角形的三線合一可得BC=2BE,

過(guò)點(diǎn)C作CG_LAB于點(diǎn)G.可求出AE,再在RtAABE中，求出sinN2,cosN2.然后再在RtACGB中求出CG,最后

證出AAGC^AABF有相似的性質(zhì)求出BF即可.

試題解析：

(1)證明：連結(jié)AE.YAB是。O的直徑，...NAEB=90。，/.Zl+Z2=90°.

YBF是。O的切線，；.BF_LAB,/.ZCBF+Z2=90°..\ZCBF=Z1.

,/AB=AC,NAEB=90。，：.Z1=-ZCAB.

2

/.ZCBF=-ZCAB.

2

(2)解：過(guò)點(diǎn)C作CG_LAB于點(diǎn)G.：sinNCBF=g,Z1=ZCBF,.*.sinNl=^^.

5

VZAEB=90°,AB=5..>.BE=ABsinZl=V?.

VAB=AC,ZAEB=90°,.,.BC=2BE=275.

在RtZkABE中，由勾股定理得AE=一3彥=2亞.

..2^5/_V5

..sinZ2=-----,cosZ2=——?

55

在R3CBG中，可求得GC=4,GB=2.AAG=3.

VGC/7BF,.,.△AGC^AABF.—=—,

BFAB

.GCAB20

AG3

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)，相似的性質(zhì)，勾股定理.

26、(1)LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為200個(gè)和100個(gè)；(2)1350元.

【解析】

1)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡x個(gè)，普通白熾燈泡的數(shù)量為y個(gè)，利用該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了LED燈泡與普通白熾燈泡共300

個(gè)和銷(xiāo)售完這批燈泡后可以獲利3200元列方程組，然后解方程組即可；

(2)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)普通白熾燈泡(120-a)個(gè)，這批燈泡的總利潤(rùn)為W元，利用利潤(rùn)的意義

得到W=(60-45)a+(30-25)(120-a)=10a+l,再根據(jù)銷(xiāo)售完這批燈泡時(shí)獲利最多且不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的30%可確定a

的范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

【詳解】

x+y=300

(1)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡x個(gè)，普通白熾燈泡的數(shù)量為y個(gè).根據(jù)題意，得’，八

〔(60-45)x+(0.9X30-25)y=3200

[x=200

解得《

[y=100

答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為200個(gè)和100個(gè).

(2)設(shè)該商場(chǎng)再次購(gòu)進(jìn)LED燈泡a個(gè)，這批燈泡的總利潤(rùn)為W元.則購(gòu)進(jìn)普通白熾燈泡(120-a)個(gè).根據(jù)題意得

W=(60-45)a+(30-25)(120-a)=10a+l.

V10a+l<[45a+25(120-a)]x30%