人教版初中八年級數(shù)學(xué)上冊同步講義-分式方程（解析版）

第04講分式方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握分式方程的概念、能夠熟練的判斷分式方程，并

①分式方程的概念

根據(jù)分式方程的概念求值。

②解分式方程

2.掌握解分式方程的方法并能夠熟練的解分式方程。

③分式方程的實(shí)際應(yīng)用

3.能夠熟練的應(yīng)用分式方程解決實(shí)際問題。

思維導(dǎo)圖

知識清單

知識點(diǎn)01分式方程的概念

i.分式方程的概念:

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

題型考點(diǎn)：①判斷分式方程。

【即學(xué)即練11

i.下列方程中，是分式方程的是（）

A.—+—=1B.x+—=2C.2x=x-5D.x-4y=1

32x

【解答】解：A、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意;

8、該方程符合分式方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；

C、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、該方程是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【即學(xué)即練2】

2.在①/-尤+.，②2-3=a+4,③三+5尤=6,④包=1中，其中關(guān)于x的分式方程的個(gè)數(shù)為()

xa2x-3

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①/-尤+工是分式，不是分式方程；

X

②工-3=a+4是關(guān)于a的分式方程；

a

③三+5%=6是一元一次方程；

2

④2=1是關(guān)于尤的分式方程，

x-3

故關(guān)于元的分式方程只有一個(gè).

故選：A.

知識點(diǎn)02解分式方程

1.解分式方程的基本思路：

去分母：分式方程的兩邊同時(shí)乘以分母的最簡公分母。使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程再進(jìn)行求解。

2.解分式方程的基本步驟：

①去分母：分式方程的左右兩邊乘以分母的最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

②解整式方程：

③檢驗(yàn)：將解出的整式方程的解帶入最簡公分母中,若最簡公分母不為0,則整式方程的解就是

分式方程的解。若最簡公分母為0,則整式方程的解是分式方程的曾根，原分式方程無解。

④寫解：根據(jù)檢驗(yàn)的情況寫出分式方程的解。

注意解分式方程一定要檢驗(yàn)。

題型考點(diǎn)：①解分式方程。②分式方程的曾根與無解。③分式方程的特殊解

【即學(xué)即練1】

3.解分式方程.

(1)

4-xx-4

x+5

(2)

2

XX-lX-5

【解答】解：(1)至3一14^,

4-xx-4

解：方程兩邊同乘(4-x),得％-3-4+工=-1,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得2x=6,

解得x=3,

檢驗(yàn)：當(dāng)冗=3時(shí)，4-x=4-3=lW0,所以％=3是原分式方程的解.

(2)x+5

XX-1x2-x

解：方程兩邊同乘X(%-1),得3(x-1)+6x=x+5,

去括號得3x-3+6%=x+5,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得8x=8,

解得x=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)X=1時(shí)，X(X-1)=0,所以x=l是增根，原分式方程無解.

【即學(xué)即練2】

4.解方程:

(1)-------=1;

x-2X2_4

⑵一

x+lx-lx2_1

【解答】解：(1)去分母得:x(x+2)-2=/-4,

去括號得：/+2x-2=/-4,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：2x=-2,

系數(shù)化1得：尤=-1.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-l時(shí)，/-4=-3W0,

分式方程的解為尤=-1.

(2)去分母得：2(x-1)+3(尤+1)=1,

去括號得：2%-2+3x+3=l,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：5尤=0,

系數(shù)化1得：尤=0.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=0時(shí)，%2-1=-1^0,

分式方程的解為尤=0.

【即學(xué)即練3】

5.解下列分式方程:

(1)~^十2

=3

2x-ll-2x

⑵Y-+ij

X2-4X-2

【解答】解：(1)原方程去分母得：x-2=3(2x7),

去括號得：x-2=6x-3,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：-5尤=-1,

系數(shù)化為1得：x=1，

5

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=』是分式方程的解,

5

故原方程的解為x=°

5

(2),+]^~，

X2-4X-2

去分母得:8+/-4=x(x+2),

去括號得：8+/-4=/+2%，

移項(xiàng)得：x2-x2-2x=-8+4,

解得：x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，1=2是分式方程的增解,

，原分式方程無解.

【即學(xué)即練4】

6.若在解關(guān)于尤的方程主些_+2衛(wèi)^時(shí)，會產(chǎn)生增根，則根的值為()

X-lX-1

A.3B.-3C.1D.-1

【解答】解：方程兩邊都乘(x-1),得

x+7+2(x-1)—ZTI+5f

??,原方程有增根，

???最簡公分母X-1=0，

解得X=l.

當(dāng)x=l時(shí)，1+7=根+5,

??根3.

故選：A.

【即學(xué)即練5】

7.若關(guān)于尤的分式方程,,W+*-=1有增根,則比的值是()

x-44-x

A.0B.1C.2D.-1

3x4m

【解答】解：+=l,

x-44-x

3-(x+m)=x-4,

解得：尤=',

2

..?分式方程有增根，

.?.x=4,

把x=4代入x=三坦中得：

2

4=2221,

2

解得：m=-1,

故選：D.

【即學(xué)即練6】

8.若關(guān)于x的分式方程一^-=:+3上無解,則左的取值是()

X-1X(X-1)X

A.-3B.-3或-5C.1D.1或-5

［解答］解：_J_=x+3

X-1X(x-1)X

去分母，得6x=x+3-k(x-1),

(5+Z)x=3+Z,

???關(guān)于X的分式方程=x+3JL無解,

X-1X(x-1)X

?,?分兩種情況：

當(dāng)5十人=0時(shí),k=-5,

當(dāng)x(x-l)=0時(shí)，I=0或1,

當(dāng)x=0時(shí)，0=3+%,

:?k=-3,

當(dāng)x=1時(shí)，5+%=3+2，

???女不存在，故不符合題意，

綜上所述：左的值為：-3或-5.

故選：B.

【即學(xué)即練7】

9.若關(guān)于x的方程—閆私=1的解為正數(shù)，則根的取值范圍是()

X-11-X

A.m<3B.m>3C.加>3且機(jī)力1D.加<3且m

【解答】解：方程兩邊都乘以x-1,得：2-（x+m）=x-1,

解得：x=9,

2

???方程的解是正數(shù)，

...圭^〉。且老迪w

22六

解得：”?<3且MJWI,

故選：D.

【即學(xué)即練8】

10.已知關(guān)于x的分式方程」2-+1=上的解是非負(fù)數(shù).則，"的取值范圍是（）

x-22-x

A.mW2B,機(jī)22C.znW2且M￥-2D.機(jī)<2且機(jī)W-2

【解答】解：分式方程去分母得：m+x-2=-x,

解得：尤=義，

2

由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，得到2&Z0,且Z&-2W0,

22

解得：mW2且mW-2,

故選：C.

知識點(diǎn)03列分式方程解實(shí)際應(yīng)用題

1.列分式方程解實(shí)際應(yīng)用題的基本步驟：

①審：仔細(xì)審題，審清題意，找出題目中已知量與未知量的等量關(guān)系。

②設(shè)：設(shè)出未知數(shù)。

③列：列出分式方程。

④解：解分式方程。

⑤驗(yàn)：檢驗(yàn)求出的解是不是分式方程的解，也要檢驗(yàn)這個(gè)解是否符合實(shí)際問題。

⑥答：寫出答案。

題型考點(diǎn)：①由實(shí)際問題抽象出分式方程。②列分式方程解決實(shí)際問題。

【即學(xué)即練1】

11.2023年5月12日是我國第15個(gè)全國防災(zāi)減災(zāi)日，我校組織八年級部分同學(xué)進(jìn)行了兩次地震應(yīng)急演練，

在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每秒撤離的人數(shù)比第一次的多15,結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時(shí)間比

第一次節(jié)省了240秒，若設(shè)第一次平均每秒撤離x人，則無滿足的方程為（）

A2000_2000=八R2000_2000

xx+lbxx+lb

「2000-2000-c20002000

c------=~武+240Dn.-----+n2j4（A0=——

XX-1DXx-lb

【解答】解：由題意得：200C^=2000+24O）

xx+15

故選：A.

【即學(xué)即練2】

12.為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學(xué)校八年級師生在清明節(jié)期間前往距離學(xué)校15切1的烈士

陵園掃墓.一部分師生騎自行車先走，過了30根血后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知

汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設(shè)騎車師生的速度為x珈/〃.根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

,15115R15151

x22xx2x2

「15%15n1515”

c--+30=kD.—^—+30

x2xx2x

【解答】解：?..騎車師生的速度為汽車的速度是騎車師生速度的2倍，

二汽車的速度是

又：30加

2

.15151

??-----4*—.

x2x2

故選：B.

【即學(xué)即練3】

13.某文教用品商店購進(jìn)甲、乙兩種文具進(jìn)行銷售，一個(gè)甲種文具的進(jìn)價(jià)比一個(gè)乙種文具的進(jìn)價(jià)多5元,

用4000元購進(jìn)甲種文具的數(shù)量是用1500元購進(jìn)乙種文具的數(shù)量的2倍.

（1）求每個(gè)甲種文具的進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）該商店將每個(gè)甲種文具的售價(jià)定為30元，每個(gè)乙種文具的售價(jià)定為25元，商店根據(jù)市場需求，決

定向文具廠再購進(jìn)一批文具，且購進(jìn)乙種文具的數(shù)量比購進(jìn)甲種文具的數(shù)量的2倍還多6個(gè)，若本次購

進(jìn)的兩種文具全部售出后，總獲利不低于3360元.求該商店本次購進(jìn)甲種文具至少是多少個(gè)？

【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)乙種文具的進(jìn)價(jià)是加元，則每個(gè)甲種文具的進(jìn)價(jià)是（m+5）元，

由題意得：您_=2X敦U

m+5m

解得："2=15,

經(jīng)檢驗(yàn)，m=15是原分式方程的解，且符合題意,

；.x+5=15+5=20,

答：每個(gè)甲種文具的進(jìn)價(jià)是20元；

（2）設(shè)該商店本次購進(jìn)甲種文具“個(gè)，則購進(jìn)乙種文具（2〃+6）個(gè),

由題意得：（30-20）n+（25-15）（2力+6）N3360,

解得：“N110,

答：該商店本次購進(jìn)甲種文具至少是110個(gè).

【即學(xué)即練4】

14.杭州亞運(yùn)會于9月23日正式開幕，其吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”受到了廣大群眾的喜愛，學(xué)校計(jì)劃

購買一批吉祥物掛件和吉祥物徽章作為獎品，其中吉祥物掛件占3.

5

（1）求吉祥物徽章的個(gè)數(shù)占吉祥物掛件個(gè)數(shù)的幾分之幾？

（2）通過對學(xué)生的調(diào)查得知，喜歡吉祥物徽章的學(xué)生較多，因此學(xué)校決定再多買50個(gè)吉祥物徽章，這

樣吉祥物徽章的數(shù)量就占吉祥物掛件的求學(xué)校共買了多少個(gè)吉祥物掛件？

6

（3）在（2）的條件下，若授權(quán)店將吉祥物徽章按照原價(jià)馬銷售，那么吉祥物徽章的單價(jià)恰好是吉祥物

5

掛件單價(jià)的工，但購買當(dāng)天授權(quán)店無優(yōu)惠活動，學(xué)校購買吉祥物掛件和吉祥物徽章共花14750元，求吉

5

祥物掛件的單價(jià)為多少元？

【解答】解：（1）i-S=2,

55

2

豆=2

3一丁

5

答：吉祥物徽章的個(gè)數(shù)占吉祥物掛件個(gè)數(shù)的2；

3

（2）設(shè)吉祥物徽章原來為尤個(gè)，則購買后為（尤+50）個(gè)，原來吉祥物掛件為個(gè),

2

由題意得，答■=§,

3x6

解得：尤=200,

務(wù)=300,

2

答：學(xué)校共買了300個(gè)吉祥物掛件；

（3）設(shè)吉祥物徽章原價(jià)為y元，則吉祥物掛件單價(jià)為也元，

7

由題意得，250y+300義華=14750,

解得：y—35,

&=20,

7

答：吉祥物掛件的單價(jià)為20元.

題型精講

題型01判斷分式方程

【典例1】

在方程3-^=2-三上=0,三=1中，分式方程有3個(gè).

x+1y-2x32x

X

【解答】解：在方程1=33^=2,——=0）三=1中，分式方程有3沁=2,—=r

x+1y-2x32xx+1y-2xx

一共有3個(gè).

故答案為：3.

【典例2】

下列方程不是分式方程的是（）

A.—+x=2+3xB.x_4

x2x+35

C.工-@=4D.L+'=i

n3x-52x+3

【解答】解：A、方程分母中含未知數(shù)x,故A是分式方程;

B、方程分母中含未知數(shù)無，故B是分式方程;

C、方程分母中不含未知數(shù)，故C不是分式方程;

D、方程分母中含未知數(shù)X,故。是分式方程;

故選：C.

【典例3】

下面是分式方程的是（）

2x+l_5x_6

A.---+—^―D.----------------------------------

2x~3x+973

C.L+5=2（x-6）D.-^-+—=1

23x-l2x+l

【解答】解：A、不是方程，故本選項(xiàng)錯誤；

B,分母中不含有未知數(shù)，是整式方程，故本選項(xiàng)錯誤;

c、分母中不含有未知數(shù)，是整式方程，故本選項(xiàng)錯誤;

。、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【典例4】

有下列方程：①2x4^米=10；②X[=2；③一工一-3=0；④紅屬于分式方程的有(

"X5'x2x+l?32

A.①②B.②③C.③④D.②④

【解答】解：①2*+上工=10是整式方程,

5

②x-2=2是分式方程,

X

③,-3=0是分式方程,

2x+l

④2i+2zl=o是整式方程，

32

所以，屬于分式方程的有②③.

故選：B.

題型02解分式方程

【典例1】

嘉淇解分式方程工-1的過程如下：

x-l3x-3

解：去分母，得6=2x-(3x-3)①

去括號，得6=2尤-3尤-3②

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得尤=-9③

因?yàn)閤=-9時(shí)，各分母均不為0,

所以，原分式方程的解是尤=-9.④

以上步驟中，最開始出錯的一步是()

A.①B.②C.③D.@

【解答】解：解分式方程的過程如下：

x-13x-3

去分母，得6=2%-(3%-3),

去括號，得6—2x-3%+3,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得X=-3,

因?yàn)椋?-3時(shí)，各分母均不為0,

所以，原分式方程的解是I=-3.

所以最開始出錯的一步是②.

故選：B.

【典例2】

解方程:

5x+23

(1)

x2+xx+1

x-33x

(2)1-2x+2^x+1'

5x+23

【解答】解：(1)

x2+x-x+1)

方程兩邊同口寸乘x(x+1),得5x+2=3x,

解得尤=-1;

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=-1是增根，原方程無解;

(2)1^-3,

2x+2x+1

方程兩邊同時(shí)乘2(尤+1),

2(x+1)-(x-3)=6尤,

解得x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=1是原方程的根.

【典例3】

解方程:

2x+l

(1)=-1；

3-x

2

(2)

x2-11

【解答】解：(1)空工=-1，

3-x

方程兩邊同時(shí)乘以(3-x),得:

2x+l—-3+x,

解得：％=-4,

檢驗(yàn)：當(dāng)冗=-4時(shí)，3-+0,

?,?原方程的解是i=-4；

X-1X+x

方程兩邊同時(shí)乘以x(x+1)(X-1),得:

2x-(x-1)=0,

解得x=-1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，無(x+1)(x-1)=0,

??X-1是原方程的增根,

...原方程無解.

【典例4】

解方程:

旦=54^

(1)

X-l1-X

(2)^=0

x2+xx2-x

［解答］解：(1)旦=5+^^.

X-l1-X

方程兩邊同乘(x-1),得：3=5(x-1)-3x,

解得：x=4,

檢驗(yàn)：當(dāng)無=4時(shí)，尤-1W0,

原分式方程的解為：x=4；

(2)

原方程變形為:--------------------=0

X(x+1)X(x-l)

兩邊同乘X(x+1)(x-l),得:

5(x-l)-(x+1)=0,

解得：龍=旦，

2

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，x(x+1)(尤-1)W0,

2

...原分式方程的解為：X=S.

2

【典例4】

解方程：

(1)——=上+1；

x+13x+3

(2)，-2=4

2

x+33-xX-9

【解答】解：(1)方程兩邊同時(shí)乘(3x+3),

得3x=2x+3x+3,

整理，得3x=5x+3,

解得尤=一1,

2

檢驗(yàn)：當(dāng)x=/?時(shí)，3x+3=國/0,

22

.?.原方程的解為尤=R.

2

(2)方程兩邊同時(shí)乘(x+3)(x-3),

得x-3+2(x+3)=12,

整理，得x-3+2x+6=12,

解得x=3,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，(x+3)(x-3)=0,

???原方程無解.

題型03分式方程的曾根與無解

【典例1】

若關(guān)于x的分式方程旦=1任私有增根，則m的值是()

x-44-x

A.0B.1C.2D.-1

【解答】解：方程兩邊都乘(x-4),

得3=(x-4)+(x+m),

??,原方程有增根，

???最簡公分母％-4=0,

解得％=4,

當(dāng)x=4時(shí)，m--1,

故m的值是-1.

故選：D.

【典例2】

若關(guān)于尤的分式方程包上*2有增根，且關(guān)于＞的不等式中有2個(gè)整數(shù)解,則整數(shù)”是(

x~33-x

A.3B.2C.1D.0

【解答】解：立上I。2，

x-33-x

方程兩邊同乘以(x-3),x-1—m-2+2(%-3),

解得x=-m+7,

???關(guān)于X的分式方程主工金典+2有增根，

x-33-x

-加+7=3,

解得m=4,

???關(guān)于y的不等式4+后yW8中有2個(gè)整數(shù)解，

???6<4+忘7,

解得2V〃W3,

則整數(shù)〃是3,

故選：A.

【典例3】

若關(guān)于x的分式方程包」增根，則m的值為()

X-1x+l/_]

A.1B.-2C.1或-2D.-1或2

【解答】解：去分母得：2m(x+l)+m(x-1)=4,

由分式方程有增根，得到％=1或冗=-1,

把x=l代入整式方程得：2mX(1+1)+mX(1-1)=4

解得：m=l；

把x=-1代入整式方程得：2mX(-1+1)+mX(-1-1)=4,

解得：m=-2；

故選：C.

【典例4】

若關(guān)于X的分式方程沖7K1=1無解，則rn的值是()

4-x2x-2

A.m=2或機(jī)=6B.m=2C.m=6D.m=2或加=-6

【解答】解：去分母得：-尤(x+2)=(x+2)(x-2),

由分式方程無解，得到x=2或尤=-2,

把x=2代入整式方程得：機(jī)=6；

把x=-2代入整式方程得：加=2.

故選：A.

【典例5】

若關(guān)于x的方程上=工一+1無解，則a的值是()

X-1X-1

A.1B.3C.-1或2D.1或2

【解答】解：q=，_+1,

X-1X-1

去分母得，ax=2+x-1,

整理得，（a-1）x=1,

當(dāng)X=1時(shí)，分式方程無解,

則aT=1,

解得，a=2；

當(dāng)整式方程無解時(shí)，a=l,

故選：D.

題型04分式方程的特殊解

【典例1】

‘2x-7》x-8

若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組-有且只有3個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程，的

a6x>-2y-33-y1

4

解滿足y<7,則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為（）

A.8B.6C.10D.7

2x-7>x-8

【解答】解：不等式組Ia-6x、的解集是-lWx<史國，

4

?.?該不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，

.?.1〈且里<2,解得-2<aW4.

6

分式方程_2_+工_=-1的解是y=6-a（yW3）,

y-33-y

Vj<7,即6-aV7,解得a>-l,且aW3.

綜上，-l<aW4（a為整數(shù)），且°W3,

.\a=0,1,2,4,

???0+l+2+4=7.

故選：D.

【典例2】

若關(guān)于X的方程旦+史私=2的解為正數(shù)，則7”的取值范圍是（）

x-22-x

A.m<6B.m>6C.mV6且根WOD.m>6且mW8

【解答】解：原方程化為整式方程得：2-x-m=2（x-2）,

解得：尤=2-旦

3

因?yàn)殛P(guān)于x的方程，一+主也=2的解為正數(shù),

x-22-x

可得：2與>0，

O

解得：m<6,

因?yàn)閤=2時(shí)原方程無解,

所以可得2』#2，

3

解得：加WO.

故選：C.

【典例3】

’4x>3(x-l)

如果關(guān)于X的分式方程上0+24」有整數(shù)解，且關(guān)于尤的不等式組I2x-l/1z、有且只有四個(gè)

x-22-xx+~--

整數(shù)解，那么符合條件的整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.0

【解答】解：解分式方程上0+2」一得：x=^里，

x-22-x2

..?分式方程有整數(shù)解，

，2+a為2的倍數(shù)，且空_盧2，即aW2

2i

4x>3(x-l)

解不等式組號<*人】盧一3《〈十

:不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解

二0<t<1

解得：0<aW4

綜上所述：符合條件的整數(shù)。為：。=4

故選：A.

【典例4】

如果關(guān)于尤的分式方程汽段=1的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.m<-1B.m>-1且加?0

C.m>-1D.m<-1且mW-2

【解答】解：將分式方程兩邊同乘(x+1),去分母可得：2x~m=x+l,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x=m+l,

??,原分式方程的解是負(fù)數(shù)，

771+1V0,且A71+1+1W0,

解得：m<-1且mW-2,

故選：D.

【典例5】

f3x-l2x+l

>T

23

若整數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組《至少有2個(gè)整數(shù)解，且使得關(guān)于y的分式方程

x+a+4>2x

~2

也有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)。之和為（)

y-22-y

A.-2B.-1C.2D.4

【解答】解：解不等式空支-紅文1,得X2-1,

235

解不等式也+4>2x,得了<旦至，

23

：不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，

._a+8>1；

3

解得d>-5,

解分式方程空出--^-=-1,

y-22-y

??,方程有整數(shù)解，

.?.4+1=±4,±2,±1,

??a—-5,3,-3,1,-2,0,

'：a>-5,且-4-/2,

a+1

值有3,1,-2,0,

3+1-2+0=2.

故選：C.

題型05分式方程的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】

閱讀，正如一束陽光.孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界.某

區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書會”的分享活動.甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點(diǎn)800

米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動.甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)

提前4分鐘到達(dá)活動地點(diǎn).若設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分，則下列方程正確的是（）

A._A--=4

LB.=4

800400800400

「400800,800400

c.-----------4D.----------=4

1.2xx1.2xx

【解答】解：???乙同學(xué)的速度是x米/分,

則甲同學(xué)的速度是L2x米/分,

由題意得：黑普=4

故選：D.

【典例2】

甲地到乙地之間的鐵路長210千米，動車運(yùn)行后的平均速度是原來火車的1.5倍，這樣由甲地到乙地的行駛

時(shí)間縮短了90分鐘，設(shè)原來火車的平均速度為x千米/時(shí)，則下列方程正確的是（）

A-210-90=^

B,叫90望

x1.5xX1.DX

「210.210210—210

CDn-—+L5=T5^

-丁5K

【解答】解：設(shè)原來火車的平均速度為x千米/小時(shí)，則動車運(yùn)行速度為1.5x千米/小時(shí),

根據(jù)題意，得：23-1.5=上”

1.5x

故選：C.

【典例3】

市政府為了貫徹落實(shí)“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開展荒山綠化,

打造美好家園，促進(jìn)旅游發(fā)展.某工程隊(duì)承接了90萬平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實(shí)

際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了25%,結(jié)果提前30天完成了任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為

X萬平方米，則所列方程正確的是（)

9090

AB.=30

等卷7?x25%x

9090

C.里=3。D.漢3。

(1+25%)xX(1-25%)xX

【解答】解：:?原計(jì)劃每天綠化的面積為x萬平方米，且實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了25%,

...實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積為（1+25%）x萬平方米.

根據(jù)題意得:9090

T(1+25%)

故選：A.

【典例4】

習(xí)近平總書記在黨的第二十次全國代表大會上，報(bào)告指出：“積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和”.某公司積極

響應(yīng)節(jié)能減排號召，決定采購新能源A型和8型兩款汽車，已知每輛A型汽車進(jìn)價(jià)是每輛8型汽車進(jìn)價(jià)的1.5

倍，現(xiàn)公司用1500萬元購進(jìn)A型汽車的數(shù)量比1200萬元購進(jìn)B型汽車的數(shù)量少20輛.

(1)求每輛8型汽車進(jìn)價(jià)是多少萬元？

(2)A型汽車?yán)麧櫬蕿?%,B型汽車?yán)麧櫬蕿?%,那么該公司出售完此批汽車后總利潤是多少元？

【解答】解：(1)設(shè)每輛2型汽車進(jìn)價(jià)是尤萬元，則每輛A型汽車進(jìn)價(jià)是1.5x萬元，

根據(jù)題意得：1200-l§00=2O>

x1.5x

解得：尤=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=10是所列方程的解，且符合題意.

答：每輛8型汽車進(jìn)價(jià)是10萬元；

(2)1500X5%+1200X8%=171(萬元)=1710000(元)，

答：該公司出售完此批汽車后總利潤是1710000元.

【典例5】

某搬運(yùn)公司計(jì)劃購買48兩種型號的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺A型機(jī)器比每臺B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物,

且每臺A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同.

(1)求每臺A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？

(2)每臺A型機(jī)器售價(jià)1.5萬元，每臺8型機(jī)器售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購兩種型號機(jī)器共30臺,

滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案.

【解答】解：(1)設(shè)每臺A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺2型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物(x+10)噸，

由題意得：駟二2上，

xx+10

解得：％=90,

當(dāng)x=90時(shí)，x(x+10)W0,

???x=90是分式方程的根，

Ax+10=90+10=100,

答：每臺A型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺5型機(jī)器每天搬運(yùn)貨物100噸；

(2)設(shè)購買A型機(jī)器機(jī)臺，購買總金額為w萬元，

Om+1O

由題意得：p°(30-m)>2880；

11.5m+2(30-m)<55

解得：10WmW12,

W=1.5M+2(30-nr)=-0.5根+60；

V-0.5<0,

Jw隨機(jī)的增大而減小，

「?當(dāng)m=12時(shí),w最小，此時(shí)w=-0.5X12+60=54,

???購買A型機(jī)器12臺，6型機(jī)器18臺時(shí)，購買總金額最低是54萬元.

【典例6】

酸辣粉是重慶的特色美食，三峽廣場某小吃店推出兩款酸辣粉，一款是“經(jīng)典手工酸辣粉”，另一款是“肉

沫哨子酸辣粉”.已知1份“經(jīng)典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“經(jīng)典手工酸

辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元.

(1)求“經(jīng)典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的單價(jià);

(2)紅薯粉條是制作酸辣粉的原材料之一，該小吃店老板發(fā)現(xiàn)今年第三季度平均每千克紅薯粉條的價(jià)格

比第二季度上漲了20%,第三季度花600元買到的紅薯粉條數(shù)量比第二季度花同樣的錢買到的紅薯粉條

數(shù)量少了10千克，求第三季度紅薯粉條的單價(jià).

【解答】解：(1)設(shè)“經(jīng)典手工酸辣粉”的單價(jià)是尤元，“肉沫哨子酸辣粉”的單價(jià)是y元,

根據(jù)題意得:x+2y=34

3x+y=42

x=10

解得:

y=12

答：“經(jīng)典手工酸辣粉”的單價(jià)是10元，“肉沫哨子酸辣粉”的單價(jià)是12元;

(2)設(shè)第二季度紅薯粉條的單價(jià)為加元，則第三季度紅薯粉條的單價(jià)為(1+20%)廢元,

根據(jù)題意得：胭600=10,

m(1+20%)m

解得：m=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，小=10是所列方程的解，且符合題意,

(1+20%)m=(1+20%)X10=12.

答：第三季度紅薯粉條的單價(jià)為12元.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列各式中為分式方程的是（）

A.乂二B.—^=---

xx+12x~3

C.苧=5D.展+x=0

【解答】解：A、xd不是方程，故本選項(xiàng)錯誤；

X

B、方程工=_A_的分母中含未知數(shù)X,所以它是分式方程.故本選項(xiàng)正確;

x+12x-3

C、方程￡2=5分母中不含未知數(shù)，所以它不是分式方程.故本選項(xiàng)錯誤；

3

。、方程/+x=o的分母中不含未知數(shù)，所以它不是分式方程.故本選項(xiàng)錯誤;

故選：B.

2.解方程工_2=迎去分母，兩邊同乘（X-1）后的式子為（）

X-11-X

A.1-2=-3尤B.1-2（尤-1）=-3x

C.1-2（1-尤）=-3xD.1-2（尤-1）=3x

【解答】解：解方程工_2一至去分母，兩邊同乘GT）后的式子為：1-2（x-1）=-3尤,

X-11-X

故選：B.

3.分式通-與2互為相反數(shù)，則X的值為（）

1-xX

A.1B.-1C.-2D.-3

【解答】解：由題意得-耳工二0，

1-xX

去分母3x+2（1-%）=0,

解得x=-2.

經(jīng)檢驗(yàn)得x=-2是原方程的解.

故選：C.

4.若關(guān)于尤的分式方程無解，貝物,=（）

x+2x+2

3

A.-1B.0C.1D.

2

去分母，得x+x+2=n-1,

合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,得x上W

X2

由題意可知，分式方程的增根為x=-2,

即有二解得"=-1.

故選：A.

5.青年志愿團(tuán)隊(duì)到某地開展志愿服務(wù)活動，他們從距離活動地點(diǎn)11初1的地方出發(fā).一部分人騎自行車先

走，過了30M加后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車速度是騎車志愿者速度的2倍,

設(shè)騎車志愿者的速度為.根據(jù)題意,下列方程正確的是（