空間角和空間距離-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第七章立體幾何與空間向量

第6講空間角和空間距離

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測

1.能用向量語求異面直線

2021全國卷乙T5

言表述直線與所成的角

直線、直線與2023全國卷乙T9；2023全國卷甲

平面、平面與T18；2022全國卷乙T18；2022全國

平面的夾角.求線面角卷甲T7；2022全國卷甲T18；2020

該講每年必考，

2.能用向量方新高考卷IT20；2020新高考卷

主要考查利用幾

法解決點(diǎn)到直IIT20；2020全國卷HT20

何法或向量法求

線、點(diǎn)到平2023新高考卷IT18；2023新高考卷

解線線角、線面

面、相互平行IIT20；2023全國卷乙T19；2023天

角、面面角、空

的直線、相互津T17；2022新高考卷IT19；2022

間距離等問題，

平行的平面的新高考卷HT20；2021新高考卷

方法比較固定，

距離問題和簡求二面角IT20；2021新高考卷IIT19；2021全

備考時注意對空

單夾角問題，國卷乙T18；2021全國卷甲T19；

間角與向量夾角

并能描述解決2020全國卷IT18；2020全國卷

關(guān)系的梳理.

這一類問題的IIIT19；2019全國卷IT18；2019全國

程序，體會向卷IIT17；2019全國卷nm9

量方法在研究

2023天津T17；2023上海春季

幾何問題中的求空間距離

T17；2022新高考卷IT19

作用.

。學(xué)生用書P158

1.空間角

（1）異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)。分別作直線優(yōu)〃a,

b'//b,我們把優(yōu)與，所成的角叫做異面直線a與6所成的角（或夾角）.

異面直線夾角的范圍是①（0,等.

2

（2）直線與平面所成的角

a.平面的一條斜線和它在平面上的②射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的

角.一條直線垂直于平面，則它們所成的角是③90。；一條直線和平面平行或直線在平

面內(nèi)，則它們所成的角是⑷0。.

b.線面角。的取值范圍：⑤[0,/.

c.最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條

直線所成角中最小的角.

(3)二面角與兩個平面的夾角

a.從一條直線出發(fā)的兩個⑥半平面所組成的圖形叫做二面角.

b.二面角的平面角：如圖，在二面角a—/—B的棱/上任取一點(diǎn)

P,以點(diǎn)尸為垂足，在半平面a,p內(nèi)分別作垂直于棱/的射線P4

和PB,則射線PA和PB構(gòu)成的/4P3叫做二面角a—/—p的平面

角.

c.二面角的范圍：⑦[0,捫.

2.利用向量法求空間角

空間角求法注意事項

設(shè)異面直線/,用的方向向量分別為。，

異面直線角相勺范圍為⑼(0,目，所以線

b,若直線/與根的夾角為a則cos0=

所成角線角的余弦值非負(fù).

⑧1cos<<,6>1.

設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向

角加勺范圍為?[0,?，注意。與

線面角量為"，若直線/與平面a所成的角為。，

<a,〃>的關(guān)系.

貝!!sin。=⑩Icos<a,n>I.

平面a,B的法向量分別為相，若設(shè)

兩個平面兩個平面夾角的范圍為?「0,

平面a與平面0的夾角為仇則cos0=l

的夾角二面角的范圍是?[0,捫.

cos<m,"2>1.

易錯警示

1.線面角。與向量夾角〃>的關(guān)系

如圖1(1),0=<?,//>—p如圖1(2),9=]—〃>.

圖1

2.二面角。與兩平面法向量夾角<"J,“2》的關(guān)系

圖2(2)(4)中。=兀一<"i,"2>;圖2(1)(3)中"2>.

3.利用向量法求空間距離

(1)點(diǎn)P到直線N8的距離d=IAPIsin<AP,荏>=IAPI-Jl-cos2(AP,AB).

(2)點(diǎn)尸到平面/8C的距離為成在平面NBC的法向量”上的投影向量的長度，即d=(?_

(3)當(dāng)直線尸。與平面NBC平行時，直線到平面/8C的距離可

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面ABC的距離.

(4)當(dāng)平面a與平面B平行時，兩平面的距離可轉(zhuǎn)化為平面a上一點(diǎn)P

到平面P的距離.

(5)如圖，異面直線a,6之間的距離即直線。上一點(diǎn)P到優(yōu)與6所確定的平面a的距離

Ca'//a,a'Cib=O).

1.［教材改編］如圖，正四棱柱/BCD—48C1D1的側(cè)面展開圖是邊長為4

4B,C,D,TH1

的正方形，則在正四棱柱N5CD—NISCLDI中，異面直線NK和CM所成

的角的大小為(D)Un

A.30°B.45°C.60°D.90°；,

解析根據(jù)題意還原正四棱柱的直觀圖，如圖所示，取/小的中點(diǎn)G,連接

P..

KG,則有KG〃LW,所以//KG或其補(bǔ)角為異面直線NK和LW所成的角.由題

“I

知/G=2,AK=KG=VTTl=y/2,則有N群+KG2MNG2,所以//KG=90°,

乎

即異面直線/K和LW所成的角為90。.故選D.

2.［教材改編］在長方體中，48=3,4D=4,AAi=4,過點(diǎn)5作直線/,

與直線NC所成的角均為60。，則這樣的直線/有(C)

A.2條B.3條C.4條D.無數(shù)條

解析如圖，在長方體/BCD—/iBiCYDi中，連接4G,BCi,則.

A\C\//AC,所以/A41G或其補(bǔ)角為異面直線//與/。所成的角，由題，：,r

2\

意得48=5,ArCi=5,8ci=4魚，所以cos/B4Ci==^&-=

2x5x5,..Xv/

u..,林

所以60YNA41cl<90。，則過點(diǎn)A作直線/,與直線42,/C所

成的角均為60。，即過一點(diǎn)作直線，使之與同一平面上夾角大于60。的銳角的兩邊所在直線

所成的角均成60。，這樣的直線/有4條.故選C.

3.［易錯題］已知向量m，題分別是直線/的方向向量、平面a的法向量，若cosV/w,n>

-p則/與a所成的角為30。.

解析設(shè)/與a所成的角為。，則sin8=Icos<w,n>I=|,所以。=30。.

4.已知空間直角坐標(biāo)系。xyz中，過點(diǎn)尸(xo,次，zo)且一個法向量為〃=(a,b,c)的平

面a的方程為a(%—xo)+6(y—yo)+c(z-zo)=0.用以上知識解決下面問題：已知平面

。的方程為x+2y—22+1=0,直線/是兩個平面x-y+3=0與%—2z—1=0的交線，試寫

出直線I的一個方向向量(2,2,1),直線/與平面a所成角的余弦值為—苧

解析由平面a的方程為x+2y—2z+l=0,可得平面a的一個法向量為〃=(1,2,—2).

平面x—y+3=0的一^個法向量為/wi=(1,—1,0),平面x—2z—1=0的一^個法向量為

7n*7n—0

1'即

{mm2=0,

令z=l,則取〃?=(2,2,1).設(shè)直線/與平面a所成角為0,(TW0W90。，則

,x-2z=0,

6學(xué)生用書P159

命題點(diǎn)1求異面直線所成的角

例1［2021全國卷乙］在正方體/5。一/出口01中，尸為囪5的中點(diǎn)，則直線P2與NDi

所成的角為(D)

A.-B.-C.-D.-

2346

解析解法一(幾何法)如圖，連接。1尸，因為4BCD—481cLD1是?

正方體，且尸為的中點(diǎn)，所以。1尸_1_21。1,又CiPLBBi,

BBGBiD尸Bi,所以CiP_L平面815P.又APU平面.BP,所以

GP_L3P連接則NDi〃8Ci,所以/P8G為直線P8與N9所成

的角.設(shè)正方體48CD—42iC0的棱長為2,則在直角三角形CM中，。1尸=抑。=

V2,SCi=2V2,sinZPSCi=^-=i所以/尸8G=巴，故選D.

BCi26

解法二(向量法)以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，SiCi,BiAi,98所在的直線分別為x軸、y軸、z

軸，Brc1,瓦石，瓦石的方向分別為x軸、了軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正

方體48cz)—48Cid的棱長為2,則2(0,0,2),P(1,1,0),Di(2,2,0),

A(0,2,2),麗=(-1,-1,2),而i=(2,0,-2).設(shè)直線PB與/A所成的角

為°，則3。=I嗡署I=忌=亭因為0G(0,斗，所以。三，故選D.

解法三如圖所示，連接8G,AiB,AiCi,則易知/￡)i〃3Ci,所以直,一1一一

線PB與ADi所成角等于直線PB與BC\所成角.根據(jù)P為正方形AiB^CiDi的對角線BD的

中點(diǎn)，易知4,P,G三點(diǎn)共線，且尸為4cl的中點(diǎn).易知43=8Ci=4G,所以△48G

為等邊三角形，所以又尸為4G的中點(diǎn)，所以可得/尸3。1=工//歸4=工.故

326

選D.

方法技巧

求異面直線所成角的方法

將兩直線平移到同一平面內(nèi)，構(gòu)造三角形，利用勾股定理或解三角形求兩異面

幾何法

直線的夾角或其余弦值.

將兩直線的方向向量表示出來，利用向量夾角計算兩異面直線夾角的余弦值.

向量法

注意異面直線夾角的范圍是(0,=].

訓(xùn)練1[全國卷U]在長方體/BCD-//CQ中，AB=BC=1,44尸百，則異面直線4D1

與。21所成角的余弦值為(C)

「V5

AB些CD

-t6T-T

解析解法一如圖，補(bǔ)上一相同的長方體COE產(chǎn)一GDiEi尸1,連接

DEi,B?.易知ADJ/DEi,則為異面直線4Di與。氏所成角.

因為在長方體/BCD-N/ICLDI中，4B=BC=1,44i=g,所以

DEi=JDE2+E￡^=J12+(V3)2=2,DSI=J12+12+(V3)之=

V5,BiEi=IAIB：+AIE：=12+22=V5,在△3DE'I中，由余弦定

理，得COSN80EI=22+=g即異面直線4Di與DBi所成角的余弦值為g,

2x2xV555

故選c.

解法二如圖，連接BD1,交。81于點(diǎn)。，取力8的中點(diǎn)M,連接

DM,OM,易知。為5D1的中點(diǎn)，所以4Di〃(W,則/VOD為異面直

線/￡>i與。Bi所成角.因為在長方體45CD—481GD1中，AB=BC=\,

/小=百，ADi=JAD2+DD：=2,DM=JAD2+2=y,DBi=

JAB2+AD2+DD1=V5,所以O(shè)M="r)i=l,0D=：DBI=3,于是在

△DM<7)

。中，由余弦定理，得COSOMO￡>=I2+]‘丁二唐即異面直線4D1與。51所

2XlXy5

成角的余弦值為個，故選c.

解法三以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,91所在直線分別為x

軸、V軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由條件可知。

(0,0,0),N(1,0,0),Di(0,0,V3),Bl(1,1,V3),所以西=(-1,

0,V3),西=(1,1,V3),則由向量夾角公式，得cos<珂，西〉=W嘉?

=4=4，即異面直線4D1與D21所成角的余弦值為皆，故選C.

2V555

命題點(diǎn)2求線面角

例2[2022全國卷甲]在四棱錐尸一48CD中，尸D_L底面/BCD,

CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=相.

(1)證明：BDLPA.

I瓢

(2)求PD與平面尸所成的角的正弦值.，?....-”

解析(1)如圖所示，取48的中點(diǎn)O,連接。。，CO,則。8=

DC=1.

又DCJ/OB,所以四邊形DC50為平行四邊形..,

又3c=03=1,所以四邊形DC2。為菱形，所以BD_LCO.

同理可得，四邊形DCQ4為菱形，所以4D〃C。，

所以BD_L4D.

因為尸D_L底面4BCD,BDU底面ABCD,所以PD_L5D,

入4DCPD=D,AD,P￡>u平面/。尸，所以區(qū)D_L平面40P.

因為P/u平面ADP,所以BDLPA.

(2)解法一由(1)知又4B=2AD,所以/。/。=60°,

所以三角形為正三角形.

過點(diǎn)。作垂直于。。的直線為x軸，。。所在直線為y軸，D尸所在直線為z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，則/(y,0),BC~,I，0),P(0,0,?,D(0,

0,0).

則方=(0,2,0),AP=(一苧，I，V3),DP=(0,0,V3).

設(shè)平面尸45的法向量為％=(x,y,2),

則理…,才露。,?

VAPn=0(—y%+-y+V3z=0.

令x=2,則y=0,2=1,所以刁=(2,0,1)是平面尸45的一個法向量.

設(shè)直線PD與平面P/3所成的角為a,則sina=Icos<?,DP>I="嗎，=^1^=

IJnI-IDPIV5xV3

y,所以直線PD與平面PAB所成的角的正弦值為

解法二作的/_L平面P48,垂尺為M連接尸M則乙DPM就是尸〃與平面P/8所成角.

易知P/=2,PB=y[6.

過4作于N,因為AB=2=PA,所以易得4N=邛，所以S及BP=1X乃X^=

V15

2?

于是，根據(jù)J梭卷尸-9=曜相3"得gs"BD.DP=gs“BFDM,即|x(|xixV3)XV3

乂誓DM,解得誓.

在RtADW中，smZDPM=—=^^.

DP5v35

故尸。與平面尸45所成的角的正弦值為f.

方法技巧

求直線與平面所成角的方法

利用直線與平面所成角的定義求解，具體步驟：

(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為

幾何法

所求的角；

(3)通過解該角所在的三角形求解.

注意直線與平面平行或垂直的特殊情況.

sin9=Icos<AB,n>I=J竺：；(其中45為平面a的斜線，〃為平面a的法向

向量法1AB\\n1

量，。為斜線43與平面a所成的角).

訓(xùn)練2［2023全國卷乙］已知△/BC為等腰直角三角形，N2為斜邊，為等邊三角

形，若二面角C—/3—。為150。，則直線CD與平面48C所成角的正切值為(C)

A.|B.9臂D.|

解析如圖所示，取48的中點(diǎn)M,連接CM,DM,則CA/_L/3,

DMLAB,故NCW即為二面角C-/5-D的平面角，于是/CA/D="J

150°.又CM,DA/u平面CW,CMDDM=M,所以4B_L平面CA/O.設(shè)*?*■1?

48=2,則CM=1,DM=W,在△CW中，由余弦定理可得CD=

j3+l-2xV3xlx(一二)=近.延長CW,過點(diǎn)。作CM的垂線，設(shè)垂足為“，貝I

/HMD=30。,DH=^DM=^-,MH=^-DM=^,所以CH=1+|=,.因為D“u平面

CMD,所以4BLDH,叉DHLCM,AB,CA/U平面48。，ABPCM=M,所以。8_L平面

ABC,/DCM即為直線CD與平面/8C所成的角，于是在RtZXDCH中，tan/OCM=^=

CH

y,故選C.

訓(xùn)練3［新高考卷I］如圖，四棱錐尸一N8CD的底面為正方形，尸。，底

面/BCD設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I.

tt

(1)證明：/_L平面PDC

(2)已知尸￡>=ND=1,0為/上的點(diǎn)，求尸3與平面。CA所成角的正弦值的最大值.

解析(1)因為PD工底面ABCD,

所以PDLAD.

又底面48CD為正方形，所以4D_LDC

火PDCDC=D,PD,OCU平面POC,

因此平面尸DC.

因為4D〃3C,40仁平面PBC,BCU平面PBC,

所以/?！ㄆ矫媸?C.

又4DU平面尸4D,平面尸8CA平面尸4D=/,所以/〃4D.

因此/_L平面尸￡>C

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,而的方向分別為x軸、y軸、z軸

的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則。(0,0,

0),C(0,1,0),2(1,1,0),P(0,0,1),尻=(0,

1,0),PB=(1,1,-1).

由(1)可設(shè)。(。，0,1),則麗=(。，0,1).

n-DQ—0,ax+z—0,

設(shè)〃=(x,y,z)是平面0co的法向量，則_：即

nDC=0,.y=0.

可取〃=(―1,0,a).

麗〉—71.方—-

所以cos<n,—La

/\n\'\PB\V3-Vl+a2

設(shè)網(wǎng)與平面。CO所成角為。，貝4sin0=Icos<M,PB>I=yX-^=-=yJ1+含.

因為它11+^^—,當(dāng)且僅當(dāng)a=l時等號成立，

3vK+13

所以網(wǎng)與平面QCD所成角的正弦值的最大值為手.

命題點(diǎn)3求二面角

例3[2023全國卷乙]如圖，三棱錐P一中，ABLBC,AB=2,BC=

2V2,PB=PC=V6,BP,AP,8c的中點(diǎn)分別為D,E,O,AD=

E。，點(diǎn)尸在/C上，BFLAO.

(1)證明：E尸〃平面NZ)Q

(2)證明：平面40。_L平面BEE

(3)求二面角。一/。一。的正弦值.

解析(1)如圖，以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC所在直線分別為x軸、j

軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則5(0,0),N(2,0),C(0,2V2),

O(0,V2),AO=(-2,V2).

設(shè)赤=九而，則易得尸(一2入+2,2V2A,).因為3F_L/。，所以而?布=0,所以(一2九十

2,2V2X)?(-2,V2)=0,解得入=：,所以尸為NC的中點(diǎn).

又瓦。分別為/P,5尸的中點(diǎn)，

所以EF〃PC,OD//PC,所以EF〃OD,

又QDU平面40。，EFC平面400,所以￡尸〃平面4DO.

(2)/。=JAB2+BO2^V6,OD=*C=*又/。=岔00='，

所以/￡>2=/。2+。。2,所以/O_LOD.

由于E尸〃?！?gt;,所以/O_LM,

又BF_LAO,BFCEF=F,BFU平面BEF,EFU平面BEF,

所以/O_L平面BEF.

又NOU平面400,所以平面4D0_L平面3EE

(3)解法一如圖，以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,3c所在直線分別為x軸、

y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),/(2,0,0),。(0,

V2,0),布=(-2,V2,0).

因為PB=PC,BC=2笆,所以設(shè)P(.x,V2,z),z>0,

則麗=胡+荏=胡+[而=(2,0,0)+1(x-2,迎，z)=(

x+2V2z、

~92'

由(2)知NO_L3E,所以超尿=(一2,V2,0)?(亨，y,f)=0,所以x=—1,

又尸2=聲，前=(x,V2,z),所以N+2+Z2=6,所以z=百，則P(-1,V2,V3).

由。為液的中點(diǎn)，得D(-|,y,凈，則前=y,y).

設(shè)平面D4。的法向量為m=(Q,b,c),

(n^AD=0,(—-a-\--b-\--c=0,廣

則｛一即｛222得6=夜口，C=Wd,

(荏1/°=0,[-2a+V2b=0,

取q=l,則m=(1,V2,V3)是平面的一個法向量.

易知平面C4。的一個法向量為〃2=(0,0,1),

設(shè)二面角。一4。一。的大小為。，則|cos0I=Icos<m,〃2>I=J-—J=1=人,所

In1||n2IV62

山?/)匚~1V2

以sin。=1--=一,

\22

故二面角。一NO—C的正弦值為手.

解法二如圖，過點(diǎn)、O作OH〃BF交AC于點(diǎn)、H,設(shè)/￡>C3E=G,連接

GF,DH.

'：BF±AO,J.HOLAO,且FH=%H.

由(2)知。O_L/O,又。On〃O=O,OOu平面DO",HOU平面DOH,所以《。，平

面DOH,故/。為二面角。一40一C的平面角.

'：D,E分別為PB,P/的中點(diǎn)，：.AD,的交點(diǎn)G為△P48的重心,

：.DG=^AD,GE=：BE.

義易知FH=%H,：.DH=^GF,

廠廠,-4+3_15

在4/3尸中，AB=2,BD=-PB=—,AD=^5DO=—PC=—,則cos//50=^^=

22222x2若

4+6—"2

2x2xV6

解得尸/=vn,同理可得BE=當(dāng)

易知8尸=/c=百，￡-F=|pC=y,

貝U3￡2+即=|+|=3=g產(chǎn)，故BE_LEF,

可得6妙=65+麗=(|Xy)2+(^)2=|,

??.GQ乎,故D〃=|X苧=當(dāng)

在中，OH=：BF=*OD=$C=曰,DH=%

V2

：.cosZDOH：.sinZDOH=-.

2

故二面角D一/。一。的正弦值為子.

方法技巧

求二面角常用的方法

幾何法根據(jù)定義作出二面角的平面角求解.

2

利用公式COS<〃1,/12>=,T("1，"2分別為兩平面的法向量)進(jìn)行求解.

向量法注意二面角的取值范圍是［0,捫，需要結(jié)合圖形的特征，確定求出的兩法向

量的夾角〃2>到底是二面角還是二面角的補(bǔ)角.

訓(xùn)練4［2023新高考卷I］如圖，在正四棱柱33cz)-4口如2中,AB=2,

44i=4.點(diǎn)也，B2,Ci,Z>2分別在棱44i,BBi,CCj,g上,AA2=l,

BB2=DDZ=2,CC2=3.

(1)證明：32c2〃也。2.

(2)點(diǎn)P在棱AB1上，當(dāng)二面角尸一402—6為150。時，求B2P.

解析(1)解法一依題意，得瓦可=瓦瓦+瓦B+備石=西+前+

〃

A2A=A2D2,所以&。242rh.

解法二以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CC1所在直線分別為X軸、》軸、2軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，則&(0,2,2),。2(0,0,3),A2(2,2,1),D2(2,

0,2),所以B2c2=(0,-2,1),42。2=(0,-2,1),所以82c2'=力202,所以

B2C2//A2D2.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，建系方法同(1)中解法二，設(shè)BP=n(0W〃W4),則

P(0,2,n),

所以P&=(2,0,1~n),PC2=(0,—2,3—n).

設(shè)平面PA2c2的法向量為a—(xi,y\,z\),

a=0,貝第1+(1—n)Zi=0,

-

a=0,2y1+(3n)z1=0,

令xi=〃—1,得。=(〃-1,3—n,2).

設(shè)平面/2。加2的法向量為〃=(X2,yi,Z2),

由(1)解法二知，A2C2=(~2,-2,2),A2D2=(0,-2,1),

b=0,貝2到—2為+2Z2=0,

b=0,(—2y2+Z2=0,

令歹2=1,得b=(1,1,2).

I71—1+3—71+4IV3

所以Icos150°I=Icos<?,b>I=

222

(n—1)+4+(3—n)xV6

整理得/—4〃+3=0,解得“=1或〃=3,

所以BP=1或BP=3,所以民『=1.

命題點(diǎn)4求空間距離

例4[2023天津高考]如圖，在三棱臺中，已知出/,平

面ABC,AB±AC,AB=AC=AAi=2,AiCi=l,N為線段的中

點(diǎn)，M為線段3C的中點(diǎn).

(1)求證：4N〃平面CiM4.

(2)求平面GM4與平面NCG4所成角的余弦值.

(3)求點(diǎn)C到平面CiMA的距離.

解析(1)解法一(幾何法)連接VN.因為M,N分別是BC,N8的中點(diǎn)，所以

MN〃AC且MN=/C=1,即有MN4G,所以四邊形〃NNiG是平行四邊形，故

AiN//MCi.

又MQu平面GM4,/iNU平面QM4,所以/一〃平面QM4.

解法二(向量法)以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,44i所在的直線分

別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4xyz,

則有4(0,0,0),M(1,1,0),N(1,0,0),4(0,0,2),Ci(0,1,2).

所以布=(1,0,-2),AM=(1,1,0),宿=(0,1,2).

??-'74—0Cx~\~v——0

_?'即4'不妨取〃=(2,

{nACr—0,(y+2z=0,

—2,1).因為AiN?〃=1X2+0X(—2)+(—2)X1=0,所以ZiN_L兒

又41NC平面C、MA,

所以ZiN〃平面C\MA.

(2)由(1)中解法二易知，平面4CC/1的一個法向量為前=(1,0,0),平面

的一個法向量為胃=(2,—2,1),所以IcosV麗，n>I=?，:也

所以平面C\MA與平面4CC4所成角的余弦值為|.

(3)易得。(0,2,0),則祈？=(-1,1,0),所以點(diǎn)C到平面GM4的距離d=I

猊n?_4

In|~?

方法技巧

1.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

找到點(diǎn)到平面的距離，通過解三角形求出距離，若點(diǎn)到平面的距離不易求，還可

幾何法

轉(zhuǎn)化為過已知點(diǎn)且與相關(guān)平面平行的直線上的其他點(diǎn)到平面的距離求解.

利用已知的點(diǎn)和平面構(gòu)造四面體，利用四面體能夠以任何一個面作為底面去求體

等體

積的特征，把四面體的體積以不同面為底表示兩次，列出方程，解方程即可求出

積法

距離.

求點(diǎn)尸到平面a的距離的三個步驟：

①在平面。內(nèi)取一點(diǎn)確定向量24的坐標(biāo)；

向量法

②確定平面。的法向量〃；

③代入公式4=四也求解.

1n1

2.求直線到平面的距離以及兩平行平面的距離時，往往轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離.

訓(xùn)練5[2023上海春季高考改編]如圖，已知三棱錐P—48c中，PAL

平面48C,ABVAC,PA=AB=3,AC=4,M為3C的中點(diǎn)，過點(diǎn)Af

分別作平行于平面尸48的直線交NC,PC于點(diǎn)￡,F.

(1)求直線尸M與平面/8C所成角的正切值.

(2)證明：平面Affi尸〃平面尸48,并求直線VE到平面尸48的距離.

解析(1)如圖，連接/"因為尸/_L平面N5C,所以/PK4即直

線PM與平面ABC所成的角.

因為A8_L4C,AB=3,AC=4,

所以8C=lAB2+AC2=5,

又M為BC的中點(diǎn)，所以AM=^BC=^,

所以在Rt/\PAM中，tanZPMA

AM5

故直線尸”與平面ABC所成角的正切值為會

（2）因為ME〃平面P4B,〃平面P4B,MECMF=M,且“石，MFU平面MEF,

所以平面尸〃平面PAB.

因為尸平面/8C,/￡u平面48C,所以P/L4E.

又4B_L/C,AE±AB,而AB,P4（=平面P48,ABHPA=A,所以4E_L平面尸48,

所以直線ME到平面尸的距離等于/￡的長.

因為ME1〃平面P48,MEU平面48C,平面P43C平面48C=NB,所以ME〃幺8,

又M為3c的中點(diǎn)，所以E為/。的中點(diǎn)，

所以4B=1^C=2.

1.［命題點(diǎn)1/2023河南省重點(diǎn)中學(xué)測試］正四棱錐S一/BCD的所有棱長都相等，￡為SC的

中點(diǎn)，則與￡4所成角的余弦值為（C）

A-|BiCTDT

解析如圖所示，連接NC,取/C的中點(diǎn)為。，連接。8,OE,因為

E為SC的中點(diǎn)，所以S4〃OE,則/?！?（或其補(bǔ)角）為直線與

SA所成的角.因為正四棱錐S—ABCD的所有棱長都相等，所以設(shè)棱長

為2,貝UOE=1,BE=?0B=近,則?！?+082=2嚴(yán)，所以

OBLOE,所以cos/O￡3="=W=g故選C.

BEV33

2.［命題點(diǎn)1］如圖所示，在四棱錐￡—/8C〃中，底面/BCD是菱形，

ZADC=60°,4c與BD交于點(diǎn)、O,￡C_L底面N8CO,尸為的中點(diǎn),

AB=CE.

（1）求證：〃平面NCR

（2）求異面直線￡。與NF所成角的余弦值.

解析（1）如圖，連接。尸，由題可知O為3。的中點(diǎn)，入F為BE

的中點(diǎn)，所以O(shè)F〃DE,又。下u平面/CR,?！耆势矫?。尸,

所以DE〃平面/CF.

（2）取4D的中點(diǎn)G,連接CG,

因為底面是菱形，ZADC=60°,

所以△/CD是等邊三角形，所以CG_L4D,

因為CB//AD,所以CG_LC8,

又EC_L平面/BC。，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直南坐標(biāo)系.

設(shè)菱形ABCD的邊長為2,可得CE=2.

則E(0,0,2),O(y,p0),A(V3,1,0),F(0,1,1),EO=(y,

-2),AF=(-V3,0,1).

設(shè)異面直線EO與//所成的角為仇

丁P?,EOAF,ifx(-V3)+ix0+(-2)XlI1近

可得cose=?一一?l_________2_2---------=一.

IEO\\AFV32丁”2L2I220

J(爭+(1)+(-2)xj(-V3)+02+(-1)

所以異面直線￡。與4F所成角的余弦值為黑.

3.［命題點(diǎn)2,3/2022天津高考］如圖，直三棱柱431G中，

AAi=AB=AC=2,ACLAB,。為4S中點(diǎn)，￡為中點(diǎn)，尸為

。中點(diǎn).

一一4-D--

(I)求證：￡尸〃平面/3C.

(n)求直線BE與平面CC1D所成角的正弦值；

(III)求平面/1CD與平面CCQ夾角的余弦值.

解析(I)因為/BC-NiSG是直三棱柱，且/C_L/2,所以

AXC

AB,AAi,/C兩兩垂直，所以分別以48,44i,/C所在直線為，：

x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因為48=/C=//i=2,且。，￡分別為小21,441中點(diǎn)，所以E

(0,1,0),C(0,0,2),。(1,2,0).

因為尸為CD中點(diǎn)，所以尸(i1,1),所以麗=(i0,1).

易知平面48c的一■個法向量為〃=(0,1,0),

因為麗?"=(),且EFC平面48C,所以即〃平面4BC

(II)B(2,0,0),Ci(0,2,2),而=(1,2,-2),所以鋸=(-2,1,0),

CQ=(0,2,0),

7T,CC—o12"V—o

1_1_，即,1_,則

(n^CD=0,+2yl—2z1=0,

yi=0,令zi=l,則修=2,所以平面CCi。的一個法向量為〃1=(2,0,1).

設(shè)直線BE與平面CCi。所成的角為仇則sin(9=Icos<BE,m>I=,=&

即直線BE與平面CGD所成角的正弦值為，

(III)Ax(0,2,0),所以中=(0,-2,2),殺=(1,0,0),設(shè)平面4co的法

向量為“2=(X2,yi,Z2),

Tio'AyC—0,~2y+2Z-0,

則上即22則X2=0,

712'A^D=0,X2=0,

令H=l,則Z2=l,所以平面41CD的一個法向量為"2=(0,1,1).

設(shè)平面4CQ與平面CCi。的夾角為%則cosa=Icos<m,m>I=/廣=叵,所以平

V5XV210

面/iCD與平面CC。夾角的余弦值為噂.

4」命題點(diǎn)4］如圖,正四棱柱48cz中,AAi=3,AB=2,

E,尸分別為棱8C,31G的中點(diǎn).

(1)求證：平面尸〃平面C0E.

(2)求平面8DF與平面GDE間的距離.

解析解法一(1)在正四棱柱/BCD—43CbDi中，因為￡,產(chǎn)分

別為BC,81G的中點(diǎn),

所以FCM/BE,且FCi=BE,

所以四邊形尸Ci班為平行四邊形，所以BF〃CiE.

又