2024歷年高考數(shù)學試題匯編：空間幾何體位置關(guān)系

歷年高考數(shù)學真題精編

10空間幾何體位置關(guān)系

一、單選題

1.（2022?全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，

且3V/V3/,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

81]「27811「27641…

A.18,—B.—C.—D.r[i1o8,27]

_4JL44JL43_

2.（2022.全國）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3K和4—,其頂點都在同

一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTTB.1287rC.144兀D.192兀

3.（2022?全國）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球

面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

4.（2022?全國）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分

另為S甲和%,體積分別為/和吟.若削=2,貝心=（）

3乙V乙

A.75B.2A/2C.MD.

5.（2023?全國）已知圓錐尸。的底面半徑為名，。為底面圓心，PA,尸8為圓錐的母線，

ZAOB=120°,若加的面積等于％叵，則該圓錐的體積為（）

4

A.nB.娓兀C.37D.3瓜兀

6.（2023?全國）已知四棱錐尸—ABCZ）的底面是邊長為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

則.PBC的面積為（）

A.2A/2B.3亞C.4萬D.672

7.（2021.全國）己知圓錐的底面半徑為0,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長

為（）

A.2B.2A/2C.4D.4及

8.（2023?全國）在三棱錐P-ABC中，ABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=娓,

則該棱錐的體積為（）

A.1B.V3C.2D.3

9.（2020?全國）已知4民C為球。的球面上的三個點，。。1為一的外接圓，若。&的

面積為4兀，AB=BC=AC=OO],則球。的表面積為（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

10.（2021?全國）已知4,5,。是半徑為1的球0的球面上的三個點,且4?，5。,4。=3。=1,

則三棱錐ABC的體積為（）

二、多選題

11.（2023?全國）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器

壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

12.（2023?全國）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為0,48為底面直徑，ZAPS=120°,上4=2,

點C在底面圓周上，且二面角P—AC-O為45。，貝I（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=2A/2D.AR4c的面積為百

13.（2022?全國）如圖，四邊形ABC。為正方形，EDL^ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E—ACD,F-ABC,/一ACE的體積分別為匕,匕,匕，貝U（）

A.匕=2匕B.匕=匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3K

14.（2022?全國）已知正方體ABCD-aqGA，貝!J（）

A.直線BG與所成的角為90。B.直線8G與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面8BQD所成的角為45°D.直線8G與平面ABCD所成的角為

45°

三、填空題

15.（2023?全國）已知點S,AB,C均在半徑為2的球面上，_ABC是邊長為3的等邊三角形，

SA_L平面ABC,貝i」S4=.

16.（2023?全國）在正方體4BCQ-ABGA中，AB=4,0為AQ的中點，若該正方體的棱

與球。的球面有公共點，則球。的半徑的取值范圍是.

17.（2023?全國）在正方體A8CO-AqG〃中，E,尸分別為AB,G2的中點，以斯為直

徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點.

18.（2023?全國）在正四棱臺ABCD-ABiGR中，AB=2，A4=LA&=忘，則該棱臺的體

積為.

19.（2023?全國）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長

為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

20.（2020?全國）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積

為.

四、解答題

21.（2021.全國）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面3cD,AB=AD,。為BD

的中點.

（1）證明：OA±CD；

（2）若八OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-3C-O

的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

22.（2023?全國）如圖，在三棱錐P-A5c中，AB±BC,AB=2,BC=20,PB=PC=y[6,

的中點分別為2E,O,點尸在AC上，BF±AO.

A

⑴求證：E1尸〃平面ADO；

⑵若/尸。尸=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

23.（2022?全國）如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD^CD,ZADB=ZBDC,E為AC的

中點.

(1)證明：平面3ED_L平面AC。；

(2)設(shè)AB=3D=2,NACB=60。，點尸在3。上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐尸-ABC

的體積.

24.(2021?全國)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABC。，M為BC的中

點，且尸3_L40.

(1)證明：平面R4M_L平面尸BD；

(2)若PD=OC=1,求四棱錐尸-ABCD的體積.

25.(2021?全國)己知直三棱柱ABC-A4C中，側(cè)面44由8為正方形，AB=BC=2,E,

斤分別為AC和CG的中點，BFVA^.

(1)求三棱錐P-￡BC的體積;

(2)已知。為棱4月上的點，證明：BFYDE.

26.(2020.全國)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，ABC是底面的內(nèi)接正三

角形，P為。。上一點，ZAPC=90°.

(1)證明：平面公81.平面mC；

(2)設(shè)。。=&,圓錐的側(cè)面積為后，求三棱錐P-ABC的體積.

參考答案：

1.C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為3由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】?.?球的體積為36%,所以球的半徑K=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a,高為心

貝產(chǎn)=2/,32=2a2+（3—h）2,

所以6/i=/2,2a2=『—方

112/4/21//6\

所以正四棱錐的體積V=WS/Z=ZX4Q2X/Z=WX（/2—）X"=XZ4--,

3333669136J

所以叫":NR

當3W/W2m時，V>0,當2"</V3若時，V'<0,

所以當/=2"時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為日，

27Q1

又/=3時，V=—,/=3g時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2一7，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是y-y.

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

i_-|3

由方法一故所以V=g/〃=g（6〃-〃2,=#12_2/0〃、eg>—2?+/z+/z=,（當且

僅當力=4取到）,

當它時,得a考,則=#T強電子

當/=3gI—時，球心在正四棱錐圖線上，此時A=i3+3=]Q,

曰"=￥="=*,正四棱錐體積乂=：。，=%等）葭9=*＜三，故該正四棱錐體積的取

值范圍是目爭

2.A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小々再根據(jù)球心距，圓面半徑，

以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小4，所以入=2^,2力=業(yè)"，即

勺=3用=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,4,球的半徑為R,所以4=近一9,

d2=依-16，故|4-4|=1或4+4=1，即|J&-9--16卜1或+VF=16=1，

2

解得R=25符合題意，所以球的表面積為S=4成2=1007r.

3.C

【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點。到底面A8C。所在小圓距離一定時，底面ABC。

面積最大值為2，，進而得到四棱錐體積表達式,再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，

從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD四邊形ABC。所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對角線夾角為a,

2

則SABCD=；,AdD，sina<-AC-BD<-2r-2r=2r

（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）

即當四棱錐的頂點。到底面A2CD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2,

又設(shè)四棱錐的高為3則/+/=/,

當且僅當r2=2/?即，，邛時等號成立.

故選：C

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為。，底面所在圓的半徑為

人則廠=乎〃，所以該四棱錐的高=

_______________aaa

12.a2_4la2a2<4Z+Z+

V

3Y23V442313w考

（當且僅當9=1-即時，等號成立）

所以該四棱錐的體積最大時，其高/，=

故選：C.

［方法三］:利用導數(shù)求最值

由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為。，底面所在圓的半徑為

廠，則r=受々，所以該四棱錐的高仁令/=?0<［<2）,卜2?一二

2V23V23V2

設(shè)/⑺=產(chǎn)一1,則廣⑺=2f4，

0<?<1,/，（0>O-單調(diào)遞增，*<2，/⑺<°，單調(diào)遞減，

所以當?=1時，v最大，此時力=卜^=”.

故選：C.

【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通

性通法.

4.C

【分析】設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為4,根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得4=2々，再結(jié)合圓心角之和可將小馬分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓

錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為石,乙圓錐底面圓半徑為4,

則園=加=2=2,

」％7ir2lr2

所以a=2々，

又牛+牛=2萬，

則牛=1,

21

所以々=-1,

所以甲圓錐的高=方/,

乙圓錐的高％=j/2-3尸=乎/,

v-/2X-/

所以卜r=河

393

故選：C.

5.B

【分析】

根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】

在中，ZAOB=120°,而。4=08=6，取A3中點C,連接。C,尸C,有

ZABO=30,OC=—,AB=2BC=3,由的面積為矩，^-x3xPC=—,

2424

22

解得PC=亭，于是尸o=VPC-OC=，（竽）2_（,）2=屈,

所以圓錐的體積丫=；無*042義20=；兀乂（退）2乂n=后兀.

故選：B

6.C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，PDO三尸CO,PDB^PCA,從而

得到PA=PB,再在APAC中利用余弦定理求得PA=y/17,從而求得PB=^11,由此在_PBC

中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；

法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=JF7,cosZPCB=1,從而求得PA.pc=-3,

再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于尸氏NBP。的方程組，從而求得尸8=舊,

由此在aPBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,即交于。，連結(jié)尸。，則。為AC,的中點，如圖，

因為底面ABCD為正方形，AB=4,所以AC=BD=40,則DO=CO=20,

又PC=PD=3,PO=OP,所以二尸DO=尸CO,貝！|/P￡>O=/PCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4四,所以.PCA,則24=尸8,

在△叢。中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°,

貝U由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCCOSZPCA=32+9-2X4點x3x—=17,

2

故尸A=JI7,則PB=&7,

故在一PBC中，PC=3,PB=屈,BC=4,

PC、BC?-PB?9+16-171

所以cosNPC8=

2PCBC2x3x4-3

又。<NPCB<7t,所以sinNPCB=Jl一cos?NPCB=

3

所以PBC的面積為S=L尸C?BCsinN尸CB=!x3x4x32=4JL

223

法二:

連結(jié)交于。，連結(jié)P。，則。為AC,8。的中點，如圖,

因為底面ABCD為正方形，AB=4,所以ACuBOudVL

在△出C中，PC=3,NPCA=45。,

則由余弦定理可PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—=17,故

2

PA=V17,

以2+叱-317+9-32_V17

所以cosNAPC=則

2PA?PC2X717X3-17

PA-PC=|PA||PCkosNA尸C=gx3x-%=-3,

不妨記PB=m,NBPD=6,

因為P0=；(PA+PC)=g(P2+PD),所以(PA+PcJ=(PB+PZ))2,

Fin2222

BPPA+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD，

貝！117+9+2x(—3)=m~+9+2x3xzncos^,整理得mz+6zncos6—11=0①,

又在△尸BD中，BD2=PB1+PD2-2PB-PDCOSZBPD,即32=加+9-6〃?cos。，則

m2-6mcos-23=0@,

兩式相力口得2加2-34=0,故PB=m=后，

故在一PBC中，PC=3,PB=屈,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-171

所以cosNPC8=

2PCBC2x3x4

又。<NPCB<7t,所以sin/尸C3==

3

所以PBC的面積為S=L尸C?BCsinN尸CB=!x3x4x32=4JL

223

故選：C.

7.B

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為

所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則M=2%x&,解

得/=2\/2.

故選：B.

8.A

【分析】證明AB人平面PEC,分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.

【詳解】取AB中點E,連接尸E,CE,如圖，

p

ABC是邊長為2的等邊二角形，PA=PB=2,

:.PE±AB,CE1.AB,又PE,CEu平面PEC,PE\CE=E,

AB工平面PEC,

又PE=CE=2x是=0,PC=4^,

2

tkPC1=PE1+CE1,§PPEYCE,

故選：A

9.A

【分析】由已知可得等邊."C的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的

截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓。?半徑為*球的半徑為R,依題意，

得萬r=4萬,；.廠=2,ABC為等邊三角形，

由正弦定理可得A2=2rsin60。=2石，

：.OO\=AB=26根據(jù)球的截面性質(zhì)。。1平面ABC,

OO[±OtA,R=OA=Joo：+0^2=^OO2+r2=4,

丁?球0的表面積S=MR?=64%.

【點睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

10.A

【分析】由題可得一MC為等腰直角三角形，得出一ABC外接圓的半徑，則可求得。到平面

A3C的距離，進而求得體積.

【詳解】AC±BC,AC=BC=l,，ABC為等腰直角三角形，.“8=0,

則一ABC外接圓的半徑為無，又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面A5c的距離為d,

所以%ABC=!SABC=-X—X1X1X.

_

CzADC3/IDC32212

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、

球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.

11.ABD

【分析】

根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為Q99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于選項B：因為正方體的面對角線長為鬲，且0>1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于選項C：因為正方體的體對角線長為6m,且6<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；

對于選項D：因為1.2m>lm,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過AC1的中點。作OELAG，設(shè)OEIAC=E,

可知AC=應(yīng),CG=1,AC|=y(3,OA=—,貝！jtan/CAG=第=罷,

2ACAO

1_OE

即正，解得?！?如r，

T4

且1=。>舁。?凡BPT>0-6,

故以AG為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心與正方體的

下底面的切點為

可知：AC1101M,01M=0.6,則tanNCAG=*=鬻，

/IC-/iCz）

10.6-L

即"77=777,解得AO】=0.6V2，

根據(jù)對稱性可知圓柱的高為若-2x0.6&。1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選：ABD.

12.AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D

選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPS=120°,PA=2,所以。尸=1,OA=OB=VL

A選項，圓錐的體積為gxitx（百Jxl=7i,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀x括x2=2扃，B選項錯誤；

C選項，設(shè)。是AC的中點，連接

則AC_LOD,AC_LPD,所以ZPDO是二面角尸—AC—O的平面角，

則NP￡）O=45。，所以O(shè)P=OD=1,

AD=CD=73^1=72,則AC=2應(yīng)，C選項正確；

D選項，尸￡>=jF+a=&,所以SPAC=5X20X應(yīng)=2,D選項錯誤.

故選：AC.

13.CD

【分析】直接由體積公式計算匕匕，連接8。交AC于點M,連接EM,FM,由

匕=VA-EFM+VC-EFM計算出匕，依次判斷選項即可.

【詳解】

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因為平面ABC。，F(xiàn)BED,則

111?4

V=-EDS=--2a---（-2aY=-a3,

13Arn32v73

匕=?煙6"=3"；（2。）2=：。3,連接3。交AC于點M,連接易得

BD±AC,

又￡ZU平面ABC。，ACu平面ABC。，則EDLAC,又EDBD=D,￡D,8Du平面

BDEF,則AC_L平面BDEF,

又BM=DM=gBD=6a,過尸作尸G,DE于G,易得四邊形BDG歹為矩形，貝U

FG=BD=2y[2a,EG=a,

貝IEM=J（2a）~+（A/^ZZ）=&>a,FM=Ja2+j=>f3a）EF=Ja。+（2>/^a）=3a，

2222

EM+FM=EF,則9,9,SEFM=^EM-FM=^a,AC=2垃a，

1,

則匕=匕一Era/=]AC-SEFM=2。，貝12V3=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B錯

誤；C、D正確.

故選：CD.

14.ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】如圖，連接與C、BC-因為。A〃BC，所以直線BQ與80所成的角即為直線3G

與。4所成的角，

因為四邊形8耳GC為正方形，則g故直線BG與所成的角為90。，A正確；

連接AC,因為A4_L平面B4GC,8?匚平面88℃,則4耳_13￡,

因為AtBtBC=B],所以BQ，平面4BC，

又ACu平面AB。，所以BG_LC4,故B正確；

連接4G，設(shè)4￡，BR=O,連接30,

因為平面45c￡>],6。匚平面4耳。2，則G。，用8,

因為CQ_LA2，BRcBiB=Bi,所以C0_L平面B8QQ,

所以NGB。為直線3G與平面88。。所成的角，

設(shè)正方體棱長為1,則60=正，BC、=?,sinZC,BO=|^=1,

所以，直線BG與平面班QD所成的角為30,故C錯誤；

因為平面ABC。，所以為直線BG與平面ABC。所成的角，易得NGBC=45,

故D正確.

故選：ABD

15.2

【分析】

先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.

【詳解】

如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN-ABC,

設(shè)一ABC的外接圓圓心為a,半徑為乙

2r=___—__==2^3

貝I]sinZACB6，可得r=VL

工

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接0AOQ,則。4=2,；S4,

因為。Ku。。；+0]&2,即4=3+5以2,解得&4=2.

故答案為：2.

【點睛】

方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)

或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

(2)若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA.PB、PC兩兩垂直，且B4=a,PB=b,

PC=C,一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4/?2=.2+爐+好求解；

(3)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

(4)球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

(5)利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，

確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

16.[2應(yīng),2兩

【分析】當球是正方體的外接球時半徑最大，當邊長為4的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形

時半徑達到最小.

【詳解】設(shè)球的半徑為R.

當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得

更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，

正方體的外接球直徑2R為體對角線長AC】="+42+軍=4+,即2R'=4如,R=2g,

故Max=26;

分別取側(cè)棱例,即,CCQA的中點”,H,G,N,顯然四邊形MNGH是邊長為4的正方形,

且。為正方形MNGH的對角線交點，

連接MG,則MG=4夜，當球的一個大圓恰好是四邊形MNG"的外接圓，球的半徑達到最

小，即R的最小值為2女.

綜上，7?￡[272,273].

故答案為：[2后,2g]

17.12

【分析】

根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,所中點為。，取CD,CC,中點G,M,側(cè)面的中

心為N,連接FG,EGQM,ON,MN,如圖,

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=J,FG?+EG。=+2?=2夜，

即氏=血，

則球心。到CG的距離為OM=y]ON12+MN2=Vl2+12=A/2，

所以球。與棱CG相切，球面與棱CG只有1個交點，

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，

所以以EP為直徑的球面與正方體棱的交點總數(shù)為12.

故答案為：12

is.標/1新

66

【分析】

結(jié)合圖像，依次求得aa，Ao，AM,從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過A作AMLAC,垂足為M,易知AM為四棱臺ABC。-的高,

因為AB=2，Aq=1，M=0,

11511

則A。=—AG=—x0A81=—,AO=-AC=-x>/2AB=y/2,

22222

故AM=g（AC_AG）=乎,22

則AXM=7AA-AM

故答案為:等

19.28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于彳=而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+至港）=28.

故答案為：28.

【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的

值.

【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示,

其中BC=2,A3=AC=3,且點M為BC邊上的中點，

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，

由于AM=Js?-1?=2y，故=］x2x2血=20,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為「，貝心

%BC=%0B+SABOC+%oc=g*"Xr+gXBCXr+gxACXr

=gx(3+3+2)xr=2近，

解得：r=Y^,其體積：V=*兀廣=也^兀.

233

故答案為：〕自萬.

3

【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確

切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體，

切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點

均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

21.(1)證明見解析;(2也.

6

【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體

積即可.

【詳解】(1)因為=。是3。中點，所以。4，以)，

因為Q4u平面平面平面BCD,

且平面ABDc平面3cD=BD,所以Q4L平面BCD.

因為CDu平面BCD,所以。4_LCD.

(2)［方法一］:通性通法一坐標法

如圖所示，以。為坐標原點，為z軸，。。為y軸，垂直且過。的直線為x軸，建立

空間直角坐標系。-孫z,

則C(—,-,0),D(0,l,0),8(0,-1,0),設(shè)A(0,0,附,￡(0,,,：")，

2233

E

所以班=(0,-g,-|M,BC=(#,|,。),

設(shè)A=(x,y,z)為平面ESC的法向量，

則由)',"二°可求得平面EBC的一個法向量為〃=(-73,1,--).

BCn=Om

又平面BCD的一個法向量為。4=(0,0,m),

所以cos",OA)=——.=—,解得租=1.

'/.42

“4+二

Vm

又點C到平面迎的距離為也，所以%BCD=VCABD=LJx2xlxl叵，

A—L-AtSDCCC/

2522o

所以三棱錐A-38的體積為近.

6

［方法二］【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角

如圖所示，作EG_L9,垂足為點G.

作GbLBC,垂足為點憶連結(jié)所，則。4〃EG.

因為OA_L平面BCD,所以EG_L平面BCD,

/EFG為二面角E—3C—。的平面角.

因為NEFG=45。，所以EG=FG.

由已知得08=00=1,故。B=OC=1.

又NOBC=NOCB=30°,所以3C=6.

24222

因為GD=—,GB=—,FG=—CD=—,EG=—,OA=\,

33333

］111x/3x/3

VA-BCD=~S.BCDXOA=~X^S,BOCXOA=~X^X(~X-X^X^)Xl=~■

［方法三］:三面角公式

考慮三面角3—即C，記NEBD為a,/EBC為/3,3c=30。，

記二面角E—3C—。為凡據(jù)題意，得。=45。.

對"使用三面角的余弦公式，可得cos，=cosc-cos30。，

化簡可得cos"=geos<z.①

使用三面角的正弦公式，可得sin￡=",化簡可得sin^=0sina.②

sin”

3

將①②兩式平方后相加，可得:8$2。+25m20=1,

4

根據(jù)三角形相似知，點G為。。的三等分點，即可得5G=1，

結(jié)合。的正切值，

可得EG=[,。4=1從而可得三棱錐A-BCD的體積為亙

【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性

通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復雜圖形的處理；

方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾

何特征有更加深刻的認識，該法為本題的最優(yōu)解.

方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得

問題更加簡單、直觀、迅速.

22.(1)證明見解析

Q)巫

3

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODE尸為平行四邊形，再利用線面平行的判定推

理作答.

(2)作出并證明R0為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【詳解】(1)連接。瓦0F，設(shè)AF=ZAC,則8尸=BA+A尸=(1一。a4+rBC,AO=-BA+^BC,

BFLAO,

1.21

貝BFAO^[(l-t)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(r-l)BA+-?BC2=4(r-l)+4?=0,

解得則尸為AC的中點，由D,E,O,歹分別為P員總,3C,AC的中點，

于是DEMAB,DE=：AB,OF11AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EF/IDO,EF=DO,又研仁平面A￡)O,￡)Ou平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

(2)過尸作RW垂直FO的延長線交于點"，

因為PB=PC,O是BC中點，所以PO13C,

在RtAJ^O中，PB=y/6,BO=-BC=y/2,

2

所以PO={PB2—OB2=>/^5=2,

因為4BJ.BC，。歹//4B,

所以O(shè)/_LBC,又POcOF=O,PO,OFu平面尸。尸，

所以3C1平面尸0尸，又PMu平面尸0斤，

所以BC_LPM,又BCFM=O,BC,FMu平面ABC,

所以PM_L平面ABC,

即三棱錐尸-ABC的高為PM,

因為NPQF=120。，所以/尸。以=60。，

所以尸M=POsin60°=2x^=J^,

2

XSAABC=|AB-BC=1X2X2A/2=2^,

所以匕ABC==SAABC，PM=、2&X也=

r—3ZAAoC3，'3

【分析】（1）通過證明AC_L平面BED來證得平面BED_L平面ACD.

（2）首先判斷出三角形AFC的面積最小時尸點的位置，然后求得/到平面ABC的距離,

從而求得三棱錐尸-ABC的體積.

【詳解】（1）由于AD=CE>,E是AC的中點，所以ACJ_￡>E.

AD=CD

由于，BD=B。,所以AADB三ACDB,

ZADB=ZCDB

所以A5=CB,故AC_LBE,

由于DEc3E=E,。瓦BEu平面BED,

所以AC_L平面BED,

由于ACu平面ACD,所以平面平面ACD.

（2）［方法一］:判別幾何關(guān)系

依題意A5=3D=3C=2,ZACB=60°,三角形ABC是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=LBE=G

由于AD=CD,AO，CD,所以三角形A。是等腰直角三角形，所以上=1.

DE?+BE?=BD。，所以DELBE,

由于ACcBEnE,AC,3Eu平面ABC,所以。E2平面ABC.

由于八位加三△CC?,所以NEBA=NFBC,

BF=BF

由于<NFBA=NFBC,所以一FS4三FBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以EF/AC,

由于S.C=(AC-E尸，所以當所最短時，三角形APC的面積最小

過E作EF_L8D,垂足為尸,

在Rt^BED中，-BEDE=-BDEF,解得所=且,

222

13

所以。尸==-,BF=2-DF=-

22

而ZBF3

所以而北

FHBF3

過/作FH_LBE,垂足為H,則尸“〃DE,所以切上平面ABC,S—=—=4

DEBD4

3

所以也二'

所以吟ABC=~-SABC-FHWx2乂舟J是

r—/IDC3ADC3244

［方法二］:等體積轉(zhuǎn)換

AB=BC,ZACB=60°,AB=2

??.A4BC是邊長為2的等邊三角形,

BE=6

連接斯

AADB=ACDBAF=CF

EF1AC

.?.在ABED中，當￡F_L3D時，AAFC面積最小

AD±CD,AD=CD.AC=2,E為AC中點

.-.DE=1DE2+BE2=BD2

BE1ED

若EF1BD,在ABED中,EF=BEDE=是

BD2

BF=-JBE2-EF2=-

2

1373_3A/3

■,^&BEF=-BFEF=

222~2~~

130cG

??^F-ABC=^A-BEF+^C-BEF=g^ABEF'A?！?-----?，=-----

384

24.（1）證明見解析；（2）

3

【分析】（1）由PD_L底面ABCD可得叨2AM,又PB工AM,由線面垂直的判定定理可

得AM2平面PBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面PAM_1_平面PBD；

（2）由（1）可知，AM±BD,由平面知識可知，_DAB~ABM,由相似比可求出AD,

再根據(jù)四棱錐P-ABCD的體積公式即可求出.

【詳解】（1）因為PZ）_L底面ABC￡>,平面ABCD,

所以尸D2AM,

又尸PBPD=P,

所以AAf工平面尸BD,

而u平面PAM,

所以平面R4M■_L平面尸3D.

（2）［方法一］:相似三角形法

由（1）可知AM_LBD.

于十是口一ABDs碗公，M故A。=

ABBM

因為8M=g8C,AD=3C,A8=l,所以;BC'l,即改?=應(yīng).

故四棱錐尸-ABCD的體積V=.

33

［方法二］:平面直角坐標系垂直垂直法

由（2）知所以人AM.^BD=-1.

建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)8c=2°（口>0）.

因為。C