2025年湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題練習(xí)卷(2)含解析_第1頁(yè)
2025年湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題練習(xí)卷(2)含解析_第2頁(yè)
2025年湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題練習(xí)卷(2)含解析_第3頁(yè)
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2025年湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題練習(xí)卷(2)考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,為邊上的中線,為的中點(diǎn),且,,則()A. B. C. D.2.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點(diǎn),使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.3.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.14.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知為圓:上任意一點(diǎn),,若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C.() D.()6.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點(diǎn)作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為()A. B. C. D.18.已知m,n是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,則;③若,,,則;④若,,,則其中正確的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④9.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.10.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.11.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角的平分線交于,,,則面積的最大值為__________.14.點(diǎn)是曲線()圖象上的一個(gè)定點(diǎn),過點(diǎn)的切線方程為,則實(shí)數(shù)k的值為______.15.設(shè),滿足約束條件,則的最大值為______.16.己知函數(shù),若曲線在處的切線與直線平行,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)設(shè)其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,,且數(shù)列前項(xiàng)和為,求的取值范圍.19.(12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,橢圓的離心率是,的面積是.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若點(diǎn)在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知,若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在曲線上,且的最小值為,求的值.21.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國(guó)有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí);(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí);(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷,且利潤(rùn)分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級(jí)不能外銷,利潤(rùn)記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元,求X的分布列與期望.22.(10分)如圖,在棱長(zhǎng)為的正方形中,,分別為,邊上的中點(diǎn),現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置,使得為直二面角.(1)證明:;(2)求與面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及,計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以,故選:A本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)量積的性質(zhì),屬于中檔題.2.B【解析】

由可得;由過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.3.C【解析】試題分析:設(shè),由題意,顯然時(shí)不符合題意,故,則,可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故選C.考點(diǎn):1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運(yùn)算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號(hào)是否成立,否則易出問題.4.D【解析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.5.B【解析】

如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.6.D【解析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),再與切線問題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.7.C【解析】

連結(jié)并延長(zhǎng)PO,交對(duì)棱C1D1于R,則R為對(duì)棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,推導(dǎo)出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng).【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長(zhǎng)PO,交對(duì)棱C1D1于R,則R為對(duì)棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.8.D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①;根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②;根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③;根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對(duì)于①,若,,,,兩平面相交,但不一定垂直,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若,,則,故②正確;對(duì)于③,若,,,當(dāng),則與不平行,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,若,,,則,故④正確;故選:D本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

利用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,解得,即函?shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時(shí),增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡(jiǎn),難度較易.10.D【解析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯(cuò)誤.故選:D.本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.11.B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行;當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行.所以當(dāng)時(shí),推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時(shí),可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來(lái)考慮,后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.12.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,即,所以,故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形:因?yàn)?,,由角平分線定理得,設(shè),則由余弦定理得:即當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)所以面積的最大值為15故答案為:15此題考查解三角形面積的最值問題,通過三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.14.1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo),再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得.【詳解】設(shè),由題意,∴,,,即,∴,.故答案為:1.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.15.29【解析】

由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標(biāo)函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),半徑最大,此時(shí)也最大,最大值為.所以本題答案為29.線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.16.【解析】

先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以,所以,解得.故答案為:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(I)零點(diǎn)分段法,分,,討論即可;(II),分,,三種情況討論.【詳解】原不等式即.當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)得.解得;當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)得.此時(shí)無(wú)解;當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)得.解得.綜上,原不等式的解集為由題意,設(shè)方程兩根為.當(dāng)時(shí),方程等價(jià)于方程.易知當(dāng),方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.此時(shí)方程在上無(wú)解.滿足條件.當(dāng)時(shí),方程等價(jià)于方程,此時(shí)方程在上顯然沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí),易知當(dāng),方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.此時(shí)方程在上也有一個(gè)實(shí)數(shù)根.滿足條件.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查解絕對(duì)值不等式以及方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.18.(1)(2)【解析】

(1)由,可求,然后由時(shí),可得,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求(2)由,而,利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),①②②①得,即,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,;(2)∴,∴,,.本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.19.(1);(2)證明見解析,.【解析】

(1)根據(jù)離心率和的面積是得到方程組,計(jì)算得到答案.(2)先排除斜率為0時(shí)的情況,設(shè),,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到,,根據(jù)化簡(jiǎn)得到,代入直線方程得到答案.【詳解】(1)由題意可得,解得,,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱,則直線與直線的斜率之和為零,與題設(shè)條件矛盾,故直線的斜率不為0.設(shè),,直線的方程為聯(lián)立,整理得則,.因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為1,所以,所以,將,代入上式,整理得.所以,即,則直線的方程為.故直線恒過定點(diǎn).本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線過定點(diǎn)問題,計(jì)算出是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.20.(1)(2)【解析】

(1)利用消參法以及點(diǎn)求解出的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程;(2)將的坐標(biāo)設(shè)為,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性,求解出取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】(1)消去參數(shù)得普通方程為,將代入,可得,即所以的極坐標(biāo)方程為(2)的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上,∴的最小值為到直線的距離的最小值∵,∴當(dāng),時(shí)取得最小值即,∴本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程

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