2023-2024學(xué)年9上數(shù)學(xué)期末考點（北師大版）猜題04 圖形的相似（易錯必刷30題8種題型專項訓(xùn)練）解析版

第4章圖形的相似（易錯必刷30題8種題型專項訓(xùn)練）比例的性質(zhì)平行線分線段成比例相似多邊形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的判定相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的應(yīng)用位似變換一．比例的性質(zhì)（共2小題）1．對等式進行變形，則下列等式成立的是（）A．2x＝3y B．3x＝2y C． D．【答案】B【解答】解：∵，∴3x＝2y，A、2x＝3y，不成立，故A不符合題意；B、3x＝2y，成立，故B符合題意；C、∵＝，∴2x＝3y，不成立，故C不符合題意；D、∵x＝y(tǒng)，∴2x＝3y，不成立，故D不符合題意；故選：B．2．若，則的值為（）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【解答】解：∵，∴＝＝＝，∴＝，故選：A．二．平行線分線段成比例（共1小題）3．如圖，已知AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】C【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，故A錯誤，，故B錯誤；，即，故C正確；，即，故D錯誤．故選：C．三．相似多邊形的性質(zhì)（共1小題）4．如圖，把一張矩形紙片沿著它的長邊對折（EF為折痕），得到兩個全等的小矩形．若小矩形的長與寬的比恰好等于原來矩形的長與寬的比，則小矩形的長與寬的比是（）A．2：1 B．3：2 C． D．【答案】D【解答】解：由折疊得：AE＝AD，由題意得：矩形ABFE與矩形ADCB相似，∴＝，∴AD?AE＝AB2，∴AD2＝AB2，∴＝2，∴AD：AB＝：1，故選：D．四．相似三角形的性質(zhì)（共1小題）5．如圖所示，若△DAC∽△ABC，則需滿足（）A．CD2＝AD?DB B．AC2＝BC?CD C． D．【答案】B【解答】解：由CD2＝AD?DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出結(jié)論；由AC2＝BC?CD，可得AC：BC＝CD：AC，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，故B選項正確；由得不出結(jié)論；由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得結(jié)論，但題目中未提及．故選：B．五．相似三角形的判定（共5小題）6．如圖，△ABC中，點D在線段AC上，連接BD，下列選項添加的條件中不能使△ABD與△ACB相似的是（）A． B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．AB2＝AD?AC【答案】A【解答】解：在△ABD與△ABC中，由于∠A＝∠A，若添加∠ADB＝∠ABC或∠ABD＝∠C，滿足“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”，故要使△ABD與△ABC相似，可添加一個條件B或C．在△ABD與△ABC中，由于∠A＝∠A，若添加，即AB2＝AD?AC，滿足“兩邊對應(yīng)成比例夾角相等的兩個三角形相似”，故要使△ABD與△ABC相似，可添加一個條件D．在△ABD與△ABC中，若添加，由于不能說明∠ADB＝∠ABC，也不能說明三邊對應(yīng)成比例，故要使△ABD與△ABC相似，不能添加一個條件A．故選：A．7．如圖，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，BM，CN交于點O，連接MN．下列結(jié)論：①∠AMN＝∠ABC；②圖中共有8對相似三角形；③BC＝2MN．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】C【解答】解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ANC＝∠AMB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ABM∽△ACN，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN＝∠ABC，故①正確；由題可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，∴圖中共有8對相似三角形，故②正確；∵Rt△ACN中，∠A＝60°，∴∠ACN＝30°，∴AN＝AC，又∵△AMN∽△ABC，∴，即BC＝2MN，故③正確．故選：C．8．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當(dāng)＝時，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；當(dāng)＝時，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即經(jīng)過2秒或0.8秒時，△QBP與△ABC相似．9．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，使得AE⊥DE；（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長；（3）當(dāng)△AED∽△ECD時，請寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5﹣3＝2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝；（3）解：線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系：AD＝AB+CD；理由是：過E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD＝∠DEC，∵∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF＝EC，∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點P從點A沿AC向C以2cm/s的速度移動，到C即停，點Q從點C沿CB向B以1cm/s的速度移動，到B就停．（1）若P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘S△PCQ＝2cm2；（2）若點Q從C點出發(fā)2s后點P從點A出發(fā)，再經(jīng)過幾秒△PCQ與△ACB相似．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒鐘S△PCQ＝2cm2，由題意得，AP＝2t，CQ＝t，則PC＝8﹣2t，由題意得，×（8﹣2t）×t＝2，整理得，t2﹣4t+2＝0解得，t＝2±，則P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過（2±）秒鐘S△PCQ＝2cm2；（2）設(shè)再經(jīng)過n秒△PCQ與△ACB相似由題意得，AP＝2n，CQ＝2+n，則PC＝8﹣2n，當(dāng)△PCQ∽△ACB時，＝，即＝，解得，n＝1.6，當(dāng)△PCQ∽△BCA時，＝，即＝，解得，n＝，綜上所述，點Q從C點出發(fā)2s后點P從點A出發(fā)，再經(jīng)過1.6秒或秒秒△PCQ與△ACB相似．六．相似三角形的判定與性質(zhì)（共14小題）11．如圖，△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC上的點，DE∥BC，點H是邊BC上的點，連接AH交線段DE于點G，且BH＝DE＝12，DG＝8，S△ADG＝12，則S四邊形BCED＝（）A．24 B．22.5 C．20 D．25【答案】B【解答】解：如圖所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，又∵BH＝DE＝12，DG＝8，∴，又∵DE＝DG+GE，∴GE＝12﹣8＝4，又∵△ADG與△AGE的高相等，∴，又∵S△ADG＝12，∴，又∵S△ADE＝S△ADG+S△AGE，∴S△ADE＝12+6＝18，又∵，∴，又∵S四邊形BCED＝S△ABC﹣S△ADE，∴，故選：B．12．如圖，將△ABC沿射線AC方向平移一定的距離，平移后的三角形記為△A′B′C′，邊A′B′剛好經(jīng)過邊BC的中點D，已知△ABC的面積為16，則陰影部分△A′DC的面積為（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解答】解：∵點D是BC的中點，∴CD＝BC，由平移得：AB∥A′B′，∴∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，∴△ABC∽△A′DC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ABC的面積為16，∴△A′DC的面積＝△ABC的面積＝4，故選：D．13．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，AC與BD相交于點O，則△ABO的面積與△CDO的面積的比為（）A．1：2 B． C．1：4 D．【答案】C【解答】解：設(shè)小方格的邊長為1，由圖可知，AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，且AB＝，CD＝2，∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，故選：C．14．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于點D，過D作BC的平行線交AC于M，若BC＝3，AC＝2，則DM＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∵DM∥CB，∴∠MDC＝∠DCB，∴∠MDC＝∠ACD，∴MD＝MC，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B，∠AMD＝∠ACB，∴△ADM∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DM＝，故選：B．15．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，在△ABC的內(nèi)部，作一個正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，則正方形PQRS的邊長為（）A． B． C．1 D．【答案】A【解答】解：如圖：設(shè)正方形PQRS的邊長為x，∵AD是△ABC的高，SR∥BC，∴AE是△ASR的高，則AE＝AD﹣ED＝2﹣x，∵四邊形PQRS是正方形，∴SR∥BC，∴△ASR∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴正方形PQRS的邊長為．故選：A．16．在?ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE交BD于點F，若EC＝2BE．則AF：FE的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：在菱形ABCD中，BE∥AD，AD＝BC，∴△BEF∽△DAF，∴BE：AD＝EF：AF，∵EC＝2BE，∴AD＝BC＝3BE，∴EF：AF＝，即AF：EF＝3．故選：A．17．如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若內(nèi)接矩形DEFG鄰邊DG：GF＝1：2，則△GFC與四邊形ABFG的面積比為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵DG：GF＝1：2，∴設(shè)DG＝x，F(xiàn)G＝2x，∵四邊形DEFG是矩形，∴FG∥DE，∴∠CGF＝∠A．∠CFG＝∠B，∴△CGF∽△CAB，∵CH⊥AB，F(xiàn)G∥DE，∴CH⊥FG，∴＝，∴＝，∴x＝2.5，經(jīng)檢驗，x＝2.5是原方程的根，∴FG＝5，∴＝（）2＝，∴△GFC與四邊形ABFG的面積比為＝1：3，故選：A．18．如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D為格點（即小正方形的頂點），AB與CD相交于點O，則AO的長為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示：在△BDF和△ECF中，，∴△BDF≌△ECF（AAS），∴BF＝EF＝，又∵BF∥DA，∴△BFO∽△ADO，∴，又∵AD＝4，∴，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，又∵AB＝AO+BO，∴AO＝，故答案為．19．如圖，a∥b∥c，直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為2，等邊△ABC的三個頂點分別在直線a、直線b、直線c上，則等邊三角形的邊長是2．【答案】2．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥直線b于D，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，作EG⊥直線c于G交直線a于F．則有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°，∴EF＝AE＝，∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5，∴AC＝＝＝2．∴等邊△ABC的邊長為2．故答案為：2．20．如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，若△ABC的面積為48，則△DEF的面積為16．【答案】16．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，∴∠AFE＝∠BDF＝∠DEC＝90°，∴∠AEF＝90°﹣∠A＝30°，∠BFD＝90°﹣∠B＝30°，∠EDC＝90°﹣∠C＝30°，∴∠DFE＝180°﹣∠AFE﹣∠BFD＝60°，∠FDE＝180°﹣∠BDF﹣∠EDC＝60°，∠DEF＝180°﹣∠DEC﹣∠AEF＝60°，∴∠DFE＝∠FDE＝∠DEF＝60°，∴△DFE是等邊三角形，∴DF＝EF，△ABC∽△DEF，在Rt△BDF和Rt△AFE中，∠BFD＝∠AEF＝＝30°，∴BD：DF：BF＝1：：2，AF：EF＝1：，∴AF：DF：BF＝1：：2，∴＝，∵△ABC∽△DEF，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ABC的面積為48，∴△DEF的面積＝16，故答案為：16．21．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，設(shè)BD＝x，則AD＝2x，AB＝3x，∵AE＝4，AC＝9，∴＝，解得：x＝（負值舍去），∴BD的長是．22．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．【答案】證明過程見解答部分．【解答】證明：（1）∵AB2＝BE?BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE?CD＝BC?ED．23．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B．（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB＝8．∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝16．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝16，AD＝12，∴AE＝＝＝＝4．24．如圖所示，在?ABCD中，AF平分∠BAD交直線BC于F，DE⊥AF交直線BC于E（1）求證：BE＝CF；（2）若點G為AB的中點，求的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∠DAF＝∠BAF，∴∠AFB＝∠BAF，∴AB＝FB，又∵DE⊥AF，∴∠AHG＝∠AHD＝90°，又∵∠AHG+∠GAH＝90°，∠AHD＝∠DAH＝90°，∠GAH＝∠DAH，∴∠AGH＝∠ADH，又∵AD∥EF，AB∥DC，∴∠ADG＝∠DEC，∠EGB＝∠EDC，又∵∠AGD＝∠BGE，∴∠DEC＝∠EDC，∴DC＝EC，∵AB＝DC，∴EC＝BF，又∵EC＝BE+BC，BF＝CF+BC，∴BE＝CF；（2）如圖所示：由（1）可知：AG＝AD，∵點G為AB的中點，∴AG＝AD＝，又∵AB＝DC＝BF＝EC，AD＝BC＝AG，∴AD＝BE＝BC＝CF＝，又∵∠AHD＝∠FHE，∠DAH＝∠EFH，∴△AHD∽FHE（AA），∴∴.七．相似三角形的應(yīng)用（共4小題）25．四分儀是一種十分古老的測量儀器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實地測得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四邊形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴＝，∴＝，∴EF＝4，∴BG＝EF＝4，故選：A．26．如圖，已知，M，N分別為銳角∠AOB的邊OA，OB上的點，ON＝6，把△OMN沿MN折疊，點O落在點C處，MC與OB交于點P，若MN＝MP＝5，則PN＝（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解答】解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折疊可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故選：D．27．明珠綠星數(shù)學(xué)社團想利用標(biāo)桿測量樓高，小明先在N處豎立一根高1.6m的標(biāo)桿MN，發(fā)現(xiàn)點B、M、P在同一直線上．測得PN＝0.5m，AN＝4.5m，已知，點A、N、P在同一直線上，MN⊥AP于點N，AB⊥AP于點A．則樓高AB為16m．【答案】16．【解答】解：∵MN⊥AP，AB⊥AP，∴∠BAP＝∠MNP＝90°，∵∠P＝∠P，∴△BAP∽△MNP，∴＝，∴＝，解得：AB＝16，∴樓高AB為16m，故答案為：16．28．綜合實踐活動在現(xiàn)實生活中，對于較高的建筑物，人們通常用圖形相似的原理測量建筑物的高度．如圖，九（1）班數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)們在綜合實踐課里測量學(xué)校里一棟教學(xué)樓MN的高度，他們在教學(xué)樓前的D處豎立一個長度為4米的直桿CD，測得DN等于18米，讓同學(xué)調(diào)整自己的位置，使得他直立時眼睛A、直桿頂點C和高樓頂點M三點共線．此時測量人與直桿的距離BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出這棟教學(xué)樓MN的高度．【答案】17.5米．【解答】解：如圖：過點A作AH⊥MN于點H，交CD于點E，則四邊形ABDE，四邊形ABNH都是矩形．∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米，∵CD＝4米，∴CE＝CD﹣DE