2023年初中數(shù)學(xué)全等三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及復(fù)習(xí)

全等三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及復(fù)習(xí)

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

〔性質(zhì)保制發(fā)

一邊邊邊SSS

全等形—全等三角形＜邊角邊SAS=應(yīng)用

判定＜角邊角ASA

角角邊AAS

斜邊、直角邊HL

作圖

fF

角平分刀線用［1性質(zhì)與判定定理

二、基礎(chǔ)知識(shí)梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相似的圖形；（2）大小相等的圖形；

即可以完全重疊的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把可以完全重疊的兩個(gè)三角形叫做全等三角

形。

全等三角形定義：可以完全重疊的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形

中的特殊狀況）

當(dāng)兩個(gè)三角形完全重疊時(shí)，互相重疊的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重疊的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重疊

的角叫做對(duì)應(yīng)角。

由此，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；

（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；

（3）有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊;

(4)有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角；

(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

2、全等三角形的性質(zhì)

(1)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；

3、全等三角形日勺鑒定措施

(1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

(2)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

(3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

(4)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

4、角平分線的性質(zhì)及鑒定

性質(zhì)：角平分線上時(shí)點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

鑒定：到一種角的兩邊距離相等時(shí)點(diǎn)在這個(gè)角平分線上

(-)靈活運(yùn)用定理

1、鑒定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具有三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，因此在尋

找全等的條件時(shí)，總是先尋找邊相等的也許性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。

3、要善于靈活選擇合適的措施鑒定兩個(gè)三角形全等。

(1)已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等(ASA)②任一組等角的對(duì)邊相等(AAS)

(2)已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)

(3)已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

(三)經(jīng)典例題

例1.已知：如圖所示，AB=AC,N1=N2,AD=AE,求證：!\ABD=AACE.

例2.如圖所示，已知：AF=AE,AC=AD,CF與DE交于點(diǎn)B。求證：MCF=LADEo

例3.如圖所示，AC=BD,AB=DC,求證：NB=NC。

例4.如圖所示，CD1AB,BElACt垂足分別為D、E,BE與CD相交于點(diǎn)0,且N1=N2

求證:BD=CEo

A

例5：已知：如圖，在四邊形ABC。中，AC平分NBA。、CE±ABE,且/8+/。=180。。

求證：AE=AD+BE

分析：從上面例題，可以看出，有時(shí)為了證明某兩條線段和等于另一條線段，可以考慮“截

長(zhǎng)補(bǔ)短”的添加輔助線，本題與否仍可考慮這樣“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的措施呢？由于AC是角平分線，因此

在AE上截連結(jié)PC,可證出AAOC之AAFC,問題就可以得到處理。

證明（一）：

在AE上截取連結(jié)PC。

在AAFC和AAOC中

AF=A。（已作）

<N1=N2（已知）

AC=AC（公共邊）

：.AAFC^AADC（邊角邊）

AZAFC=ZD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

VZB+ZZ）=180°（已知）

；.NB=NEFC（等角的補(bǔ)角相等）

在ACEBffACEF中

ZB=ZEFd^^

4EB=4EF=9CP(當(dāng)中

CE=CE(^W4

:.ACEBqACEF（角角邊）下|_\

：.BE=EF

B

\'AE^AF+EF

：.AE=AD+BE（等量代換）

證明（二）：

在線段EA上截EF=8E,連結(jié)FC（如右圖）。

小結(jié)：在幾何證明過程中，假如現(xiàn)成的三角形不可以證明，則需要我們選出所需要的三角形，這就需

要我們恰到好處的添加輔助線。

（四）全等三角形復(fù)習(xí)練習(xí)題

一、選擇題

1.如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；②AB=DE,ZB=ZE,BC=EF；

③ZB=/E,BC=EF,NC=NF；?AB=DE,AC=DF,ZB=ZE.

其中，能使△ABC/ZXDEF的條件共有（）A.1組B.2組C.3組

D.4組

2.如圖，D,E分別為/XABC的AC,邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在A3邊

上的點(diǎn)尸處.若NCDE=48°,則NAPD等于（）

3.如圖（四），點(diǎn)尸是上任意一點(diǎn)，ZABC=ZABD,還應(yīng)補(bǔ)充一種條件，才能推出

AAPC^AAPD.從下列條件中補(bǔ)充一種條件，不二足熊推出△APC四/XAPD的是（）

A.BC=BDB.AC=ADC.ZACB=ZADBD.ZCAB=ZDAB

C.52°D.58°

rvi(rm\

1題圖2題圖

4.如圖,在i&ABC與aDEF中,已經(jīng)有條件AB=DE,還需添加兩個(gè)條件才能使△ABCgADEF,不能添加

的一組條件是（）

(A)ZB=ZE,BC=EF(B)BC=EF,AC=DF(C)ZA=ZD,ZB=ZE(D)ZA=ZD,BC=EF

5.如圖，中，/C=90°，ACBC,4?是/的CffU平分線，DE_LAB于E,

則可供選擇的地址有（）A.1處B.2處C.3處D.4

處

4題圖5題圖

7.某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎了3塊，目前要到玻璃店去配一塊完全同樣的玻璃，那

么最省事的措施是（）A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①②③去

8.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)。，交BC

于點(diǎn)E.已知NBAE=10°,則ZC時(shí)度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.如圖，AACB學(xué)△A'CB,NBCB'=30°,則NAC4'的度數(shù)為（）

11.尺規(guī)作圖作NAOB的平分線措施如下：認(rèn)為。圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交Q4、OB于C、

D,再分別以點(diǎn)。、。為圓心，以不小于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線。尸,由作法

2

得△OCP之△ODP的根據(jù)是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS

12.如圖，/C=90°,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點(diǎn)D到AB的距離為（）A.5cm

B.3cmC.2cmD.不能確定

13.如圖，0平分NAOB,PALOA,PBLOB,垂足分別為4B.下列結(jié)論中不一定成立的是

（）A.PA=PBB.P0平分NAPBC.OA=OBD.AB垂直平分

0P

14.如圖，已知A3=AO,那么添加下列一種條件后，仍無法鑒定△ABCgZXADC時(shí)是（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

11題圖12題圖CH而⑸

二、填空題

1.如圖，已知A5=AO,ZBAE=ZDAC,要使ZvlBC之△ADE,可補(bǔ)充的條件是

（寫出一種即可）.

2.如圖，在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NBAC交BC于D,DE±AB于E,且AB=5cm,則ADEB的I周長(zhǎng)

為____________

3.如圖，ZBAC=ZABD,請(qǐng)你添加一種條件：,使OC=OD（只添一種即可）.

4.如圖，在AABC中，ZC=90°ZABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘

米，則點(diǎn)D到直線AB的距離是__________厘米。

B

D

A

C

1題圖2題圖3題圖4題圖

5.觀測(cè)圖中每一種大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形

有個(gè).

6.已知：如圖，△OADgZkOBC,且/0=70°,ZC=25°,則/AEB=度.

7如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重疊）,在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形

CDE、AD與BE交于點(diǎn)0,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.如下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②

PQ〃AE；③AP=BQ；@DE=DP；⑤NA0B=60。.

恒成立的結(jié)論有（把你認(rèn)為對(duì)時(shí)時(shí)序號(hào)都填上）。

8.如圖所示，AB=AD,Z1=Z2,檄口一種合適的條件，使4ABCgAADE,則需要添加的條件是

6題圖7題圖8題圖

三、解答題

1.如圖，已知AB=AC,AD=AE,求證：BD=CE.

2.如圖，在ZXABC中，AB=AC,ZH4C=40°,分別認(rèn)為ABAC邊作兩個(gè)等腰直角三角形

ABZ)和ACE,使Za4D=NG4E=90°.

(1)求NDfiC時(shí)度數(shù)；(2)求證：BD=CE.

3.如圖，在4ABE中，AB=AE,AD=AC,NBAD=NEAC,BC、DE交于點(diǎn)0.求證：⑴AABC^AAED；

(2)0B=0E.

4.如圖，D是等邊AABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△￡口（；,連接AE,找出圖中的一

組全等三角形，并闡明理由.

5.如圖，在△被和△式B中，AB=DC,AC=DB,47與龐交于點(diǎn)"

(1)求證：△ABC^MDCB；(2)過點(diǎn)。作CN//BD,過點(diǎn)8作BN//AC,5與即交于點(diǎn)N,試判斷

線段厥與GV的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

0

6.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與相交于。點(diǎn)，Z1=Z2,Z3=N4.

求證：(1)AABC^AADC；(2)BO=DO.

<

7.如圖，在/XABC和△A3。中，現(xiàn)給出如下三個(gè)論斷：①AD=BC；②"=/￡>；

③N1=N2.請(qǐng)選擇其中兩個(gè)論斷為條件，另一種論斷為結(jié)論，構(gòu)造一種命題.

(1)寫出所有的真命題(寫成“”形式,用序號(hào)表達(dá))：

1

(2)請(qǐng)選擇一種真命題加以證明.

你選擇的真命題是:>=>

證明:

8.已知：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上，AB=DC,BE=CF,ZB=ZC.求證：OA=OD.

9.如圖，回中，/胡俏90度，AB=AC,劭是N/6C日勺平分線，M的延長(zhǎng)線垂直于過C點(diǎn)日勺直線于

E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.

求證：BD=2.CE.

10.如圖，=3c于點(diǎn)。，AD=AE,A3平分NDAE交DE于點(diǎn)/，請(qǐng)你寫出圖中三

對(duì)全等三角形，并選用其中一對(duì)加以證明.

11.已知：如圖，DC//AB,且2已傷，￡為4?附中點(diǎn),

(1)求證：△AED^^EBC.

(2)觀看圖前，在不添輔助線的狀況下，除△上外，請(qǐng)?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)與的面積相等的三角

A

形.(直接寫出成果，不規(guī)定證明)：

BC

12.如圖①，E、/分別為線段/C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且龐，〃于E,BFLAC于F,若/廬徽AQCE,BD

交〃于點(diǎn)M.

(1)求證：MB-MD,ME=MF

(2)當(dāng)￡、尸兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其他條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)予以證

明；若不成立請(qǐng)闡明理由.

D

①

13已知：如圖A、D、C、B在同一直線上，AC=BD,AE=BF,CE=DF

求證：(1)DF〃CE(2)DE=CF

14.如圖，已知在AABC中，BE、CF分別是AC、AB兩條邊上的高，在BE上截取BD=AC,在CF時(shí)延

長(zhǎng)線上截取CG=AB,連結(jié)AD、AG,