2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

最新考綱1.理解對數(shù)的概念，駕馭對數(shù)的運算，會用換底公式；2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，駕馭對

數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.

學(xué)問梳理

1.對數(shù)的概念

假如a'=Ma〉O,且aWl),那么x叫做以a為底"的對數(shù)，記作x=logW其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，

“叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)

(1)對數(shù)的性質(zhì)：①log/=_0___；②logaa=___1_；

St,N

@a°；?\o^,aa=N(a>0,且aWl).

(2)對數(shù)的運算法則

假如a〉0且aWl,M>0,N>0,那么

①loga(惻—logaAH-logaA；

v—Q

⑶函數(shù)F(x)=IgR5的定義域是,函數(shù)g(x)=lg(x—3)—lg(x+2)的定義域是

【答案】｛才|入〉3或才<—2｝｛x\x>3]

x—3

【解析】由]與>0得x>3或x〈一2,

x十2

Y—Q

所以函數(shù)f(x)=lgR萬的定義域為｛x|x〉3或水一2｝；

[x+2>0,

由|八得x>3,所以函數(shù)g(x)=lg(x—3)—lg(x+2)的定義域是｛x|x>3｝.可以看出F(x)

〔不一3>0

與g(x)不是同一函數(shù).

(4)當0<啟g時，4"<logaX,則乃的取值范圍是()

A.[o,民1)C(1，木)D.(明，2)

【答案】B

【解析】由然意得，當。<不1時，要使得。，即當0<V豺，的圖象在國

數(shù)產(chǎn)Iwr圖象的下方.又當廣料，￡=2,即星斷產(chǎn)4,的圖象過點仁，2）.把點：；，/代入戶

logjr,得k事.若便斷產(chǎn)4.的圖象在由數(shù)產(chǎn)lor/圖象的"F方，則需半<?<1（如聞所示）.

當4】時，不符合題通，舍去.

所以實數(shù)”的取值范圉是I*,1）

考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（多維探究）

命題角度一比較對數(shù)值的大小

1

2-

貝d

u

【例3】（1）已知x=ln兀，y=log52,

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】D

【解析】V^=lnn>lne,x>1.

1

2-

1

<<I

2-ZX

綜上可得，y<z<x.

(2)(2024?全國I卷)若a>6>0,0<c<l,貝(J()

A.logac<log/>cB.log。水log/

C.a^bcD.cyc

【答案】B

【解析】由y=x°與尸/的單調(diào)性知，C、D不正確.

?.?y=logcX是減函數(shù)，得log,水log/,B正確.

1日Cc

logc=------，logbC=~—V0<c<L:.1gc<0.而a>6>0,1ga>lgb,但不能確定1ga,

algalgb

lg6的正負，???logaC與logs。的大小不能確定.

命題角度二解對數(shù)不等式

【例4】(1)若loga(#+I)〈loga2水0,則司的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,0

C.(j,1)D.(0,1)U(1,+8)

【答案】C

【解析】由題意得a>0且aWl,故必有才+1〉2&

又loga(3+l)<loga2〃〈0,所以0<3<1,

同時2a〉l,...a>］.綜上，aeQ，11.

(2)［2024?西安模擬］已知/"(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上為增函數(shù)，《j=。，則

不等式Aloglx)>0的解集為.

8

【答案】(0,(2,+8)

【解析】：『(x)是R上的偶函數(shù)，

它的圖象關(guān)于y軸對稱.

在［0,+8)上為增函數(shù)，

???￡(王)在(一8,0］上為減函數(shù),

由￡)=3得7H)=6

/.Aloglx)>0=>loglx〈一J或loglx〉J=>x>2或0<x<!，^e［0,U(2,+°°).

——<j-3NIZJ

888

命題角度三對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)

［例5］已知函數(shù)l(x)=logl_(V-2ax+3).

2

(1)若f(—1)=—3,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)是否存在實數(shù)a,使/"(x)在(一8,2)上為增函數(shù)？若存在，求出a的范圍；若不存在，說明理

由.

【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(3,+8);

(2)不存在實數(shù)a,使/1(x)在(一8,2)上為增函數(shù).

【解析】(1)由/1(一1)=—3,得log1(4+2a)=-3.

2

所以4+2a=8,所以a=2.

這時f(<x)=log1(/—4JT+3),

由x?—4x+3>0,得x>3或

故函數(shù)定義域為(-8,l)U(3,+8).

令u—x—^x+Z,對稱軸為x—2,

則u在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增.

又y=logj_u在(0,+8)上單調(diào)遞減，

2

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(3,+8).

(2)令g(x)=/—2ax+3,要使f(x)在(-8,2)上為增函數(shù)，應(yīng)使g(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，

且恒大于0.

|aN2,]a22,

因為°—即，a無解.

[g220,〔7—4a20,

所以不存在實數(shù)a,使/'(x)在(一8,2)上為增函數(shù).

規(guī)律方法(1)確定函數(shù)的定義域，探討或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進行.

(2)假如需將函數(shù)解析式變形，肯定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤.

⑶在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求

解.在利用.單調(diào)性時，肯定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必需為正的限制條件.

【變式訓(xùn)練3]⑴設(shè)a=log?2,Z)=log52,c=log23,則()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>tt>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】a=log32<log33=LZ?=log52<log55=l,

又c=log23>log22=l,所以，c最大.

由得高〉康，

即a>b,所以c>a>b.

(2)函數(shù)/"(x)=log,(ax—3)在［1,3］上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(1,+8)B.(0,1)

C.(0,D.(3,+°0)

【答案】D

【解析】由于a>0,且aWL

???〃="-3為增函數(shù)，，若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則廣(x)=loga〃必為增函數(shù)，

因此〃>1.又〃=ax—3在［1,3］上恒為正，a—3>0,即2>3.

⑶函數(shù)f(x)=4Hoga(x+l)在［0,1］上的最.大值和最小值之和為a,則a的值為.

1

2-

【解析】/=堂與了=1。取(X+1)的單調(diào)性相同.

①當a>l時，f(x)的最大值為/U),最小值為/■(()).

②當0<a<l時，f(x)的最大值為A0),最小值為AD.

不論a>l還是0<a<l都有/XO)+H1)=a,即a°+logj+a+loga2=a,解得a=g.

(4)已知函數(shù)F(x)=log,(8—ax)(a>0,且aWl),若f(x)〉l在區(qū)間［1,2］上恒成立，則實數(shù)a的

取值范圍是.

【答案】(1，1)

【解析】當心1時，K”)=1?！?(8-虹)在［1,2)上罡減函數(shù)，

由fGr)〉l在區(qū)間［1,21上恒成立，則/Gr)…=1OE.(8-20〉1,解之得

若0<水1時，X*)在［1,2］上是縮0謝，

由e上)”在區(qū)間［1,2】上恒成立，

則/Gr)-=lo*.(8—?))】，且8-

且故不存在.

綜上可知，實數(shù)d的取值范圍是1,

課堂總結(jié)

1.對數(shù)值取正、負值的規(guī)律

當a〉l且力1或O〈a〈l且0〈伙1時，log”〉。；

當a>l且0〈6〈1或O〈a<l且6〉1時，logaZKO.

2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底

的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后依據(jù)單調(diào)性來解決.

3.比較募、對數(shù)大小有兩種常用方法：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.

4.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線尸1交點的橫坐標進行判定.

課后作業(yè)

1.的值是.

【答案】1

【解析】1隊P+Ig下6=1隊門而=lgl°=L

、歷10g23+10843

2.（2015?浙江卷）計算：log2-y=；2=.

【答案】3小

【解析】Iog2￥=log2，^—log22=；—l=—；；

10g3+10g310g321og3

224=2214=3X21og43=3X210g?/=3y/3.

3.1g52+|lg8+lg5-1g20+(1g2/的值為.

【答案】3

【解析】原式=21g5+21g2+lg5(l+lg2)+1/2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg2+lg5)

=2+lg5+lg2=3.

4.已知r=4b=y[12,則.

【答案】2

【解析】因為T=4"=正，所以aulogs'V正，

b=log^,3,3=l°g標生

所叫+9°gp3+屋迎4=log^12=2.

5

5.［2024?浙江高考］已知a>b>l.若loga6+log以=1,a=lf,則a=,b=.

【答案】42

515

【解析】由于a>U>\,則loga6￡(0,1),因為log/+log6a=5，即logaZ?+-7=~,所以loga6

1

12

=］或log/=2(舍去)，所以a=b,BPa=ij,所以/=(4)&=六=況所以a=26,l}=2b,所

以6=2(6=0舍去)，a=4.

6.［2015?浙江卷］若a=log43,則2a+2-'=.

【答案】羋

log/log22

23+2-s=2+2=m+2

—仄，小4m

一N"3-3'

7.設(shè)劉=0,566,6=0.3°",c=log0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.?！椿颽B.a<Kc

C.僅水cD.a〈c〈b

【答案】C

【解析】依據(jù)基函數(shù)y=x°5的單調(diào)性，

可得0.3°-5<0.505<1M=1,即Ka<U

依據(jù)對數(shù)函數(shù)P=logo.3X的單調(diào)性，可得logo.3。.2>logo.30.3=1,即c>l.所以僅數(shù)C.

8.(2024?新鄉(xiāng)二模)設(shè)石=6°",Z?=log0.40.5,c=log80.4,則2b,c的大小關(guān)系是()

A.水從cB.c〈叢a

C.c<￡bD.伙。<a

【答案】B

【解析】,?"=6°'>1,Z?=logo.40.5^(0,1),c=logsO.4<0,.二於。>。.故選B.

9.若實數(shù)ab,c滿意Ioga2〈log62〈log2則下列關(guān)系中不行能成立的是()

A.a<b<.cB.b<a〈c

C.c〈欣aD.a<c<b

【答案】A

【解析】由loga2〈log62Gogc2的大小關(guān)系，可知a,b,c有如下四種可能：①IXc〈伙a；

②0〈水1G<6；③0〈伏水l〈c；④水1.比照選項可知A中關(guān)系不行能成立.

10.(2024?石家莊一模)已知函數(shù)y=f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱，且當x￡(0,+°°)

時，F(xiàn)(x)=|log2x|,若a=F(—3),c=F(2),則a,力，c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.U>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】B

【解析】易知P=F(X)是偶函數(shù).當(0,+8)時，F(xiàn)(x)=(?=[]og2x],且當x￡[l,+°°)

時，F(xiàn)(x)=log2X是增加的，又d=F(—3)=f(3),6=fQj=f(4),所以垃a>c.

1L[2024?天津模擬]函數(shù)#x)=ln(/—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一8,—2)B.(一8,1)

C.(1,+°°)D.(4,+°O)

【答案】D

【解析】令〃=V—2x—8,則關(guān)于〃的函數(shù)y=lnu在定義域(0,+8)上是一個單調(diào)遞增函數(shù)，

故要求f(x)=ln(V—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需使〃(x)=f—2x—8>0且〃(x)在該區(qū)間單調(diào)遞

增.解V—2x—8=(x—4)(x+2)>0,得水一2或x>4；〃(x)=*—2x—8的圖象開口向上，對稱軸

為x=l,所以x>4時〃(x)單調(diào)遞增，所以〃x)=ln(V—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+-).故

選D.

12.函數(shù)尸loga(3x—2)(H>0,aWl)的圖象經(jīng)過定點則/點坐標是()

C.(1,0)D.(0,1)

【答案】C

【解析】當x=l時，y=Q.

3

13.若1083〈1(石>0,且3W1),則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(0,|)u(1,+8)

333

【解析】當0<水1時，10ga7〈10gaE=l,解得0〈水疝當@>1時，1082<1083乞=1,解得aL

14.設(shè)函數(shù)f{x)=|logaxl(0<a<l)的定義域為［勿，ri\(水力)，值域為［0,1］,若〃一%的最小值為勺，則

實數(shù)a的值為()

1

-B

A..4

2233

C-3D-汽

【答案】C

【解析】作出尸1log"|(0〈a〈l)的大致圖象如圖所示，令|logM=l,得x-或x=(,

乜1

故1—a<----1,

a

19

所以〃一〃的最小值為1—女=勺，a=~.

15.［2015?湖南卷］設(shè)函數(shù)F(x)=ln(l+x)—ln(l—x),則/1(才)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

【答案】A

【解析】由15得-151，則困數(shù)的定義，妨(-1.D?又:，一jr)=ln(l-jr)-1n(l+

=1

x)=-fXx)9/.fCr)為奇住前.fCr)~----J—f當”€(0.1)時，f(x)>0,故"r)在(0.1)

1+x1-x

上為墻邳故選兒

16.[2015?陜西卷]設(shè)_f(x)=ln為0VaV6,若p=式板,q=

下列關(guān)系式中正確的是()

A.q=r<pB.q=r>p

C.p=r<qD.p=r>q

【答案】C

【解析】因為6>己>0,故凝.又Ax）=lnx（x>0）為增函數(shù)，,所以《哆?>廣（4標），即

.又+/*(/?)]=2(lna+lnZ?)=ln\[ab=p.

17.(2024?新課標全國卷I)若a>Z?>l,0<c<l,則()

A.a^lfB.al)<.ba

C.alogbC<blogacD.logaC<logbC

【答案】C

【解析】對于選項A,考慮幕函數(shù)y=x'，因為c>0,所以P=x'為增函數(shù)，又,〉力1,所以/

A錯.對于選項B,al^bif弋得又曠=匕：是減函數(shù)，所以B錯.對于選項D,由對數(shù)函數(shù)的性

質(zhì)可知D錯，故選C.

18.（2024?北京）依據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間困難度的上限〃約為33，而可觀測宇宙中一般物質(zhì)

的原子總數(shù)N約為1O80.則下列各數(shù)中與和接近的是（）

(參考數(shù)據(jù)：lg3=?0.48)

A.1033B.1053

C.1073D.1093

【答案】D

M3361

【解析】由題意，1叼廣Igy那=lg3361—lgIO80

=3611g3-801g10-361X0.48—80X1=93.28.

又lg1()33=33,lg1()53=53,lg1073=73,lg10a=93,

M

故與Rt接近的是io93.故選D.

19.計算下列各式：

7

(1)lgl4—21gr+lg7—lgl8；

o

]gV^?+]g8—3]gVT5

⑵Igl.2；

(3)(Ig5)2+lg2?lg50；

(4)(log32+log92)?(log43+log83).

35

【答案】⑴0；(2)-；(3)1；(4)-

【解析】(1)原式=lg(2義式一2(lg7—lg3)+lg7—lg(32X2)=lg2+lg7—21g7+21g3+lg7一