2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊：構(gòu)造三角形全等方法-作公共邊、公共角、垂直

專題12.17構(gòu)造三角形全等方法—作公共邊、公共角、垂

直

（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識點(diǎn)歸納】

當(dāng)不能直接證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使它們在兩個(gè)合適的三角

形之中，再證這兩個(gè)三角形全等，本專題介紹作公共邊、公共角、作垂線構(gòu)造三角形全等的

輔助線方法

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型11連接兩點(diǎn)構(gòu)造公共邊

[例1]（24-25八年級上?全國?假期作業(yè)）

1.如圖：在四邊形NBCD中，AD//CB,AB//CD.求證：4B=4D.

B

【變式1]（23-24八年級上?吉林長春?開學(xué)考試）

2.如圖，RtA48c中，ABAC=9Q°,AB=AC,。是5c的中點(diǎn)，AE=BF.

（1）求證：DF=DE（提示：連接/。）；

（2）^BC=4cm,求四邊形4PDE的面積.

【變式2]（23-24八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）

3.已知：中，/3/C=90。，=點(diǎn)E為內(nèi)一點(diǎn)，連接CE,

過點(diǎn)3作80,4E,交NE的延長線于點(diǎn)

試卷第1頁，共6頁

圖1圖2

(1)如圖1,求證：BD=AE；

(2)如圖2,點(diǎn)”為8c的中點(diǎn)，分別連接DH,求NED”的度數(shù).

【題型2】延長相交構(gòu)造等角

【例2】(21-22八年級上?浙江臺州?階段練習(xí))

4.如圖，已知點(diǎn)￡為上一點(diǎn)，AE,BE分別平分ZCBA.

(1)求證：AE工BE；

⑵求證：AB=AD+BC

【變式1](20-21八年級上?山東德州?期中)

5.如圖，ZB=ZC=9O°,M是BC上一點(diǎn)，且NAMD=90。，DM平分NADC,求證：AM平

分NDAB

【變式2】

6.如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AD、8E是Rt44BC的角平分線，與3E相

交于點(diǎn)尸，交3C的延長線于G,交4c于H.

試卷第2頁，共6頁

(2)求證：AF=GF；

(3)若N8=10,AH=5,8。=8,貝!|8=

【題型3】作垂線段構(gòu)造等角或公共邊

【例3】(22-23八年級上?廣西南寧?期末)

7.綜合與實(shí)踐：

【問題情境】在綜合與實(shí)踐課上，老師對各學(xué)習(xí)小組出示了一個(gè)問題：如圖1,

ZACB=90°,AC=BC,AD1CD,BE1CD,垂足分別為點(diǎn).請證明：AD^CE.

【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2,NCDF=90°,

C0=￡D,點(diǎn)A是。尸上一動點(diǎn)，連接NC,作乙4c5=90。且8C=NC,連接B尸交CD于

點(diǎn)G.若。G=1,CG=3,請證明：點(diǎn)A為。尸的中點(diǎn).

【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問題：如圖3,ZCDF=90°,

=，點(diǎn)A是射線。尸上一動點(diǎn)，連接/C,作乙4。8=90。且5c=/C,連接3尸交射

線CD于點(diǎn)G.若尸D=44尸,請直接寫出DG與CG的數(shù)量關(guān)系.

B

圖2圖3

【變式1](23-24八年級上?重慶九龍坡?期中)

8.如圖，08c與△/￡￡>中，ZE=ZC,DE=BC,EA=CA,過A作垂足為

F,DE交C3的延長線于點(diǎn)G,連接NG.

試卷第3頁，共6頁

I)

⑴求證：AABC咨LADE；

⑵求證：G/平分NDG3；

(3)若四邊形DG84的面積為18,AF=4.5,求尸G的長.

【變式2](23-24八年級上?江蘇南京?期中)

9.如圖，點(diǎn)A、D、E在一條直線上，AB^AC,ABDE-ZCDE<90°,求證:

BD=CD.

證明：ZBDE=ZCDE,

：.NADB=NADC,第一步

又AD=AD,AB=AC,

：./\ABD^AACD,第二步

BD=CD.第三步

(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第一步出現(xiàn)錯(cuò)誤；

⑵請寫出正確的證明過程.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】(2011?遼寧丹東?中考真題)

10.如圖，在八43。中，。是2c的中點(diǎn)，過。點(diǎn)的直線EG交48于點(diǎn)E,交48的平行

線CG于點(diǎn)G,DF1EG,交NC于點(diǎn)?

試卷第4頁，共6頁

⑵判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【例2】（2011?湖北省直轄縣級單位?中考真題）

11.兩個(gè)大小相同且含30。角的三角板/3C和DEC如圖①擺放，使直角頂點(diǎn)重合.將圖①

中繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到圖②，點(diǎn)RG分別是CD、與N8的交點(diǎn)，點(diǎn)”

是。E與/C的交點(diǎn).

（1）不添加輔助線，寫出圖②中所有與4臺。尸全等的三角形；

（2）將圖②中的△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得△￡>/<,點(diǎn)、F、G、X的對應(yīng)點(diǎn)分別為

Fi、Gi、Hi，如圖③.探究線段功為與/團(tuán)之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程；

拓展延伸

【例1】

12.在“3C中，AC=BC,N4CB=90。，點(diǎn)。在的延長線上，M是20的中點(diǎn)，E是

射線C4上一動點(diǎn)，且CE=CD,連接N。，作。尸，皿，。萬交延長線于點(diǎn)?

試卷第5頁，共6頁

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在G4上時(shí)，填空：ADDF（填“=“〈”或

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在C4的延長線上時(shí)，請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)全，判斷/。與。尸的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

【例2】（22-23八年級下?江西景德鎮(zhèn)?期中）

13.如圖在中，//C8為銳角，點(diǎn)。在射線3C上，以/。為一邊在/。右側(cè)作正方

形ADEF.

（1）如果N8=/C,NB4c=90°,

①當(dāng)點(diǎn)。在線段3C（不含端點(diǎn)）上時(shí)，如圖1,則線段b與8。的位置關(guān)系是

②當(dāng)點(diǎn)。在線段3c的延長線上時(shí)，如圖2,①中的結(jié)論是否仍然成立?并說明理由.

（2）如果/Bw/C,/B/C是銳角，點(diǎn)。在線段3c（不含端點(diǎn)）上，如圖3.當(dāng)//C3滿足

什么條件時(shí)，CF1BC?并說明理由.

試卷第6頁，共6頁

1.證明見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及平行線性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等

知識，連接/c,如圖所示，由平行線性質(zhì)得到Nl=N2,N3=N4,再由三角形全等的判定

與性質(zhì)即可得證，添加公共邊作為輔助線的時(shí)候不能割裂所給的條件，根據(jù)要證明的結(jié)論準(zhǔn)

確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：連接4C,如圖所示：

???AD//CB,AB//CD.

:.ZX—N2,N3=N4,

在。3C與△CZU中，

2=/2

<AC=CA,

Z4=Z3

ABC^ACDA(ASA),

:.NB=ND.

2.⑴見解析

2

⑵S四邊形4FDE=2cm

【分析】(1)連接4D,證明A3尸,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出。石=小；

(2)根據(jù)尸，得到四邊形4FDE的面積=$△')=gsaBc，于是得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接

答案第1頁，共19頁

Rt"5C中,ABAC=90°,AB=AC,

?「AB=AC,DB=CD,

/DAE=/BAD=45°,

ABAD=NB=45°,

:.AD=BD,ZADB=90°,

在ADAE和ADBF中，

AE=BF

</DAE=/B=45°,

AD=BD

:.^DAE^DBF[SAS）,

：.DE=DF；

（2）解：?：ADAE咨ADBF,

?二四邊形AFDE的面積=5硼=；S刈8c，

e.,BC=4cm,

/.AD=—BC=2cm,

2

?二四邊形的面積==；S“3c=；x；x4x2=2cm2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定.考查了學(xué)生綜合運(yùn)

用數(shù)學(xué)知識的能力，連接4。，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.

3.（1）證明見解析；

（2"EDH=45。.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△C4E之△45。，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得

出他二他即可；

（2）根據(jù)全等三角形的判定得出您/也△瓦汨，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；

答案第2頁，共19頁

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)

會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題.

【詳解】（1）BD1AE,

??.ZAEC=/ADB=90°,

???/BAC=90。,

???NACE+CAE=/CAE+ABAD=90°,

ZACE=ABAD,

在△C4E與△43。中，

ZAEC=ZADB=90°

<ZACE=/BAD

AC=AB

.“CAE知ABD(AAS),

AE=BD；

(2)如圖，連接力H,

A

vAB=AC,BH=CH,

ZBAH=45°,AAHB=90°,

.-.ZABH=ZBAH=45°,

???AH=BH,

-ZEAH=/BAH-/BAD=45°-/BAD,

ZDBH=180?！猌ADB-/BAD-/ABH=45。—/BAD,

???ZEAH=/DBH,

在△/皿T與中，

AE=BD

<ZEAH=ZDBH

AH=NH

.“AEHABDHa網(wǎng),

答案第3頁，共19頁

EH=DH,NAHE=NBHD,

ZAHE+ZEHB=ZBHD+ZEHB=90°即ZEHD=90°,

ZEDH=ZDEH=45°.

4.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先根據(jù)平行線和角平分線的定義證明乙BNE+ZA8E=9O。，再由三角形內(nèi)角和定

理求出乙4￡8=90。，即可證明/E18E；

(2)如圖所示，延長/￡交8c延長線于R先證明ZU8E三△F3E得到/8=尸5,AE=FE,

再證明AADE=AFCE得至ljAD=CF,即可證明AB=BC+AD.

【詳解】(1)解：???/O〃5C,

：.ABAD+/-ABC=IS00,

■：AE,BE分另ij平分N8/。，/.ABC,

:.乙BAD=24BAE,^ABC=1/-ABE,

；.2乙BAE+2乙4BE=180。,

；/BAE+UBE=90°,

；."1EB=18O°-4BAE-乙4BE=90°,即AELBE；

(2)解：如圖所示，延長/￡交BC延長線于尸，

,-'AE1.BE,

：.^BEA=2LBEF=90O,

,；BE平分乙4BC,

工乙4BE=cFBE,

又?；BE=BE,

???AABE三AFBE(ASA),

??.AB=FB,AE=FE,

???AD//BC,

:,乙EAD=^EFC,乙EDA=LECF,

???△ADE三4FCE(AAS),

??.AD=CF,

：,AB=FB=BC+CF=BC+AD.

答案第4頁，共19頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義,

平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.見解析

【分析】延長AM、DC交于點(diǎn)E,利用ASA即可證出△ADMwaEDM,從而得出

ZDAM=ZE,然后根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)可證4E=4BAM,從而得出NDAMNBAM,即

可證出結(jié)論.

【詳解】解：延長AM、DC交于點(diǎn)E

vzAMD=90°

.-.ZEMD=180°-zAMD=90°=zAMD

?.DM平分4ADC,

.,.zADM=zEDM

???在AADM和aEDM中

ZEMD=ZAMD

<DM=DM

ZADM=/EDM

.-.△ADM=AEDM

.,.zDAM=zE

vzB=zC=90°

.-.zB+zC=180°

.-.DCIIAB

.,.zE=zBAM

答案第5頁，共19頁

.-.zDAM=zBAM

.-.AM平分NDAB.

【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的

判定及性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.(1)見詳解

(2)見詳解

(3)3

【分析】(1)運(yùn)用三角形的內(nèi)角和180。進(jìn)行列式，即可作答；

(2)先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余及角平分線的定義證NK45+N尸胡=45。，進(jìn)而得

NAFB=135°,再證/GE8=135。，據(jù)此可依據(jù)“ASA”判定和A/GB全等，由全等三角

形的性質(zhì)得出結(jié)論：ZAFB=NGFB,BF=BF,ZFBA=ZFBG；

(3)延長GB交與T,先證"FH和△/尸T全等得AH=AT,再證ABFT和ABFD全等

得BT=BD,據(jù)此即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：ZACB=90°,

NAFH=ZCGH=90°,

■■■ZGHC=ZAHF,

.-.180°-ZAFH-ZAHF=180°-ZCGH-ZGHC,

即NG=ZCAF；

(2)證明：???//C3=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

?；AD、BE是Rt44BC的角平分線，

NFAB=-ZCAB,NFBA=ZFBG=-ZCBA,

22

AFAB+NFBA=1(ZG4S+ACBA)=45°,

...ZAFB=180°-(ZFAB+NFBA)=135。,

???GF1AD,則NG以=90°,

ZGFB=360°-ZGFA-ZAFB=360°-90°-135°=135°,

AAFB=ZGFB,

在AFAB和AFGB中，

答案第6頁，共19頁

ZAFB=ZGFB

<BF=BF

AFBA=ZFBG

.?.△E480△/GB(ASA),

??.AF=GF.

(3)解：延長G尸交48與T,如圖:

是RtZXZBC的角平分線,

???ZHAF=ZTAF,

GFLAD,貝(]//^=/加=/6血=90。，

在八AFH和AAFT中,

ZHAF=ZTAF

<AF=AF,

ZHFA=ZTFA=90°

AAFH汜△AFT(ASA),

???AH=AT,

由(2)可知：/AFB=NGFB=135。，

ZBFT=ZAFB-ZTFA=45°,/BFD=ZGFB-ZGFD=45°,

???ZBFT=ZBFD,

???4。是RtZX/BC的角平分線，

???ZTBF=/DBF,

在ABFT和叢BFD中，

ZBFT=ZBFD

<BF=BF

ZTBF=/DBF

:.△BFT經(jīng)4BFD0的，

*'?BT=BD,

答案第7頁，共19頁

??.AB=AT+BT=AH+BD.

vAB=10,AH=5,BC=8,

???10=5+5。

即皮)=5

-CD=BC-BD

/.CD=8—5=3

【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，角平分線的定義，全等三

角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的兩個(gè)銳角互余，全

等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵.

7.(1)見解析；(2)見解析；(3)CG=9DG

【分析】本題考查了全等三角形的綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，添加適當(dāng)

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)AASffiW^ACD^CBE,即可求證結(jié)論；

(2)過B作8HLCD于由(1)得AACD咨4CBH,進(jìn)而可得40=C*,CD=88,

再利用AAS可證A。尸GgA/ffiG,則可證DG=GH,根據(jù)數(shù)量關(guān)系可得ND=2,DF=4,

進(jìn)而可求證結(jié)論；

(3)過點(diǎn)8作于〃，由(2)得4D=CH,CD=BH=FD,HG=DG,再根據(jù)

數(shù)量關(guān)系即可求解；

【詳解】解：(1)證明：?.?44。8=90。，

ZACD+ZBCD=90°,

BEVCD,

ZB+ZBCD=90°,

ZB=NACD,

在A/CD和ACBE中，

'ZACD=ZB

<ZADC=ZCEB=90°,

AC=BC

:.AACD知CBE(AAS),

AD=CE；

(2)證明：過5作于〃，如圖：

答案第8頁，共19頁

F

由（1）得：LACDmACBH,

,AD=CH,CD=BH,

???DF=CD,

DF=BH,

在ANG和AHBG中,

"NDGF=ZBGH

</ADH=/DHB=90。,

AD=BH

,△￡）尸G%/ffiG（AAS）,

???DG=\,

DG=GH=\,

?:CG=3,

：.CH=CG=GH=3-1=2,CD=CH+DG=4,

：.AD=2,DF=4,

.?./是。尸的中點(diǎn);

（3）CG=9DG,理由如下：

過點(diǎn)B作BHLCD于H,如圖：

答案第9頁，共19頁

由(2)得：AD=CH,CD=BH=FD,HG=DG,

?：FD=4AF,

AD=CH=5AF,CD=DF=4AF,

:.DH=CH-CD=AF,

:.DG=-DH=-AF,

22

9

:.CG=CD+DG=-AF,

2

CG=9DG.

8.(1)見解析

(2)見解析

(3)4

【分析】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，解題

時(shí)注意：全等三角形的面積相等.

(1)利用S4S進(jìn)行證明即可；

(2)先過點(diǎn)A作/8c于“，判定尸0即可得出=進(jìn)而得

證；

(3)先判定△4FGg,得出S四邊形左切=2S^,再根據(jù)S四邊形濟(jì)胡=18,AF=4.5?

積公式列出式子，進(jìn)而得到尸G的長.

【詳解】(1)證明：在。與△//)￡中，

DE=BC

</E=NC,

EA=CA

答案第10頁，共19頁

:△ABC知ADE(SAS).

(2)作于"，如圖1,

△ABC/4ADE

ZD=ZABC,AD=AB,

AFLDE,

:.ZAFD=ZAHB=90。,

在LADF與“BH中,

ZD=/ABC

<ZAFD=NAHB,

AD=AB

:AADF知ABH(AAS),

AF=AH,

「.G4平分NOG5；

(3)解：-FADF沿AABH,

一S四邊形DGBZ=S&4OF+S四邊形4FGB=MBH++S四邊形4FG8

在Rt△，尸G和中,

AF=AH

AG=AG

RtA4FG父RM/〃G(HL),

一S四邊形OGBH=2sA6e,

...S四邊形。皿=18,/斤=4.5,

.-.18=2x-xFGx4.5,

2

解得：FG=4.

9.⑴二

答案第11頁，共19頁

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形全等的判定定理求解即可；

(2)過點(diǎn)A分別作交CD的延長線于點(diǎn)G,8。交2。的延長線于點(diǎn)尸，利

用血證明Rt三RtA/CG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NB=NC,利用AAS證明

△ABDmAACD,從而得出8。=CD.

【詳解】(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，

故答案為：二；

(2)證明：如圖：過點(diǎn)A分別作4GLCD交CD的延長線于點(diǎn)G,/斤交瓦)的延長

線于點(diǎn)尸，

1?二</e.,ZBDE=ZCDE,ZBDE=ZADF,ZADG=ZCDE,

1c

ZADG=ZADF,

AG1CD,AF1BD,

AG=AF,

在RtAABF和RtAACG中，

UB=AB

\AF=AG,

??.Rt△4BFzRt"CG（HL）,

/./B=/C,

v/BDE=ZCDE,

/.ZADB=/ADC,

在△43。和△ZCD中，

ZB=ZC

<NADB=NADC,

AD=AD

答案第12頁，共19頁

AABD三"CD(AAS),

BD=CD.

10.(1)見解析

(2)BE+CF>EF,見解析

【分析】(1)根據(jù)題中條件，證得ASDE三△COG(ASA),可證得8E=CG；

(2)先連接NG,再利用全等的性質(zhì)可得。E=DG,再根據(jù)。足LGE,從而得出FG=EF,

依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出BE+CF>EF,

【詳解】(1)解：是2c的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

■：AB^CG,

:.乙B=^DCG,

在4BDE和△COG中，

?:乙BDE=LCDG,BD=CD,乙DBE=ADCG,

■.ABDE=ACDG(ASA),

:.BE=CG；

(2)BE+CF>EF.理由：如圖，連接尸G,

?.△BDE必CDG,

:.DE=DG,

又?:FDLEG,

???FD垂直平分EG,

：.EF=GF,

又???△CFG中，CG+CF>GF,

：.BE+CF>EF.

答案第13頁，共19頁

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系

的運(yùn)用，本題中求證△ADE三△CDG,得出2E=CG是解題的關(guān)鍵.

11.答案見解析

【分析】(1)觀察圖形，根據(jù)全等三角形的判定定理，即可得與△2CF全等的有△GDR

△GAH、AECH-,

(2)利用SAS即可判定A4F/C三△。氏C,則可得對應(yīng)線段相等，即可求得。尸尸/可；

(3)首先連接CG”利用AAS即可證得△O/G/BmA4G/4/.然后可證得

△CG向必CG即又由平行線的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：(1)圖②中與△8CF全等的有△GOF、4GAH、4ECH.

(2)DiF尸A/

ZA=ZDj

證明：?。二。。

ZF.CH,=NF[C&

；.AAFQ三

FQ=HiC,又CD尸CA,

：.CDrFiC=CA-HjC.即D,F^AH]

(3)連接CG/.在△D/G/B和A4G/H/中，

ZD,=N4

NDGK=AAGxHl,

回耳=網(wǎng)

:△DIGIFR^AGIHI.

:GF尸GIHI

答案第14頁，共19頁

又??,HiC=FCG￡=GC

???△CG/盧△CG/印.

.??Z1=Z2.

???45=60。,乙BCF=3G。,

：.^BFC=90°.

又??ZDCE=9O。,

，乙BFC=^DCE,

：.BA\\CE,

???Nl=z3,

?,.z2=z3,

:?GiI=CI.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定定理.掌握全等三角形的旋轉(zhuǎn)模型是解題的關(guān)

鍵.

12.(1)=,詳見解析；

(2)AD=DF,詳見解析.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識；

(1)連接BE,先證"CD0ABeE(SAS),得4D=BE,NEBM=NDAC,再證

AEBMaFDM(ASA),得BE=DF,即可得出結(jié)論；

(2)連接BE,先證AZCD0ABeE(SAS),得4D=BE,ZADC=ZBEC,再證

xBME應(yīng)DMF(MK),得BE=DF,即可得出結(jié)論.

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)AD=DF,理由如下：

連接BE,如圖1所示：

???ZACB=90°,

ZDCA=90°,

在A/CD和ABCE中，

CD=CE

<ZDCA=ZECB,

AC=BC

答案第15頁，共19頁

???"8%5C￡(SAS),

AD=BE,ZEBM=ADAC,

vZDAC+ZADC=90°fZFDM+ZADC=90°,

??.ADAC=ZFDM,

??.ZEBM=ZFDM,

是的中點(diǎn)，

BM=DM,

在和△FDM中，

ZEBM=ZFDM

<BM=DM,

ZEMB=ZFMD

-.AEBM^AFDMCASA),

*，?BE—DF,

***AD=DF,

故答案為：=；

(2)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)全，如圖2所示：

4。與。尸的數(shù)量關(guān)系：AD=DF,證明如下:

連接班,

???/ZCB=90。，點(diǎn)。在5C的延長線上，

："ACD=/BCE=9。。,

在△ZCZ)和ABCE中,

CD=CE

<ZDC