2023-2024學年9上數(shù)學期末考點（北師大版）期末壓軸專題分類02（必刷50題23種題型專項訓練）原卷版

期末壓軸專題分類02（必刷50題23種題型專項訓練）一．二次函數(shù)的圖象（共1小題）1．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動；同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同．設(shè)點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B． C．D．二．二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）2．對于二次函數(shù)y＝﹣x2+2x．有下列四個結(jié)論：①它的對稱軸是直線x＝1；②設(shè)y1＝﹣x12+2x1，y2＝﹣x22+2x2，則當x2＞x1時，有y2＞y1；③它的圖象與x軸的兩個交點是（0，0）和（2，0）；④當0＜x＜2時，y＞0．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知函數(shù)y1＝及直線y2＝4x+b，若直線y2與函數(shù)y1的圖象至少有三個交點，則b的取值范圍為．三．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）4．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③m為任意實數(shù)，則a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（）A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①a﹣b+c＞0；②2abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤3a+c＞0；⑥a﹣c＞0，其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5四．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）6．如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)y＝﹣x2+6的部分圖象與其關(guān)于直線y＝x的對稱圖形組成．點A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點．若，則點A的坐標是．五．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共2小題）7．在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝x2﹣2x（x≥0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點對稱的圖象為C2，則直線y＝a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點共有（）A．1個 B．1個或2個 C．1個或2個或3個 D．1個或2個或3個或4個8．如圖，已知點A（3，0），B（1，0），兩點C（﹣3，9），D（2，4）在拋物線y＝x2上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對應(yīng)點分別為C′，D′．當四邊形ABC′D′的周長最小時，拋物線的解析式為．六．拋物線與x軸的交點（共1小題）9．如圖，拋物線y＝﹣2x2+8x﹣6與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1，將C1向右平移得C2，C2與x軸交于點B，D．若直線y＝x+m與C1、C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣七．二次函數(shù)綜合題（共12小題）10．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于點A和點B．（1）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，則點D的坐標是；（2）在（1）的條件下，連接BD，P為拋物線上一點，且∠DBP＝135°，則點P的坐標是．11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式．（2）若點P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，作PD⊥x軸于點D，交AC于點E，過點E作AC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點F、G，設(shè)點P的橫坐標為m．①求PE+EG的最大值；②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．12．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c（b、c為常數(shù)），經(jīng)過點（3，0）和（0，﹣3）．（1）求該拋物線函數(shù)表達式；（2）當a≤x≤4時，函數(shù)值﹣4≤y≤5，求a的取值范圍；（3）點P為此函數(shù)圖象上任意一點，橫坐標為m，過點P作PQ⊥y軸，交直線x＝3于點Q．當點P和點Q不重合時，以PQ為邊，點P為直角頂點向y軸負方向作等腰直角三角形PQM．①當點M到拋物線頂點縱坐標所在直線的距離是6時，求m的值；②當拋物線在等腰直角三角形PQM內(nèi)部（包括邊界）的點的縱坐標最大值與最小值之差是1時，直接寫出m的值．13．如圖，拋物線y＝ax2﹣ax﹣12a經(jīng)過點C（0，4），與x軸交于A，B兩點，連接AC，BC，M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）直接寫出a的值以及A，B的坐標：a＝，A（，），B（，）；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N，設(shè)M點的坐標為M（m，0），試求PQ+PN的最大值；（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．14．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，連接AC，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，請求出直線BP的解析式；若不存在，請說明理由．15．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PBC的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．16．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C（2，﹣3），且與x軸交于原點及點B（8，0）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）求頂點A的坐標及直線AB的表達式；（3）判斷△ABO的形狀，試說明理由；（4）若點P為⊙O上的動點，且⊙O的半徑為2，一動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段AP勻速運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB勻速運動到點B后停止運動，求點E的運動時間t的最小值．17．如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點C（0，3），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點D、E是直線x＝1上的兩個動點，且DE＝1，點D在點E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值．（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標．18．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點且與x軸的負半軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當∠ABD＝2∠BAC時，求點D的坐標；（3）已知E，F(xiàn)分別是直線AB和拋物線上的動點，當以B，O，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的E點的坐標．19．如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，F(xiàn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點D重合），點G是線段AB上的動點．連接DF，F(xiàn)G，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標．20．如圖1，拋物線C：y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（﹣1，3）兩點，G是其頂點，將拋物線C繞點O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．（1）求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點G的坐標；（2）如圖2，直線l：y＝kx﹣經(jīng)過點A，D是拋物線C上的一點，設(shè)D點的橫坐標為m（m＜﹣2），連接DO并延長，交拋物線C′于點E，交直線l于點M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG、AB，在直線DE下方的拋物線C上是否存在點P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．21．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A，B，交y軸于點C．點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），點C與點D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線對稱軸上一點，連接BD，以PD，PB為邊作平行四邊形PDNB，是否存在這樣的點P，使得?PDNB是矩形？若存在，請求出tan∠BDN的值；若不存在，請說明理由；（3）點Q在y軸右側(cè)拋物線上運動，當△ACQ的面積與△ABQ的面積相等時，請直接寫出點Q的坐標．八．垂徑定理（共3小題）22．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD邊上一個動點，以CM為直徑的圓與BM相交于點Q，P為CD上另一個動點，連接AP，PQ，則AP+PQ的最小值是．23．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C，D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F，則弦AB的長度為；當點E在⊙G的運動過程中，線段FG的長度的最小值為．24．如圖，⊙O的直徑AB長為12，點E是半徑OA的中點，過點E作CD⊥AB交⊙O于點C，D，點P在上運動，點Q在線段CP上，且PQ＝2CQ，則EQ的最大值是．九．圓周角定理（共3小題）25．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是．26．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，點D是BC上一點，BC＝3CD，點P是線段AC上一個動點，以PD為直徑作⊙O，點M為的中點，連接AM，則AM的最小值為．27．如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊．以AC為直徑的⊙O，交BC于D，過O作OE∥BC，交⊙O于E，連接AD、AE、CE．（1）求證：∠ACE＝∠DCE；（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度數(shù)；（3）若AC＝1，，求CF的長．十．點與圓的位置關(guān)系（共2小題）28．如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CD，取CD的中點E，連接BE，則線段BE的最大值與最小值之和為．29．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D是半徑為2的⊙A上一動點，點M是CD的中點，則BM的最大值是．十一．三角形的外接圓與外心（共1小題）30．已知：A、B、C三點不在同一直線上．（1）若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上，i）如圖①，當∠A＝45°，R＝1時，求∠BOC的度數(shù)和BC的長；ii）如圖②，當∠A為銳角時，求證：sinA＝；（2）若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當∠MAN＝60°，BC＝2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試探索在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變？請說明理由．十二．直線與圓的位置關(guān)系（共2小題）31．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的長．32．如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB＝60°．點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C做勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB做勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設(shè)點P運動的時間為ts．（1）當P異于A、C時，請說明PQ∥BC；（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？十三．切線的性質(zhì)（共1小題）33．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．（1）求證：DP∥AB；（2）試猜想線段AE，EF，BF之間有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）若AC＝6，BC＝8，求線段PD的長．十四．切線的判定（共2小題）34．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC于點E．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若DE＝2，tanC＝，求⊙O的直徑．35．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過點D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．（1）求證：點D在⊙O上；（2）求證：BC是⊙O的切線；（3）若AC＝6，BC＝8，求△BDE的面積．十五．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）36．如圖，AB是⊙O的直徑，延長BA至點P，過點P作⊙O的切線PC，切點為C，過點B向PC的延長線作垂線BE交該延長線于點E，BE交⊙O于點D，已知PA＝1，PC＝OC，（1）求BE的長；（2）連接DO，延長DO交⊙O于F，連接PF，①求DE的長；②求證：PF是⊙O的切線．37．如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點，D為BC延長線一點，且BC＝CD，CE⊥AD于點E．（1）求證：直線EC為圓O的切線；（2）設(shè)BE與圓O交于點F，AF的延長線與CE交于點P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．十六．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）38．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，直線l經(jīng)過△ABC的內(nèi)心O，過點C作CD⊥l，垂足為D，連接AD，則AD的最小值是．十七．圓的綜合題（共1小題）39．如圖，以AB為直徑的⊙O外接于△ABC，過A點的切線AP與BC的延長線交于點P，∠APB的平分線分別交AB，AC于點D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的長是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個實數(shù)根．（1）求證：PA?BD＝PB?AE；（2）在線段BC上是否存在一點M，使得四邊形ADME是菱形？若存在，請給予證明，并求其面積；若不存在，說明理由．十八．銳角三角函數(shù)的定義（共1小題）40．如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則cos∠ABC等于（）A． B． C． D．十九．解直角三角形（共1小題）41．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠AOB：∠AOD＝1：2，且BD＝12，則DE的長度是（）A．3 B．6 C．6 D．3二十．解直角三角形的應(yīng)用（共3小題）42．某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓（如圖），該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房．在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時．（1）問超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？（2）若要使超市采光不受影響，兩樓應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈）43．小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為120°，感覺最舒適（如圖1），側(cè)面示意圖為圖2．使用時為了散熱，她在底板下墊入散熱架ACO′后，電腦轉(zhuǎn)到AO′B′位置（如圖3），側(cè)面示意圖為圖4．已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于點C，O′C＝12cm．（1）求∠CAO′的度數(shù)．（2）顯示屏的頂部B′比原來升高了多少？（3）如圖4，墊入散熱架后，要使顯示屏O′B與OA的夾角仍保持120°，則顯示屏O′B′應(yīng)繞點O′按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度？44．我們把“按照某種理想化的要求（或?qū)嶋H可能應(yīng)用的標準）來反映或概括的表現(xiàn)某一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學形式”看作是一個數(shù)學中的一個“模式”（我國著名數(shù)學家徐利治）．如圖是一個典型的圖形模式，用它可測底部可能達不到的建筑物的高度，用它可測河寬，用它可解決數(shù)學中的一些問題．等等．（1）如圖，若B1B＝30米，∠B1＝22°，∠ABC＝30°，求AC（精確到1）；（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如圖2，若∠ABC＝30°，B1B＝AB，計算tan15°的值（保留準確值）；（3）直接寫出tan7.5°的值．（注：若出現(xiàn)雙重根式，則無需化簡）二十一．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共2小題）45．如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長500米，高10米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后壩底增加的寬度AF；（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？（結(jié)果保留根號）46．如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖，天橋的高是10米，坡面的傾斜角為45°．為了方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：，若新坡角下需留3米的人行道，問離原坡面點A處10米的建筑物EF是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）二十二．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）47．如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置點P的鉛直高度