2025年黑龍江省安達市重點中學高三下學期3月測試數(shù)學試題試卷含解析

2025年黑龍江省安達市重點中學高三下學期3月測試數(shù)學試題試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線：繞其對稱中心旋轉后可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率等于（）A． B． C．2或 D．2或2．為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計該店2017年每周六的銷售量及當天氣溫得到如圖所示的散點圖（軸表示氣溫，軸表示銷售量），由散點圖可知與的相關關系為（）A．正相關，相關系數(shù)的值為B．負相關，相關系數(shù)的值為C．負相關，相關系數(shù)的值為D．正相關，相關負數(shù)的值為3．《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤4．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．5．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．7．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù),關于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．9．設，則A． B． C． D．10．對某兩名高三學生在連續(xù)9次數(shù)學測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數(shù)學成績分析．①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；④乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．912．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則.14．曲線在點處的切線方程為______.15．已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2，則該圓柱的底面半徑為__________.16．三棱錐中，點是斜邊上一點.給出下列四個命題：①若平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內(nèi)心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確命題的序號都填上）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線為，試求實數(shù)，的值；（2）當時，若有兩個極值點，，且，，若不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）已知射線與曲線交于兩點，射線與直線交于點，若的面積為1，求的值和弦長．20．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．22．（10分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若均為正實數(shù)，且滿足，為的最小值，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由雙曲線的幾何性質與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結果.【詳解】由雙曲線的幾何性質與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，又雙曲線的焦點既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學思想.2．C【解析】

根據(jù)正負相關的概念判斷．【詳解】由散點圖知隨著的增大而減小，因此是負相關．相關系數(shù)為負．故選：C．本題考查變量的相關關系，考查正相關和負相關的區(qū)別．掌握正負相關的定義是解題基礎．3．B【解析】

依題意，金箠由粗到細各尺重量構成一個等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質求出結果．【詳解】設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數(shù)列為，設首項，則，公差，.故選B本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4．D【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側面三角形的高，即可求解.【詳解】設四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質可得，又由到底面的距離即為側面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及球的性質的綜合應用，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.5．A【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質即可.【詳解】.故選：A.本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎題.6．A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項；當時，，排除C選項.故選：A.本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數(shù)值符號，結合排除法得出結果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7．B【解析】

設，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標，結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．8．A【解析】=,當時時,單調遞減，時,單調遞增,且當,當,

當時，恒成立，時,單調遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,,即.9．C【解析】分析：利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，然后求解復數(shù)的模.詳解：，則，故選c.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.10．C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題．11．D【解析】

根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質結合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當時，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個，

故選D．本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．12．D【解析】

先根據(jù)已知條件求解出的通項公式，然后根據(jù)的單調性以及得到滿足的不等關系，由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得，則.因為，數(shù)列是單調遞增數(shù)列，所以，則，化簡得，所以.故選：D.本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調性，可根據(jù)之間的大小關系分析問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質.【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉化的思想與方程思想.14．【解析】

對函數(shù)求導，得出在處的一階導數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運用直線的點斜式求出切線的方程.【詳解】令，，所以，又，所求切線方程為，即.故答案為：.本題考查運用函數(shù)的導函數(shù)求函數(shù)在切點處的切線方程，關鍵在于求出在切點處的導函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基礎題.15．【解析】

由圓柱外接球的性質，即可求得結果.【詳解】解：由于圓柱的高和球半徑均為2，,則球心到圓柱底面的距離為1，設圓柱底面半徑為，由已知有，∴，即圓柱的底面半徑為.故答案為：.本題考查由圓柱的外接球的性質求圓柱底面半徑，屬于基礎題.16．①②③【解析】

對①，由線面平行的性質可判斷正確；對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結合外接球半徑公式即可求解；對③，結合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對應面積公式求出錐體的高，則可求解；對④，由動點分析可知，當點與點重合時，直線與平面所成的角最大，結合幾何關系可判斷錯誤；【詳解】對于①，因為平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四個面都是直角三角形，∴①正確；對于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對于③，設內(nèi)心是，則平面，連接，則有，又內(nèi)切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時，點與點重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.本題考查立體幾何基本關系的應用，線面垂直的性質及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，，.【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在、之間的學生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算的值，結合參考臨界值表可得到結論；（2）從該校高一學生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率.由題意，求出分布列，根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在之間的學生人數(shù)為，在之間的學生人數(shù)為，所以低于60分的學生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又，所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關.（2）易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.依題意知，所以（），所以的分布列為0123P所以期望，方差.本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.18．（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，求得的值，根據(jù)切點在切線上以及斜率等于，構造方程組求得的值；（2）函數(shù)有兩個極值點，等價于方程的兩個正根，，不等式恒成立，等價于恒成立，，令，求出導數(shù)，判斷單調性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，，，聯(lián)立可得．（2）當時，，，有兩個極值點，，且，，是方程的兩個正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數(shù)，，故．該題考查的是有關導數(shù)的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值點的個數(shù)，構造新函數(shù)，應用導數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍，屬于較難題目.19．（1）,；（2）.【解析】

（1）先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程，再化成極坐標方程；（2）聯(lián)立極坐標方程，根據(jù)極徑的幾何意義可得，再由面積可解得極角，從而可得．【詳解】（1）直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），消去參數(shù)得直角坐標方程為：．轉換為極坐標方程為：，即．曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），轉換為直角坐標方程為：，化為一般式得化為極坐標方程為：．

（2）由于，得，．所以，所以，由于，所以，所以．本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.20．（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區(qū)購