人教版八年級數學下冊《平行四邊形（第4課時）》示范教學設計

平行四邊形（第4課時）教學目標1．經歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程，體會類比思想及探究圖形判定的一般思路．2．掌握平行四邊形的三個判定定理，熟練運用平行四邊形的判定定理進行推理論證．教學重點平行四邊形判定定理的探究與應用．教學難點通過研究性質定理的逆命題提出判定定理的猜想．教學過程新課導入如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．（1）已知AB＝5，求DC的長；（2）已知∠DAB＝120°，求∠BCD的度數；（3）已知AC＝5，BD＝8.6，求CO和BO的長．【師生活動】學生獨立思考回答，教師補充．【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝5，∴DC＝AB＝5．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠DAB＝120°，∴∠BCD＝∠DAB＝120°．（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD相交于點O，AC＝5，BD＝8.6，∴CO＝AC＝2.5，BO＝BD＝4.3．【追問】平行四邊形的性質有哪些？【師生活動】學生獨立思考后回答：平行四邊形的性質：對邊相等，對角相等，對角線互相平分．【追問】我們學習了平行四邊形的定義和平行四邊形的性質．根據以往幾何學習的經驗，接下來我們應該研究什么呢？【師生活動】學生自由發(fā)言，得出答案：平行四邊形的判定．【追問】怎樣判定一個四邊形是平行四邊形呢？【師生活動】直接找學生回答：根據定義，可以判定一個四邊形是不是平行四邊形．教師總結．【總結】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【設計意圖】通過對已有知識的回顧反思，引導學生提出研究平行四邊形的判定問題．復習平行四邊形的定義和性質，鞏固基礎，為學習“平行四邊形的判定定理”做準備．新知探究一、探究學習【問題】根據定義，可以判定一個四邊形是不是平行四邊形．除了平行四邊形的定義，我們如何尋找其他的判定方法呢？【師生活動】教師引導學生回憶學過的一些圖形判定定理的內容，如平行線的判定、等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理等．教師以等腰三角形為例，將等腰三角形的判定與等腰三角形的性質進行對比．學生根據對比，小組討論，得到啟發(fā)：可以嘗試從平行四邊形的性質定理的逆命題出發(fā)研究平行四邊形的判定．教師給出表格，學生由平行四邊形的性質定理，逆向思考，寫出它們的逆命題．平行四邊形的性質逆命題平行四邊形的對邊相等兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的對角相等兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的對角線互相平分對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【追問】原命題正確，逆命題一定正確嗎？【師生活動】學生回答不一定．教師將得到的逆命題總結后形成猜想，并提出得到的猜想是否正確必須經過邏輯推理才能確定．【猜想】1．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；2．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；3．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【設計意圖】從對命題的結構分析中提出猜想；在對原命題正確，而逆命題不一定正確的反思中體會證明的必要性．【問題】你能根據平行四邊形的定義證明這些猜想嗎？【師生活動】教師引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，學生小組討論，完成證明，教師指導、總結．【答案】猜想1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：如圖，連接BD．∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB（SSS）．∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．猜想2：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：在四邊形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°．∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．猜想3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA＝OC，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS）．∴∠OAD＝∠OCB．∴AD∥BC．同理AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．【歸納】通過推理論證的真命題可以成為定理．我們把上述三個結論稱為平行四邊形的判定定理，加上平行四邊形的定義，我們一共有四種判定平行四邊形的方法．【設計意圖】引導學生從定義出發(fā)，證明上述逆命題為真．理解平行四邊形的性質和判定都是從定義出發(fā)經過推理得到的真命題．【新知】平行四邊形的判定定理與相應的性質定理互為逆定理．平行四邊形的判定定理：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形．二、典例精講【例題】如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F分別是AC上的兩點，并且AE＝CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【師生活動】教師引導學生分析：從條件出發(fā)，你能夠聯想到的結論有哪些？從要證明的結論出發(fā)，證明一個四邊形是平行四邊形可以有哪些方法？啟發(fā)學生形成思路，完成作答．【答案】證明（方法1）：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO．∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF．∴EO＝FO．∵BO＝DO，∴四邊形BFDE是平行四邊形．【追問】你還有其他證明方法嗎？【答案】證明（方法2）：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC．∴∠DAC＝∠BCA．∵AE＝CF，∴△AED≌△CFB（SAS）．∴ED＝FB．同理BE＝DF．∴四邊形BFDE是平行四邊形．【歸納】在證明平行四邊形時，若條件集中在對角線上，運用與對角線有關的判定定理解決問題相對簡便，分析問題條件的特點，選擇適當的判定定理，可以幫助我們獲得簡便的解題方法．【設計意圖】通過具體的問題，考查學