2023-2024學(xué)年9上數(shù)學(xué)期末考點（北師大版）猜題08 圓（易錯必刷40題13種題型專項訓(xùn)練）解析版

第8章圓（易錯必刷40題13種題型專項訓(xùn)練）圓的認(rèn)識切線的判定垂徑定理切線的判定與性質(zhì)圓周角定理切線長定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心點與圓的位置關(guān)系正多邊形和圓三角形的外接圓與外心扇形面積的計算切線的性質(zhì)一．圓的認(rèn)識（共1小題）1．如圖，一個人握著板子的一端，另一端放在圓柱上，某人沿水平方向推動板子帶動圓柱向前滾動，假設(shè)滾動時圓柱與地面無滑動，板子與圓柱也沒有滑動．已知板子上的點B（直線與圓柱的橫截面的切點）與手握板子處的點C間的距離BC的長為Lm，當(dāng)手握板子處的點C隨著圓柱的滾動運動到板子與圓柱橫截面的切點時，人前進(jìn)了2Lm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：因為圓向前滾動的距離是Lm，所以人前進(jìn)了2Lm．二．垂徑定理（共4小題）2．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長為（）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，由垂徑定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四邊形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四邊形MONP是正方形，∴OP＝3故選：C．3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD＝AP＝8，則⊙O的直徑為（）A．10 B．8 C．5 D．3【答案】A【解答】解：連接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，設(shè)OC＝x，則OA＝x，∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，∴OC2＝PC2+OP2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴⊙O的直徑為10．故選：A．4．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴點D是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，且OD＝BC，設(shè)OD＝x，則BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故選：C．5．在半徑為10cm圓中，兩條平行弦分別長為12cm，16cm，則這兩條平行弦之間的距離為（）A．28cm或4cm B．14cm或2cm C．13cm或4cm D．5cm或13cm【答案】B【解答】解：有兩種情況：①如圖，當(dāng)AB和CD在O的兩旁時，過O作MN⊥AB于M，交CD于N，連接OB，OD，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂徑定理得：BM＝AB＝8cm，DN＝CD＝6cm，∵OB＝OD＝10cm，由勾股定理得：OM＝＝6cm，同理ON＝8cm，∴MN＝8cm+6cm＝14cm，②當(dāng)AB和CD在O的同旁時，MN＝8cm﹣6cm＝2cm，故選：B．三．圓周角定理（共5小題）6．如圖，半圓O的直徑AB＝7，兩弦AC、BD相交于點E，弦CD＝，且BD＝5，則DE等于（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解法一：∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴＝；設(shè)BE＝2x，則DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）；連接BC，則∠ACB＝90°；Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，則BC＝x；在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x；由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，即：72＝（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣；由于x＜，故x＝﹣；則DE＝5﹣2x＝2．解法二：連接OD，OC，AD，∵OD＝CD＝OC則∠DOC＝60°，∠DAC＝30°又AB＝7，BD＝5，∴AD＝2，在Rt△ADE中，∠DAC＝30°，所以DE＝2．故選：A．7．如圖，⊙O的半徑為1，AB是⊙O的一條弦，且AB＝，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】D【解答】解：如圖，連接OA、OB，過O作AB的垂線；在Rt△OAC中，OA＝1，AC＝；∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°；∴∠D＝∠AOB＝60°；∵四邊形ADBE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AEB＝180°﹣∠D＝120°；因此弦AB所對的圓周角有兩個：60°或120°；故選：D．8．如圖，半圓的半徑OC＝2，線段BC與CD是半圓的兩條弦，BC＝CD，延長CD交直徑BA的延長線于點E，若AE＝2，則弦BD的長為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接OD，AD，∵BC＝DC，BO＝DO，∴∠BDC＝∠DBC，∠BDO＝∠DBO，∴∠CDO＝∠CBO，又∵OC＝OB＝OD，∴∠BCO＝∠DCO，即OC平分∠BCD，又∵BC＝DC，∴BD⊥CO，又∵AB是直徑，∴AD⊥BD，∴AD∥CO，又∵AE＝AO＝2，∴AD＝CO＝1，∴Rt△ABD中，BD＝＝＝．故答案為：．9．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD．（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長．【答案】（1）△BDE為等腰直角三角形．證明過程見解答部分；（2）BC＝8．【解答】（1）解：△BDE為等腰直角三角形．證明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．另解：計算∠AEB＝135°也可以得證．（2）解：連接OC、CD、OD，OD交BC于點F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分別延長AC，BD相交于點G．則△ABG為等腰三角形，先計算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根據(jù)面積相等求得BC．10．已知：如圖，在半徑為2的半圓O中，半徑OA垂直于直徑BC，點E與點F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE＝CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．（1）求四邊形AEOF的面積．（2）設(shè)AE＝x，S△OEF＝y(tǒng)，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求x的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC，∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，又∵AE＝CF，AB＝AC，∴BE＝AF，∴△BOE≌△AOF∴S四邊形AEOF＝S△AOB＝OB?OA＝2．（2）∵BC為半圓O的直徑，∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，y＝S△OEF＝S四邊形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE?AF＝2﹣x（2﹣x）∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．四．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，＝，AC為直徑，DE⊥BC，垂足為E．（1）求證：CD平分∠ACE；（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠ADC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝3．五．點與圓的位置關(guān)系（共4小題）12．如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC＝1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（）A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣【答案】B【解答】解：如圖，∵點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC＝1，∴C在⊙B上，且半徑為1，取OD＝OA＝2，連接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝CD，當(dāng)OM最大時，即CD最大，而D，B，C三點共線時，當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值為+；故選：B．13．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個動點（含端點B，不含端點C），連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D移動的過程中，BE的取值范圍是（）A．﹣2＜BE≤ B．﹣2≤BE＜3 C．≤BE＜3 D．﹣≤BE＜3【答案】B【解答】解：如圖，由題意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），∴BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中E′點），∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，則BM＝＝＝，∴BE長度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，當(dāng)BE最長時，即E與C重合，∵BC＝3，且點E與點C不重合，∴BE＜3，綜上，﹣2≤BE＜3，故選：B．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4，0），點B的坐標(biāo)為（0，3），⊙A的半徑為2，點C為⊙A上一動點，D為BC的中點，連接OD，則OD的最大值為3.5．【答案】3.5．【解答】解：∵點A的坐標(biāo)為（4，0），點B的坐標(biāo)為（0，3），∴OA＝4，OB＝3，如圖1，作點B關(guān)于x軸的對稱點B'，連接B'C，∴OB＝OB'＝3，∵D是BC的中點，∴OD是△BB'C的中位線，∴OD＝B'C，∴當(dāng)B'C最大時，OD有最大值，如圖2，當(dāng)B'，C，A共線時，B'C有最大值，由勾股定理得：AB'＝＝5，∴B'C＝B'A+AC＝5+2＝7，此時OD有最大值是B'C＝3.5，故答案為：3.5．15．如圖，等邊△ABC的邊長為4，D為BC邊上的中點，P為直線BC上方的一個動點，且滿足∠PAD＝∠PDC，則線段CP長的最小值為﹣．【答案】﹣．【解答】解：∵等邊△ABC的邊長為4，D為BC邊上的中點，∴∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠PDC＝90°，∵∠PAD＝∠PDC，∴∠PAD+∠ADP＝90°，∴∠APD＝90°，∴點P在以AD為直徑的⊙O上，連接OC，當(dāng)O，P，C三點共線時，PC的長最小，在Rt△ADC中，AC＝4，CD＝2，∴AD＝＝2，∵O是AD的中點，∴OD＝＝OP，由勾股定理得：OC＝＝＝，∴CP＝﹣，即線段CP長的最小值為﹣．故答案為：﹣．六．三角形的外接圓與外心（共3小題）16．下列四個命題：①等邊三角形是中心對稱圖形；②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；③三角形有且只有一個外接圓；④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：∵等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，∴①是假命題；如圖，∠C和∠D都對弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命題；三角形有且只有一個外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，即③是真命題；垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條弧，即④是真命題．故選：B．17．在△ABC中，I是外心，且∠BIC＝130°，則∠A的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．65°或115° D．65°或130°【答案】C【解答】解：當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時，則∠A＝∠BIC＝65°；當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時，則∠A＝180°﹣∠BIC＝115°．故選：C．18．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【答案】D【解答】解：如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點O，連接OA，OB，OC，則點O是△ABC外接圓的圓心，由題意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC＝，∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積＝﹣OA?OC﹣AB?1＝﹣××﹣×2×1＝﹣﹣1＝﹣，故選：D．七．切線的性質(zhì)（共5小題）19．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圓的圓心O在BC上，半圓與AB、AC分別相切于點D、E，則半圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接OE，OD，∵圓O切AC于E，圓O切AB于D，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，∵∠A＝90°，∴∠A＝∠ODA＝∠OEA＝90°，∵OE＝OD，∴四邊形ADOE是正方形，∴AD＝AE＝OD＝OE，設(shè)OE＝AD＝AE＝OD＝R，∵∠A＝90°，∠OEC＝90°，∴OE∥AB，∴△CEO∽△CAB，同理△BDO∽△BAC，∴△CEO∽△ODB，∴＝，即＝，解得：R＝，故選：A．20．如圖，P是拋物線y＝x2﹣4x+3上的一點，以點P為圓心、1個單位長度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線y＝0相切時，點P的坐標(biāo)為（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)y＝1時，x2﹣4x+3＝1，解得：x＝2±，∴P（2+，1）或（2﹣，1），當(dāng)y＝﹣1時，x2﹣4x+3＝﹣1，解得：x1＝x2＝2，∴P（2，﹣1），則點P的坐標(biāo)為：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．21．已知一個三角形的周長和面積分別是84、210，一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖），則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是84﹣π（結(jié)果保留準(zhǔn)確值）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖；設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為R，△DEF的內(nèi)切圓半徑為r；依題意有：×84×R＝210，即R＝5；易知：△DEF∽△ABC，且r：R＝4：5，∴C△DEF＝C△ABC＝67.2；易知：被圓滾過的三角形內(nèi)部的三角形也和△ABC相似；且其內(nèi)切圓半徑為：R﹣2＝3，即其面積＝S△ABC＝75.6；由圖知：S四邊形AHDG＝2S△AGD＝AG?1＝AG，同理S四邊形PEQB＝BQ，S四邊形CNFM＝CM；∴S四邊形AHDG+S四邊形PEQB+S四邊形CNFM＝AG+CM+BQ＝（C△ABC﹣C△DEF）＝8.4；而S扇形DHG+S扇形PEQ+S扇形FMN＝S單位圓＝π，∴所求的面積＝75.6+8.4﹣π＝84﹣π．22．已知點M（2.0），⊙M的半徑為1，OA切⊙M于點A，點P為⊙M上的動點，當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0）（，）時，△POA是等腰三角形．【答案】（1，0），（3，0），（，）．【解答】解：如圖，當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時，△POA是等腰三角形．理由如下：連接AM，∵M(jìn)（2.0），⊙M的半徑為1，∴OM＝2，AM＝PM＝1，∴OP＝1，∵OA切⊙M于點A，∴∠MAO＝90°，∴∠AOM＝30°，∴∠AMO＝60°，∴PA＝AM＝PM＝1，∴OP＝PA＝1，∴P（1，0）；當(dāng)OA＝OP′時，連接AP′交x軸于點H，∵OA切⊙M于點A，∴OP′切⊙M于點P′，∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，∴∠AOP′＝60°，∴△AOP′是等邊三角形，∴AP′＝OA＝＝＝，∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝，∴P′（，）；∵M(jìn)A＝MP″，∠AMO＝60°，∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，∴OA＝OP″，∴P″（3，0）．綜上所述：當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時，△POA是等腰三角形．故答案為：（1，0），（3，0），（，）．23．△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），過點D作⊙O的切線DF，交AB的延長線于F．（1）求證：DF∥BC；（2）連接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OD，∵DF是⊙O的切線，∴OD⊥DF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∴DF∥BC；（2）解：連接OB，∵，∴∠BOD＝∠BAC，由（1）知OD⊥BC，∴tan∠BOD＝，∵tan∠BAC＝2，∴，設(shè)ON＝x，BN＝2x，由勾股定理得：OB＝3x，∴OD＝3x，∴DN＝3x﹣x＝2x，Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，∴，x＝2或﹣2（舍），∴OB＝OD＝3x＝6，Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10．八．切線的判定（共2小題）24．如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，當(dāng)圓心O運動到點B時停止，點D、E始終在直線BC上．設(shè)運動時間為t（s），運動開始時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8cm．當(dāng)t＝1s，4s，7s時，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．【答案】1s，4s，7s．【解答】解：①當(dāng)圓心O運動到點E與點C重合是時，∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，此時AC與半圓O所在的圓相切，點O運動了2cm，所求運動時間為t＝2÷2＝1（s）；②當(dāng)圓心O運動到AC右側(cè)與AC相切時，此時OC＝6cm，點O運動的距離為8+6＝14（cm），所求運動時間為t＝14÷2＝7（s）；③如圖1，過C點作CF⊥AB，交AB于F點；∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴FO＝6cm；當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時，∵圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線BC上，∴O與C重合，即當(dāng)O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切；此時點O運動了8cm，所求運動時間為t＝8÷2＝4（s），當(dāng)點O運動到B點的右側(cè)，且OB＝12cm時，如圖2，過點O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，則OQ＝6cm，即OQ與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了32cm．所求運動時間為：t＝32÷2＝16s，綜上可知當(dāng)t的值為1s或4s或7秒或16s時，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．因為圓心O運動到點B時停止，所以此種情況不符合題意舍去，故答案為：1s，4s，7s．25．已知，如圖，點A的坐標(biāo)為（2，0），⊙A交x軸于點B和C，交y軸于點D（0，4），過點D的直線與x軸交于點P，且tan∠APD＝．（1）求證：PD是⊙A的切線；（2）判斷在直線PD上是否存在點M，使得S△MOD＝2S△AOD？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵A（2，0）D（0，4），∴AO＝2，OD＝4，∴在Rt△ADO中，tan∠ADO＝＝＝，∵tan∠APD＝，∴∠ADO＝∠APD，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO+∠APD＝90°，∴∠PDA＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥PD，∵AD是⊙A的半徑，∴PD是⊙A的切線．（2）解：在△ADO中，OA＝2，OD＝4，由勾股定理得：AD＝2，在Rt△PDA中，tan∠APD＝＝，即PD＝4，由勾股定理得：AP＝＝10，∵OA＝2，∴OP＝8，即P（﹣8，0），∵D（0，4），∴設(shè)直線PD的解析式是：y＝kx+4，把P的坐標(biāo)代入得：0＝﹣8k+4，解得：k＝，∴直線PD的解析式是y＝x+4，假如存在M點，使得S△MOD＝2S△AOD，設(shè)M的坐標(biāo)是（x，x+4），如圖：當(dāng)M在y軸的左邊時，過M作MN⊥OD于N，∵S△MOD＝2S△AOD，∴×4×（﹣x）＝2××2×4，解得：x＝﹣4，y＝x+4＝2，即此時M坐標(biāo)是（﹣4，2），當(dāng)M點在y軸的右邊時，同法可求M的橫坐標(biāo)是4，代入y＝x+4得y＝6，此時M的坐標(biāo)是（4，6），即在直線PD上存在點M，使得S△MOD＝2S△AOD，點M的坐標(biāo)是（﹣4，2）或（4，6）．九．切線的判定與性質(zhì)（共6小題）26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．（1）求證：DH是圓O的切線；（2）若＝，求證：A為EH的中點．（3）若EA＝EF＝1，求圓O的半徑．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）連接OD，如圖1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圓O的切線；（2）如圖1，在⊙O中，∵∠E＝∠B，∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵＝，∵AE∥OD，∴△AEF∽△ODF，∴＝＝，設(shè)OD＝3x，AE＝2x，∵AO＝BO，OD∥AC，∴BD＝CD，∴AC＝2OD＝6x，∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，∵ED＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝4x，∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，∴AE＝AH，∴A是EH的中點；（3）如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，則∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+1，∴BD＝CD＝DE＝r+1，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+1，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（1+r）＝r﹣1，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，∴，解得：r1＝，r2＝（舍），綜上所述，⊙O的半徑為．27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，與BC交于點M，與AB的另一個交點為E，過M作MN⊥AB，垂足為N．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為5，sinB＝，求ED的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OM，如圖1，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵M(jìn)N⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM過O，∴MN是⊙O的切線；（2）解：連接DM，CE，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M為BC的中點，∵sinB＝，∴cosB＝，在Rt△BMD中，BM＝BD?cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC?cosB＝，∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．28．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝BC＝CD，AB∥CD，連接BD．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若AB＝10，cos∠BAC＝，求BD的長及⊙O的半徑．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：如圖1，作直徑BE，交⊙O于E，連接EC、OC，則∠BCE＝90°，∴∠OCE+∠OCB＝90°，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴∠A＝∠D，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠A＝∠E，∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠CBD＝90°，即∠EBD＝90°，∴BD是⊙O的切線；（2）如圖2，∵cos∠BAC＝cos∠E＝，設(shè)EC＝3x，EB＝5x，則BC＝4x，∵AB＝BC＝10＝4x，x＝，∴EB＝5x＝，∴⊙O的半徑為，過C作CG⊥BD于G，∵BC＝CD＝10，∴BG＝DG，Rt△CGD中，cos∠D＝cos∠BAC＝，∴，∴DG＝6，∴BD＝12．29．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過OA上的點P作PD⊥AC，交CB的延長線于點D，交AB于點E，點F為DE的中點，連接BF．（1）求證：BF與⊙O相切；（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OB，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，∵點F為DE的中點，∴BF＝EF＝DE，∴∠FEB＝∠FBE，∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP，∵PD⊥AC，∴∠EPA＝90°，∴∠A+∠AEP＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠OBA+∠FBE＝90°，∴∠OBF＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BF與⊙O相切；（2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，∴AE＝＝＝5，∴PE＝＝＝3，∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8，∴PC＝OP+OC＝12，∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠AEP＝∠C，∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC，∴＝，∴＝，∴DP＝16，∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，∴BF＝DE＝，∴BF的長為．30．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，點E是弧BD的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接AD．∵E是弧BD的中點，∴＝，∴∠BAD＝2∠BAE．∵∠ACB＝2∠BAE，∴∠ACB＝∠BAD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°．∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝90°．∴AC是⊙O的切線；（2）解：過點F作FG⊥AB于點G．∵∠BAE＝∠DAE，∠ADB＝90°，∴GF＝DF，在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，sinB＝＝，即＝，解得，BF＝3．31．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，且D為弧BC中點，過點D的直線DE⊥AC交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連接AD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）若sin∠EAF＝，DF＝4，求AE的長．【答案】（1）證明過程解解答；（2）陰影部分的面積為2﹣π；（3）AE的長為．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∵D為弧BC中點，∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴∠E＝∠ODF＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）∵∠DAB＝30°，∴∠DOF＝2∠DAB＝60°，在Rt△ODF中，DO＝2，∴DF＝OD?tan60°＝2，∴陰影部分的面積＝△ODF的面積﹣扇形BOD的面積＝OD?DF﹣＝×2×2﹣π＝2﹣π，∴陰影部分的面積為2﹣π；（3）∵AC∥OD，∴∠EAF＝∠DOF，∴sin∠EAF＝sin∠DOF＝，在Rt△ODF中，sin∠DOF＝＝，∴OF＝5，∴OD＝＝＝3，∴OA＝OD＝3，∴AF＝OA+OF＝3+5＝8，∵∠F＝∠F，∴△AEF∽△ODF，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴AE的長為．十．切線長定理（共1小題）32．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為44．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四邊形ABCD的周長＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案為：44．十一．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）33．在銳角三角形ABC中，BC＝5，sinA＝，（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；（2）如圖2，點I為三角形ABC的內(nèi)心，BA＝BC，求AI的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：作DB垂直于BC，連DC，∵∠DBC＝90°，∴DC為直徑．∵∠A＝∠D，BC＝5，sinA＝，∴sinD＝＝，∴CD＝，答：三角形ABC外接圓的直徑是．（2）解：連接IC、BI，且延長BI交AC于F，過點I作IG⊥BC于點G，過I作IE⊥AB于E，∵AB＝BC＝5，I為△ABC內(nèi)心，∴BF⊥AC，AF＝CF，∵sinA＝＝，∴BF＝4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝3，∵BA＝BC，I是內(nèi)心，即BF是∠ABC的角平分線，∴AC＝2AF＝6，∵I是△ABC內(nèi)心，IE⊥AB，I