2023年初中數(shù)學全等三角形知識點總結及復習

全等三角形知識點總結及復習

一、知識網(wǎng)絡

〔性質保制發(fā)

一邊邊邊SSS

全等形—全等三角形＜邊角邊SAS=應用

判定＜角邊角ASA

角角邊AAS

斜邊、直角邊HL

作圖

fF

角平分刀線用［1性質與判定定理

二、基礎知識梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相似的圖形；（2）大小相等的圖形；

即可以完全重疊的兩個圖形叫全等形。同樣我們把可以完全重疊的兩個三角形叫做全等三角

形。

全等三角形定義：可以完全重疊的兩個三角形稱為全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形

中的特殊狀況）

當兩個三角形完全重疊時，互相重疊的頂點叫做對應頂點，互相重疊的邊叫做對應邊，互相重疊

的角叫做對應角。

由此，可以得出：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。

（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；

（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；

（3）有公共邊的，公共邊一定是對應邊;

(4)有公共角的，角一定是對應角；

(5)有對頂角的，對頂角一定是對應角；

2、全等三角形的性質

(1)全等三角形對應邊相等；(2)全等三角形對應角相等；

3、全等三角形日勺鑒定措施

(1)三邊對應相等的兩個三角形全等。

(2)兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。

(3)兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。

(4)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。

(5)斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

4、角平分線的性質及鑒定

性質：角平分線上時點到這個角的兩邊的距離相等

鑒定：到一種角的兩邊距離相等時點在這個角平分線上

(-)靈活運用定理

1、鑒定兩個三角形全等的定理中，必須具有三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此在尋

找全等的條件時，總是先尋找邊相等的也許性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和運用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。

3、要善于靈活選擇合適的措施鑒定兩個三角形全等。

(1)已知條件中有兩角對應相等，可找：

①夾邊相等(ASA)②任一組等角的對邊相等(AAS)

(2)已知條件中有兩邊對應相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)

(3)已知條件中有一邊一角對應相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

(三)經(jīng)典例題

例1.已知：如圖所示，AB=AC,N1=N2,AD=AE,求證：!\ABD=AACE.

例2.如圖所示，已知：AF=AE,AC=AD,CF與DE交于點B。求證：MCF=LADEo

例3.如圖所示，AC=BD,AB=DC,求證：NB=NC。

例4.如圖所示，CD1AB,BElACt垂足分別為D、E,BE與CD相交于點0,且N1=N2

求證:BD=CEo

A

例5：已知：如圖，在四邊形ABC。中，AC平分NBA。、CE±ABE,且/8+/。=180。。

求證：AE=AD+BE

分析：從上面例題，可以看出，有時為了證明某兩條線段和等于另一條線段，可以考慮“截

長補短”的添加輔助線，本題與否仍可考慮這樣“截長補短”的措施呢？由于AC是角平分線，因此

在AE上截連結PC,可證出AAOC之AAFC,問題就可以得到處理。

證明（一）：

在AE上截取連結PC。

在AAFC和AAOC中

AF=A。（已作）

<N1=N2（已知）

AC=AC（公共邊）

：.AAFC^AADC（邊角邊）

AZAFC=ZD（全等三角形對應角相等）

VZB+ZZ）=180°（已知）

；.NB=NEFC（等角的補角相等）

在ACEBffACEF中

ZB=ZEFd^^

4EB=4EF=9CP(當中

CE=CE(^W4

:.ACEBqACEF（角角邊）下|_\

：.BE=EF

B

\'AE^AF+EF

：.AE=AD+BE（等量代換）

證明（二）：

在線段EA上截EF=8E,連結FC（如右圖）。

小結：在幾何證明過程中，假如現(xiàn)成的三角形不可以證明，則需要我們選出所需要的三角形，這就需

要我們恰到好處的添加輔助線。

（四）全等三角形復習練習題

一、選擇題

1.如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；②AB=DE,ZB=ZE,BC=EF；

③ZB=/E,BC=EF,NC=NF；?AB=DE,AC=DF,ZB=ZE.

其中，能使△ABC/ZXDEF的條件共有（）A.1組B.2組C.3組

D.4組

2.如圖，D,E分別為/XABC的AC,邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在A3邊

上的點尸處.若NCDE=48°,則NAPD等于（）

3.如圖（四），點尸是上任意一點，ZABC=ZABD,還應補充一種條件，才能推出

AAPC^AAPD.從下列條件中補充一種條件，不二足熊推出△APC四/XAPD的是（）

A.BC=BDB.AC=ADC.ZACB=ZADBD.ZCAB=ZDAB

C.52°D.58°

rvi(rm\

1題圖2題圖

4.如圖,在i&ABC與aDEF中,已經(jīng)有條件AB=DE,還需添加兩個條件才能使△ABCgADEF,不能添加

的一組條件是（）

(A)ZB=ZE,BC=EF(B)BC=EF,AC=DF(C)ZA=ZD,ZB=ZE(D)ZA=ZD,BC=EF

5.如圖，中，/C=90°，ACBC,4?是/的CffU平分線，DE_LAB于E,

則可供選擇的地址有（）A.1處B.2處C.3處D.4

處

4題圖5題圖

7.某同學把一塊三角形的玻璃打碎了3塊，目前要到玻璃店去配一塊完全同樣的玻璃，那

么最省事的措施是（）A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①②③去

8.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,是AC的垂直平分線，交AC于點。，交BC

于點E.已知NBAE=10°,則ZC時度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.如圖，AACB學△A'CB,NBCB'=30°,則NAC4'的度數(shù)為（）

11.尺規(guī)作圖作NAOB的平分線措施如下：認為。圓心，任意長為半徑畫弧交Q4、OB于C、

D,再分別以點。、。為圓心，以不小于長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線。尸,由作法

2

得△OCP之△ODP的根據(jù)是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS

12.如圖，/C=90°,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點D到AB的距離為（）A.5cm

B.3cmC.2cmD.不能確定

13.如圖，0平分NAOB,PALOA,PBLOB,垂足分別為4B.下列結論中不一定成立的是

（）A.PA=PBB.P0平分NAPBC.OA=OBD.AB垂直平分

0P

14.如圖，已知A3=AO,那么添加下列一種條件后，仍無法鑒定△ABCgZXADC時是（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

11題圖12題圖CH而⑸

二、填空題

1.如圖，已知A5=AO,ZBAE=ZDAC,要使ZvlBC之△ADE,可補充的條件是

（寫出一種即可）.

2.如圖，在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NBAC交BC于D,DE±AB于E,且AB=5cm,則ADEB的I周長

為____________

3.如圖，ZBAC=ZABD,請你添加一種條件：,使OC=OD（只添一種即可）.

4.如圖，在AABC中，ZC=90°ZABC的平分線BD交AC于點D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘

米，則點D到直線AB的距離是__________厘米。

B

D

A

C

1題圖2題圖3題圖4題圖

5.觀測圖中每一種大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個大三角形中白色三角形

有個.

6.已知：如圖，△OADgZkOBC,且/0=70°,ZC=25°,則/AEB=度.

7如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重疊）,在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形

CDE、AD與BE交于點0,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連結PQ.如下五個結論：①AD=BE；②

PQ〃AE；③AP=BQ；@DE=DP；⑤NA0B=60。.

恒成立的結論有（把你認為對時時序號都填上）。

8.如圖所示，AB=AD,Z1=Z2,檄口一種合適的條件，使4ABCgAADE,則需要添加的條件是

6題圖7題圖8題圖

三、解答題

1.如圖，已知AB=AC,AD=AE,求證：BD=CE.

2.如圖，在ZXABC中，AB=AC,ZH4C=40°,分別認為ABAC邊作兩個等腰直角三角形

ABZ)和ACE,使Za4D=NG4E=90°.

(1)求NDfiC時度數(shù)；(2)求證：BD=CE.

3.如圖，在4ABE中，AB=AE,AD=AC,NBAD=NEAC,BC、DE交于點0.求證：⑴AABC^AAED；

(2)0B=0E.

4.如圖，D是等邊AABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊△￡口（；,連接AE,找出圖中的一

組全等三角形，并闡明理由.

5.如圖，在△被和△式B中，AB=DC,AC=DB,47與龐交于點"

(1)求證：△ABC^MDCB；(2)過點。作CN//BD,過點8作BN//AC,5與即交于點N,試判斷

線段厥與GV的數(shù)量關系，并證明你的結論.

0

6.如圖，四邊形ABCD的對角線AC與相交于。點，Z1=Z2,Z3=N4.

求證：(1)AABC^AADC；(2)BO=DO.

<

7.如圖，在/XABC和△A3。中，現(xiàn)給出如下三個論斷：①AD=BC；②"=/￡>；

③N1=N2.請選擇其中兩個論斷為條件，另一種論斷為結論，構造一種命題.

(1)寫出所有的真命題(寫成“”形式,用序號表達)：

1

(2)請選擇一種真命題加以證明.

你選擇的真命題是:>=>

證明:

8.已知：如圖，B、E、F、C四點在同一條直線上，AB=DC,BE=CF,ZB=ZC.求證：OA=OD.

9.如圖，回中，/胡俏90度，AB=AC,劭是N/6C日勺平分線，M的延長線垂直于過C點日勺直線于

E,直線CE交BA的延長線于F.

求證：BD=2.CE.

10.如圖，=3c于點。，AD=AE,A3平分NDAE交DE于點/，請你寫出圖中三

對全等三角形，并選用其中一對加以證明.

11.已知：如圖，DC//AB,且2已傷，￡為4?附中點,

(1)求證：△AED^^EBC.

(2)觀看圖前，在不添輔助線的狀況下，除△上外，請再寫出兩個與的面積相等的三角

A

形.(直接寫出成果，不規(guī)定證明)：

BC

12.如圖①，E、/分別為線段/C上的兩個動點，且龐，〃于E,BFLAC于F,若/廬徽AQCE,BD

交〃于點M.

(1)求證：MB-MD,ME=MF

(2)當￡、尸兩點移動到如圖②的位置時，其他條件不變，上述結論能否成立？若成立請予以證

明；若不成立請闡明理由.

D

①

13已知：如圖A、D、C、B在同一直線上，AC=BD,AE=BF,CE=DF

求證：(1)DF〃CE(2)DE=CF

14.如圖，已知在AABC中，BE、CF分別是AC、AB兩條邊上的高，在BE上截取BD=AC,在CF時延

長線上截取CG=AB,連結AD、AG,