2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)：五種裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法（解析）

第04講五種裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法

考法呈現(xiàn)

弘考法一：分式型裂項(xiàng)

"例題分析

［例1］已知在等差數(shù)列｛%｝中，?i+a5=18,a6=15.

(1)求｛a九｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹小屋而J的前幾項(xiàng)和S，

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和通項(xiàng)公式可求得公差d,代入通項(xiàng)公式即可求得即；

(2)采用裂項(xiàng)相消法可求得Sn.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛a力的公差為d,

a6a3

???+。5=2。3=18,???的=9,d=3=~~~—2,

???冊(cè)=的+(九—3)d=9+2(n-3)=2n+3.

(2)由(1)得.___-___=_____-_____=-(—______L_A

，

(2n+l)an(2n+l)(2n+3)2\2n+l2n+37

???Sn=-X(i-i+i-i+i-i+???+---—+—------)=2X(i--)=

n2\3557792n-l2n+l2n+l2n+372\32n+376n+9

滿分秘籍

利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)

(1)抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能是前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，也

有可能是間隔開(kāi)的項(xiàng)剩下，一般來(lái)說(shuō)是對(duì)稱的。

(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，一定要注意調(diào)整前面的系數(shù)，避免失誤。

(3)掌握常見(jiàn)的分式型裂項(xiàng)相消的公式：

公式一：一--=2(工一--);公式二：-----------=-(--------)

n(n+k)k'nn+kJ,、(2n-l)(2n+l)2、如-1如+J

公式三：-----------=-[----------------]

n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2)J

IB變式訓(xùn)練

【變式1-1]記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意neN*,有Sn=5+1)(%—n).

(1)證明：｛aj為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列f-」一)的前n項(xiàng)和.

ianan+1J

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)Sn=(n+l)(an-n),令n=l得到a1=2,令n22最終得到an-an-i=2,結(jié)合等差

數(shù)列定義即可證明；

(2)根據(jù)等差數(shù)列定義得到an=2n,結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】(1)因?yàn)镾n=(n+l)(an—n),

所以當(dāng)n=l時(shí)，a[=Si=2(a1-1),所以ai=2,

當(dāng)n22時(shí)，S—i=n(an_!-n+1),

兩式相減得Sn-Sn_j=(n+l)(an—n)—n(an_i—n+1),

22

即an=(n+l)an—n-n—na—i+n-n,

即nan-nan_1=2n,

因?yàn)閚22,所以an-an_T=2為常數(shù)，

所以｛aj是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列

(2)由(1)知，an=2+2(n—1)=2n,

anan+l4n(n+l)4\nn+17

所以數(shù)列｛康｝的前n項(xiàng)和屁(1-W…-三)=乂1-+)=4(n+l)'

【變式1-2】記Sn為數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和.

(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：數(shù)列｛冊(cè)｝是等差數(shù)列；

①數(shù)歹W+｝是等差數(shù)列；②Sn=生/⑺GN*)

(2)若數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，且的=1,。3=5,求數(shù)歹耳溫通｝的前n項(xiàng)和7V

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵T--____2n+3

()n-4-2(n+l)(n+2)

【分析】(1)選擇條件①，利用an與Sn的關(guān)系式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可得證；選擇條件②，設(shè)數(shù)列｛曰｝的首

項(xiàng)為bi，公差為P，求出Sn，表示出an，即可得證.

(2)由(1)根據(jù)已知得出一然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.

(n+2)Sn2\nn+2/

【詳解】(1)選擇條件①：???Sn=曳*(neN*),

???2Sn=nan+n,2Sn+1=(n4-l)an+1+n+1,

兩式相減可得2an+1=(n+l)an+1-nan+1,

即nan-1=(n-l)an+1,

/.(n+l)an+1-l=nan+2,

兩式相減可得(n+l)an+1-nan=nan+2-(n-l)an+1,

化簡(jiǎn)可得2nan+1=n(an+2+an),

???2an+1=an+2+an,???數(shù)列｛aj是等差數(shù)列?

選擇條件②：設(shè)數(shù)列｛鼻｝的首項(xiàng)為bi，公差為p,

則,=N+(n-l)p=np+'-p,故Sn=pn2+⑸-p)n,

當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn_t

=pn2+(bi-p)n-p(n-l)2一⑸-p)(n-1)

=bi+2(n-l)p,

當(dāng)n=1時(shí)，a〕=Si=bi,Aan=bi+2(n—l)p,

Xan+1-an=bi+2np-bx-2(n-l)p=2p.

數(shù)列｛aQ是等差數(shù)列.

(2)?.?數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，且公差d=亨=2,

nS：1)n(n1)2

Sn=呵+d=n+~x2=n.

(n+2)Snn(n+2)2\nn+2/

故幾

1111_11_1\

324+35+nn+2/

1111

-flH-------------------------)

22n+1n+2

31,1?1、32n+3

---------1---------1--------1=----------------------------

42kn+ln+2742(n+l)(n+2)

【變式1-3］已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿足。2=4,2a4一。5=7,等比數(shù)列｛4J滿足力3=4,九+阮=8(瓦+上)?

(1)求｛每｝與｛%｝的通項(xiàng)公式;

O一，，^

(2)若勾＞0,設(shè)％=-----Fbn,求｛c九｝的前幾項(xiàng)和S九.

?nan+l

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)｛aj的公差為d,由題意可得2(4+2d)—(4+3d)=7,求得d=3,a1=1,進(jìn)而可求an=

3n-2；設(shè)｛bj的公比為q,由題意可得biq3(l+q)=8b式1+q),求得q=2或q=-1,再分q=2,q=-1

兩種情況求解即可.

(2)利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法即可求解.

【詳解】(1)設(shè)｛aj的公差為d,因?yàn)閍2=4,2a4—as=7,

所以2(4+2d)—(4+3d)=7,解得d=3,從而ai=l,

所以an=3n—2.

設(shè)｛bn｝的公比為q,因?yàn)閎4+bs=8(bi+b2),則有biq3(l+q)=8立(1+q)

EH0,q3(l+q)=8(1+q),解得q=2或q=-l,

當(dāng)q=2時(shí)，因?yàn)閎?=4,所以瓦=/=1,所以瓦,=2-1.

當(dāng)q=—l時(shí)，因?yàn)閎s=4,所以b]=4,b?=—4,所以為=4X(―I)—1.

(2)由(1)可知,若bn>0,則bn=2-1.

3

因?yàn)間(3n-2；(3n+l)+2nT'所以d=在一+Z"】，

所以Sn=(l_3+W”，+*_)+(l+2+,“+2nT)，

所以％=(1-*)+黑=2」高.

【變式1-4］已知數(shù)列｛冊(cè)｝是公差為d的等差數(shù)列，且的=1,若16和26分別是｛冊(cè)｝中的項(xiàng).

(1)當(dāng)d取最大值時(shí)，求通項(xiàng)an；

(2)在(1)的條件下，求數(shù)列｛詼%｝的前〃項(xiàng)和Sa.

【答案】(l)an=5n-4

【分析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得d=駟子=岑1,找到m,n與d的關(guān)系，進(jìn)而找到d取最大值時(shí),

m—1n—1

通項(xiàng)an；

(2)裂項(xiàng)相消即可.

【詳解】(1)由已知得d>0,數(shù)列｛aj單調(diào)遞增，不防設(shè)am=16,an=26,且n>m>l,

d=并喘即總喑，..*…=5(m-l),

〈m與n越小，d越大，

?弋二：二；C二〉，d=5,.』=5…(nCN*)

(2)由(1)知：an=5n-4,二屋面=(5n+i)U-4)="3一在>

?F=第_:+3_5+……++—高)

4(1-=IeN*)

弘考法二：根式型裂項(xiàng)

例題分析

【例2】已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%,a4+?7=20,S9=27a2.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)"=一一「,數(shù)列｛⑥｝的前n項(xiàng)和為7\,證明：當(dāng)3時(shí)，2〃>藥?.

V^n+2+V^n

【答案】（l）an=2n-l

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)公差為d,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式，求出a1和d,可得an；

（2）分母有理化化簡(jiǎn)利用裂項(xiàng)求和求出幾，作差比較可證不等式成立.

(a1+3d+a1+6d=20

12al+9d=20,解得｛憶;

【詳解】（1）設(shè)公差為d,

19al+d=27(a1+d)[18al=9d

所以Hn=a1+(n—l)d=1+2(n—1)=2n—1.

⑵b_2_2________

n-y/an+2+V^nV2n+3+-\/2n—1(V2n+3+V2n—1)(V2n+3—\/2n—1)

_2(V^?^-A/2n-l)_

―2n+3-(2n-l)-2'

所以Tn=也+b2+b?+…+bn

1______

=-(V5-l+V7-V3+V9-V5+--+V2n+3-V2n-1)

所以2Tn=V2n+3+V2n+1-V3-1,

所以2Tn—,Hn+i—72n+3+y/2n+T—y/3—1—V2n+1=A/2n+3—V3—1,

當(dāng)nN3時(shí)，V2n+3-V3-1>,2x3+3-V3-l=3-V3-l=2-V3>0,

所以當(dāng)n23時(shí)，2Tn>Va^7.

滿分秘籍

變式訓(xùn)練

【變式2-1］已知等比數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sa，an+1=Sa+2（neN*）.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)在“與冊(cè)+i之間插入幾個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這幾個(gè)數(shù)之和為如，若不等式(-

l)nA<2-券對(duì)一切幾eN*恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍；

1n

(3)記%=4,求證：號(hào)+空+…+^l<&(neN)

10g2成弧廊

【答案】(1)%=2九

⑵E)

(3)詳見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)“和Sn的關(guān)系即可求解；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出〃代入化簡(jiǎn)即可解決；(3)

求出與瞥，進(jìn)行適當(dāng)放縮后用裂項(xiàng)相消求和解決.

y/bn

【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列｛冊(cè)｝的公比為0

當(dāng)九=1時(shí)，有。2=。1+2,貝！Uiq=%+2①

當(dāng)7122時(shí)，［?？；,'1：1,兩式相減可得：an+1-an^Sn-Sn^-an,

1azi—on-ii-乙

整理得與+i=2%,可知q=2,代入①可得的=2,

所以等比數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為0n=2'(neN*).

(2)由已知在冊(cè)與0n+i之間插入n個(gè)數(shù)，組成以即=2幾為首項(xiàng)的等差數(shù)列，

1

所以〃=生曾段掃)一與一a?+1=迎"以=3n-2"-,

貝鼠-1)9<2一患=2一急

1nN

設(shè)％=2-京，則&｝是遞增數(shù)列，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，4<2—奈恒成立，即4<(2—卷)=c2=1,所以％

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，一4<2—。亙成立，即一4<(2—=q=l,所以2>—1；

Z'Z'min

綜上所述，曲取值范圍是

(3)證明：由(1)得“=白=；,

log2^2n

則有%二強(qiáng)1-——1——=—遮—=-----涯-----<-----遮----

、y[b^V2n(n+1)2VH(n+1)y/n(n+l')+y/n(n+l')nVn+1+Vn(n+1)

_______V2______.(?ns)_；2zj__i\

VnVn+l(V^+Vn+l)y/n-Vn+1\y/nVn+17

J2丁3+…十踵二。生<迎葉_目+化一目+…+1.)

-Jb[y[b^y[b^L'VlV2/^V2V3/55+1J

<V2(1-v^i)vVX原不等式得證.

【變式2?2】已知正項(xiàng)數(shù)列｛3J滿足的=1,皿=fl+i.

anyn

(1)求證：數(shù)列｛確｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)"=-~二求數(shù)列仍，的前n項(xiàng)和

anan+l+anan+l

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

1

⑵Tn=1-常

【分析】(1)由題管=舟，利用累乘法即可求解an=VH(neN*),進(jìn)而可得端=n(n€N*),進(jìn)而可證

等差；

⑵由(1)得bn=5-高，由裂項(xiàng)求和即可求解.

【詳解】(1)由題可得細(xì)包二匡,

an7n

所以當(dāng)nN2時(shí)，

a2a3aa-iaLw2xz3xz4xz~n-1~11

4nnY=向，

aia2a3an-2an-i\123n-2n-

易知a1=1滿足an=Vn,所以an=Vn(nGN*).

所以a《+i—a,=n+l—n=1,

所以｛a各是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得a^=n,

所以b—1=_____1_____

nanan+i+an3n+inVn+l+Vn(n+l)

__________1__________J__]

7n(n+l)(Vn+Vn+l)VnVn+1*

所以又=1—七+專(zhuān)一專(zhuān)+…+專(zhuān)一盍=一焉.

nn

【變式2-3]在正項(xiàng)數(shù)列｛冊(cè)｝中，ar=1,22.欣=1+22-2■碎一1O22).

⑴求Qn;

(2)證明：2=1(七一得)1

【答案】(1凡=段

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由22n.a^=)+22n-2.a：_i(nN2),可得2?n.-22-2.a、1=1,令6=2?n.a，則上一

bn_i=l(n>2),可得{bj為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，可得22n,a2=i+(n_1)xi=n,進(jìn)而求

解；

(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消求和，進(jìn)而即可得證.

【詳解】(1)由22n.aR=l+22n-2.a-I(n22),

得22n._22n-2.a￡i=1,

令bn=22n,a2；則幾-bn_t=l(n>2),且bi=4ag=1,

???{bj為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

22n?a三=1+(n—1)x1=n,

又an>0,

⑵證明：W：(時(shí)需)=(??+管-5+…+(上黑)=?黑吟

【變式在①"二；②"=一-一；③“=2na,這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上,

2-4］an

yJCLn-\-yiln+1%1n+1

并解答問(wèn)題.

2

己知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn=nan-|n+|n.

(1)證明：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列；

(2)若%=2,設(shè),求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和7\.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)利用數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系證明.

(2)利用裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法計(jì)算求解.

【詳解】⑴因?yàn)镾n=nan-》+|n9,

所以Sn+1=(n+l)an+i-9n+1)2+|(n+1)②，

②一①得an+i=(n+l)an+1-nan-3n,

整理得an+1-an=3,

由等差數(shù)列的定義可知｛an｝是等差數(shù)列.

(2)由⑴得｛aj的公差d=3,

又因?yàn)閍1=2,所以an=a1+(n—l)d=3n—1.

若選①：

V3n+2—\/3n—1

nV^n+V^n+lV3n—l+V3n+2(V3n—l+V3n+2)(V3n+2-V3n-1)31八

所以Tn=匕+b2+b?+…+1=~[(V5—A/2)+(V8—V5)+“11—Vs)+…+?3rl+2—V3n—1)]

V3n+2-V2

若選②:

anan+l(3n—l)(3n+2)3\3n—1

3\23n+272(3n+2)

若選③：

nn

bn=2an=(3n—1)-2

Tn=b]+b?+…+bn=2x21+5x22+8x2?++(3n-1)x2”,

則2Tn=2x22+5x23+8x24+…+(3n-1)x2n+1,

123nn+1

兩式作差得一Tn=2x2+3x2+3x2+-+3x2-(3n-1)x2

=4+一(3n—1)x2計(jì)1=-8+(4-3n)x2n+1.

所以幾=8+(3n-4)X2"i.

然考法三:指數(shù)型裂項(xiàng)

座邈，例題分析

【例3】已知又是數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和，且Sn=2n+1—2(ZieN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若以=---f----求數(shù)列｛6n｝的前?1項(xiàng)和7\.

【答案】C)an=2n,neN*

(2)^=1-^^

【分析】（1）根據(jù)an與Sn的關(guān)系求解即可；

（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.

【詳解】（1）n=l時(shí)，Hi=Si=22—2=2,

n+1nn

n22時(shí)an=Sn-Sn_t=(2-2)-(2-2)=2,

經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)滿足an，

n

an=2/nEN*；

z?x..h_2n_________

?n—(2n-l)(2n+1-l)―2n-l—2n+1-l?

T_11.11,1,,11_41

滿分秘籍

變式訓(xùn)練

【變式3-1］已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為Sn,<2Sn=3an-l.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式;

n

(2)若“=3，求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和加.

(an+l)(an+i+l)

［答案］(l)an=3-1

33

⑵幾=「許

【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)；

（2）先求出，，再用裂項(xiàng)相消法求幾.

【詳解】（1）由己知2Sn=3an-1①,

當(dāng)n=l時(shí)，2si=3ai-l,即2ai=3a】-1,解得a1=1,

當(dāng)n22時(shí)，2Sn_i=3an_1-1②，

①一②得2an=3an-3an-i，即an=Ba-i，

所以數(shù)列｛aj是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以an=3n-1；

nn

用來(lái)7k_3_3_3(11、

內(nèi)為bn=a+i)a+|+D=(311+1)(3"+1)=5.(？^一行)'

匚二I、【E、

所以幾=^3X/(1幣一而1+而1一1耳+…+^1亞1)

=ix(-M=?____5―

2123n+l742(3n+l),

【變式3-2］已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為%,滿足%=|冊(cè)-1.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)記“=不*，求數(shù)列｛久｝的前幾項(xiàng)和7叱

3n?3律+1

【答案】(1玨=2x3-1

⑵Tn.一人

【分析】(1)由an與Sn的關(guān)系可求出通項(xiàng)公式；

(2)利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和即可.

【詳解】(1)當(dāng)n=l時(shí)，a1=|ai-1,得a1=2,

當(dāng)n22時(shí)，Sn-Sn_t=an=|(an-an_i)>得an=3an_1；

所以數(shù)列｛aj是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，

所以an=2X3-1.

(2)由(1)可得Sn=,x2x3-1—1=3n—l,

b-

11(3n-1)-(3n+1-1)

所以bn=X±_在7)，

1/111111

Tn=b1+b2+---+bn=-^?^-^-T+^-T-^-T+...+F-T-^r-T

所以Tn=1(七一

【變式3-3］已知S"為數(shù)列｛時(shí)｝的前多項(xiàng)和,at=2,Sn=an+1-3n-2.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式期；

(2)設(shè)"=——，記｛0｝的前n項(xiàng)和為7\,證明：Tn<；.

?n-?n+l5

【答案】(l)an=5X2-1-3

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列遞推式可得Sn_i=a。—3(n-1)-2,(n>2),采用兩式相減的方法可得a^i=2an+

3,(n>2),從而構(gòu)造數(shù)列，可求得｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)的結(jié)論可得味=上-的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.

an-an+i

【詳解】(1)當(dāng)n=l時(shí)，Si=ai=a2—3—2,貝Ija2=7,

因?yàn)镾n—an+i—3n—2,

—

所以Sn-i=an3(n—1)—2,(n>2),

兩式相減得:an+1=2an+3,(n>2),

所以an+i+3=2Qn+3),(n>2),

ai=2,ai+3=5,a2+3=10,則a2+3=2(ai+3),即n=1也適合上式，

所以匕o+3｝是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

故：an+3=5x2-1,

故=5x2-1-3；

on2n

(2)由(D得bn=H=雨F際F

=“_i_______M

5\5x2n-1-35x2n-3A

故=bi+b2+b34---Fbn

2/111111\

—I—r-—-I—,,,—I-------------------------------------------------------------------I

5\277175x2-1—35x2n-37

i———Y

5\25x2n-37

當(dāng)n￡N*時(shí)，＞0,故Tn＜白；!.

【變式3-4］已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，的=3,鋁=三六，兀eN*.

3-1

(1)求52，S3及｛an｝的通項(xiàng)公式；

_____0n+l_____

(2)設(shè)"=,數(shù)列｛勾｝的前幾項(xiàng)和為T(mén)n，若TnWMan—1)對(duì)任意的neN*恒成立，求2的最小值.

(an—l)(an+i-l)

n

【答案】(1莫2=12,S3=39,an=3(nEN*)

【分析】(1)根據(jù)遞推公式和a1的值，即可求出S2,S3及｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)求出數(shù)列｛、｝的通項(xiàng)公式，得出數(shù)列｛、｝的前n項(xiàng)和，由不等式的恒成立，還可求出入的最小值.

【詳解】(1)由題意，nGN*

在數(shù)列｛aj中，ai=3,管=*1，

當(dāng)nN2時(shí)，Sn=-^--"……----Si=

Sn-1Sn-2S2S12

當(dāng)n=1時(shí)上式也符合，

.?.Sn=^^(nGN*),S2=3x(：r)=[2,S3=3x(；f=39

.?.當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn_i=3\當(dāng)n=l時(shí)，上式也符合.

...｛an｝的通項(xiàng)公式為an=3n(nGN*).

(2)由題意及(1)得，n6N*,

在數(shù)列｛aj中，an=3%

數(shù)列｛bn｝中，bn=俑_1)；：：+1-1)=(3"-l)(3n+1-l)=2Qj-3m-1)'

.T,,,,..3/I1\9(3n-l)

-Tn=%+b2+…+詠=5匕-KJ=而匚b

VTn<A(an-l),

，，A-4(3n+1-l),

,,9V9_2

?4(3n+1-l)—4(31+1-1)-32,

????F的最大值為專(zhuān)A>^.

二?人的最小值為套

弘考法四：對(duì)數(shù)型裂項(xiàng)

F罷工例題分析

［例4］已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足刈=1,nan+1=(n+l)an+n(n+1).

⑴證明：數(shù)列｛用為等差數(shù)列：

(2)設(shè)數(shù)列｛“｝滿足0=In咄，求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和%.

an

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)Sn=21n(n+1)

【分析】⑴對(duì)啊+1=5+1玨+11(11+1)進(jìn)行整理得到管一卒=1,即可說(shuō)明數(shù)歹(j件｝為等差數(shù)歹U；

(2)將bn變形為bn=ln@警或bn=ln(n+l)2-Inn2,然后求和即可.

【詳解】(1)法1：由nan+1=(n+l)an4-n(n+1),

兩邊同除以n(n+l)得，包節(jié)=曳+1,電—包=1(>1)為常數(shù)，

n+lnn+1nn

...數(shù)列｛及為等差數(shù)列，首項(xiàng)號(hào)=1,公差為1,

an+i

法2：由nan+1=(n+l)an+n(n+1)得=^-an+(n+1),

...如一%=(四+1)_曳=1(n?i)為常數(shù)，

n+ln\n/n

...數(shù)列｛茨為等差數(shù)列，首項(xiàng)半=1,公差為1.

2

(2)由胃=；+(n—1)x1=n,an=n,

法1：bn=ln"=ln"2

anM

則Sn=ln||+ln||+…+

/23n+1\

=21n-x-x???x------

\12n/

=21n(n+1).

法2：b=In皿==ln(n+l)2-Inn2,

nanM

則Sn=(ln22-Ini2)+(ln32-ln22)+…+[ln(n+I)2-Inn2]

=ln(n+l)2—Ini2

=21n(n+1).

滿分秘籍

對(duì)數(shù)型裂項(xiàng)常見(jiàn)公式

Q■九十1

l°ga---=l0gaan+l—l°gaan

an

變式訓(xùn)練

【變式4-1］已知數(shù)列｛冊(cè)｝的首項(xiàng)為2,an>0且滿足成-anan_r-2碎=0(n>2且之GN*),bn=log2an.

(1)求｛%J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)％=10g2第i，求｛7｝的前"項(xiàng)和治.

。71

【答案】(1月=2n

(2)Sn=log2(n+1)

【分析】(1)因式分解可知｛aj為等比數(shù)列，然后可解；

(2)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算裂項(xiàng)可解.

【詳解】(1)由a二一anan_i—2a-i=0得(an-2an_i)(an+an_，=0,

因?yàn)閍n>0,所以an+an-i>0,所以an—2an-i=0,即3-=2,

an-l

又ai=2,所以｛aj是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，所以an=2。

(2)由bn=10g2an=log22n=n得。=log2=log2(n+1)-log2n,

Dn

Sn=log22-log2l+log23-log22+log24-log23+…+log2(n+1)-log2n

=Iog2(n+1)-log2l=log2(n+1)

【變式4-2］已知｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為%,(ne/v*),｛6/是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,

62+63=12，b3^a3+a5,b6=Sn-2.

(1)求｛曲｝和｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)q=0,cn+i—4=In(1+，)，n€N*,求<:展

Un=2k-1

(3)設(shè)％=〈13,其中keN*.求｛%｝的前2〃項(xiàng)和72叱

-^-,n=2k

Vbn

n

【答案】(l)an=n,bn=2；

(2)cn=Inn；

ZQXln(2n+l)

⑶---—?

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可;

(2)運(yùn)用累和法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.

(1)

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q(q>0),

2n-1n

由b2+b3=12=>2q+2q=12=>q=2,或q=-3舍去，所以幾=2-2=2；

b3=33+a5=>2a4=8^a4=4=>a1+3d=4,

be=Su-2=>lla1+5x11x10d—2=64，解得：ai=d=l,BPan=1+(n—1)-1=n,

n

所以有an=n,bn-2；

(2)

因?yàn)镃n+1_Cn=In(1+3=In平，

所以當(dāng)n>2,nGN*時(shí)，

有J二(cn-cn-l)+(cn-l-cn-2)------5)+J

=ln」y+In二+…+InI=In=Inn,顯然當(dāng)n=1時(shí)也適合，

n—1n—21(n—l)(n—32)?…)1；；

即％=Inn；

(3)

n

由(1)(2)可知：an=n,bn=2,cn=Inn.

當(dāng)n=2k—1,k€N*時(shí)，d2i=埠f，

當(dāng)n=2k,keN*時(shí)，d2k=

,2k-1

JIJ_31n(2k-l)1%+1_41n(2k-l)-ln(2k+l)

^k-l+a2k-^2kr22k-豕，

41nl—ln341n3—ln541n5—ln741n(2n—1)—ln(2n+1)

T2n=------i-------1--------o------1--------o------FH-------------------------------

4I42434n

ln3ln3ln5ln541n7ln(2n—1)ln(2n+1)

414142T4243T-ry-14n

_ln(2n+l)

4n

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用裂項(xiàng)相消法是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］已知數(shù)列｛an｝,｛勾｝,已知對(duì)于任意neN*,都有許二百“"】，數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，比=1,

且歷+5,b4+l,星一3成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝和出n｝的通項(xiàng)公式；

an,n=2k—1

｛bn,n=2k也€N*).

(i)求WnI——-----；

log3c2i-rlog3c2i+l

(近)求2著「Ck+i.

【答案】⑴an=3,bn=2n-1

(2)(i)1--；(ii)-+^^-9n+1

''2n+l1648

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解；

(2)(i)利用裂項(xiàng)相消法求和即可，

(ii)將相鄰兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛、｝的公差為d,

".,b2+5,b4+1,be-3成等比數(shù)列，且也=1,

,2

..(b4+l)=(b2+5)(b6-3),即(2+3d>=(6+d)(-2+5d),解得d=2,

則幾—1+2(n—1)-2n—1,

即an=V3bn+1-V32n-3n,

⑵(i)由(1)可知，J=CN*),

則V_______?________=_?—+_f+...+——_「

3352n-12n+1

乙i=lJog3c2i_「log3c2i+ilog334og33log33-log33Iog33-log33

222

---------1---------1-,?,------------------------

1x33x5(2n-l)(2n+1)

=(1…+p____L_)

V3/\35/\2n-12n+1/

=1--；

2n+l

(ii)由題意,對(duì)VneN*,

2n-12n+12n-1

C2n—1C2n+c2nc2n+i=c2n(c2n-i+c2n+i)=(2n-l)(3+3)=10(2n-1)-3

=y(2n-l)-9n,

設(shè)｛(2n-1)-9號(hào)的前n項(xiàng)為｛Rj,

23n+1

所以Rn=9+3x92+…+(2n—1)x9%則9Rn=9+3x9++(2n-1)x9,

n2_qn+1

貝U—8Rn=9+2(92+93+...+n)_(2n-1)x9n+1=9+2?-....(2n-1)X9n+1

91—9

_45|5-8ngn+i,

44

所以Rn=2+誓g+l,

即升\CkCk+1=竺Rn=在+竺曰-9葉1.

-k=lKK+,3n1648

【變式4-4］已知數(shù)列｛pj是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，｛qn｝是公比為2的等比數(shù)列，且滿足P3=砂P7=方?設(shè)

數(shù)列｛%J滿足％i=Pn-Qn-

(1)求｛(2九｝的通項(xiàng)公式；

(2)在①“=丫7a晨②"=log4孑；③*=婦立=這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解

71+1?1+Zan+lan

答.已知數(shù)列｛“｝滿足，求｛%｝的前〃項(xiàng)和

【答案】(l)an=(n+l)-2n

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】設(shè)出數(shù)列｛Pn｝的公差d及數(shù)列｛qj的首項(xiàng)qi，由題列方程可求出d,qn利用等差數(shù)列和等比數(shù)列

的通項(xiàng)公式，即可求解；(2)結(jié)合(I)若選①，利用錯(cuò)位相減法即可求解；若選②，利用分組求和法即

可求解；若選③，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.

(1)

設(shè)數(shù)列｛pj的公差為d,數(shù)列｛qj的首項(xiàng)為q>

由題意得2+2d=2q02+6d=4q1；

解得d=1,qi=2,

n

則Pn=n+1,qn=2,所以an=(n+1)?2。

⑵

若選①味=^an,

即bn=?(n+1)?2。=n?2”，

所以幾=1X21+2X22+3X23+…+nX2n,

則2Tn=1x22+2x23+3x2,+…+nx2n+1,

123nn+1

兩式相減得一Tn=2+2+2+???+2-nx2

(2-2n+1)

-nx2n+1

1-2

=(1-n)2n+1-2

所以又=(n-1)X2n+1+2.

若選②,=log4患，

n

即bn=log4^+log42=log4巖+會(huì)

所以Tn=(log4：+log.*1---1-bg4翟)+|(1+2H---Fn)

/23n+1\(1+n)n

=10g4Qx.xE+「-

若選③,=色巫，

an+ian

即詠=小好=工——，

an+l3nan3n+l

所以幾=(--￡)+(---)+…+~—)

VaiazzVazas/\anan+i/

_11

alan+l

_工_____1

-4(n+2)2n+1*

弘考法五：三角函數(shù)型裂項(xiàng)

.思，例題分析

【例5】已知2〃+2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以冊(cè)@>1)為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1,第2〃+2個(gè)數(shù)為8,

設(shè)a九=log2冊(cè).

(1)證明：數(shù)列｛看｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)勾=tan—tan—,求數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)和Si。。.

anan+l

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

(2)-99

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得an=白，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；

(2)根據(jù)兩角差的正切公式整理得上=-苧(tan.-tan左)-1,結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.

【詳解】(1)由題意可得：q2n+l=1=8,且qn>l,可得qn=2白，

所以an=log22就=/,可得工=罕，

2n+lan3

rn.l112(n+l)+l2n+l2

則-------=---1-----------=7；，

an+lan333

(2)由(1)可得----=

an+lan3

t4an--7-1-t4an—7t

an+lan__/o"

ijtan=tan-1

貝Y717+7tan--jitZan—~

an+lan

整理得bn=tan—tan=—^(tan———tan—)—1,

anan+l3\an+la/

則Si。。=%+b2+-+b100=[-y(tan-tan^)-1]+[-^(tan-tan-1]+-+卜乳an肅

tan—)-11

3100/J

V3r/兀7l\/717l\(7171\1

=———Itan----tan—I+Itan----tan—IH---1-(tan------tan----j—100

a

3L\a2a"\a?a2/\aioiioo^J

V3/7i7i\V3/203兀\

=———Itan------tan—)—100=———tan-....tann)—100

3\a[。Ia"3\3/

=一遮tan(68ir—4-100=-tan--100=-99,

3\3/33

所以數(shù)列｛bn｝的前100項(xiàng)和Sioo=—99.

滿分秘籍

1變式訓(xùn)練

【變式5-1]已知數(shù)列｛a九｝中，的=La2=p且4+1=(九一毋(幾=2,3,4,…).

4Ti—CLn

(1)設(shè)勾=—工---1(九CN*),試用"表不久+i，并求｛b九｝的通項(xiàng)公式；

an+l

=e

(2)設(shè)“cos/cosbN*),求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和Sn?

COSDnCOSDn-j.l

【答案】⑴、+1=十味，bn=3n

-sin3n

ncos(3n+3)cos3

【分析】(1)根據(jù)提示bn=--l(neN*)將條件an+l=0%進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；

an+ln-an

(2)根據(jù)兩角差的正弦公式可將J—化為裂項(xiàng)式J=當(dāng)生-嚶求和.

cosbncosbn+icosbn+icosbn

【詳解】(1)工=------上一1=^----------------i-一1=^----------^=4(工