2020-2021中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題訓(xùn)練：平行四邊形練習(xí)題及答案解析

2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題訓(xùn)練-平行四邊形練習(xí)題及答案解析

一、平行四邊形

1.如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)

A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,

折痕為EF,連接BP、BH.

X.——4------

BC

（1）求證：ZAPB=ZBPH；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，求證：APDH的周長(zhǎng)是定值；

（3）當(dāng)BE+CF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，求AP的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析.（3）2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出NPBC=NBPH,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出

ZAPB=ZPBC即可得出答案；

（2）首先證明△ABP\&QBP,進(jìn)而得出^BC附△BQH,即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）過(guò)F作FM_LAB,垂足為M,貝UFM=BC=AB,證明△EFM空&BPA,設(shè)AP=x,利用折

疊的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)用X表示出BE和CF,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

試題解析：（1）解：如圖1,

ZEBP=ZEPB.

又；ZEPH=ZEBC=90",

ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP.

即NPBC=ZBPH.

又ADIIBC,

ZAPB=ZPBC.

ZAPB=ZBPH.

（2）證明：如圖2,過(guò)B作BQ_LPH,垂足為Q.

由(1)知NAPB=ZBPH,

文:ZA=ZBQP=90°,BP=BP,

在AABP和AQBP中,

ZAPB=ZBPH

{ZA=ZBQP=90°,

BP=BP

「.AABP之△QBP(AAS),

：.AP=QP,AB=BQ,

文:AB=BC,

BC=BQ.

又NC=ZBQH=90°,BH=BH,

在小BCH和4BQH中，

BC=BQ

{ZC=ZBQH=90°,

BH=BH

：.△BCH2△BQH(SAS),

CH=QH.

△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

△PDH的周長(zhǎng)是定值.

(3)解：如圖3,過(guò)F作FM_LAB,垂足為M,貝UFM=BC=AB.

又；EF為折痕,

EF±BP.

ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,

ZEFM=ZABP.

又ZA=ZEMF=90°,

在AEFM和以BPA中，

ZEFM=ZABP

[ZEMF=ZA,

FM=AB

：.△EFMM△BPA(AAS).

EM=AP.

設(shè)AP=x

在RtAAPE中，(4-BE)2+x2=BE2.

九2

解得BE=2+k，

o

Y2

/.CF=BE-EM=2+-_x,

8

21

BE+CFx=_.4=—(X-2)2+3.

4X+4

當(dāng)x=2時(shí)，BE+CF取最小值，

AP=2.

考點(diǎn)：幾何變換綜合題.

2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（4,0）,

（4,3）,動(dòng)點(diǎn)M,N分別從0,B同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中，點(diǎn)M

沿0A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MPL0A,交AC于P,連接

NP,已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.

（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△NPC是一個(gè)等腰三角形？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

3

（2）S的最大值為工，此時(shí)x=2.

416、128

（3）x=-,或*=工，或x=-7；-.

39s7

【解析】

試題分析：(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是求0M和PM的長(zhǎng)，已知了0M的長(zhǎng)為X,關(guān)鍵是

求出PM的長(zhǎng)，方法不唯一，①可通過(guò)PMII0C得出的對(duì)應(yīng)成比例線段來(lái)求；

②也可延長(zhǎng)MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長(zhǎng)和NACB的正切值求出

PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)PM=AB-PQ來(lái)求出PM的長(zhǎng).得出0M和PM的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)的

坐標(biāo).

(2)可按(1)②中的方法經(jīng)求出PQ的長(zhǎng)，而CN的長(zhǎng)可根據(jù)CN=BC-BN來(lái)求得，因此

根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S,X的函數(shù)關(guān)系式.

(3)本題要分類討論：

①當(dāng)CP=CN時(shí)，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長(zhǎng)即x和NABC的余弦值求出CP的表

達(dá)式，然后聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值；

②當(dāng)CP=PN時(shí)，那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)QN=CN-

CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出X的值.

③當(dāng)CN=PN時(shí)，先求出QP和QN的長(zhǎng)，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN

的長(zhǎng)，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值.

試題解析：(1)過(guò)點(diǎn)P作PQ±BC于點(diǎn)Q,

有題意可得：PQIIAB,

△CQP-△CBA,

,QP=AB

QC~BC

。尸

,.,----_3―

X4

3

解得：QP=-x,

3

PM=3-二x,

4

由題意可知，C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),

一3

P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,3-—x).

(2)設(shè)ANPC的面積為S,在aNPC中，NC=4-x,

_3

NC邊上的高為二X,其中，0<x<4.

4

133

S=—(4-x)x_x二一(-X2+4X)

248

33

=-----(x-2)2+—.

&2

,3

?t-s的最大值為一，此時(shí)x=2.

2

(3)延長(zhǎng)MP交CB于Q,則有PQ_LBC.

①若NP=CP,

,/PQ±BC,

NQ=CQ=x.

/.3x=4,

.4

???

55

②若CP二CN,則CN==4-x,PQ=x,CP=工x,4-x=—x,

16

x=——；

g

③若CN=NP,則CN=4-x.

3

/PQ=-x,NQ=4-2x,

,在RtZkPNQ中，PN2=NQ2+PQ2,

3

.(4-x)2=(4-2x)2+(—x)2,

4

128

/.X=----------

57

416128

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

3.如圖①,在等腰中，ZBAC=90。，點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A、C重合)，

在人鉆。的外部作等腰R〃\CE￡>,使NCED=90。，連接A。，分別以AB,AO為鄰邊

作平行四邊形A8FD,連接AF.

(1)請(qǐng)直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系；

G)①將VCEO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE,請(qǐng)判斷

線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若AB=2小,CE=2,在圖②的基礎(chǔ)上將REO繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)

程中，當(dāng)平行四邊形A8F。為菱形時(shí)，直接寫出線段4E的長(zhǎng)度.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①AF=VlAE②4"或2".

【解析】

【分析】

（D如圖①中，結(jié)論：AF=&￡,只要證明VAEF是等腰直角三角形即可;

（2）①如圖②中，結(jié)論：AF=JlAE,連接EF,DF交BC于K,先證明

VEKF^VEDA再證明VAEF是等腰直角三角形即可;

②分兩種情形a、如圖③中，當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形上、如圖④中當(dāng)

AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形?分別求解即可.

【詳解】

（1）如圖①中，結(jié)論：AF=V2AE.

國(guó)①

理由：Q四邊形ABFD是平行四邊形,

AB=DF,

QAB=AC,

.-.AC=DF,

QDE=EC,

AE=EF,

QZDEC=ZAEF=90。，

...VAEF是等腰直角三角形，

AF=V2AE.

故答案為AF=JlAE.

（2）①如圖②中，結(jié)論：AF=J，AE.

圈②

理由：連接EF,DF交BC于K.

Q四邊形ABFD是平行四邊形，

AB//DF,

NDKE=/ABC=45。,

..NEKF=180。-/DKE=135。，EK=ED,

QZADE=180?！狽EDC=180。—45。=135。，

.-.ZEKF=ZADE,

Q/DKC=NC,

DK=DC,

QDF=AB=AC,

.-.KF=AD,

在VEKF和VEDA中，

EK=ED

<ZEKF=ZADE,

KF=AD

.?.VEKFMVEDA,

EF=EA,ZKEF=ZAED,

ZFEA=NBED=90。，

...VAEF是等腰直角三角形，

AF=V2AE.

②如圖③中，當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H,易知

EH=DH=CH=",AH=J(2我2—(回=3々,AE=AH+EH=472,

A

AE=AH-EH=3>/2-72=2^,

圖④

綜上所述，滿足條件的AE的長(zhǎng)為40■或24.

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行

四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找

全等的條件是解題的難點(diǎn)，屬于中考?？碱}型.

4.在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,且NEAF=NCEF=45。.

⑴將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG（如圖①），求證：△AEG2△AEF；

（2）若直線EF與AB,AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N（如圖②），求證：EF2=ME2+NF2；

⑶將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請(qǐng)你直接寫出線段EF,

BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,ZEAF=ZGAE=45°,故可證△AEG合△AEF；

（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG,連結(jié)GM.由（1）知

△AEG2AAEF,則EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出

CE=CF,BE=BM,NF=\，DF,然后證明NGME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出

EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；

（3）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到

△AD0△ABG,則DF=BG,再證明△AEG合△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代換

得到EF=BE+DF.

試題解析：（1）△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,

AF=AG,ZFAG=90°,

?，-ZEAF=45°,

ZGAE=45°,

在小AGE與AAFE中,

AG=AF

LGAE=FAE=45°

?AE=AE

圉①

(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a.

將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG,連結(jié)GM.

則4ADF空△ABG,DF=BG.

由(1)知4AEG合△AEF,

EG=EF.

?，-ZCEF=45°,

二△BME、ADNF,△CEF均為等腰直角三角形，

/.CE=CF,BE=BM,NF=y2DF,

/.a-BE=a-DF,

.BE=DF,

.BE=BM=DF=BG,

.ZBMG=45°,

.ZGME=45°+45°=90°,

?EG2=ME2+MG2,

-EG=EF,MG=A/2BM-V，/2DF=NF,

-EF2=ME2+NF2；

(3)EF2=2BE2+2DF2.

如圖所示，延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，

將AADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AAGH,連結(jié)HM,HE.

由(1)知4AEH空△AEF,

則由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又二EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

圖③

考點(diǎn)：四邊形綜合題

5.如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,△AEF為正三角形，E、F在菱形的邊

BC,CD±,

（1）證明：BE=CF.

（2）當(dāng)點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上移動(dòng)時(shí)（△AEF保持為正三角形），請(qǐng)?zhí)骄克倪呅?/p>

AECF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值.

（3）在（2）的情況下，請(qǐng)?zhí)骄俊鰿EF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如

果變化，求出其最大值.

A

>D

E

C

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）473；（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）先求證AB=AC,進(jìn)而求證△ABC、AACD為等邊三角形，得N4=60。，

AC=AB進(jìn)而求證△ABE空&ACF,即可求得BE=CF；

（2）根據(jù)△ABE些&ACF可得SAABE=S“CF,故根據(jù)5四股

S+S=S+

AECF=AAECAACFAAEC\ABE=$AABC即可解題；

（3）當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化

而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)，CEF=S皿皿AEC「SAAE「則

△CEF的面積就會(huì)最大.

試題解析：（1）證明：連接AC,

???Z1+Z2=60°,Z3+Z2=60°,

Z1=Z3,

?，-ZBAD=120°,

/.ZABC=ZADC=60°

四邊形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,

△ABC、△ACD為等邊二角形

Z4=60°,AC=AB,

在小ABE和乙ACF中，

rZl=Z3

,AB二AC,

tZABC=Z4

△ABE2△ACF.（ASA）

BE=CF.

（2）解：由（1）得AABEV△ACF,

則，ABE-5AACF,

故s=s+s=s+s=s,

B四邊形AECF△AEC△ACF△AEC△ABE△ABC

是定值

作AH_LBC于H點(diǎn)，

則BH=2,

s=s

四邊形AECF△ABC

=yBC-AH

=7BC'VAB2-BH2

=4-73；

（3）解：由"垂線段最短”可知，

當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.

故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí),

正三角形AEF的面積會(huì)最小，

又SACEF=S0WAECF-SAAEF-貝必CEF的面積就會(huì)最大?

由⑵得，s&CEF=S西邊形AECF-SAAEF

22

=4V3-1X2V3><V（2V3）-（A/3）=V3-

點(diǎn)睛：本題考查了菱形每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全

等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求證△ABE合△ACF是解題

的關(guān)鍵.

6.（1）如圖1,將矩形ABC。折疊，使6c落在對(duì)角線5。上，折痕為BE,點(diǎn)C落在

點(diǎn)C處，若NAD3=42。，則NDBE的度數(shù)為o.

（2）小明手中有一張矩形紙片ABC。，AB=4,AD=9.

（畫一畫）如圖2,點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使A3落在CE所在

直線上，折痕設(shè)為（點(diǎn)M,N分別在邊AD,3C上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕

MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；

4￡D

（算一算）如圖3,點(diǎn)/在這張矩形紙片的邊5c上，將紙片折疊，使用落在射線陽(yáng)

7

上，折痕為Gb,點(diǎn)A,8分別落在點(diǎn)4,"處，若AG=y,求的長(zhǎng).

【答案】（1）21；（2）畫一畫；見(jiàn)解析；算一算：B'D=3

【解析】

【分析】

（1）利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問(wèn)題；

（2）【畫一畫】,如圖2中，延長(zhǎng)BA交CE的延長(zhǎng)線由G,作NBGC的角平分線交AD于

M,交BC于N,直線MN即為所求；

720_

【算一算】首先求出GD=9-§=7,由矩形的性質(zhì)得出ADIIBC,BC=AD=9,由平行線的

性質(zhì)得出NDGF=ZBFG,由翻折不變性可知，ZBFG=ZDFG,證出NDFG=ZDGF,由等腰三

20

角形的判定定理證出DF=DG=T,再由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不變性，

可知FB，=FB,由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】

（1）如圖1所示

???四邊形ABCD是矩形,

ADIIBC,

ZADB=ZDBC=42°,

由翻折的性質(zhì)可知，NDBE=ZEBC=]NDBC=21。,

故答案為2L

（2）【畫一畫】如圖所示

【算一算】

如3所示：

D

7

?；AG=1,AD=9,

fc720

GD=9--=一

33'

???四邊形ABCD是矩形,

/.ADIIBC,BC=AD=9,

NDGF=NBFG?)

由翻折不變性可知，ZBFG=ZDFG,

ZDFG=ZDGF,

20

DF=DG=—

3

?/CD=AB=4,ZC=90°,

.?.在RtACDF中，由勾股定理得：CF=4DF2-CD2=—425

3

BF=BC-CF=9—竺=11

33

11

由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FBz=y,

B,D=DF-FB,=^2-H=3

33

【點(diǎn)睛】

四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平

行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用翻折不變性解決

問(wèn)題.

7.如圖，現(xiàn)將平行四邊形ABC。沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)&處.A&與CD交于

點(diǎn)、E.

（1）求證：AAED^△CEB'；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EFJ_AC交AB于點(diǎn)F,連接CF,判斷四邊形AECF的形狀并給予證明.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)由題意可得AD=BC=B'C,ZB=ZD=ZB',且NAED=NCEB',利用AAS證明全等，則結(jié)

論可得；

(2)由4AED空△CEB，可得AE=CE,且EFJ_AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分

AC,ZAEF=ZCEF.即AF=CF,NCEF=NAFE=NAEF,可得AE=AF,則可證四邊形AECF是菱

形.

【詳解】

證明：(1)1,四邊形ABCD是平行四邊形

AD=BC,CDIIAB,ZB=ZD

???平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊

BC=B'C,ZB=ZB'

ZD=ZB',AD=B'C且NDEA=NB'EC

△ADE合△B'EC

(2)四邊形AECF是菱形

△ADEM△B'EC

AE=CE

?，-AE=CE,EF±AC

二EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEF

AF=CF

???CDIIAB

ZCEF=ZEFA且NAEF=ZCEF

ZAEF=ZEFA

AF=AE

AF=AE=CE=CF

四邊形AECF是菱形

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練

掌握這些性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

8.點(diǎn)P是矩形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C重合)，分別

過(guò)點(diǎn)A,C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，請(qǐng)你判斷0E與OF的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示位置時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過(guò)證明判斷(1)中的

結(jié)論是否仍然成立；

(3)若點(diǎn)P在射線0A上運(yùn)動(dòng)，恰好使得NOEF=30。時(shí)，猜想此時(shí)線段CF,AE,0E之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明.

【答案】(1)OE=OF.理由見(jiàn)解析；(2)補(bǔ)全圖形如圖所示見(jiàn)解析，OE=OF仍然成

立；(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定AAOETAC。尸(44S),得出。E=OF；

(2)先延長(zhǎng)E。交CF于點(diǎn)G,通過(guò)判定AAOEMACOG(ASA),得出。G=OE,再根據(jù)

RtAEFG中，OF=*EG,即可得到OE=OF；

(3)根據(jù)點(diǎn)P在射線。4上運(yùn)動(dòng)，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，當(dāng)

點(diǎn)P在線段OA延長(zhǎng)線上時(shí)，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)

算即可.

【詳解】

(1)OE=OF.理由如下:

如圖1.

1,四邊形ABC。是矩形，,OA=OC.

AE1BP,CF1BP,ZAEO=ZCFO=9Q°.

ZAEO=ZCFO

在AAOE和ACOF中，JZAOE=ZCOF,AAOEsACOF(AAS),OE=OF,

OA=OC

(2)補(bǔ)全圖形如圖2,OE=OF仍然成立.證明如下：

延長(zhǎng)E。交CF于點(diǎn)G.

AEIBP,CF1BP,：.AE//CF,:.Z-EAO=Z.GCO.

又丁點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，,AO=CO.

ZEAO=AGCO

在AAOE和ACOG中，\AO=CO,AAOEsACOG(ASA),OG=OE,

ZAOE=COG

..RtAEFG中，OF=LEG,：.OE=OF；

(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.

證明如下：①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí).

Z-OEF=30°,ZEFG=90°,/.ZOGF=60°,由⑵可得：OF=OG,：.AOGF是

等邊三角形，,FG=OF=OE,由(2)可得：AAOE=ACOG,：.CG=AE.

文:CF=GF+CG,：.CF=OE+AE；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長(zhǎng)線上時(shí).

ZOEF=3Q°,ZEFG=90°,/.Z(9GF=60°,同理可得：AOGb是等邊三角形，

FG=OF=OE,同理可得：AAOEMACOG,=CG=AE.

又CF=GF-CG,：.CF=OE-AE.

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角

形的性質(zhì)和判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對(duì)角

線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問(wèn)題得以解決.

9.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)E在。。上，過(guò)點(diǎn)E的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接

BE,過(guò)點(diǎn)。作BE的平行線，交。。于點(diǎn)F,交切線于點(diǎn)C,連接AC

（1）求證：AC是。O的切線；

（2）連接EF,當(dāng)ND=。時(shí)，四邊形FOBE是菱形.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的轉(zhuǎn)換證明出AOC4會(huì)AOCE,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得AC是。。的切線.

（2）根據(jù)四邊形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF,得證八。3￡為等邊三角形，而得出

NBOE=60。,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.

【詳解】

（1）證明：1.CD與。。相切于點(diǎn)E,

.OE1CD,

ZCEO=90°,

丈:OCPBE,

NCOE=NOEB,zOBE=zCOA

OE=OB,

ZOEB=ZOBE,

ZCOE=ZCOA,

又；OC=OC,OA=OE,

AOCA^^OCECSAS),

ZCAO=ZCEO=9Q°,

又AB為。0的直徑，

，AC為。0的切線；

(2)解：；四邊形FOBE是菱形，

OF=OB=BF=EF,

OE=OB=BE,

二A05E為等邊三角形，

ZBOE=60。，

而

ZD=30°.

故答案為30.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計(jì)算問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是本題的解題關(guān)

鍵.

10.如圖1,矩形ABCD中，AB=8,AD=6；點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,作

EF_LCE交AB邊于點(diǎn)F,以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG,作其對(duì)角線相交于點(diǎn)H.

(1)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，CE=____,CG=____；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是BD中點(diǎn)時(shí)，CE=____,CG=____；

(2)在圖1,連接BG,當(dāng)矩形CEFG隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，猜想△EBG的形狀？并

加以證明；

CG

(3)在圖1,T丁的值是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說(shuō)明理由；

7CE

(4)在圖1,設(shè)DE的長(zhǎng)為X,矩形CEFG的面積為S,試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直

334832

—；(4)S=—x2——x+48(0<x<一).

4455

【解析】

【分析】

(1)①利用面積法求出CE,再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜邊中線

定理求出CE,再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF即可；

(2)根據(jù)直角三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這

個(gè)三角形是直角三角形即可判斷；

(3)只要證明仆DCE-△BCG,即可解決問(wèn)題；

(4)利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可；

【詳解】

(1)①如圖2中，

在RtABAD中，BD=+A§2=10,

11

■?,SABCD=2，CD，BC=2，BD，CE，

242418

,?CE=-^-.CG=BE=162—(-^-)2=一

55

②如圖3中，過(guò)點(diǎn)E作MNJ_AM交AB于N,交CD于M.

DE=BE,

1

CE=-BD=5,

,/△CME~△ENF,

CM_EN

~CE~~EF

：.CG=EF=11,

4

(2)結(jié)論：AEBG是直角三角形.

理由：如圖1中，連接BH.

DC

在RtABCF中，???FH=CH,

BH=FH=CH,

四邊形EFGC是矩形，

EH=HG=HF=HC,

BH=EH=HG,

EBG是直角三角形.

(3)F如圖1中，???HE=HC=HG=HB=HF,

?C>E、F、B、G五點(diǎn)共圓，

EF=CG,

ZCBG=ZEBF,

CDIIAB,

ZEBF=ZCDE,

，ZCBG=ZCDE,

???ZDCB=ZECG=90°,

ZDCE=ZBCG,

△DCEs△BCG,

,CGBC_6

"CE-8-4,

(4)由(3)可知：

CGCD3

~CE^~CB~4,

：.矩形CEFGs矩形ABCD,

S/CE、CE2

-^&CEEG-=(--)2=----

SCD64?

矩形ABC。

3224

?CE2二(——x)2+—)2,S=48,

55矩形ABCD

r33224

-S=—[(——X)2+(—)2].

矩形CEFG4L55

348QO

二矩形CEFG的面積S=_X2--X+48(0<X<—).

45--5

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三

角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形或直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S

題.

11.如圖，點(diǎn)E是正方形ABC。的邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE,過(guò)頂點(diǎn)C作CFLCE,交A。延

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證出BC=CD,NB=NCDF,ZBCD=90°,再由垂直的性質(zhì)得到

ZBCE=ZDCF,然后根據(jù)"ASA”證明ABCE合△BCE即可得到BE=DF

詳解：證明：,..CF_LCE,

ZECF=90°,

又ZBCG=90°,

ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD

ZBCE=ZDCF,

在ABCE與小DCF中，

?，-ZBCE=ZDCF,BC=CD,ZCDF=ZEBC,

△BCE合△BCE(ASA),

BE=DF.

點(diǎn)睛：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答

此題的關(guān)鍵.

12.如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)(P與B、D不重合)，

NAPE=90°,且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F.

(1)求證：①△PA笑△PCB；②PE=PC；

AP

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，黑的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

(3)設(shè)DP=x,當(dāng)x為何值時(shí)，AEIIPC,并判斷此時(shí)四邊形PAFC的形狀.

【答案】(1)見(jiàn)解析;

竺=式

⑵“E2；

(3)x=\2-1：四邊形PAFC是菱形.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=BC,ZABP=ZCBP°,再根據(jù)

PB=PB,即可證出^PA強(qiáng)△PCB,

②根據(jù)NPAB+ZPEB=180°,ZPEC+ZPEB=180°,得出NPEC=ZPCB,從而證出PE=PC；

(2)根據(jù)PA=PC,PE=PC,得出PA=PE,再根據(jù)NAPE=90°,得出NPAE=NPEA=45°,即可求

AP

出碼

(3)先求出NCPE=NPEA=45。，從而得出NPCE,再求出NBPC即可得出NBPC=NPCE,從

而證出BP=BC=Lx=\2-1,再根據(jù)AEIIPC,得出NAFP=NBPC=67.5°,由△PA笑△PCB

得出NBPA=NBPC=67.5°,PA=PC,從而證出AF=AP=PC,得出答案.

1

試題解析：(1)①;四邊形ABCD是正方形，二AB=BC,NABP=NCBP="NABC=45°.

PB=PB,△PA睦△PCB(SAS).

②由△PA笑△PCB可知，ZPAB=ZPCB.ZABE=ZAPE=90°,/.ZPAB+ZPEB=180°,

丈:ZPEC+ZPEB=180°,ZPEC=ZPAB=ZPCB,/.PE=PC.

AP

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，荏的值不改變.

由^PA蹌△PCB可知，PA=PC.

/PE=PC,

PA=PE,

又「ZAPE=90°,

竺正

△PAE是等腰直角三角形，ZPAE=ZPEA=45。，.,.而=?.

1

(3)???AEIIPC,ZCPE=ZPEA=45°,二在APEC中，NPCE=NPEC=2(180°-45°)

=67.5°.

在小PBC中，ZBPC=(180°-ZCBP-ZPCE)=(180°-45°-67.5°)=67.5°.

ZBPC=ZPCE=67.5°,二BP=BC=1,/.x=BD-BP=\2-〉A(chǔ)E||pC,

ZAFP=ZBPC=67.5°,由APA噲△PCB可知,ZBPA=ZBPC=67.5°,PA=PC,

ZAFP=ZBPA,AF=AP=PC,/.四邊形PAFC是菱形.

考點(diǎn)：四邊形綜合題.

3

13.已知一次函數(shù)y=Qx+3的圖象與X軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在

(2)將4ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

①當(dāng)AC與X軸平行時(shí)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，得到ABDE,如圖2所示，求過(guò)B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式.

③在②的條件下，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中AC掃過(guò)的圖形的面積是多少？

(3)將4ABC向右平移到△AEC的位置，點(diǎn)U為直線AB上的一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出△ABC掃

過(guò)的圖形的面積.

【答案】⑴：5；5虎；(2)①(0,-2)；②直線BD的解析式為y=-±x+3；

3

2S275

@s=——n；(3)△ABC掃過(guò)的面積為——.

46

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的

坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；

(2)①因?yàn)锽(0,3),所以O(shè)B=3,所以AB=5,所以AO=AB-BO=5-3=2,所以A(0,-

2);

②過(guò)點(diǎn)C作CF_LOA與點(diǎn)F,證明△AOB合△CFA,得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線AC解析

式，根據(jù)ACIIBD,所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析

式，即可解答.

③利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出A,B,C對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案，再利用以BC為半徑90°

圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90。圓心角的扇形面積求出答案；

(3)利用平移的性質(zhì)進(jìn)而得出△ABC掃過(guò)的圖形是平行四邊形的面積.

3

試題解析：(1)1,一次函數(shù)y=4x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

,A(-4,0),B(0,3),

AO=4,BO=3,

在RtAAOB中，AB=\,必。2+BO2=產(chǎn)彳字=5,

等腰直角三角形ABC,ZBAC=90°,

BC八叱+g;產(chǎn)”=5也

(2)①如圖1,

0B=3,

,/AB=5,

/.AO=AB-BO=5-3=2,

/.A(0,-2).

當(dāng)在x軸上方時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),

過(guò)點(diǎn)C作CFLOA與點(diǎn)F,

???△ABC為等腰直角三角形,

/.ZBAC=90°,AB=AC,

/.ZBAO+ZCAF=90°,

,/NOBA+ZBAO=90°,

/.ZCAF=ZOBA,

在^AOB^ACFA中，

“FA=Z,AOB=90°

LCAF=LOBA

AC=AB

J

△AOBM△CFA(AAS)；

0A=CF=4,0B=AF=3,

OF=7,CF=4,

C(-7,4)

A(-4,0)

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,

l-4fc+b=0

將A與C坐標(biāo)代入得：I—7k+b=4

4

k=——

解得：，

416

則直線AC解析式為丫=3,

?將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，得到ABDE,

ZABD=90°,

ZCAB=90°,

ZABD=ZCAB=90°,

/.ACIIBD,

4

/.設(shè)直線BD的解析式為y=一?x+b/

把B（0,3）代入解析式的：b1=3,

4

-

???直線BD的解析式為y=3x+3；

③因?yàn)樾D(zhuǎn)過(guò)程中AC掃過(guò)的圖形是以BC為半徑90。圓心角的扇形面積減去以AB為半徑

90。圓心角的扇形面積，

90X7TX（5\2）290X7TX5225

-------------------------------------------------=-----71

所以可得：s=3603604；

（3）將△ABC向右平移到△AEC的位置，△ABC掃過(guò)的圖形是一個(gè)平行四邊形和三角形

ABC,如圖3：

4

將C點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=4x+3,求得C的橫坐標(biāo)為3,

4100

平行四邊CAA（，的面積為（7+吾）x4=3,

125

三角形ABC的面積為4<5x5=2

10025275

△ABC掃過(guò)的面積為：326.

考點(diǎn)：幾何變換綜合題.

14.倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和

創(chuàng)新能力的有效途徑.下面是一案例，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成‘類比猜想”的問(wèn)

題.

習(xí)題如圖（1）,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD±,NEAF=45。，連接EF,貝！J

EF=BE+DF,說(shuō)明理由.

解答：正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZADC=ZB=90°,

.,.把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADE一點(diǎn)F、D、E，在一條直線上.

/.ZE'AF=90°-45°=45°=NEAF,又AE=AE,AF=AF

J.△AE'F空△AEF（SAS）/.EF=E'F=DE'+DF=BE+DF.

類比猜想：

（1）請(qǐng)同學(xué)們研究：如圖（2）,在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)

ZBAD=120°,NEAF=60°時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD,ZB+ZD=180",

ZEAF=1

NBAD時(shí)，EF=BE+DF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至△ADE一如圖（2）,連結(jié)FF,根據(jù)菱

形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AETNEAF=NE'AF,利用"SAS"證明AAE四△AE'F,得到EF=E'F；

由于NADE4NADC=120。，則點(diǎn)F、D、E，不共線，所以D