安徽省鼎尖教育聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高二數(shù)學(xué)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效.4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，再按交集的定義求解即可.【詳解】由，可得，所以，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，求出、，再計(jì)算其模.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，即，即，所以，解得，即，所?

故選：B3.已知平面向量，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、平面向量共線的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合輔助角公式、正弦的二倍角公式、充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.詳解】若，則有若，則有，或，解得：或，顯然由可以推出，但由不一定能推出，因此是的充分不必要條件，故選：A4.腰鼓是中國(guó)漢族古老的民族打擊樂(lè)器，腰鼓為木制鼓身，兩端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中間粗，兩端細(xì)．一種腰鼓長(zhǎng)為40cm，兩側(cè)鼓面直徑為20cm，中間最粗處直徑為24cm，若將該腰鼓近似看作由兩個(gè)相同圓臺(tái)拼接，則腰鼓的體積約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以腰鼓的體積.故選：D5.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上也是單調(diào)遞增，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以有，即，故選：A6.正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成等腰梯形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)組合的定義，結(jié)合正六邊形和等腰梯形的性質(zhì)、古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，不同方法共有種方法，在如圖所示正六邊形中，顯然四邊形、、、、、是等腰梯形，共個(gè)，因此正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成等腰梯形的概率是，故選：D7.是定義在R上的函數(shù)，若，且對(duì)任意，滿足，，則（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】C【解析】【分析】首先推導(dǎo)出，從而得到，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，即，所以，又，所以，所?故選：C8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求出，再根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】解：，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于隨機(jī)事件和事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若與相互獨(dú)立，則 D.若與相互獨(dú)立，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：若與互斥，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若與互斥，則，故B正確；對(duì)于C：若與相互獨(dú)立，則，故C正確；對(duì)于D：若與相互獨(dú)立，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷A、B；依題意可得，再由基本不等式判斷C、D.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，解得，所以，故的最大值為，故A正確；，即，又，所以，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故B正確；由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，又為正數(shù)，矛盾，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD11.在菱形中，邊長(zhǎng)為，，將沿對(duì)角線折起得到四面體，記二面角大小為，則下列結(jié)論正確的是（）A.對(duì)任意，都有B.存在，使平面C.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角為D.當(dāng)時(shí)，四面體外接球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，則，，所以為二面角的平面角，再證明平面，即可判斷A；推出矛盾，即可判斷B；證明平面平面，則為直線與平面所成角，即可判斷C；求出外接球的半徑，即可判斷D.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，依題意可得，，則為二面角的平面角，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；在菱形中，邊長(zhǎng)為，，所以，若平面，平面，則，所以，與矛盾，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫制矫?，所以平面平面，所以為直線與平面所成角，當(dāng)，則，即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角為，故C正確；在中，時(shí)，取、的外心、，則，，過(guò)、分別作、的垂線交于點(diǎn)，則為四面體外接球球心，連接，則，設(shè)外接球的半徑為，則，所以四面體外接球的表面積，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.天然氣是潔凈燃?xì)?，供?yīng)穩(wěn)定，能夠改善空氣質(zhì)量，因而能為地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供新的動(dòng)力，帶動(dòng)經(jīng)濟(jì)繁榮及改善環(huán)境．多年來(lái)，我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)天然氣生產(chǎn)穩(wěn)定增長(zhǎng)，2023年5月至2024年4月，天然氣日均產(chǎn)量（單位：億立方米）依次為6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列依次：，，，，，，，，，，，，又，所以上四分位數(shù)是.故答案為：13.將函數(shù)的圖象向右平移后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小正值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】首先求出平移后的函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移得到，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，所以的最小正值為.故答案為：14.若用表示不大于x的最大整數(shù)，用表示不小于x的最小整數(shù)，那么方程的最大整數(shù)解為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)除以的余數(shù)，結(jié)合題中定義分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)方程有正整數(shù)解，因此不用討論是負(fù)整數(shù)的情況，當(dāng)時(shí)，由；當(dāng)時(shí)，由；當(dāng)時(shí)，由；當(dāng)時(shí)，由；當(dāng)時(shí)，由，由上可知當(dāng)時(shí)，方程的最大整數(shù)解為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)的形式分類討論.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.為推動(dòng)安徽省鄉(xiāng)村旅游發(fā)展提質(zhì)增效，更好滿足人民群眾旅游消費(fèi)升級(jí)需求，助力鄉(xiāng)村全面振興，安徽省實(shí)施精品示范工程打造“皖美休閑旅游鄉(xiāng)村”行動(dòng)方案，實(shí)施“微創(chuàng)意、微改造”，促進(jìn)“精提升”，建設(shè)“皖美”鄉(xiāng)村新風(fēng)景，打造全國(guó)知名的鄉(xiāng)村旅游目的地．某學(xué)校興趣小組同學(xué)利用暑假時(shí)間，在全省范圍內(nèi)調(diào)查了100個(gè)休閑旅游鄉(xiāng)村，并從環(huán)境風(fēng)貌、資源價(jià)值、基礎(chǔ)設(shè)施等方面進(jìn)行綜合評(píng)分，將評(píng)分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求的值，并求這100個(gè)休閑旅游鄉(xiāng)村評(píng)分的平均分；（2）若評(píng)分在80分及以上的鄉(xiāng)村稱為“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”，其中評(píng)分在80,90為“推薦指數(shù)四顆星”，評(píng)分在90,100為“推薦指數(shù)五顆星”．興趣小組同學(xué)用分層抽樣的方法在“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”中抽取7個(gè)鄉(xiāng)村進(jìn)行第一批次的校內(nèi)宣傳，并從這7個(gè)鄉(xiāng)村中隨機(jī)抽取2個(gè)鄉(xiāng)村在校園內(nèi)做展板宣傳，求這2個(gè)鄉(xiāng)村正好是“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個(gè)的概率．【答案】（1），分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為得到方程求出，再根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式求出平均數(shù)；（2）首先求出“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”各抽取的個(gè)數(shù)，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方可知，解得；則這100個(gè)休閑旅游鄉(xiāng)村評(píng)分的平均分為：；【小問(wèn)2詳解】“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個(gè)）；“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個(gè)）；按照分層抽樣，可知“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村抽取個(gè)，可知“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村抽取個(gè)，從個(gè)鄉(xiāng)村中隨機(jī)抽取個(gè)鄉(xiāng)村共有種情形，其中“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個(gè)有種情形，所以“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個(gè)的概率.16.如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的正弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，利用三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合異面直線所成角定理、直棱柱的性質(zhì)、余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接交于，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，因此四邊形是正方形，所以是的中點(diǎn)，而D是AB的中點(diǎn)，因此有，而平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），因?yàn)槭钦叫危?，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，因此四邊形是正方形，因此有，在直三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線，因此有，由余弦定理可知：，因此.17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求角；（2）若，．平分交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）首先利用余弦定理求出，再由等面積法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以；【小?wèn)2詳解】在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），又，，所以，解得.18.如圖，在四棱錐中，，，底面是直角梯形，，，．（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求平面與平面所成銳二面角正切值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再說(shuō)明，即可得到平面，從而得證；（2）由（1）可知，再說(shuō)明，得到平面，即可得證；（3）延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，過(guò)作于點(diǎn)，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，則，即可得到平面，則是二面角的平面角，求出的長(zhǎng)度，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪危?，，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】由（1）可知平面，平面，所以，在梯形中，，，，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；【小問(wèn)3詳解】延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，過(guò)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，因?yàn)榍?，所以為的中點(diǎn)，又為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以在中，，，所以，所以，又平面，平面，所以，在中，，所以平面與平面所成銳二面角的正切值為.19.已知定義在R上的函數(shù)，．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若函數(shù)，實(shí)數(shù)a、b、c滿足，，求c的最小值．（參考公式：如果a、b、c是正實(shí)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．）【答案】（1）奇函數(shù)，證明詳見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證得是奇函數(shù).（2）由分離常數(shù)，利用換元法法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及函