2024年貴州省貴陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2024年貴州省貴陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1-z3）z=2+2i,則|z|=（）

A.V2B.2C.2V2D.4

2.（5分）已知直線/傾斜角的余弦值為-恪，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）,則直線/的方程為（）

A.2x+y-5=0B.2x-y-3=0C.x-2y=0D.x+2y-4=0

TTTTT

3.（5分）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則（a+b）.

4.（5分）已知圓Opx2+2x+y2-10與圓。2：x2+y2—x—3y=4交于A,B兩點(diǎn)，則1ABi=（）

V15—廣

A.——B.5C.V26D.3V3

2

5.（5分）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的大小依次成等差數(shù)列，AB=4,BC=5,則△ABC的外接圓半徑

為（）

VH「I—r-

A.—B.V7C.VnD.2V7

2

6.（5分）在。一余＞的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

一1

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為二

64

5

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為-％2

2

15

D.常數(shù)項(xiàng)為二

16

7.（5分）已知數(shù)列｛4〃｝滿足=3,6Zn+l+l=4142…即，數(shù)列｛加｝滿足力九=的。2…—城—境—…—W，

則bio=（）

A.-3B.-4C.-5D.-6

8.（5分）已知函數(shù)/■（%）=0上^，g（x）="e（L1）,函數(shù)y=g（g（尤））與函數(shù)y=3的

l+xlfc|x|+1,xg（-1,1）

圖象有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

A.（0,V2-1]B.（V2-1,1）C.（0,——]D.（^―2—>1）

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

（多選）9.（6分）下列論述正確的有（）

A.樣本相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)程度越弱

B.數(shù)據(jù)49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位數(shù)為38

C.若隨機(jī)變量X?N（7,。2）,且尸（X>9）=0.12,則P（5<X<7）=0.38

D.一組樣本數(shù)據(jù)XI,尤2,…，X6,其中尤1是最小值，尤6是最大值，則無(wú)2,Xi,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于

XI,XI,尤6的標(biāo)準(zhǔn)差

（多選）10.（6分）正弦型函數(shù)被廣泛運(yùn)用于信號(hào)處理領(lǐng)域.將不同周期的正弦型函數(shù)疊加，就可以構(gòu)建

各種各樣的信號(hào).如/（尤）=sinx+sin3x就能構(gòu)建一種信號(hào)，關(guān)于該函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.2n是/（x）的一個(gè)周期

B.X=Tl是/'（X）的一條對(duì)稱(chēng)軸

C.f（x）在[0,2川上有5個(gè)零點(diǎn)

D.f（x）的最大值為百

（多選）11.（6分）已知正四面體A8CZ）的棱長(zhǎng)為2,M,N分別是棱AD,BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N作正四

面體A8CZ）的截面a.有下列結(jié)論，其中正確的是（）

71

A.異面直線8C與所成角為§

B.MN=也

C.若截面a是三角形，則一定是等腰三角形

D.截面a的面積最小值為1

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）已知集合4={加，\m\},若26A,則機(jī)=.

13.（5分）已知F是橢圓J盤(pán)+，=1（。>40）的右焦點(diǎn),4為橢圓G的上頂點(diǎn),雙曲線。2：冬_*1

（機(jī)>0,?>0）與橢圓Q共焦點(diǎn)，若直線AF與雙曲線C2的一條漸近線平行，Ci,C2的離心率分別

為ei,62,則ei?e2=.

14.(5分)已知/(x)是R上的偶函數(shù)且滿足了'(x)+2f(x)—3ex+ex,若對(duì)VxeR,f(ax)W/(f+l)

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題(共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.(13分)已知數(shù)列｛珈｝的前〃項(xiàng)和為S”,且5?=2與一1(716W*).

(1)求數(shù)列｛礪｝的通項(xiàng)公式；

(2)從數(shù)列｛a”｝中剔除第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第3〃-2項(xiàng)后，將剩下的項(xiàng)保持順序不變組成

一個(gè)新數(shù)列｛加｝,求數(shù)列｛加｝的前2〃項(xiàng)和Tin.

16.(15分)某商場(chǎng)舉辦摸球答題贏購(gòu)物券活動(dòng)，顧客在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)達(dá)到一定金額即可參與.一次摸球答

題活動(dòng)中，顧客在裝有1個(gè)黑球和4個(gè)白球的盒子中隨機(jī)摸一個(gè)球(每個(gè)球除顏色外完全相同)，若摸

到黑球，在A類(lèi)題目中任抽一個(gè)回答，答對(duì)可獲得一張購(gòu)物券；若摸到白球，在B類(lèi)題目中任抽一個(gè)

回答，答對(duì)可獲得一張購(gòu)物券.假設(shè)每次摸球互不影響，且回答的題目不會(huì)重復(fù).已知小明答對(duì)每個(gè)A

類(lèi)題目的概率均為3答對(duì)每個(gè)2類(lèi)題目的概率均為3

68

(1)若小明在一次活動(dòng)中獲得了購(gòu)物券，求他在摸球時(shí)摸到的是黑球的概率；

(2)若小明連續(xù)參與三次活動(dòng)共獲得了X張購(gòu)物券，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

17.(15分)如圖.已知平行六面體ABC。-AiBiGDi的底面是菱形，ZABC^ZABBi=ZCBBi=60°,

CD=CC[=2y/3.

(1)求證：ACLBDi；

(2)求點(diǎn)Di到平面BiAC的距離.

18.(17分)已知A,3分別是橢圓C：噂+與=1(0Vb<2夜)的左、右頂點(diǎn)，R為橢圓C上異于A,B

°b

的一點(diǎn)，且滿足心R-kBR=一不

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)M(2,1),過(guò)點(diǎn)N(4,0)的直線交橢圓C于。，E兩點(diǎn)，直線。M,分別交直線x

=4于尸(xp,泗)，Q(回，泗)兩點(diǎn)，探究切+泗是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(17分)帕德近似(Padeapproximation)是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕德(Pade)于19世紀(jì)末提出的，其基本思想

是將一個(gè)給定的函數(shù)表示成兩個(gè)多項(xiàng)式之比的形式，具體是：給定兩個(gè)正整數(shù)〃2,n,函數(shù)/(x)在x

=0處的加，利帕德近似為R(x)=粵黑法二黑;，其中R(0)=/(0),R'(0)=/(0),R"

(0)=f"(0),R(m+n>(0)=/<m+n)(0)(x)為/聯(lián)1>(x)的導(dǎo)數(shù)).己知函數(shù)/(%)=僅

(x+1)在x=0處的［1,1］階帕德近似為RQ)=偌彳

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

11QQ

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)27?(%)；并比較一cos一與伍麗的大小.

9999V。

2024年貴州省貴陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1-z3）z=2+2i,則|z|=（）

A.V2B.2C.2V2D.4

【解答】解：由題意，（1+z）z=2+2z,解得z=4詈=2,則|z|=2.

故選：B.

2.（5分）已知直線/傾斜角的余弦值為-恪，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）,則直線/的方程為（）

A.2x+y-5=0B.2x-y-3=0C.x-2y=0D.x+2y-4=0

【解答】解：已知直線/傾斜角的余弦值為一。，即cos。=—咯，故sM8=竽，

所以領(lǐng)”黑=-2,

由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）,

故直線的方程為丁-1=-2（%-2）,整理得2x+y-5=0.

故選：A.

TTTTT

3.（5分）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則（a+b）?

【解答】解：建立如圖所示坐標(biāo)系，

ICT-?

則a=(1,1),b=(1/—1),c=(2/1),

,->-->

則(a+b)-c=(2,0).(2,1)=4.

故選：D.

y

4.（5分）已知圓Oj/+2%+y2=io與圓。2：%2+丫2_%_3y=4交于A,B兩點(diǎn)，則|A8|=（）

V15—廣

A.——B.5C.V26D.3V3

2

【解答】解：圓01：7+『+2%-10=0與圓02：%2+/-l-3廠4=0與圓交于43兩點(diǎn)，

兩圓相減得3x+3y-6=0,即x+y-2=0,

又圓01：（x+1）2+y2=ll,

利用圓心（-1,0）到直線x+y-2=0的距離d==今,

所以|AB|=2]11-（壹）2=V26.

故選：C.

5.（5分）己知△ABC的內(nèi)角A,B,C的大小依次成等差數(shù)列，AB=4,BC=5,則△ABC的外接圓半徑

為（）

廣I—r-

A.——B.V7C.VHD.2V7

2

【解答】解：:△ABC的內(nèi)角A,B,C的大小依次成等差數(shù)列，

：.2B=A+C,

又?.?A+3+C=m

-''B=T

由余弦定理可得AC2=A32+BC2-2AB?BC?cosB

=42+52-2X4X5x1

=21,

：.AC=V21,

設(shè)△ABC外接圓的比較為R,

則由正弦定理可得2R=蕓=景,

LILJLJV3

T

：.R=y/7.

故選：B.

6.(5分)在(x-去＞的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為77

64

53

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為二％2

2

15

D.常數(shù)項(xiàng)為77

【解答】解：(尤—點(diǎn))6的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64,故A正確；

令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為(1-1)6=卷故8正確；

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)廠=3時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大，

即展開(kāi)式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，74=盤(pán)久3.(一金)3=_|我故c錯(cuò)誤；

根據(jù)通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=Cl-x6~r-(-2^)r=Cg-(-1)r-x6-2r,令6-|r=0,求得r=4,

可得展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為乃=盤(pán)(-》4=||,故。正確.

故選：C.

7.(5分)已知數(shù)列｛即｝滿足〃1=3,即+1+1=〃也2…斯，數(shù)列｛加｝滿足bn=的四…-憂一)-----成，

則bio=()

A.-3B.-4C.-5D.-6

【解答】解：由劭+1+1=4142…即，

可得an+l=aia2-anif〃22,

上面兩式相除可得an=等界，

即斯+1=磷+an-1,

即有忌=an+l~斯+1,

貝！JQ亥+02+…+欣=42-41+43-42+...+〃〃+1-即+"=?！?1-41+〃，

即有力九=。1@2…an~al~a2-----an=〃〃+1+1一(4〃+1-。1+〃)=1+〃1-

則從0=1+3-10=-6.

故選：D.

8.(5分)已知函數(shù)/(%)=仞0(%)=["")’'''LD,函數(shù)y=g(g(%))與函數(shù)y=3的

1+xkk\x\+2/xg(—1/1)

圖象有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)％的取值范圍是()

A.(0,V2-1]B.(V2-1/1)C.(0,—^――]D.(―^――/1)

函數(shù)y=g(g(%))與函數(shù)y=3的圖象有5個(gè)不同的交點(diǎn)，

即g(g(x))=3有5個(gè)不同零點(diǎn)，

令g(x)=t,

則g⑺=3,

又g(1)=k+2,

當(dāng)H2>3時(shí)，g⑺=3有唯一的怎(-1,0),

即g(x)=/僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)攵+2=3時(shí)，g⑺=3有三個(gè)零點(diǎn)九=-1,Z2G(-1,0),13=1,

相應(yīng)的g(x)=/只有3個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)什2V3時(shí)，g(%)=3有三個(gè)零點(diǎn)力E(-8,一1),/2C(-1,0),￡36(1,+8

所以g(x)="有1個(gè)零點(diǎn)，

g(x)=/2有1個(gè)零點(diǎn)，

則g(X)=/3有3個(gè)零點(diǎn)，

又比3+2=3,

所以力3=p

,1

則丁>fc+2,

k

解得一1-aW/CW/一1,

又k>0,

所以k6（0/V2—1].

綜上，正實(shí)數(shù)4的取值范圍是（0,V2-1].

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

（多選）9.（6分）下列論述正確的有（）

A.樣本相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)程度越弱

B.數(shù)據(jù)49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位數(shù)為38

C.若隨機(jī)變量X?N（7,。2）,且尸（X>9）=0.12,則P（5<X<7）=0.38

D.一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,X6,其中XI是最小值，X6是最大值，則X2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于

XI,XI,X6的標(biāo)準(zhǔn)差

【解答】解：對(duì)于A,樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)

程度越弱，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,數(shù)據(jù)從小到大排列為：21,29,30,32,38,49,50,65,

因?yàn)?X60%=4.8,

所以第60百分位數(shù)為38,故8正確；

對(duì)于C,若隨機(jī)變量X?N（7,。2）,且P（X>9）=0.12,

所以P（7<X<9）=0.5-P（X>9）=0.38,

所以尸（5<X<7）=P（7<X<9）=0.38,故C正確；

對(duì)于D數(shù)據(jù)XI,X2,無(wú)6,其中xi是最小值，X6是最大值，去掉最大值和最小值，則標(biāo)準(zhǔn)差變小，

則X2,尤3,X4,尤5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于XI,XI,X6的標(biāo)準(zhǔn)差，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

（多選）10.（6分）正弦型函數(shù)被廣泛運(yùn)用于信號(hào)處理領(lǐng)域.將不同周期的正弦型函數(shù)疊加，就可以構(gòu)建

各種各樣的信號(hào).如/（X）=sinx+sin3x就能構(gòu)建一種信號(hào)，關(guān)于該函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.2TT是/（無(wú)）的一個(gè)周期

B.X=Tl是/'（X）的一條對(duì)稱(chēng)軸

C.f（x）在[0,上有5個(gè)零點(diǎn)

D.f（無(wú)）的最大值為日

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)?(x+2n)=sin(X+2JT)+sin3(x+2n)=sinx+sin3x=/(%),

所以2n是函數(shù)的周期，故A正確；

對(duì)于5,因?yàn)?(-x+2n)=sin(-x+2n)+sin3(-x+2n)=sin(-x)+sin(-3x)=-(sinx+sin3x)

=~f(%)，

所以/(x)關(guān)于(m0)對(duì)稱(chēng)，故5錯(cuò)誤；

對(duì)于C,D,因?yàn)?(-X+TT)=sin(-x+n)+sin3(-x+n)=sinx+sin3x=/(x),

所以/(%)關(guān)于％對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)性和周期性，只需研究/(%)在[0,芻上的單調(diào)性，

f(x)=sinx+sin3x=siiix+sin(x+2x)=sinx+sinxcos2x+cosxsin2x=sinx+sinx(1-2sin2x)+2sinxcos2x

=sirtr+sinx-2sin3x+2sinx(1-sin2x)=4sinr-4sin\,

令才=sinx,re[0,1],則y=4/-4p,y'=4-12?,

y'>0,得tW(0,圣,y=4/-4戶(hù)單調(diào)遞增，令寸<0,得tW怎,1),y=4/-4戶(hù)單調(diào)遞減，

當(dāng)上=.時(shí)，fWmax=4X學(xué)—4X虎1故￡)錯(cuò)誤；

又設(shè)sin%。=孚/=sinx在久E[0,芻上單調(diào)遞增，

所以了(%)在(0,xo)上單調(diào)遞增，在(乙,今上單調(diào)遞減，且/(0)=/6)=0,

7137r

根據(jù)/(x)的對(duì)稱(chēng)性可得/(x)在[0,2川上有5個(gè)零點(diǎn)，分別是0,TT,y.2TT,故C正確.

故選：AC.

(多選)11.(6分)已知正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為2,M,N分別是棱AD,BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N作正四

面體A3。的截面a.有下列結(jié)論，其中正確的是()

一71

A.異面直線BC與所成角為.

B.MN=42

C.若截面a是三角形，則一定是等腰三角形

D.截面a的面積最小值為1

【解答】解：對(duì)于A,連接AN、DN,則AN_LBC,DN1BC,且ANCDN=N,所以BC_L平面AND,

71

所以8CLAD,異面直線BC與AD所成的角為了選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,由選項(xiàng)A知，AN=DN=V3,所以MN=J(V3)2-12=V2,選項(xiàng)2正確；

對(duì)于C,由正四面體的對(duì)稱(chēng)性知，過(guò)所的截面為三角形時(shí)，只有AAND與LMBC,它們都是等腰三角

形，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于。，取正四面體ABC。的棱A3、CD的中點(diǎn)E和R連接EM、EN和FM、FN,

則EM〃AC,EM=|AC,DN//AC,DN=|AC,所以EM〃DN,且EM=DN,

所以四邊形EMBN是平行四邊形，也是正方形，此時(shí)截面面積最小，為1,選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）已知集合4=｛如\m\],若26A,則m=-2.

【解答】解：由題意，m=2或者防|=2,解得m=2或-2,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，不符合集合元素的互異性，

故m=-2.

故答案為：-2.

13.（5分）已知產(chǎn)是橢圓G：鳥(niǎo)+4=1（。>6>0）的右焦點(diǎn),A為橢圓C1的上頂點(diǎn),雙曲線。2：鳥(niǎo)—4=1

於bn乙

（m>0,〃>0）與橢圓。共焦點(diǎn)，若直線Ab與雙曲線C2的一條漸近線平行，Ci,Q的離心率分別

為ei,62,則即"2=1.

【解答】解：由題意可得ei=1一嗎,ei=Jl+鳥(niǎo),

由題意可得履F=Y=—M

bn“bn

即一=一,令一=—=t,

cmcm

所以4=。,可得〃2=廿+1=（1+/2）c2,

62=V1+t2?

1_____

所以?2

d￡2=而?*Vl+t=1.

故答案為：1.

14.(5分)已知/(x)是R上的偶函數(shù)且滿足，(x)+2f(x)=3炭+e，，若對(duì)VxER,f(ax)W/(/+l)

恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為「-2,2].

【解答】解：因?yàn)?G)是R上的偶函數(shù)，

所以/(-x)=f(X),

求導(dǎo)得(-x)=f(X),

所以/G)為R上奇函數(shù)，

又因?yàn)?(x)+2f(x)=3F+-%,

所以/(-x)+2/(-x)=3e—,

即-f(%)+2f(x)=3/%+/,

所以V(%)=4F+4e),

所以/(x)=^+e%="+正，

所以/(x)="--%=產(chǎn)一/,

所以當(dāng)%>0時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xVO時(shí)，ff(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

又因?yàn)閷?duì)VxER,f(ax)W/lf+l)恒成立，

所以-(f+1)

即20且--"+120在R上恒成立，

所以A=〃2-4W0,

解得-2WaW2.

故答案為：[-2,2].

四、解答題(共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.(13分)已知數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和為且5n=2a九一1(TIEN*).

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)從數(shù)列｛即｝中剔除第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第3〃-2項(xiàng)后，將剩下的項(xiàng)保持順序不變組成

一個(gè)新數(shù)列｛加｝,求數(shù)列｛加｝的前2〃項(xiàng)和及〃.

【解答】解：(1)由%=2a九一1(幾€N*),可得〃I=SI=2QI-1,解得〃1=1,

當(dāng)n22日寸，(In~~Sn-Sn-1~-1-2aH-1+1,

化為Cln—2dn-1，

則數(shù)列｛劭｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，可得劭=2〃-1；

(2)由數(shù)列｛金｝中第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第3〃-2項(xiàng)，構(gòu)成首項(xiàng)為1,公比為8的等比數(shù)列,

其和設(shè)為Un,且U"=、二等=(8〃-1),

1—O/

3九

則數(shù)列｛加｝的前2〃項(xiàng)和4=的〃-〃=號(hào)芻--，(8n-1)=|(8n-1).

16.(15分)某商場(chǎng)舉辦摸球答題贏購(gòu)物券活動(dòng)，顧客在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)達(dá)到一定金額即可參與.一次摸球答

題活動(dòng)中，顧客在裝有1個(gè)黑球和4個(gè)白球的盒子中隨機(jī)摸一個(gè)球(每個(gè)球除顏色外完全相同)，若摸

到黑球，在A類(lèi)題目中任抽一個(gè)回答，答對(duì)可獲得一張購(gòu)物券；若摸到白球，在B類(lèi)題目中任抽一個(gè)

回答，答對(duì)可獲得一張購(gòu)物券.假設(shè)每次摸球互不影響，且回答的題目不會(huì)重復(fù).已知小明答對(duì)每個(gè)A

類(lèi)題目的概率均為3答對(duì)每個(gè)8類(lèi)題目的概率均為±

68

(1)若小明在一次活動(dòng)中獲得了購(gòu)物券，求他在摸球時(shí)摸到的是黑球的概率；

(2)若小明連續(xù)參與三次活動(dòng)共獲得了X張購(gòu)物券，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)設(shè)事件4小明在摸球時(shí)摸到的是黑球，事件8：小明獲得購(gòu)物券，

1q_AtK

貝I」PQ4)=(,P(B⑷屋，P(4)=*=

所以尸(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|4)=|x|+^x|=j,

故所求概率為PQ4|B)=號(hào)罌=堂=/；

29

(2)由(1)小明在一次活動(dòng)中獲得購(gòu)物券的概率為3則X?8(3,1),

所以P(X=k)=以令氣33-k,左=0,1,2,3,

則X的分布列為：

X0123

p1248

279927

7

則E(X)=np=3x|=2.

17.(15分)如圖.已知平行六面體A8CQ-AiBiQDi的底面是菱形，ZABC^ZABBi=ZCBBi=60°,

CD=CCr=2V3.

(1)求證：AC±B￡)i；

(2)求點(diǎn)Di到平面81AC的距離.

【解答】解：（1）證明：：平行六面體ABCD-ALBICLDI的底面是菱形，

又NABC=/ABBi=/CBBi=60°,CD=CCr=2百，

.?.△ABBi,△ABC,△BCBi均為正三角形，

.\BD1=BC+CD+DDi=BC+BA+BB?AC=BC-BA,

—>—>—>—>—>—?—>

：.AC-B=（BC+BA+BB〉（BC-BA）

T—>T—T—>

22

=BC-BA+BB「BC-BB1-BA

11

=12-12+2遮x2V3x*-2V3x2遮x*=0,

T—>

：.AC±BD1,

：.AC±BDi；

（2）由（1）ACLBDi,同理可證3iC_L8Di,

XAcnsiC=c,

平面BiAC,

又BD]=BC+BA+BBlt

T2T—>—>2TT—>-?T—>

22

：.BD1=BC+BA+BB1+2BC-BAr+2BC-BB1+2BA-BB1

=12+12+12+2x2V3X2百x|x3=72,6也

由（1）可知四面體BiABC為棱長(zhǎng)為2百的正四面體，

：.B到平面B1AC的距離為J（2遮產(chǎn)-22=2V2,

/.點(diǎn)D到平面B1AC的距離為6/-2V2=4V2.

18.（17分）已知A,8分別是橢圓C：需+4=l（0Vb<2煙的左、右頂點(diǎn)，E為橢圓C上異于A,B

0b

的一點(diǎn)，且滿足%R-kBR=--T.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知點(diǎn)M(2,1),過(guò)點(diǎn)N(4,0)的直線交橢圓C于。，E兩點(diǎn)，直線。M,分別交直線x

=4于P(功，yp),Q(xq,%)兩點(diǎn)，探究型+網(wǎng)是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)設(shè)RQo,%),X(-2V2,0),S(2V2,0),

貝=—l，kpR=—‘°/—，

ARx+2y[2

0BRXQ-2^2

?kAR.kBR=_________S=2L=_工

kBR4

叱%o+2V2x0-2V2蜉-8

又胃+曾=1'得一S=—I解得”=2,

汽2y2

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+—=1.

82

(2)力+為為定值0,理由如下：

由題設(shè)直線。E的方程為y=Z(x-4),D(xi,yi),E(x2,>2),

(y=k(x—4)

聯(lián)立\x2y2,消去y整理得(1+49)323+64后-8=0,

lT+T=1

由A=(-32話)2-4(1+4爐)(64A2-8)>0,解得AV),

4

.32/64/C2-8

所以久，廠，

1+%2=-1---+--加----2%1