中考數(shù)學考點提升訓練：與圓的切線有關(guān)的計算與證明

中考數(shù)學考點專題提升訓練

專題提升(十二)與圓的切線有關(guān)的計算與證明

類型之一與切線的性質(zhì)有關(guān)的計算或證明

【經(jīng)典母題】

如圖Z12—1,的切線PC交直徑A5的延長線于點P,。為切點，若NP

=30°,的半徑為1,則尸5的長為.

圖Z12-1

【中考變形】

［天津］已知A3是。。的直徑，AT是。。的切線，ZABT=50°,BT交。0

于點C,E是A3上一點，延長CE交。。于點D

(1)如圖Z12—2①，求NT和NCDB的大小；

(2)如圖②，當5石=3。時，求NCDO的大小.

圖Z12-2

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

【中考預(yù)測】

［宿遷］如圖Z12-3,AB與。。相切于點B,BC為。。的弦，0A

與相交于點尸.

(1)求證：AP=AB-,

(2)若。8=4,AB=3,求線段5尸的長.

圖Z12-3

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

類型之二與切線的判定有關(guān)的計算或證明

【經(jīng)典母題】

已知：如圖Z12—4,A是。。外一點，A0的延長線交。。于點C,點5在圓

上，且=ZA=30°,求證：直線A3是。。的切線.

圖Z12-4

【中考變形】

1.［黃石］如圖Z12—5,的直徑為A3,點。在圓周上(異于A,B),AD±CD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC的值；

(2)若AC是的平分線，求證：直線CD是。。的切線.

圖Z12-5

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

2.［南充］如圖Z12—6,在RtZXACB中，ZACB=90°,以AC為直徑作。。交

A3于點，E為的中點，連結(jié)。E并延長交AC的延長線點E

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若Cb=2,DF=4,求。。直徑的長.

圖Z12-6

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

【中考預(yù)測】

如圖Z12-7,AB是。。的直徑，點C,D在。。上,ZA=2ZBCD,點E

在A3的延長線上，ZAED=ZABC.

(1)求證：DE與。。相切；

(2)若5尸=2,DF=p,求。。的半徑.

圖Z12-7

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

小專題提升（十二）與圓的切線有關(guān)的計算與證明

類型之一與切線的性質(zhì)有關(guān)的計算或證明

【經(jīng)典母題】

如圖Z12—1,的切線PC交直徑A3的延長線于點P,C為切點，若NP

=30°,的半徑為1,則尸3的長為一L.

【解析】如答圖，連結(jié)OC

?：PC為。O的切線,ZPCO=90°,

在R2OCP中,.OC=1,ZP=30°,

：.OP=2OC=2,

..PB=OP-OB=2-1=1.

【思想方法】（1）已知圓的切線，可得切線垂直于過切點的半徑；（2）已知圓

的切線，常作過切點的半徑，得到切線與半徑垂直.

【中考變形】

[2017?天津]已知A3是。。的直徑，AT是。。的切線，ZABT=5Q°,BT交

于點C,E是A3上一點，延長CE交。。于點D

（1）如圖Z12—2①，求NT和NCDB的大??；

（2）如圖②，當8石=5。時，求NC。。的大小.

圖Z12-2

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

解：(1)如答圖①，連結(jié)AC,

,「AT是。。的切線，是。。的直徑，

.■.AT±AB,即NL4B=90°,

???ZABT=50°,ZT=90°-ZABT=40°,

由A5是。。的直徑，得NACB=90。，

ZCAB=9Q°-ZABC=40°,ZCDB=ZG4B=40°;

中考變形答圖①中考變形答圖②

(2)如答圖②，連結(jié)AD,

在aBCE中，BE=BC,ZEBC=5Q°,

AZBCE=ZBEC=65°,：.ZBAD=ZBCD=65°,

"：OA=OD,：.ZODA=ZOAD=65°,

VZADC=ZABC=50°,

ZCDO=ZODA-ZADC=65°—50°=15°.

【中考預(yù)測】

[2017?宿遷]如圖Z12—3,A5與。。相切于點5,3c為。。的弦,OCLOA,

。4與相交于點尸.

(1)求證：AP=AB；

(2)若08=4,AB=3,求線段5尸的長.

,「AB是。。的切線，.-.OB1AB,

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

NOBA=90°,ZABP+ZOBC=90°,

■.OCLAO,■■■ZAOC=90°,

ZOCB+ZCPO=9Q°,■：ZAPB=ZCPO,

NAPB=ZABP,.-.AP=AB-

(2)如答圖,作。于。在Rt2XOAB中,-OB=4,AB=3,

.?.04=432+42=5,■■-AP=AB=3,

.-PO=2.

在RtaPOC中，PC=d（）C2+OP2=2&

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???2PC?OH=210c?OP,

.OP?OC4J5

-0H==5'

/-------------8J5

CH={OC2-O〃2=g,

■.'OHIBC,:.CH=BH,：.BC=2CH='6，,

■■.BP=BC-PC=熟一24=6s

類型之二與切線的判定有關(guān)的計算或證明

【經(jīng)典母題】

已知：如圖Z12—4,A是。。外一點，AO的延長線交。。于點C,點3在圓

上，^.AB=BC,ZA=30°,求證：直線A3是。。的切線.

圖Z12-4經(jīng)典母題答圖

證明：如答圖，連結(jié)08,

：OB=OC,AB=BC,NA=30°,

NOBC=ZC=ZA=30°,

ZAOB=ZC+ZOBC=60°.

ZABO=180°-(ZAOB+ZA)=180°-(60°+30°)=90°,

..ABIOB,又?.'OB為。。半徑，」.AB是。。的切線.

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法”作半徑，證垂直”或者“作垂

直，證半徑”.

【中考變形】

1.[2016?黃石]如圖Z12—5,的直徑為點。在圓周上(異于A,B),AD

LCD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC的值；

(2)若AC是ND4B的平分線，求證：直線CD是。。的切線.

圖Z12—5中考變形1答圖

解：是。。直徑，C在。。上，

ZACB=90°,又,.?JBC=3,AB=5,

「?由勾股定理，得AC=4;

(2)證明：如答圖，連結(jié)OC,

■■-AC^ZDAB的平分線，

ZDAC=ZBAC,

又\'AD±DC,ZADC=ZACB=90°,

AADC^AACB,ZDCA=ZCBA,

又,：OA=OC,ZOAC=ZOCA,

???ZOAC+ZOBC=90°,ZOCA+ZACD=ZOCD=90°,

「?直線CD是。。的切線.

2.[2017.南充]如圖Z12—6,在RtZVLCB中，ZACB=90°,以AC為直徑作。O

交A3于點。，E為的中點，連結(jié)DE并延長交AC的延長線點E

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若CT=2,DF=4,求。。直徑的長.

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中考數(shù)學考點專題提升訓練

圖Z12—6中考變形2答圖

【解析】⑴連結(jié)0D,欲證DE是。。的切線，WiiOD±DE,即需證NODE

=90°，而ZACB=90°,連結(jié)CD,根據(jù)“等邊對等角”可知NODE=ZOCE

=90°,從而得證；

(2)在R2OD歹中，利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解.

解：(1)證明：如答圖，連結(jié)ODCD.

,「AC是。。的直徑，.■.ZADC=90°.

ZBDC=90°.又為的中點,

；.DE=；BC=CE,ZEDC=ZECD.

：OD=OC,ZODC=ZOCD.

NEDC+ZODC=ZECD+ZOCD=ZACB=90°.

「.NODE=90°,;.DE是。。的切線；

(2)設(shè)。。的半徑為x.在Rt△ODF中，+。戶=OF2,

即/+42=(x+2)2,解得x=3..,.QO的直徑為6.

【中考預(yù)測】

如圖Z12-7,AB是。。的直徑，點C,D在。。上，=點E

在A3的延長線上，ZAED=ZABC.

(1)求證：DE與。。相切；

(2)若3尸=2,DF=yfT6,求。。的半徑.

圖Z12—7中考預(yù)測答圖