河南省濮陽市2025屆高三數(shù)學5月模擬考試試題理（含解析）

河南省濮陽市2025屆高三數(shù)學5月模擬考試試題理（含解析）

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）.

1.已知集合4={%|-2<無<2},3=卜，<一1卜則Ac3=（）

A.{x|x<0}B.{x\x<2}C.{x|-2<x<0}D.

{x|-3<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】

解分式不等式求出集合3,依據(jù)交集定義求出結(jié)果.

［詳解】B=|x||<-lj={x|-3<x<0}

則Ac3={M—2（尤<0}

本題正確選項：C

【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎題.

2.已知i是虛數(shù)單位，若2+，=z（l-則z的共軟復數(shù)彳對應的點在復平面的（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出z的坐標得答案.

2+i(l+z)(2+z)13.

【詳解】解：由2+4za",得2=口=退后=5+>

.?."上

22

13

則2的共輾復數(shù)Z對應的點的坐標為（一,一-）,在復平面的第四象限.

22

故選：D.

【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎

題.

3.若［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則下圖的程序框圖運行之后輸出的結(jié)果為（）

舁始I

A.49850B.49900C,49800D.49950

【答案】A

【解析】

由已知可得5=0x40+1x40+2x40+49x40+50x17=^^^x40+850=

2

49850,故選A.

JT

4.要得到丁=cos（2x—z）的圖象，只需將V=sin2x的圖象（）

TT1T

A.向左平移：個單位B.向左平移一個單位

48

TT77

C.向右平移7個單位D.向右平移一個單位

48

【答案】B

【解析】

試題分析：^cos(2x--)^sin(2X-7)+-=sin(2x+R=sin2(x+g,故要得到

jrTT

y=cos(2x——)的圖象，只需將y=sin2x的圖象向左平移一個單位

-48

考點：函數(shù)y=Asin(s:+。)的圖像和性質(zhì)

x+y..3

5.若變量x,V滿意約束條件<l,則z=lny—lnx的最大值為()

2x-y<3

A.2B.21n2C.—In2D.In2

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)約束條件得到可行域，將z=lny-lnx化為z=ln2,依據(jù)上的幾何意義可求得取

XX

。(1,2)時，上最大，代入可求得z的最大值.

X

【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：

y

-z=lny-lnx=ln—「.z取最大值時，一最大

xX

上的幾何意義為：(x,y)與原點連線的斜率

X

由上圖可知，點。與原點連線斜率最大

由I""得：C(l,2)=2

二?Zmax=ln2

J-y=TVX/max

本題正確選項：D

【點睛】本題考查線性規(guī)劃中斜率型的最值的求解，關(guān)鍵是能夠明確分式類型的目標函數(shù)的

幾何意義，屬于常規(guī)題型.

6.設四面體ABCD各棱長均相等，S為的中點，。為上異于中點和端點的任一點,

則ASQD在四面體的面BCD上的的射影可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可知四面體為正四面體，依據(jù)正四面體的特點可求得S在平面BCD上的射影點T在中

線DE上,且DT=；DE,又2。e平面BCD,可得射影三角形，從而得到結(jié)果.

【詳解】四面體各棱長相等，可知四面體A3CD為正四面體

取中點E，連接DE,如下圖所示：

作平面BCD,垂足為尸，由正四面體特點可知，/為ABCD中心，且。尸=2。后

3

作ST,平面BCD,垂足為T,可知ST//AE,且T為。E中點，則。T=；DE

即S在平面BCD上的射影點為T

又。,Qe平面BCD

.?.△。。?即為ASQ￡＞在平面BCD上的射影，可知③正確

本題正確選項：C

【點睛】本題考查投影圖形的求解問題，關(guān)鍵是能夠確定射影點所處的位置，屬于基礎題.

22

7.設雙曲線g=l的左、右焦點分別為耳，工過耳的直線/交雙曲線左支于A，3兩

點，則|A8|+忸閭的最小值為()

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

利用雙曲線定義可知求解|4月|+忸月|的最小值即為求解4a+|A4的最小值；當邳最小時,

A3為通徑，從而利用通徑長和雙曲線方程可求得所求最小值.

22_

【詳解】由土—匕=1得：a=2,b=#)

43

由雙曲線定義可知：閶—|A周=2a=4；忸閶—忸耳|=2a=4

.-.|A^|+|B^|=4+|AF;|+4+|B^|=8+|AB|

又為雙曲線的焦點弦最小時，A5為通徑

?平鼠。=亨=言=3.?.(RH^|)min=8+3=11

本題正確選項：B

【點睛】本題考查雙曲線的定義和幾何性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是能夠利用雙曲線的定義將問題轉(zhuǎn)

化為最短焦點弦的問題，依據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)可知最短的焦點弦為通徑，從而使問題得以求

8.支配A，B,C,D,E，P6名義工照看甲，乙，丙三位老人，每兩位義工照看一位老

人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工A擔心排照看老人甲，義工3擔心排照看老人乙,

則支配方法共有（）

A.30種B.40種C.42種D.48種

【答案】C

【解析】

【分析】

利用間接法求解，首先計算出全部的支配方法，減掉A照看老人甲的狀況和3照看老人乙的

狀況，再加回來多減一次的A照看老人甲的同時3照看老人乙的狀況，從而得到結(jié)果.

【詳解】6名義工照看三位老人，每兩位義工照看一位老人共有：廢盤=90種支配方法

其中A照看老人甲的狀況有：C；C：=30種

瓦照看老人乙的狀況有：C；C：=30種

4照看老人甲，同時3照看老人乙的狀況有：C：C；=12種

???符合題意的支配方法有：90-30-30+12=42種

本題正確選項：C

【點睛】本題考查利用排列組合解決實際問題，對于限制條件較多的問題，通常采納間接法

來進行求解.

9.已知。為A4BC內(nèi)一點，且AO=g（Q8+OC）,AD=tAC^若B,O,D三點共線,則

f的值為（）

1112

A.一B.-C.—D.一

4323

【答案】B

【解析】

設線段的中點為"，則O8+OC=2OM，因為20A=OB+OC，所以AO=OM，

則+++由3,0,。三點共線，得

244/44/

—I=1,解得t=—-,故選B.

44/3

點睛：利用平面對量判定三點共線往往有以下兩種方法:

①A3,C三點共線oAB=XAC；

②。為平面上任一點，4氏。三點共線0。4=；1。3+〃0。，且4+〃=1.

10.已知直線/與曲線y=d—x+1有三個不同的交點4(玉,%),5(%,%)，。(%,為)，且

3

\AB\=\AC\,則Za+X)()

i=i

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)函數(shù)解析式可推斷出曲線y=V—x+1關(guān)于點(0,1)對稱，由=|AC|可知4(0,1)且

x+x.=0

民C關(guān)于點A對稱，從而可求得o3代入求得結(jié)果.

02+%=2

【詳解】設/(%)=d—x+1,則y(x)+f(--V)=x'—x+l—x3+x+1=2

.??/(X)關(guān)于(0,1)對稱，即曲線y=V—x+1關(guān)于點(o,l)對稱

\AB\=\AC\,依據(jù)對稱性可知：4(0,1)

尢+%,0

2―1%2+%3=°

,%+%_11%+%=2

.2

3

￡(%+%)=(七+X)+(々+%)+(%+%)=1+2=3

i=l

本題正確選項：D

【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應用問題，解題關(guān)鍵是能夠依據(jù)解析式得到曲線的對稱點，

從而使問題得以求解.

11.已知拋物線G：V=4x，焦點F(1,0)和圓。2：(%—1)2+產(chǎn)=1，直線/：y=-X—1)與

G，C2依次相交于B(x2,y2),￡)(%%),(其中玉<々<%<%),

貝U|A4|CD|的值為()

e

A.1B.2C.

~4D.k-

【答案】A

【解析】

2

1."y=4x,焦點F(1,0),準線10：x=-l.

由定義得：|AF|=XA+1,

又；|AF|=|AB|+I,|AB|=XA,

同理：|CD|=XD,

1：y=k(x-1)時,代入拋物線方程，得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

?*.XAXD=1,則IABHCD1=1.

綜上所述，IABHCD|=1,

故選A.

點睛：本題主要考查拋物線定義應用、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查學生的計算實

力，利用拋物線定義表示出點到焦點的距離是關(guān)鍵.

12.如圖，點P在正方風光ABCD-A^C^對角線5C|上運動，則下列四個結(jié)論:

①三棱錐A-的體積不變;

②AP//平面AC。；

③DP±BC［；

④平面±平面ACD,.

PDB]

2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】

利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

【詳解】

對于①，由題意知ADXI!BC[,從而BCJ1平面AD.C,

故上隨意一點到平面的距離均相等,

"71AD}C

所以以尸為頂點，平面A2c為底面，則三棱錐A-。尸。的體積不變，故①正確;

對于②，連接AB,AG，4G//AD]且相等，由于①知：AD[〃BC[,

所以氏4〈"/面ACD1，從而由線面平行的定義可得，故②正確；

對于③，由于OCL平面3C51G，所以DCL3C],

若DPLBQ,則BQ1平面DCP,

BC,1PC,則戶為中點，與尸為動點沖突，故③錯誤;

對于④，連接。耳，由。耳，AC且。用LAR,

可得。耳，面AC。1，從而由面面垂直的判定知，故④正確.

故選：C.

【點睛】本題考查命題真假的推斷，解題時要留意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、

垂直的判定，要留意運用轉(zhuǎn)化的思想.

第n卷(非選擇題，共90分)

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分).

13.L6-一號]綻開式的常數(shù)項為.

IXyjx)

【答案】5

【解析】

【分析】

寫出綻開式的通項，整理可知當r=4時為常數(shù)項，代入通項公式求得結(jié)果.

【詳解】一4J綻開式的通項公式為：(+]=瑪?16「1_+]=瑪.(-1)'「°號

當30—3r=0,即廠=4時，常數(shù)項為：＜^.(-1)4=5

本題正確結(jié)果：5

【點睛】本題考查二項式定理中的求解指定項系數(shù)的問題，屬于基礎題.

14.如圖，在正方體ABC。-中，點。為線段3D的中點.設點P在線段CG上，直

線OP與平面48。所成的角為戊，則sin。的取值范圍是.

【解析】

【分析】

71冗

由題意可得直線利于平面初所成的角。的取值范圍是。。4再

4NA41GoNG!，,，

利用正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出取值范圍.

【詳解】由題意可得：直線8于平面4劭所成的角a的取值范圍是

717t

/AOA，,U404,5,

不妨取Z廬2.在Rt/\AOA\中，si/i/AOAi==—,=—^―,

A0V4+23

sinZGOAr=sin—2ZAO^)=sin2ZAO\=2sinZAO^cosZAO\

_OA/6A/3_2A/2V6

3333

since取值范圍是/[,

【點睛】本題考查了正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可、線面角的求法，考查了推

理實力，屬于中檔題.

15.如圖，設，ABC的內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,acosC+ccosA=bsmB,且

7T

NC43=：.若點，是,ABC外一點，DC=2,DA=3,則當四邊形面積最大值時,

6

【答案】平

【解析】

分析：由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理化簡已知等式可得

sin(A+C)=sin2B=>sinB=l.\B=,依據(jù)范圍Be(0,口)，可求B的值.

由余弦定理可得AC?=13-12cosD,由AABC為直角三角形，可求，S=—AC2,

ABC8

SABDc=3sinD,由三角函數(shù)恒等變換的應用可求四邊形的面積為

—73--V3COSD+3sinD=-sin(D-^)+—^3,利用三角函數(shù)化一公式得到最值時

82V28

的角C值.

r7T

詳解：6/cosC+ocosA=bsinB,由正弦定理得到sin(A+C)=sin2BsinB=1/.B=—.

在三角形ACD中由余弦定理得到AC?=]3_]2cos。，三角形ABC的面積為

-ACx^-AC=—AC2=-y/3--yj3cosD

24882

四邊形的面積為U百—2括cosD+3sinD=J3sin(。-+

82V28

當三角形面積最大時,‘in。一"=1，sin。=cos。=小=當

故答案為：2c

7

點睛：本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理，

三角函數(shù)恒等變換的應用以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想

和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

16.對于函數(shù)y=/(%),若存在區(qū)間切，當切時的值域為[妨，劭](左>。)，則稱

y=/U)為左倍值函數(shù).若/(%)=Inx+x是左倍值函數(shù)，則實數(shù)上的取值范圍是.

【答案】(1,")

e

【解析】

試題分析：由題意得In%+%=日有兩個不同的解，左=@3+1,則左'=^—3^=0=>%=6,

因此當Ovxve時，ke(-oo,l+-),當x〉e時，ke(0,1+-),從而要使ln%+x=Ax有

兩個不同的解，需左6(0,1+')

e

考點：函數(shù)與方程

【思路點睛】(1)運用函數(shù)圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其

表示的內(nèi)容，熟識圖象所能夠表達的函數(shù)的性質(zhì).

(2)在探討函數(shù)性質(zhì)特殊是單調(diào)性、最值、零點時，要留意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象

探討.

三、解答題(共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每

個試題考生都必需作答.第22,23題為選考題，考生依據(jù)要求作答).

17.已知數(shù)列｛〃｝的前n項和為Sn,S”+2=2,等差數(shù)列(??｝滿意偽%=3,仿+%=7

(I)求數(shù)列｛4｝,抄“｝的通項公式；

(II)證明：01b2+a2b3++anbn+1<3.

【答案】(I)a"="+l,；(II)詳見解析.

【解析】

【分析】

(I)依據(jù)久=S“—S“一］,整理可得用從而可知也｝為等比數(shù)列，將〃=1代入

S“+優(yōu)=2可求得伉，依據(jù)等比數(shù)列通項公式求出bn；將［%=3,4+%=7化為%和d的

形式，求解出基本量，依據(jù)等差數(shù)列通項公式求得4；(II)利用錯位相減法求解出

〃+3〃+3

a也+為4+…+6也1=3-一—,由三-〉0可證得結(jié)論.

［詳解］(［),S〃+4=2,當〃=1時，4=1=2—4.?.偽=1

當“22時，〃=S〃—=2一d―2+2_］,整理得：以=；2_］

二數(shù)列｛2｝是以1為首項，；為公比的等比數(shù)列

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d

a.+d—3[CL=2

ba=3,b+a=1,,,解得：F

r2[5q+4d=6[d=1

:,an=a1+(〃-l)d=2+(n-l)xl=〃+l

(II)證明：設7；=%打+。24+…+。也t=2xg+3x[g]I+…+(〃+l)?出

二三=2xg]+3xg]+…+(〃+1).

兩式相減可得:

2

3n+3

~2~2n+l

T=3-叱

2

〃+3

即01b2+44+…+ah—i=3--—

〃+3

^r>0也+。24+…+a,A1T<3

【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公工、錯位相減法求解數(shù)列的前”項和的問

題，屬于常規(guī)題型.

18.如圖所示，在四棱錐尸一A5CD中，AB±PC,AD//BC,ADLCD,且

PC=BC=2AD=2CD=2肥,PA=2.

(1)HI,平面ABCD；

⑵在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M—AC—。大小為60°?假如存在，求

黨PM的值；假如不存在，請說明理由.

【答案】(1)見證明(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)推導出/瓦LAGAPVAC,ABLPC,從而力瓦L平面用4進而用_LA5,由此能證明處_L

平面ABCD-,

(2)以"為原點，46為x軸，然為y軸，力戶為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能

求出在線段劃上，存在一點四使得二面角〃TC-2的大小為60°,—=4-273.

PD

【詳解】⑴..?在底面ABCD中，ADBC,AD±CD

且=2AD=2CD=272

：.AB=AC=2,BC=2A/2ABYAC

又ACnPC=C,ACu平面R4C,PCu平面PAC

???AB,平面PAC又平面PACAABLPA

VB4=AC=2,PC=2亞PALAC

又ABr\AC=A,ABu平面4BCZJ，ACu平面ABC。

；?上4平面ABC。

(2)方法一：在線段AD上取點N,使AN=2ND則MNPA

又由(1)得PA_L平面ABC。平面ABCD

又：ACu平面ABCD：.MN±AC作NOJ_AC于。

又,：MNcNO=N,MNu平面MNO,NOu平面MNO

AC,平面MVO又平面MNOAACLMO

又???ACLNONMON是二面角AC—O的一個平面角

設器則W=(l—x)AP=2—2x,ON=^AN^xAD=x

這樣，二面角M—AC—。的大小為60。

MN2—2Xr-

即tanNMON=-----=---------=tan60°=V3

ONx

即也=x=4—

PD

，滿意要求的點M存在，且%=4-26

PD

方法二：取的中點E，則AE、AD，AP三條直線兩兩垂直

可以分別以直線AE、AD，A尸為了、V、z軸建立空間直角坐標系

且由(1)知AP=(O,O,2)是平面ACD的一個法向量

設^■=xe(O,l)則ACV=(l—x)AP=2—2x,AN=xAD=y[lx

：.AM=(0,42x,2-2x),AC=("0,0)

設AQ=(a,Z?,c)是平面ACM的一個法向量

AQ-AM=42xb+(2-2x)c=Q”一人

則rr；?缶,

AQ-AC=y/2ci+y2b=0c=--------b

、2%2

令6=2x—2,則AQ=(—2x+2,2x—2,缶)，它背向二面角

又?.?平面ACD的法向量AP=(0,0,2),它指向二面角

這樣，二面角M—AC—。的大小為60。

242x

即cosAP,A。=(=cos60°=—

kfM2J(-2+2x)2+2-24+2

即x=4-2石

...滿意要求的點"存在，且也=4-

PD

【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查滿意二面角的點是否存在的推斷與求法，考查空間

中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解實力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

19.隨著手機的發(fā)展，“微信”漸漸成為人們支付購物的一種形式.某機構(gòu)對“運用微信支

付”的看法進行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“運用微信支付”贊成人

數(shù)如下表.

年齡

（單位：[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

歲）

頻數(shù)510151055

贊成人數(shù)51012721

（I）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，并推斷是否有99%

的把握認為“運用微信支付”的看法與人的年齡有關(guān)；

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計

贊成

不贊成

合計

（II）若從年齡在［45,65）的被調(diào)查人中依據(jù)贊成與不贊成分層抽樣，抽取5人進行追蹤調(diào)查,

在5人中抽取3人做專訪，求3人中不贊成運用微信支付的人數(shù)的分布列和期望值.

參考數(shù)據(jù):

pg.h)0.150.100.050.0250.01000050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

gn(ad-be)4,

K-=----------------------------------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(I)詳見解析；(II)詳見解析.

【解析】

【分析】

（I）依據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表，代入公式可求得K2土9.98>6.635,從而可知有99%的

把握；（II）依據(jù)分層抽樣的方法可知抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人,

依據(jù)超幾何分布的特點求得分布列和數(shù)學期望.

【詳解】（I）由頻數(shù)分布表得2x2列聯(lián)表如下：

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計

贊成102737

不贊成10313

合計203050

犬250x(3x10-27x10)2

?9.979>6.635

—37x30x13x20

,有99%的把握認為“運用微信溝通”的看法與人的年齡有關(guān)

（II）年齡在［45,65）中支持微信支付9人，不支持微信支付6人

由分層抽樣方法可知：抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人

設3人中不支持微信支付的人數(shù)為則自全部可能的取值為：0,1,2

尸（A。）啥』，尸"）=等?=|'尸（一）二等得

.Y的分布列為:

0i2

133

P

To5To

...E（J）=0*0.1+1x0.6+2*0.3=1.2

【點睛】本題考查獨立性檢驗、超幾何分布的分布列和數(shù)學期望的求解，對于學生的基礎計

算實力有肯定的考查，屬于常規(guī)題型.

20.已知橢圓C：W+方=1（?！?〉0）的兩個焦點分別為小工，|片引=2,點。在橢圓

上，且AQKK的周長為6

（I）求橢圓。的方程；

（II）若點P的坐標為（2,1）,不過原點。的直線/與橢圓C相交于A,3兩點，設線段A5

的中點為點P到直線/的距離為d,且M,O,P三點共線，求乜|43|2+9唐的

1316

最大值.

225?

【答案】（I）土+匕=1;（II）—.

433

【解析】

【分析】

（I）依據(jù)焦距和焦點三角形周長可求得。，J利用戶=/_02求得力，從而可得橢圓的方

程；（II）當直線/斜率不存在時，可推斷出"，O,P三點不共線，不符合題意；所以可假

設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出西+々和％/2；由三點共線得到斜率

3

相等關(guān)系，從而可求得上=-5；利用弦長公式和點到直線距離公式求得|A卻和d,代入可整

理出：—|AB|2+-d2=--（m+^]+—,可知當加=—±時取最大值.

13164（3）33

【詳解】（I）由題意得：2c=2,2a+2。=6

解得：a=2,c=l,\b2=a2-c2=3

22

二橢圓C的方程為工+匕=1

43

（II）設4（B（x2,y2）

當直線/與x軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，點〃在工軸上，且與。點不重合

明顯"，O,P三點不共線，不符合題設條件

故可設直線I的方程y=kx+m（mw0）

y=kx+m222

叫3f+4y2=12消去V整理得：（3+4A:）x+8bnx+4m-12=0①

貝iJ/=64左2m2-4（3+4左2）（4冽2一12）＞0

4m2-12一上，一（-4km3m}

—8km=；..點M的坐標為t

-玉+%-3+4左2,中2-3+4%213+4左23+4VJ

3m

.設=k-3+4K_j_

-.-M,0,P三點共線

OM_K°p--_4km-2

3+4產(chǎn)

m^Ok=-

2

此時方程①為：3x2-3/m;+m2-3=0;則A=3（12—〃）＞0

則石+々=m,西/=--一

2

二|A砰=（1+k2）[&+x?J-4V2]=j|（12-m）

,|8-2m|2|m-4|

又八「TFT

12,13,2(s2\(加―4)23(4?52

一\AB\-+——d~=(12-772-)+-----—=——m+-+—

1316v744(3)3

二當機=—ge(-273,26)時，^||AB|2+I?的最大值為,

【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解、直線與橢圓綜合應用中的求解最值的問題，解決直

線與橢圓綜合問題時，常采納聯(lián)立的方式整理出韋達定理的形式，利用韋達定理表示出所求

的距離或弦長，從而將所求問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)最值的求解問題.

21.已知aeR,函數(shù)/(力=111(苫+1)-爐+依+2

(I)若函數(shù)/(%)在[2,+8)上為減函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍；

(II)設正實數(shù)班+加2=1，求證：對/(%)2/(1)上的隨意兩個實數(shù)再，％，總有

f(%王+也W”%/(菁)+叫于(42)成立

【答案】(I)；(H)詳見解析.

【解析】

【分析】

(I)將問題轉(zhuǎn)化為r(x)WO在xe[2,zo)上恒成立，可得a〈2x———,令

h(x)=2x—--,可推斷出〃(九)在[2,+8)上單調(diào)遞增，即Mx).=為(2),從而可得。的

范圍；(II)構(gòu)造函數(shù)E(x)=/(見％+初/2)-町/(x)-初2/(x2)，xe(-l,x2],且

—利用導數(shù)可推斷出廠(%)在xe(—1,切上是減函數(shù)，得到E(x)之/(9)，閱

歷算可知/％)=0,從而可得了(嗎]+?%2)?町/(%)+m2/(為2)，從而可證得結(jié)論.

【詳解】(I)由題意知：f'(x\=---2x+a

x+1

?函數(shù)/(X)在[2,+8)上為減函數(shù)，即/'(X)?。在%W[2,+8)上恒成立

即：a<2x---匚在xw[2,+oo)上恒成立

x+1

設/z(x)=2x----

X+1

當x?2時，」一單調(diào)遞減，2x單調(diào)遞增

X+1

在[2,+8)上單調(diào)遞增h[x)^="2)=4—g=g.-.tz<y

即〃的取值范圍為：[一°0，]

(II)設一1<玉4工2,令：F(%)=/(m1x+m2x2)-m1/(x)-m2/(x2),xe(-l,x2]

則歹(無2)=/[的+?)尤2]-的+?)/(%)=0

尸'(％)二町/'(叫X+叫%)-m1]/'(叫'+呵%2)-/'(%)]

%工+叫%2-x=x(jr\-1)+叫42=~m1x+m2x2=和仁-x)>0

/.m{x+m2x2>x

f\x)=-^-2x+a,令g(x)=/'(x),則g'(H=一曰’―2<0

.,./'(x)在xe(-l,+8)上為減函數(shù)：.f'[m^x+)<f(%)

,

z/71[/(An1x+m,%2)-/"(%)]<0,即F'(x)<0

二.網(wǎng)光)在xe(-l，w]上是減函數(shù)/.F(x)>F(x2)=