2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)：幾何問(wèn)題解法講解之最值問(wèn)題

第11章最值問(wèn)題

第1節(jié)垂線(xiàn)段最短

【簡(jiǎn)釋】

【法1】【旋轉(zhuǎn)法】正△BMD,黃△三[SAS]AD=MC,ZADM=60°

MA>AH=^AD=^MC

【法2】【等邊等角造烏】a+|3=60。,截CD=BM,黃藍(lán)△三[SAS)MC=AD

MA_MAAH_y/3

MC~AD~AD~2

2.[☆☆☆]△ABC,BC=AC,ZABC=30°,AD=4BD=8,ZFDE=60°,ExF分別在射線(xiàn)AC和射線(xiàn)BC上廁EF的最小

值為().

【簡(jiǎn)釋】

【法1】【旋轉(zhuǎn)點(diǎn)】DG_L=4,DG=1,藍(lán)黃△。。￡;44)

DE=4DF=4科[解EFD]EF=V13m>V13

【法2]【對(duì)角互補(bǔ)】?jī)蓚€(gè)a,藍(lán)黃△CO[44],灰^SIAA】

CD=4DQ=WP,DE=4DF=4m,【解EFD]EF=V13m>V13

第2節(jié)軌跡法

3.【☆☆☆】RtAABC,ZACB=90°,ZABC=60°,D在直線(xiàn)AB上移動(dòng)，乙CDE=30o,NCED=9CTBC=4,當(dāng)AE最小時(shí),

BE=().

【簡(jiǎn)釋】

【法1】【軌跡法:假定點(diǎn)D初始位置為A,點(diǎn)E位置在F]CF±AB

【同旁直角】黃【AA]，灰4[SAS]

左圖]兩個(gè)30。（右圖]兩個(gè)60°）,E在定直線(xiàn)EF上移動(dòng)AG，EF,AENAG=后,

即E與G重合時(shí),AE最△AFG中,AF=6,【解藍(lán)△】FG=3,BF=2,BGV19

［法2］【旋轉(zhuǎn)法】［369AANE”J|A-［SAS］兩個(gè)(anNC，4B于F

AN>AF=6,AE=-AN>3V3

AAFG^AANE［AA］當(dāng)N與F重合時(shí),E與G重合

【解藍(lán)IFG=3,BF=2,BG=V19

4.[☆☆☆☆]正方形ABCD邊長(zhǎng)為2VX,E、F分別在AD、BC上移動(dòng)，F(xiàn)C=（百+1）AE,正△EFG,,則DG

的最小值是（）.

【簡(jiǎn)釋】

左圖礪="=8+1,令0E=2k,則OF=2k+243k,EF=4k+2y[3k

AE

中垂線(xiàn)GH,?！?遍/c,器=f=器角分線(xiàn)GO,ZOG￡=15°

OE2GE

【軌跡法】【△OEG初始為△OAP]中垂線(xiàn)YDP,等=方=2

AP2+V3EG

灰綠a)[SAS]AOPA=15。，霏=籌

中圖r\a+p=105。，黃△00[S4S)兩個(gè)45°,ZAPG=60°

右圖

5.【☆☆☆】菱形ABCD邊長(zhǎng)為3,NBCD=6（r,E在CD上移動(dòng),AE、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F,BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交DF于G,

則GB的最大值是（）.

【簡(jiǎn)釋】

作CH〃BD

CH_CE_CF_CF

BD~ED~AD~BD

CH=CF

黃藍(lán)△=[SAS]兩個(gè)a

G在△BCD外接圓。。上

BF

OG=OB=V3,GB<2V3

6.［☆☆☆☆］菱形ABCD邊長(zhǎng)為4,Z.B=60°?P在BC上移動(dòng)，PA=PQ,乙4PQ=120。,求DQ的最小值與△

QPD面積S的最小值.

【簡(jiǎn)釋】

【法1］【軌跡法】AAPQ初始△ABE【旋轉(zhuǎn)角為30。士a】灰黃△-【SAS】相似比V33，/BEF

=90°,口()三口乂=令BP=2m,則EQ=V33m,GQ=3m,HP=2m-2,HG=V33遮S=SAGQD-

S、小―S①尸V3(m2—4m+8)>4A/3

濃側(cè)

【法2】a+p=90。,黃As[AA]相似比為遮,令BP=2m

HQ=WAK=V3(4-=V3P/C=3m,HD=|4-3m

1OQ2=3(4-m)2+(4-3m)2=4(3m2―12m+16)>16,DQ>

S=S+S—S=V3(m2—4m+8)>4V3

底浮ADP

【法3】△ACD外接圓OO,BC是切線(xiàn),PD與。O交于N

ZAPD<ZAND=60°,ZQPD>60°,sinZQPD>sinZAPD

2SAQPD=PQPDsinZQPD,2SAAPD=APPDsinZAPD,

SAPD_sin"PD>iq=q>c=q=、叵

APDACD

SAPDsin^APD-'QPD-'

第3節(jié)旋轉(zhuǎn)法

7.[8下]【☆☆】矩形ABCD內(nèi)接正△DMN,AD>DC,AD=2,DC=m,試確定m的取值范圍.

【簡(jiǎn)釋】

【旋轉(zhuǎn)法】作正△DPK

黃△三（S4S）

DA、PM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于Q

IEADPQ,AD<DQ=DP

W即2<^,m>V3

故V3<m<2

8.[8下】【☆☆】正4ABC邊長(zhǎng)為2,高為AD,AADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)△FDE直線(xiàn)EC、AF交于G,則B

G的最大值是（）.

【簡(jiǎn)釋】

兩個(gè)a,4個(gè)P

【對(duì)頂點(diǎn)O】

ZCGA=ZFDE=90°

F中垂線(xiàn)=V3

斜邊中線(xiàn)HG=1

BG<BH+HG=>/3+1

第4節(jié)對(duì)稱(chēng)法

9.【8下】［☆］乙40B=20°,OA=3,OB=2,M、N分別在射線(xiàn)OA、OB上，則AM+MN+NB的最小值是（

).

【簡(jiǎn)釋】

4'、A關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)

B'、B關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)

WOB'=60°

【解

【兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短】

m+k+n>A'B'=V7.

【下】【☆☆☆】的面積為

10.8AABC6,BC=4,^BAC=60°?DxE、F分別在BC、AB、AC上，則.△DEF周

長(zhǎng)L的最小值是（）.

【簡(jiǎn)釋】

M、D關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)

N、D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)

AM=AD=AN

a+p=60°,ZMAN=120°

MN=何M=V3AD

L=ME+EF+FN>MN=s/3AD>小AH=3百

說(shuō)明1周長(zhǎng)最小的內(nèi)接小是垂足△

11.[☆☆☆]△ABC,AB=2,ZABC=30°,ZBAC=90°,DSA關(guān)于BC對(duì)稱(chēng),M、N分別在AB、CD上,AM=DN,則M

【簡(jiǎn)釋】

【法1PM+PN=4。=2,MN2=PM2+PN2>^PM+PN)2=2,MN>V2

【法2】角分線(xiàn)AP,灰△三[SAS]PM=PN,/MPN=/APD

黃綠oISAS)MN=^-AD>^-AD=>/2

[法3]【平移法】灰平行四邊形，等腰RtAFD.MN=DENDF=也

第5節(jié)平移法

12(8下】【☆☆】AB=2,BC=1,CD=3,直線(xiàn)AB、CD交于E,^AEC=60。廁AD的最小值是().

【簡(jiǎn)釋】【平移法】

【法1］灰平行四邊形，［369FCHJ,FD=V19,AD>V19-1

【法2】黃平行四邊形，I［369FDHT,CF=V19,AD=>V19-1

13.[8下]【☆☆】ABC,AB=AC=2乃;Z.BAC=120°,D在BC上,(CD=V2.CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到CE,呈AEFB

廁FD的最大值是（）.

菱形.ACGB,CEFG,GF=CE=CD=V2,GH=?HD=2V2GD=V14,FD<GD+

GF=V14+V2

第6節(jié)線(xiàn)段和的最小值

14.【8下】【☆☆☆】|R%4BC,N4BC=90。,"=60\D在AB上移動(dòng),E在AC上，AE=BD?F是BC中

點(diǎn),AB=2,求BE+DF的最小值.

【簡(jiǎn)釋】

【法1］【等邊造之】灰黃.△三［SAS］BE=DG,中位線(xiàn).FG=1

【垂線(xiàn)對(duì)稱(chēng)法】H、F關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，DF=DH

BE+DF=BG+DH>GH=V13

【法2］【等邊造之】黃.A=(SAS)DF=EG

BE+DF=BE+EG>BG=V13

【法3】【等邊造之】灰黃.△三(SAS)BE=DG

BE+DF=DG+DF>FG=V13

第7節(jié)定邊定角

15.【☆☆】正AABC邊長(zhǎng)為百,D、E分別在AC、AB上,AD=BE,BD交CE于F,連接AF廁AF的最小值為(

).

【簡(jiǎn)釋】

【內(nèi)夾六模型】ZBFC=120°

BF、FC中垂線(xiàn)交于P【外心】

a+S=120°

四邊形BPCF中,NBPC=120。

PF=PC=1,PA=2

AF>PA-PF=1

16【8下】【☆☆】四邊形ABCD,BD=2,NABC=90o,NADC=6(F,AD=DC,求四邊形ABCD面積的最小值.

【簡(jiǎn)釋】

正小DBEjtA=[SAS]

B+Y=210O,NBAE=150°

AH最大即可，【定邊定角法】

AB、AE中垂線(xiàn)交于F【外心】

a+Q=150°,四邊形ABFE,ZBFE=60°

正小FBE,矩形FNHM,NH=FM=由

AH+^=AN<AF=2

AH=2—/2—,

棱錐側(cè)加熱

‘ABCD或加熱—SRBDE—S加水加-2V3-2

17.[☆☆☆☆]△ABC,BC=3,NPBA=/BAC=6(T,NPAB=90。,求CP的最大值.

【簡(jiǎn)釋】

夕卜心G,(G4=GB=V^,作QBLBC,QB=2GB=2聒QC=岳綠C0[44]PQ=

2AG=2V3,CP<PQ+QC=2y/3+VH

第8節(jié)定高定角

18【☆☆☆☆】^BAM=乙ABN=90。,NMPN=60°,AP=2PB=2,求SAPMN的最小值.

【簡(jiǎn)釋】

【平行比例】SpMN=2SpKN

【定局】PB=1

【定角】乙KPN=120°

【旋轉(zhuǎn)法】藍(lán)△=(S4S)

【大角對(duì)大邊[YN>TV=UK

SpVN>SpuK>SpKN>Spw

V、N重合時(shí),U、K重合

=

SpKN=SpuuV3,SPMN>2A/3

19.[☆☆☆☆]正△ABC邊長(zhǎng)為2+V^,PBEI4B,PCEL4C,,M、N分別在PB、PC±,ZJVMN=30。,,則SAAMN

【簡(jiǎn)釋】

左圖y藍(lán)SAS),灰黃aQRSISAMN=SAQN=]NQ?"

中圖1【不妨只討論AMNAN】AU=AV,NUAV=30°【旋轉(zhuǎn)法】綠4=【SAS】，【大

角對(duì)大邊】VQ>TV=UNNQ>UV,SAANQ>SAAUV

石右圖1【15。模式】XC=（2+V3）[/C=2+V3,t/C=1,UV=2MN=NQ>UV=

【法2]

藍(lán)4=【直直】，灰黃△三[SAS]

MN=NQ,SAAMN=SAAQN=0.5NQAC

外心o,正ONQ,NQ=OA,OH=^-NQ

^-NQ+NQNAC=2+W,NQN2=MN

P

第9節(jié)面積中的最值問(wèn)題

20[8下]【☆☆】四邊形ABCD,IEAABC,CD=2AD=2,求SABCD的最大值.

【簡(jiǎn)釋】

【旋轉(zhuǎn)法】作正△CDP

PG=V3

藍(lán)小三[SAS]BP=AD=1

BH<1+^3

SBCDW1+V3

21.【8下1【☆☆☆》△ABC,角分線(xiàn)AD,BD>DC,ZBAC=60°,DE±AB,DF±AC,k=返，求k的最大值.

SABC

DE=DF,ZADE=ZADF

【三線(xiàn)合一】ADJ_平分EF,MDN±AD

IEAAMN,DM=DN,MG//AC

。黃三[AAS]SABC=^AMN+SBMG

N