2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量及其應(yīng)用 6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 6.3.4（教學(xué)用書）教案 新人教A版必修第二冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.4（教學(xué)用書）教案新人教A版必修第二冊課題：科目：班級：課時：計(jì)劃1課時教師：單位：一、教材分析本節(jié)課為人教A版必修第二冊高中數(shù)學(xué)第六章“平面向量及其應(yīng)用”中的6.3.4節(jié)，主要內(nèi)容是平面向量基本定理及坐標(biāo)表示。這一節(jié)是向量部分的核心內(nèi)容，是對之前所學(xué)向量知識的綜合應(yīng)用和提升。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握平面向量基本定理，理解向量坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)，并能運(yùn)用這些知識解決一些實(shí)際問題。

本節(jié)課的內(nèi)容與學(xué)生的日常生活和實(shí)際應(yīng)用緊密相連，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。同時，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)的向量運(yùn)算和相關(guān)應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，學(xué)生將能夠運(yùn)用邏輯推理能力理解向量基本定理的內(nèi)涵，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象能力理解向量坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)。同時，學(xué)生還能通過解決實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)建模能力，將所學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際情境中。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將更好地理解向量的概念，提高數(shù)學(xué)思維能力。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了向量的基本概念，包括向量的定義、向量的模、向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算。此外，學(xué)生還應(yīng)該具備一定的坐標(biāo)運(yùn)算知識，如二維坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)表示和運(yùn)算。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：對于高中階段的學(xué)生，數(shù)學(xué)學(xué)科是他們學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。平面向量及其應(yīng)用作為數(shù)學(xué)中的重要概念，涉及到向量的運(yùn)算和實(shí)際應(yīng)用問題，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力具有重要意義。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生可能更傾向于通過實(shí)例和具體問題來理解和掌握知識，因此，在教學(xué)過程中，教師可以結(jié)合具體案例和實(shí)際問題進(jìn)行講解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示時，學(xué)生可能對向量坐標(biāo)表示的抽象概念難以理解，難以將向量與坐標(biāo)建立起聯(lián)系。此外，學(xué)生可能對如何運(yùn)用平面向量基本定理解決實(shí)際問題感到困惑，無法將理論知識應(yīng)用于實(shí)際情境中。因此，在教學(xué)過程中，教師需要注重引導(dǎo)學(xué)生理解向量坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)，并通過實(shí)例和練習(xí)題幫助學(xué)生掌握運(yùn)用平面向量基本定理解決實(shí)際問題的方法。四、教學(xué)方法與策略1.選擇適合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點(diǎn)的教學(xué)方法：為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，本節(jié)課將采用講授法為主，結(jié)合案例研究和項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)。通過講解向量基本定理的內(nèi)涵和坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生能夠清晰地了解向量的相關(guān)概念。

2.設(shè)計(jì)具體的教學(xué)活動：為了促進(jìn)學(xué)生的參與和互動，可以設(shè)計(jì)一些小組討論和合作活動。例如，讓學(xué)生分組討論向量坐標(biāo)表示的實(shí)例，通過互相交流和分享，加深對向量坐標(biāo)表示的理解。此外，可以組織學(xué)生進(jìn)行角色扮演，模擬向量加法和數(shù)乘運(yùn)算的過程，增強(qiáng)學(xué)生對向量運(yùn)算的直觀感受。

3.確定教學(xué)媒體使用：為了輔助教學(xué)，可以利用多媒體課件和網(wǎng)絡(luò)資源。通過課件展示向量的圖形和實(shí)例，幫助學(xué)生直觀地理解向量的概念和運(yùn)算。同時，可以引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源查找相關(guān)的實(shí)際問題，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力。五、教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：提供包含平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的PPT、視頻和文檔等預(yù)習(xí)資料，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：提出問題如“向量坐標(biāo)表示的意義是什么？”、“如何運(yùn)用向量基本定理解決實(shí)際問題？”等，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過在線平臺或微信群收集學(xué)生的預(yù)習(xí)筆記和疑問，確保學(xué)生充分預(yù)習(xí)。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生獨(dú)立閱讀資料，理解平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的概念。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生針對問題進(jìn)行思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)成果提交至平臺或老師處，以便教師了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提高他們的獨(dú)立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺和微信群進(jìn)行預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解本節(jié)課的主題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過一個實(shí)際問題或情境，如“如何在坐標(biāo)系中表示一個物體的位移？”引出平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的重要性。

-講解知識點(diǎn)：詳細(xì)講解平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示的方法，結(jié)合具體例子幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動：分組進(jìn)行角色扮演，模擬向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握向量的坐標(biāo)表示。

-解答疑問：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，進(jìn)行及時解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：學(xué)生在小組討論中積極發(fā)言，參與角色扮演，親身體驗(yàn)向量的坐標(biāo)表示。

-提問與討論：學(xué)生針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細(xì)講解幫助學(xué)生理解知識點(diǎn)。

-實(shí)踐活動法：通過角色扮演等活動，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握向量的坐標(biāo)表示。

-合作學(xué)習(xí)法：通過小組討論培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的知識點(diǎn)。

-通過實(shí)踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置與平面向量基本定理及坐標(biāo)表示相關(guān)的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：推薦學(xué)生閱讀相關(guān)的書籍、訪問專業(yè)網(wǎng)站或觀看教學(xué)視頻，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識點(diǎn)。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生利用推薦的資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和作業(yè)進(jìn)行反思總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的知識點(diǎn)。

-通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。六、教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的數(shù)學(xué)史：可以向?qū)W生介紹平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的起源和發(fā)展歷程，例如，向量的概念最早可以追溯到牛頓和萊布尼茨的時代，而向量的坐標(biāo)表示則是在19世紀(jì)由法國數(shù)學(xué)家嘉當(dāng)?shù)热税l(fā)展起來的。

（2）平面向量基本定理及坐標(biāo)表示在實(shí)際中的應(yīng)用：可以向?qū)W生介紹平面向量基本定理及坐標(biāo)表示在物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，例如，在物理學(xué)中，向量可以表示力的大小和方向，而在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，向量可以用于圖像處理和機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。

（3）平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的拓展知識：可以向?qū)W生介紹與平面向量基本定理及坐標(biāo)表示相關(guān)的拓展知識，例如，向量的內(nèi)積、外積、范數(shù)等概念。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生閱讀平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的數(shù)學(xué)史，了解平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的起源和發(fā)展歷程，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)歷史的興趣和認(rèn)識。

（2）讓學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)或書籍查找平面向量基本定理及坐標(biāo)表示在實(shí)際中的應(yīng)用案例，了解平面向量基本定理及坐標(biāo)表示在現(xiàn)實(shí)世界中的重要性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

（3）讓學(xué)生學(xué)習(xí)與平面向量基本定理及坐標(biāo)表示相關(guān)的拓展知識，如向量的內(nèi)積、外積、范數(shù)等，擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識面，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（4）讓學(xué)生嘗試解決一些與平面向量基本定理及坐標(biāo)表示相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如向量的加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算問題，以及利用平面向量基本定理解決實(shí)際問題等，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力。七、板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識點(diǎn)：

1.平面向量基本定理：若兩個非零向量a和b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。

2.向量的坐標(biāo)表示：向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a和向量b的數(shù)量積為a·b=x1x2+y1y2。

3.向量的模：向量a=(x1,y1)，則向量的模|a|=√(x1^2+y1^2)。

②關(guān)鍵詞匯：

1.共線

2.實(shí)數(shù)λ

3.數(shù)量積

4.向量的模

③板書示例：

1.平面向量基本定理：

-若兩個非零向量a和b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。

2.向量的坐標(biāo)表示：

-向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a和向量b的數(shù)量積為a·b=x1x2+y1y2。

3.向量的模：

-向量a=(x1,y1)，則向量的模|a|=√(x1^2+y1^2)。

板書設(shè)計(jì)應(yīng)條理清楚、重點(diǎn)突出、簡潔明了，以便于學(xué)生理解和記憶。同時，板書設(shè)計(jì)應(yīng)具有藝術(shù)性和趣味性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。八、重點(diǎn)題型整理1.向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用：

-題型：已知向量a=(2,3)，求向量b=(-1,2)與向量a的數(shù)量積。

-答案：向量b與向量a的數(shù)量積為b·a=(-1)*2+2*3=4+6=10。

2.平面向量基本定理的應(yīng)用：

-題型：已知向量a和向量b共線，且a=（3，2），求實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。

-答案：由于a和b共線，存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。根據(jù)題目條件，可以列出方程3=λ*(-1)和2=λ*2，解得λ=1。

3.向量的模的應(yīng)用：

-題型：已知向量a=(x1,y1)，求向量a的模。

-答案：向量a的模為|a|=√(x1^2+y1^2)。

4.向量坐標(biāo)表示與模的關(guān)系：

-題型：已知向量a=(2,3)，求向量a的模，并驗(yàn)證模的長度是否等于向量a的數(shù)量積的平方根。

-答案：向量a的模為|a|=√(2^2+3^2)=√13，向量a的數(shù)量積為a·a=2*2+3*3=12，12的平方根為2√3，所以|a|=√13=2√3。

5.平面向量基本定理與坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用：

-題型：已知向量a和向量b共線，且向量a=（2，3），向量b=（x2，y2），求實(shí)數(shù)λ和坐標(biāo)x2,y2。

-答案：由于向量a和向量b共線，存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。根據(jù)題目條件，可以列出方程組：2=λ*x2和3=λ*y2。解得λ=1，x2=2，y2=3。課堂1.課堂評價：通過提問、觀察、測試等方式，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行解決。

-提問：在課堂上，通過提問了解學(xué)生對平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的理解程度，及時發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)生的疑惑。

-觀察：觀察學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，如參與度、專注度等，及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，并采取相應(yīng)措施進(jìn)